Mecânica Clássica
Lic. Fı́sica e Quı́mica–Ramo Educacional
Exame da Época Especial (9/5/2003)
~ e energia E move-se sob a acção de um campo
1. (a) Uma partı́cula de massa m, momento angular L
de forças centrais. Enumere as grandezas fı́sicas que se conservam neste problema, deduza as
suas expressões e refira-se às vantagens de usar as constantes do movimento.
(b) Um satélite de comunicações descreve uma órbita circular em torno da Terra com raio R e
velocidade v. Subitamente a velocidade do satélite é alterada adquirindo uma componente
radial v que aponta para fora da sua órbita, para além da sua velocidade original.
i. Determine o quociente entre os novos valores da energia e do momento angular do satélite
e os respectivos valores iniciais.
ii. Desenhe o gráfico do potencial efectivo e discuta as caracterı́sticas das órbitas do satélite
nas duas circunstâncias.
2. Considere um bloco de massa M , cujo centro de massa possui uma velocidade v = vcm num
determinado instante t = t0 , deslocando-se sobre uma superfı́cie horizontal. Em virtude do atrito
entre o bloco e a superfı́cie horizontal o bloco pára ao fim de algum tempo. Admita que o coeficiente
de atrito cinético é µ.
(a) Relacione o deslocamento do centro de massa com dados do problema, referindo-se à lei fı́sica
em que baseia a sua resposta.
(b) Discuta os aspectos energéticos da situação descrita com base na Primeira Lei da Termodinâmica
aplicada tanto ao sistema constituı́do pelo bloco como pelo bloco+superfı́cie horizontal.
d
1
2d
o
2
3. (a) Dois corpos idênticos de massa m ligados por um fio inextensı́vel e de massa desprezável (ver
figura) estão assentes sobre uma mesa horizontal. Sendo µe o coeficiente de atrito estático
entre a mesa e os corpos, calcule a frequência angular máxima com que a mesa pode girar
em torno de O, sem que haja deslizamento dos corpos. Justifique o resultado obtido à luz da
condição de equilı́brio em relação ao referencial acelerado.
(b) Escreva a expressão geral que permite calcular o momento angular de um sistema de partı́culas
em relação à origem de um sistema de referência inercial. Demonstre a validade dessa expressão
usando o sistema de dois corpos da alı́nea anterior.
4. (a) Justifique que a aplicação da segunda lei de Newton a um elemento de um fluido incompressı́vel
em movimento com aceleração ~a toma a forma da equação de Euler
~ p + ρ ~g = ρ ~a,
−∇
em que ρ é a de massa volumétrica do fluido.
(b) Um tanque contendo um fluido incompressı́vel desloca-se horizontalmente sob a acção da
gravidade com uma aceleração constante ~a. A superfı́cie livre do lı́quido mantém a forma
apresentada na figura enquanto a aceleração é constante. Cada elemento do fluido é acelerado
juntamente com a totalidade do sistema. A figura mostra dois desses elementos A e B.
a
A
B
i. Desenhe as forças que actuam sobre os dois elementos de fluido especificados pelas caixas
A e B, procurando adaptar o comprimento relativo das setas à intensidade das forças a que
dizem respeito. Use a seguinte metodologia para assinalar as forças superficiais. Numa
primeira figura represente a resultante das forças superficiais por uma única seta; represente depois noutra figura as forças superficiais que actuam, horizontal e verticalmente,
nos lados de cada caixa.
ii. Use os diagramas de forças desenhados para explicar a razão pela qual cada elemento do
fluido tem a mesma aceleração segundo a horizontal e aceleração nula segundo a vertical
apesar de se situarem a diferentes profundidades no interior do lı́quido.
5. Um aro de massa M , momento de inércia M k 2 em relação a um eixo horizontal que passa pelo
centro de massa C e raio a, rola sem deslizar sobre um plano horizontal. O movimento tem lugar
num plano vertical. Como indica a figura, θ representa o ângulo que o raio CA faz com a vertical.
Admita que no instante t = 0 o ponto A do aro coincidia com a origem O.
(a) Refira-se aos graus de liberdade deste sistema e às equações de ligação. Escolha a(s) coordenada(s) generalizada(s) conveniente(s).
(b) Escreva o Lagrangiano do sistema.
(c) Discuta a conservação da energia do sistema.
(d) Defina coordenada cı́clica e use este conceito para identificar outra constante do movimento.
C
a
A
θ
O
Formulário
~a = ~a0 + 2 ω
~ ∧ ~v 0 + ω
~ ∧ (ω
~ ∧ ~r0 ) .