Mecânica e Ondas Eng. Informática e Computadores 2o Semestre 2007/2008
Solução do 1o exame de 30 de Junho de 2008
1. A figura mostra um tanque com uma saı́da de água perto do fundo. A altura é
h = 0.9 m e o ângulo de saı́da é α = 25◦ . Pode assumir que o escoamento é ideal e a
área do tanque muito maior que a secção do orifı́cio.
h
α
z
a) Qual é a velocidade da água à saı́da do tanque? (1 ponto)
Vamos aplicar a equação de Bernoulli entre o topo do tanque e a abertura. Em
ambos os pontos a pressão é a atmosférica. No topo do tanque a velocidade da água é
desprezável. Vamos por o zero da vertical no orifı́cio de saı́da.
ρgh =
1 2
ρv
2
De onde tiramos
q
p
2
v = 2gh ' 2 × 9.8 m/s × 0.7 m ' 3.7 m/s
A componente horizontal da velocidade é vx = v cos α ' 3.0 m/s e a componente vertical
é vz = v cos α ' 2.1 m/s
b) Use a equação de Bernoulli para obter a altura y do repuxo. Se não tiver resolvido
a alı́nea anterior use o valor de 5 m/s para a velocidade. (2 pontos)
No ponto mais alto do repuxo a velocidade é horizontal. Aplicando a equação de
Bernoulli entre o topo do tanque e o ponto mais alto do repuxo temos
1
1
ρgh = ρgz + ρvx2 = ρgz + ρv 2 cos2 α = ρgz + ρgh cos2 α
2
2
de onde tiramos
z = h(1 − cos2 α) ' 0.7 m(1 − cos2 35◦ ) ' 0.23 m
c) Mostre qual é o ângulo α para o qual a altura do repuxo é máxima. (1 ponto)
O máximo é para α = 90◦ , ou seja um repuxo vertical.
2. O Enterprise está em órbita à volta da estrela τ -ceti quando o Tenente Sulu descobre
que ela está em perigo iminente de explodir. Imediatamente o Enterprise dirige-se a
uma velocidade v = 0.8c para a estrela ω-taurus que está a 12 anos luz de τ -ceti.
Exactamente a meio caminho observam a explosão de τ -ceti, e infelizmente também a
explosão de ω-taurus.
a) Pode-se dizer que no referencial do Enterprise as duas explosões ocorreram simultãneamente? Em caso negativo qual delas explodiu primeiro? Justifique. (1
ponto)
No Enterprise as duas explosões foram observados ao mesmo tempo. Nesse instante
as estrelas estavam à mesma distância do Enterprise. Mas como as estrelas estão em
movimento em relação ao Enterprise, τ -ceti afasta-se e ω-taurus aproxima-se, elas não
estavam ` mesma distância quando a luz foi emitida, e portanto explodiram em momentos diferentes. O diagrama mostra que ω-taurus explodiu primeiro. No diagrama
o Enterprise está parado na origem e o movimento das duas estrelas está indicado a
tracejado. As linhas grossas indicam os raios de luz que chegam ao mesmo tempo ao
Enterprise a meio caminho.
x
ω taurus
ct
τ ceti
b) Pode-se dizer que no referencial da Galáxia as duas explosões ocorreram simultaneamente? Em caso negativo qual delas explodiu primeiro? Justifique. Pode assumir
que as estrelas estão em repouso no referencial da Galáxia. (1.5 pontos)
No referencial da Galáxia o Enterprise observou também as explosões a meio caminho. Como as fontes estão paradas, a luz percorreu a mesma distância e as explosões
foram simultâneas.
3. Uma onda numa corda é aproximadamente descrita pela expressão
u(x, t) = 0.06 m sin(0.4 m−1 x − 30 s−1 t + 34)
a) Qual é o número de onda? (1/2 ponto)
k = 0.4 m−1
b) Qual é a amplitude? (1/2 ponto)
A = 0.06 m
c) Qual é o comprimento de onda? (1/2 ponto)
λ=
2π
' 16 m
k
T =
2π
' 0.21 s
ω
d) Qual é o perı́odo? (1/2 ponto)
e) Qual é a velocidade de propagação? (1/2 ponto)
v=
λ
ω
= ' 76 m/s
T
k
f) Qual é a direcção de propagação? Justifique. (1/2 ponto)
Na direcção positiva, o sinal antes do termo x é positive e antes do termo t é
negativo. Para o argumento ser constante se t aumenta também x tem que aumentar.
g) O que faz o número 34 no argumento do seno? (1/2 ponto)
Indica a fase da onda. Dá a amplitude na origem no instante t = 0
4. Uma caixa de m = 12 kg é puxada com velocidade constante de v = 0.05 m/s
subindo uma rampa de l = 12 m de comprimento que faz um ângulo de θ = 8◦ com a
horizontal. O coeficiente de atrito estático é 0.55 e o coeficiente de atrito dinâmico (ou
cinético) é 0.40.
A velocidade é constante, o que quer dizer que a força total é nula. Projectando
paralelamente e perpendicularmente à rampa temos que o módulo da força normal é
N = mg cos θ, e o módulo da força que puxa a caixa é
2
2
T = mg sin θ + µk N ' 12 kg × 9.8 m/s sin 8◦ + 0.40 × 12 kg × 9.8 m/s cos 8◦ ' 63 N
a) Qual foi o trabalho feito pela força que puxa a caixa? (1 ponto)
WT = T l ' 63 N × 12 m ' 756 J.
b) Qual foi o trabalho feito pela força de atrito? (1 ponto)
Wk = −µk N cos θl ' −559 J.
c) Qual foi o trabalho feito pela força normal? (1 ponto)
Nulo.
d) Qual foi o trabalho feito pela força gravitacional? (1 ponto)
Wg = −mgl sin θ = −196 J.
e) Qual foi a potência associada com a força que puxa a caixa? (1 ponto)
P = T v ' 3.15 W.
O memo resultado pode ser obtido se calcularmos primeiro que a caixa percorreu os
12 m em 240 s.
5. Um rolo cilı́ndrico de papel (por exemplo papel higiénico ou os rolos produzidos nas
fábricas de papel) tem um raio inicial R0 e está colocado sobre uma longa superfı́cie
horizontal. O papel na extremidade do rolo está colado a essa superfı́cie de modo a que
ele se possa desenrolar facilmente. Um ligeiro piparote é dado ao rolo para que ele se
comece a desenrolar com uma velocidade inicial muito pequena (desprezável). Despreze
o atrito e assuma que a densidade do rolo é constante para responder às seguintes
perguntas.
a) Qual é a velocidade do centro de massa do rolo quando o seu raio diminuiu para
um valor r? (4 pontos)
Este problema é quase idêntico ao da roda de Maxwell dos laboratórios. Pondo
o zero da energia potencial na superfı́cie horizontal, a energia potencial do rolo antes
de se desenrolar é M gR, onde M é a massa original. Quando tem o raio r a massa é
M 0 = M r2 /R2 e a energia potencial é M gr3 /R2 . Como não há atrito, a energia cinética
vai ter de ser igual a
Mg
K = 2 (R3 − r3 ).
R
Para um raio r temos que ω = vcm /r e a expressão da energia cinética é
K=
2
1 0 2
1
1
1 1 0 2 vcm
3
3 r2 2
2
2
M vcm + I 0 ω 2 = M 0 vcm
+
M r 2 = M 0 vcm
= M 2 vcm
2
2
2
22
r
4
4 R
Igualando as duas expressões temos que
2
vcm
=
4 R3 − r 3
4
R3
4 R2 g
3
3
(R
−
r
)
=
g
=
gr(
− 1)
3 r 2 R2
3
r2
3
r3
b) Dê um valor numérico para R0 = 3 m e r = 1 cm. (1 ponto)
r
vcm =
√
R3
4
gr( 3 − 1) ' 0.13 m2 s−2 26999999 ' 1873 m/s
3
r
É um valor enorme (o papel vai rasgar antes de ser atingido).