ENGC34 – ELETROMAGNETISMO APLICADO
Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces
Dielétricas Planas
Prof. Dr. Vitaly F. Rodríguez-Esquerre
Reflexão e Transmissão de Ondas em
Interfaces Dielétricas Planas
Qualquer componente prático, seja um modulador, um guia de ondas, um acoplador
direcional, etc. Deve ter dimensões finitas
Em termos das propriedades eletromagnéticas, pode ser descrito como variações nas
constantes dielétricas ou do índice de refração em função das coordenadas espaciais.
Para entender como um dispositivo opera, devemos entender como a variação
espacial nas constantes dielétricas modificam as propriedades da radiação
propagando-se dentro do dispositivo.
A forma mais simples pode ser a descontinuidade entre dois meios com diferentes
propriedades dielétricas.
Condições de Contorno nas Interfaces
As condições de contorno nas interfaces mostradas nas figura 1. são obtidas
diretamente das equações de Maxwell.
meio 1
l
meio 2
h
Figura 1. Geometria para obter as condições de contorno

c E.dl   t s B.ds

c H .dl  t s D.ds
 Etan 1 l   Etan 2 l  0
 H tan 1 l   H tan 2 l  0
As componentes tangencias dos campos elétricos e magnéticos devem ser iguais na
interface entre dois meios.
Reflexão e Transmissão de Ondas
Planas em Interfaces Dielétricas
x
ki
kr
Região 1
1 , 1
z
y
Região 2
kt
 2 , 2
Figura 1. Onda plana incidindo desde a região 1 para a região 2
Os vetores de onda são:
k i kr k t
Ei  r   Ai e
 j  ki . r 
Er  r   Ar e
Et  r   At e
 j  kr . r 
 j  kt . r 
Condições de continuidade requerem que os campos elétricos e magnéticos sejam
contínuos através da fronteira x = 0






 Ei 0 , y, z  Er 0 , y, z    Et 0 , y, z 

 tan 
 tan
Isto implica que,
 jkiy y  jkiz z
 jkry y  jkrz z
 jkty y  jktz z
 Ae



e

A
e
e

A
e
e
i
r
t

 tan 
 tan
 jkiy y  jkiz z
 jkry y  jkrz z
 jkty y  jktz z
 Ae



e

A
e
e

A
e
e
i
r
t

 tan 
 tan
Esta equação tem que ser satisfeita em todos os pontos sobre a interface, ou seja para
todos os valores de y e z. Observe que a especificação de um ponto (y,z) resulta numa
equação com as variáveis desconhecidas Ar, At, kry, krz, kty e ktz
Especificando suficientes pontos para ter mais equações do que variáveis, resulta num
sistema inconsistente.
A única solução não trivial requer que as componentes tangenciais dos vetores de onda
sejam iguais:
kiy  kry  kty  k y
kiz  krz  ktz  k z
Estas relações são conhecidas como requerimentos de casamento de fase. Isto significa
que os vetores de onda das ondas incidente, refletida e transmitida estão no mesmo
plano.
Sem perda de generalidade, podemos girar o sistema de coordenadas para que todos os
três vetores de onda estejam no plano xz como mostrado na figura 3.
O plano xz é chamado de plano de incidência e não deve ser confundido com o plano
yz que é o plano de interface e separa as regiões 1 e 2.
ki
x
i
r
kr
Região 1
1 , 1
z
y
Região 2
t
kt
 2 , 2
Figura 3. Orientação relativa entre os vetores de onda incidente,
refletido e transmitido.
ˆ ix  zk
ˆ iz
ki   xk
ˆ rx  zk
ˆ rz
kr  xk
ˆ tx  zk
ˆ tz
kt   xk
ki
x
i
r
kr
Região 1
1 , 1
ˆ ix  zk
ˆ iz
ki   xk
ˆ rx  zk
ˆ rz
kr  xk
z
y
Região 2
t
kt
ˆ tx  zk
ˆ tz
kt   xk
 2 , 2
Desta forma as componentes podem ser escritas em função dos ângulos incidente,
refletido e transmitido:  i r  t
kix  k1 cos i
kiz  k1seni
krx  k1 cos  r
krz  k1senr
ktx  k2 cos t
ktz  k2sent
k1   11
k2   2 2
Onde:
É importante observar que as componentes x do vetor de onda das ondas incidente e
transmitidasão negativos pois, como mostrado na figura 3, as ondas viajam na direção
x negativa.
Para que as componentes tangenciais ou as componentes z dos vetores de onda sejam
iguais, tem-se:
k1sen i  k2sen t
sen i  sen r
Isto significa que o ângulo da onda incidente deve ser igual ao ângulo da onda
refletida e o ângula da onda transmitida pode ser obtido como:
sen  i k 2


sen  t k1
 2 2
11
No caso específico de materiais não magnéticos, esta relação é conhecida como a Lei
de Snell.
sen i k2
0 2

n
 
 2  2
sen t k1
01
1 n1
n1sen i  n2sen t
Exemplo:
Uma onda plana incide desde o espaço livre, região 1, na região 2 que tem  = 0 e
= 20.. O vetor de onda incidente é
ki   xˆ  2 / 3  zˆ  4 / 3
(a) Escreva a dependência da onda em função de x e z.
(b) Qual é o vetor de onda transmitido?
Solução:
Exemplo:
Uma onda plana incide desde o espaço livre, região 1, na região 2 que tem  = 0 e
= 20.. O vetor de onda incidente é
ki   xˆ  2 / 3  zˆ  4 / 3
(a) Escreva a dependência da onda em função de x e z.
(b) Qual é o vetor de onda transmitido?
Solução: (a)
ˆ  zz
ˆ 
 j   xˆ  2 /3 zˆ 4 /3. xx
e
 e j 2 /3 xe j4 /3 z
(b) A componente em z do vetor de onda transmitido é conhecido pois
kiz  ktz  4 / 3
k1 
 2 / 3   4 / 3   2 / 3 5    0 0
2
2
k2  ktx2   4 / 3  2  0 0   2 / 3 10
2
ktx  k  k 
2
2
2
tz

 2 / 3 10

2
  4 / 3   2 / 3 6
2
kt   xˆ  2 / 3 6  zˆ  4 / 3
Incidência Oblíqua
n
Plano de incidência: plano formado pelos vetores n e k.
Incidência Oblíqua: Polarização
Transversal Elétrico
(TE)
Transversal Magnético
(TM)
Senkrecht Polarized
(s)
Plane Polarized
(p)
Incidência Oblíqua: Considerações
k1  k2
k12  k12x  k12z
k12z  k22z
k22  k22x  k22z
Neste caso, percebe-se que
independente do ângulo de
incidência, a componente
tangencial (z) estará no
intervalo [ 0, k1 ] para
incidência normal e rasante,
respectivamente.
Todos os vetores de onda
serão reais.
Então sempre haverá onda
transmitida
Incidência Oblíqua: Considerações
k1  k2
k12  k12x  k12z
k12z  k22z
Neste caso, percebe-se que existirá
um ângulo de incidência no qual, a
componente tangencial (z) será
igual ou maior que k2.
Assim, a componente k2x será
imaginária
k2 x  k22  k22z , se k2 z  k2
k22  k22x  k22z
k2 x   j 2 x ,
onde  2 x  k22z  k22
Quando a componente tangencial é maior do que k2, não existe onda propagante na
região 2, o que se tem é uma onda evanescente (exponencial decrescente).
Incidência Oblíqua: Polarização TE
meio 1
1 , 1 k1   11 x
Ei
kr
Er
 i r
Hi
Hr
ki
x=0
z
t
Et
meio 2
 2 , 2 k2   2 2
Ht
16
kt
Incidência Oblíqua: Polarização TE
• Campo Elétrico Tangencial na Região 1

Ei  Er  yˆ Ei 0e  jk1 x x e  jk1 z z  Er 0e  jk1 x x e  jk1 z z

• Campo Magnético Tangencial na Região 1
 Ei 0  jk1 x x  jk1 z z Er 0  jk1 x x  jk1 z z 
H i  H r  zˆ  
e
e

e
e
 cos i
1
 1

17
Incidência Oblíqua: Polarização TE
• Campo Elétrico Tangencial na Região 2
 jk2 x x  jk2 z z
ˆ t 0e
Et  yE
e
• Campo Magnético Tangencial na Região 2
H t cos t   zˆ
Et 0
2
e
18
 jk2 x x  jk2 z z
e
cos t
Incidência Oblíqua: Polarização TE
• Para determinar as incógnitas Er0 e Et0, devemos
aplicar as condições de contorno em x = 0:
E1  x  0 tan  E2  x  0 tan
H1  x  0 tan  H 2  x  0 tan
Considerando que k1z = k2z
19
Coeficientes de Reflexão e
Transmissão
• Definindo o coeficiente de reflexão como:
Er 0
R
Ei 0
• Definindo o coeficiente de transmissão
como:
Et 0
T
Ei 0
20
Incidência Oblíqua: Polarização TE
Ei 0  Er 0  Et 0
 Ei 0 Er 0 
Et 0

cos t

 cos i  
2
 1 1 
Ei 0  REi 0  TEi 0
 Ei 0 REi 0 
TEi 0

cos t

 cos i  
1 
2
 1
Incidência Oblíqua: Polarização TE
Ei 0  REi 0  TEi 0
 Ei 0 REi 0 
TEi 0

cos t

 cos i 
1 
2
 1
1 R  T
1 cos t
1 R  T
2 cos i
Incidência Oblíqua: Polarização TE
2 cos i  1 cos t
R
2 cos i  1 cos t
2 2 cos i

2 cos i  1 cos t
Incidência Oblíqua: Polarização TE
1 R  T
1 cos t
1 R  T
2 cos i
1 1 cos t
1  2 cos t
1 cos t


2 cos i
2  2 cos i
2 1 cos i
 1  2 2 1 cos t k2 cos t 1 ktx 1


 2 1 2 1 cos i k1 cos i 2 kix 2
Incidência Oblíqua: Polarização TE
1 R  T
ktx 1
1 R  T
kix 2
R
T
1   r1 r 2  ktx kix 
1   r1 r 2  ktx kix 
2
1   r1 r 2  ktx kix 
EXEMPLO
Determine o coeficiente de reflexão para uma onda plana com polarização TE incidindo
com um ângulo de 30º desde uma região com μ1=μ0 e ε1= 2ε0 numa região com μ1=μ0 e
ε1= ε0
Solução:
kix  k1 cos i
R
ktx  k2 cos t  k2 1  sen t
2
como, sen t 
k1
sen i 
k2
  r1
1   ktx kix 
1   ktx kix 
 r 2  sen i
ktx  k2 1    r1  r 2  sen 2 i
2
ktx k2 1    r1  r 2  sen i


kix
k1 cos i
ktx

kix
R
 r 2
 r1   sen 2 i
cos i
1  0,577
 0, 268
1  0,577

 r 2
 r1 
1    r1  r 2  sen 2 i
1 2   sen 2 30
cos 30
cos i
 0.577
Incidência Oblíqua: Polarização TM
meio 1
1 , 1 k1   11 x
Er
Ei
Hi
ki
kr
 i r
Hr
x=0
z
t
Et
Ht
meio 2
 2 , 2 k2   2 2
kt
27
Incidência Oblíqua: Polarização TM
• Campo Magnético Tangencial na Região 1

 jk1 x x  jk1 z z
 jk1 x x  jk1 z z
ˆ
H i  H r  y H i 0e
e
 H r 0e
e

• Campo Elétrico Tangencial na Região 1


Ei cos i  Er cos  r  zˆ 1 H i 0e  jk1 x x e  jk1 z z  1H r 0e  jk1 x x e  jk1 z z cos i
28
Incidência Oblíqua: Polarização TM
• Campo Magnético Tangencial na Região 2
 jk2 x x  jk2 z z
ˆ
Ht  yHt 0e
e
• Campo Elétrico Tangencial na Região 2
Et cost  zˆ2 Ht 0e
 jk2 x x  jk2 z z
29
e
cost
Incidência Oblíqua: Polarização TM
• Para determinar as incógnitas Er0 e Et0, devemos
aplicar as condições de contorno em x = 0:
E1  x  0 tan  E2  x  0 tan
H1  x  0 tan  H 2  x  0 tan
Considerando que k1z = k2z
30
Coeficientes de Reflexão e
Transmissão
• Definindo o coeficiente de reflexão como:
Hr0
R
Hi0
• Definindo o coeficiente de transmissão
como:
Ht0
T
Hi0
31
Incidência Oblíqua: Polarização TM
Hi 0  H r 0  Ht 0
1Hi0 1Hr 0  cosi  2 Ht 0 cost
Hi 0  RHi 0  THi 0
1Hi0 1RHi0  cosi  2THi0 cost
Incidência Oblíqua: Polarização TM
Hi 0  RHi 0  THi 0
1Hi0 1RHi0  cosi  2THi0 cost
1 R  T
2 cos t
1 R  T
1 cos i
Incidência Oblíqua: Polarização TM
1 cos i   2 cos t
R
1 cos i  2 cos t
21 cos i

1 cos i  2 cos t
2 cos i  1 cos t
R
2 cos i  1 cos t
2 2 cos i

2 cos i  1 cos t
Incidência Oblíqua: Polarização TM
1 R  T
2 cos t
1 R  T
1 cos i
2  2 cos t
2 1 cos t
2 cos t


1 cos i
1 1 cos i
1  2 cos i
 2 1  2 1 cos t k2 cos t 1 ktx 1


 1  2  2 1 cos i k1 cos i  2 kix  2
Incidência Oblíqua: Polarização TM
1 R  T
ktx 1
1 R  T
kix  2
R
T
1    r1  r 2  ktx kix 
1    r1  r 2  ktx kix 
2
1   r1  r 2  ktx kix 
R
T
1   r1 r 2  ktx kix 
1   r1 r 2  ktx kix 
2
1   r1 r 2  ktx kix 
Coeficientes de Reflexão e Transmissão em
função dos vetores de onda
• Polarização TE:
R
1   r1 r 2  ktx kix 
1   r1 r 2  ktx kix 
T
2
1   r1 r 2  ktx kix 
• Polarização TM:
R
1    r1  r 2  ktx kix 
1    r1  r 2  ktx kix 
T
37
2
1   r1  r 2  ktx kix 
Análise: Polarização TE ou TM
Considerando meios não magnéticos temos então:
0
1
1 

 r1 0
 r1
Desta forma,
0 0
0
1

e,  2 

 0 n1
 r 2 0
r2
2 cos i  1 cos t n1 cos i  n2 cos t
R

2 cos t  1 cos t n1 cos t  n2 cos t
Lei de Snell
n1 sen i  n2 sen t
Considerando o caso,
n1  n2  t  i
Observa-se que se existe um ângulo de incidência θi no qual θt = 90
Isto acontece quando:
n2
sen i 
n1
, nesse caso temos reflexão total.
0 0

 0 n2
Análise: Polarização TM
Considerando meios não magnéticos temos então:
0
1
1 

 r1 0
 r1
Desta forma,
0 0
0
1

e,  2 

 0 n1
 r 2 0
r2
0 0

 0 n2
n1 cos t  n2 cos i
R
n1 cos t  n2 cos i
Considerando os dois casos,
n1  n2
n1  n2
i  t
i  t
n1 cost  n2 cosi
n2 , conhecido como ângulo de Brewster
tan i 
n1
O numerador de G será nulo se:
Isto acontece quando:
Análise: Polarização TM
n1 cos t  n2 cos i
R
0
n1 cos t  n2 cos i
n1 cos t  n2 cos i


n1 cos t  n2 cos i  0
n12 cos2 t  n2 2 cos2 i
n12 1  sen 2 t  n2 2 cos 2 i
2


n
2
2
1
n1 1  2 sen i   n2 2 1  sen 2 i
 n2

4
2
2
2
2





n
n
n
n
n
2
2
1
1
sen
i  1 2  1 1 2  1  1 2  1
sen i  4  1  2  1
 n2
 n2
 n2
 n2
 n2
2


n
2
1
sen i  2  1  1
 n2



sen i 
n2
n12  n2 2
n2
tan i 
n1
Coeficientes de Reflexão e Transmissão na
Reflexão Total Interna
R  R e j
TTe
j
• Polarização TM:

TM
  r1  tx 
 2 tan 


k
 r 2 ix 
1
 tx
• Polarização TE:

TE
kix
  tx 
 2 tan 

 kix 
1
41

sen 2 i    r 2  r1 
cos i
MODOS TE; Perpendicular ou s
2/1  3 / 2
1.0
180
90
TE
0.4
TE

R
30
60
120
90
TE
0.4
0
90
0.0
TE

60
0.2
30
0
150
0.6
60
0.2
180
0.8
120
0.6
0.0
1.0
150
0.8
R
2/1  2 / 3
30
0
30
i
60
0
90
i
MODOS TM; Paralelo ou p
2/1  3 / 2
1.0
90
TE
0.4
60
0.2
30
0
30
60
i
0
90
180
150
0.8
120
0.6
0.0
1.0
150
0.8
R
2/1  2 / 3
180
120
0.6
TE

R
90
TE
0.4
60
0.2
0.0
30
0
30
60
i
0
90
TE

Incidência Normal
meio 1
1 , 1
x
k1   11
ki
kr
Er
meio 2
 2 , 2
k2   2 2
Plano incidência xz
Plano interface yz
Ei
Hi
Hr
Ht
Et
kt
43
z
Incidência Normal
• Onda incidente
conhecido
ˆ i 0e
Ei  yE
Ei
Hi
ki
H i   zˆ
 jk1 x
Ei 0
1
k1   11
44
e
 jk1 x
1
1 
1
Incidência Normal
• Onda refletida
desconhecido
ˆ r 0e
Er  yE
kr
Er
Hr
H r  zˆ
Er 0
1
 jk1 x
e
 jk1 x
1
1 
1
k1   11
45
Incidência Normal
• Onda transmitida
desconhecido
Et  yˆ Et 0e
Et
Ht
H t   zˆ
kt
 jk2 x
Et 0
2
e
 jk2 x
2
2 
2
k2    2  2
46
Incidência Normal
• Campo Elétrico Total na Região 1

Ei  Er  yˆ Ei 0 e
 jk1 x
 Er 0 e
 jk1 x

• Campo Magnético Total na Região 1
 Ei 0  jk1x Er 0  jk1x 
H i  H r   zˆ 
e

e

1
 1

47
Incidência Normal
• Campo Elétrico Total na Região 2
 jk2 x
Et  yˆ Et 0e
• Campo Magnético Total na Região 2
H t   zˆ
Et 0
2
48
e jk2 x
Incidência Normal
• Para determinar as incógnitas Er0 e Et0, devemos
aplicar as condições de contorno em x = 0:
E1  x  0 tan  E2  x  0 tan
H1  x  0 tan  H 2  x  0 tan
Da geometria do problema, o campo elétrico e magnético
total nas duas regiões são tangenciais ao plano yz
49
Incidência Normal
• Das condições de contorno, obtem-se:
Ei 0  Er 0  Et 0
Ei 0
1

Er 0
1

Et 0
2
colocando em evidência Er0 e Et0
2  1
Er 0 
Ei 0 ,
2  1
22
Et 0 
Ei 0
2  1
50
Coeficientes de Reflexão e
Transmissão
• Definindo o coeficiente de reflexão como:
Er 0 2  1
R

Ei 0 2  1
• Definindo o coeficiente de transmissão
como:
Et 0
22
T

Ei 0 2  1
51
Coeficientes de Reflexão e
Transmissão
• Observar que 1  R  T
• As definições dos Coeficientes de Reflexão
e Transmissão se aplicam também no caso
de meios com perdas.
• Em meios sem perdas, R e T são reais.
1  R  1,
0T  2
• Em meios com perdas, R e T são complexos.
R  1,
T 2
52
Ondas Viajantes e Ondas Estacionárias
• O campo total no meio 1 é parcialmente uma
onda propagante e parcialmente uma onda
estacionária.
• O campo total no meio 2 é apenas onda
propagante.
53
Ondas Viajantes e Ondas Estacionárias
• O campo elétrico total no meio 1 é dado por,
 jk1 x
 jk1 x


ˆ
E1  Ei  Er  zEi 0 e
 Re
ˆ i 0 1  R  e
 zE
 jk1 x
 Re
ˆ i 0 1  R  e
 zE
 jk1 x
 j 2 R s e n  k1 x  
onda
propagante
54
 jk1 x
 Re
 jk1 x
onda
estacionária
