PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL
Faculdade de Matemática - Departamento de Matemática
Cálculo B (Inf) – Turmas 128 e 138
Tópico 03 - Integrais Por Partes
Consulta: ANTON, H. Cálculo: Um novo horizonte. Volume 1 paginas 516 a 522
Certas integrais não podem ser resolvidas diretamente ou por substituição de variáveis simples. Nesses
casos é necessário fazer uso de certas técnicas de integração. Uma dessas técnicas é a Integração por
Partes.
Sabemos que:
[ f ( x).g ( x)]´ =
f ( x).g´(x) + g ( x). f ´(x)
f ( x).g´(x) = [ f ( x).g ( x)] − g ( x). f ´(x)
,
ou
Integrando ambos os membros dessa equação, obtemos:
∫
f ( x).g ′( x).dx = f ( x).g ( x) − ∫ g ( x). f ′( x).dx
ou, de um modo mais simples de gravar,
∫ u.dv = u.v − ∫
v.du
No caso de uma integral definida, pode-se também escrever:
∫
b
a
b
f ( x).g ′( x).dx = f ( x).g ( x) a − ∫ g ( x). f ′( x).dx
b
a
O principal cuidado com essa técnica é a "escolha" das funções que farão os papéis de f e g. A escolha
deve ser feita de tal forma que a nova integral seja mais simples que a original.
Exemplos:
1. Calcule a área A da região limitada pela curva y = x.e − x , e pelas retas x = 0, x = 1 e y = 0.
∞
2. Calcule
∫ xe
−x
dx .
0
Exercício 1: Determine os resultados das seguintes integrais:
∫
2
(a) x .e
−x
.dx
Tópico 3 - Página 1 de 3
∫
(b) ln( x).dx
∫
x
(c) e . cos( x ).dx
Fórmulas de Redução
Através da Integração por Partes pode-se obter fórmulas que permitem a avaliação de integrais mais
complexas através de integrais mais simples.
Exemplos:
∫
∫
1. Mostre que ∀ n ∈ N*, x .e .dx = x .e − n. x
2. Calcule
∫x
4
.e x .dx .
4
.e x .dx .
n
x
n
x
n −1
.e x .dx .
1
3. Calcule
∫x
0
Exercício 2: Calcule as seguintes integrais por partes:
(a)
(b)
∫ x. cos( x).dx
∫ ln( x + x
(c)
∫ x.
).dx
1 − x .dx
(e)
(d)
∫ 2e
0
∫ x.e
−5 x
.dx
(g)
∫ x. sen(2 x).dx
(h)
∫
0
0
1
2
1
1
−x
e
. sen( x).dx
(f)
∫x
1
2
. ln( x).dx
x ln( x).dx
Tópico 3 - Página 2 de 3
Exercício 3: Determine as seguintes fórmulas de redução:
(a)
∫ sen
(b)
∫ cos
n
1
n −1
( x).dx = − . sen n −1 ( x). cos( x) +
.∫ sen n − 2 ( x).dx
n
n
n
( x).dx =
1
n −1
. cos n −1 ( x). sen( x) +
.∫ cos n − 2 ( x).dx
n
n
Respostas:
-x
2
Exercício 1: a) –e (x +2x+2) +c
b) x ln(x)- x+c
ex
c)
(cos( x) + sen( x)) + C
2
Exercício 2:
4
15
(a)
cos( x) + x. sen( x) + C
(c)
(b)
x. ln( x + x 2 ) − 2.x + ln( x + 1) + C
(d) ≅ 0,491674
1 ⎛
6⎞
⎜1 − 5 ⎟
25 ⎝ e ⎠
1
(f)
1 + 2.e 3
9
(e)
(
)
(g)
− x cos 2 x sen 2 x
+
+c
2
4
(h)
2 2
4
x ln x − x 2 + c
3
9
3
3
Exercícios Complementares
Referência: Anton, H. Cálculo: Um Novo Horizonte.
Página
521
522
Exercícios
21, 25, 37
58 (importante)
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