UFF - Universidade Federal Fluminense
Lista de exercı́cios para VE1 de Cálculo IIA - 1.2014
Professora Mariana Gesualdi Villapouca
Questão I (Técnicas de Integração).
seguintes integrais indefinidas:
Z
Z
2x2 + 4
(i)
dx
(a)
x3 − 8
Z
Z
x2
(j)
√
dx
(b)
9 − x2
Z
Z
1
(l)
√
(c)
x2 + 16
Z
Z
−x
(m)
(d)
e sen(x)dx
Z
(e)
1
dx
(9 − x2 )2
Z
(n)
Z
Z
(f )
xarctg(x)dx
Z
(g)
Z
(h)
x3x dx
√
arcsen( x)dx
(o)
Calcule, explicitando e justificando cada etapa, as
3
cossec (x)dx
sec3 (x)dx
x3 + 1
dx
x2 (x2 + 1)
x3
1
√
dx
2 − x2
4
√
tg 5 (x)
dx
sec3 (x)
(q)
cossec(x)dx
Z
(s)
Z
(t)
Z
(u)
Z
(v)
Z
sen(3x)sen(2x)dx
Z
(r)
x
dx
x2 − 4
Z
(p)
Z
2x + 1
dx
3
x − x2 − x + 1
(x)
Z
(z)
sen5 (x)cos2 (x)dx
sen4 (x)cos5 (x)dx
tg 6 (x)sec4 (x)dx
tg 5 (x)sec7 (x)dx
tg 2 (x)sec3 (x)dx
tg 3 (x)dx
Questão II (Aplicações da Integral definida).
(a) Sejam R a região limitada pelos gráficos das funções f e g, S o sólido obtido rotacionando a região R em torno do eixo y, S1 é o sólido obtido rotacionando a região
R em torno da reta x = −1. Em cada um dos itens:
– Esboce a região R e calcule a sua área.
– Explicando e justificando, monte as fórmulas do volume do sólido S usando o
método dos discos e o método das cascas cilı́ndricas.
– Calcule o volume de S pelo método que achar conveniente.
– Explicando e justificando, monte as fórmulas do volume do sólidos S1 usando
o método das cascas e o método dos discos.
1. f (x) =
√
5
x e g(x) = x3 no primeiro quadrante
2. f (x) = x2 e g(x) = x no primeiro quadrante
1
3. f (x) = e g(x) = x com x ∈ [1, 2]
x
4. f (x) = e−x e g(x) = 0 no primeiro quadrante
π
5. f (x) = sen(x) e g(x) = sen(2x) com x ∈ [0, ]
3
(b) Seja R a região hachurada e S o sólido de revolução obtido quando rotacionamos R
em torno do eixo indicado. Determine as fórmulas do volume de S usando o método
do disco para os casos (i) e (iii) e o método das cascas cilı́ndricas para os casos (ii)
e (iv).
(i)
y
y
(ii)
g
g
R
R
f
f
a
(iii)
b
a
x
y
(iv)
b
x
y
g
g
R
R
f
f
C
y = C
a
b
x
C
a
b
x
x = C
(c) Calcule o comprimento da curva f (x) = x2 − 2x + 5 entre (1, 4) e (3/2, 17/4).
(d) Calcule o comprimento da curva f (x) = 3x2 + 1 para x ∈ [1, 2].
Questão III (Integral Imprópria).
(a) Determine se as seguintes integrais convergem ou divergem. No caso de convergir
calcule o seu valor.
Z
2
1.
0
Z
1
dx
(1 − x)4
3
2.
−∞
Z
1
dx
(2 − x)2
4.
5.
6.
+∞
−x
e cos(x)dx
3.
Z
0
7.
+∞
1
√
dx
x(x + 1)
1
Z 2
1
dx
1/3
0 (1 − x)
Z 3 2
x +1
dx
2
2 x −4
Z +∞
sen(x)
dx
x
1
Z
+∞
8.
1
Z
9.
0
Z
1
sen(x) x dx
1
p
dx
x(1 − x)
+∞
10.
−∞
1+x
dx
1 + x2
(b) Enuncie o critério da comparação e determine se as seguintes integrais convergem
ou divergem.
Z +∞
Z +∞
1
2
provar que se f
dx
6.
e−x sen(x)dx
1.
x
x
+
e
é
integrável
em
1
1
Z +∞
Z +∞
[a, t], ∀tZ
>
a
2 + sen(x)
+∞
2.
dx
e−x sen2 (x)dx
7.
x
e
|f (x)|dx
1
1
a
Z +∞
Z +∞
1
x3
converge,
então
Z +∞
√
3.
dx
dx
8.
3
4
3
x +3
x +1
1
1
f (x)dx também
Z +∞
Z +∞
a
1
converge.
Dê um
dx
4.
9.
e−x sen3 (x)dx
x
e
ln(x)
1
1
exemplo
onde
a
Z +∞
recı́proca
não
é
10. Use o critério da
1
5.
dx
válida.
x
comparação
para
x+e
1
Questão IV (Diversos).
d
1. Seja f uma função contı́nua em R. Calcule
dx
"Z 4
#
x
d
2. Calcule
cos(t3 )dt .
dx −sen2 (x)
Z
senx
f (t)dt .
x2
3. A trompeta de Gabriel é a superfı́cie de revolução obtida ao rotacionarmos a curva
1
y = , x > 1, em torno do eixo x.
x
1
, x > 1, é infinita.
x
• Mostre que o volume do sólido de revolução delimitado pela trombeta de Gabriel
é finito.
• Mostre que a área sob a curva y =
• Mostre que a área da superfı́cie da trompeta de Gabriel é infinita, sabendo que
a fórmula da área de uma superfı́cie de revolução em torno do eixo x é dada
por
Z
A(S)x =
b
p
2πx 1 + [f 0 (x)]2 dx
a
√
Z
x
4. Determine a função f tal que
f (t)dt = xex .
0
5. Prove, usando o Teorema do Valor Médio para integrais, que
6. Disccuta a convergência das seguintes integrais impróprias:
Z
+∞
•
1
Z
•
0
Z
1
1
dx com p > 0 constante.
xp
1
dx com p > 0 constante.
xp
+∞
e−px dx com p constante.
•
1
Z
•
e
+∞
1
xp ln(x)
Z
dx com p > 0 constante.
x
f (t)dt onde f (t) =
7. Esboce G(x) =
−∞
R x/2
8. Calcule lim
x→π
π/2
cos(sen(t))dt
(x − π)3
.
1, |t| 6 1
0, |t| > 1
√
3
3750 ∈ [10, 20].