17.4 – A energia no MHS
Energia potencial:
1 2
U  kx
2
(energia potencial elástica)
Na maioria dos sistemas reais, isto é uma aproximação
para a energia potencial, válida apenas no limite de
oscilações de pequena amplitude em torno do mínimo.
Exemplo: molécula diatômica
U (r )
Aproximação
harmônica
 kx
1 2
A energia potencial oscila no tempo: U  kx
2
Sabendo que: x(t )  xm cost   
1 2
2
Então: U (t )  kx m cos t   
2
A energia cinética também oscila no tempo: K 
Sabendo que: v(t )  xmsent   
1 2
mv
2
1 2
1
2
2 2
2
Então: K (t )  m xm sen t     kx m sen t   
2
2
Considerando
 0:
A energia do sistema
oscila entre cinética e
potencial
Energia total: E  K  U 

E
1 2
kx m
2
1 2
1
kx msen 2 t     kx m2 cos 2 t   
2
2


1 2
kx m sen 2 t     cos 2 t   
2
A energia mecânica não depende do tempo, se conserva
(sistema não-dissipativo)
T /4
T /2
3T /4
T
Podemos obter a equação diferencial do oscilador
harmônico a partir da conservação da energia!
1 2 1 2
E  K  U  mv  kx  constante
2
2
1 2 1 2
Derivando
mv  kx  constante em relação ao tempo:
2
2
d 2x
1  dv  1  dx 
m 2v   k  2 x   0  m 2  kx
dt
2  dt  2  dt 