CAPÍTULO
2
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Até o momento, trabalhamos apenas com funções de uma variável. No entanto,
frequentemente, encontramos situações em que uma quantidade depende de duas, três ou
mais quantidades. Por exemplo:
• Volume de um cilindro de raio r e altura h:
V = V (r, h) = πr 2 h
• Volume de uma caixa retangular de largura l, comprimento w e altura h:
V = V (l, w, h) = lwh
2.1
Funções de Duas Variáveis
Definição 2.1.1 (Função de duas variáveis). Seja D = {(x, y)|x, y ∈ R} um subconjunto do
plano xy (R2 ). Uma função f de duas variáveis é uma relação que associa a cada par
ordenado de números reais (x, y) ∈ D a um número real z. O conjunto D é chamado de
domı́nio de f e o conjunto dos valores correspondentes de z é chamado de imagem de f ,
dito de outra forma,
Im(f ) = {z ∈ R|z = f (x, y), (x, y) ∈ D} .
As variáveis x e y são chamadas de variáveis independente e z de variável dependente.
2.1 Funções de Duas Variáveis
17
z
y
f
(x, y)
y
+
x
z = f (x, y)
x
Exemplo 2.1.1. Seja f (x, y) = x2 − xy + 2y. Encontre o domı́nio de f e os valores f (1, 2),
f (2, 1), f (x2 , y) e f (x + y, x − y).
Exemplo 2.1.2. Encontre e desenhe o domı́nio das funções:
(a) f (x, y) =
√ 2
y −x
(b) f (x, y) =
ln(x + y + 1)
y−x
2.1 Funções de Duas Variáveis
2.1.1
18
Gráfico de uma função de duas variáveis
Definição 2.1.2 (Gráfico). Seja f uma função de duas variáveis com domı́nio D. O gráfico
de f é o conjunto
S = Graf(f ) = {(x, y, z)|z = f (x, y), (x, y) ∈ D}
S é também chamada de superfı́cie.
Exemplo 2.1.3. Esboce o gráfico de f (x, y) =
√
9 − x2 − y 2. Qual é a imagem de f ?
Exemplo 2.1.4. Esboce o gráfico de f (x, y) = x2 + 4y 2. Qual é a imagem de f ?
2.1 Funções de Duas Variáveis
Exemplo 2.1.5. Gráficos de funções usando o software Maple.
(a) f (x, y) = x3 − 3xy 2
(b) f (x, y) =
cos(x2 + 2y 2)
1 + x2 + 2y 2
(c) f (x, y) = x2 y 2e−x
2 −y 2
19
2.1 Funções de Duas Variáveis
20
(d) f (x, y) = ln(x2 + 2y 2 + 1)
2.1.2
Curvas de nı́vel
Definição 2.1.3. As curvas de nı́vel de uma função f de duas variáveis são as curvas no
plano xy com equações f (x, y) = k, onde k é uma constante na imagem de f .
A curva de nı́vel com equação f (x, y) = k é o conjunto de todos os ponto no domı́nio
de f correspondente para os pontos sobre a superfı́cie z = f (x, y) tendo a mesma altura k.
Quando desenhamos as curvas de nı́vel para diversos valores de k na imagem, obtemos uma
aplicação de contorno.
Exemplo 2.1.6. Esboce uma aplicação de contorno para a superfı́cie descrita por f (x, y) =
x2 + y 2 usando os nı́veis 0, 1, 4, 9 e 16.
2.2 Funções de três variáveis e superfı́cies de nı́vel
21
Exemplo 2.1.7. Esboce uma aplicação de contorno para o paraboloide hiperbólico definido
por f (x, y) = y 2 − x2 .
2.2
Funções de três variáveis e superfı́cies de nı́vel
Definição 2.2.1 (Função de três variáveis). Seja D = {(x, y, z)|x, y, z ∈ R} um subconjunto
do espaço xyz (R3 ). Uma função f de três variáveis é uma relação que associa a cada
tripla ordenada de números reais (x, y, z) ∈ D a um número real w. O conjunto D é chamado
de domı́nio de f e o conjunto dos valores correspondentes de z é chamado de imagem de
f , dito de outra forma,
Im(f ) = {w ∈ R|w = f (x, y, z), (x, y, z) ∈ D} .
As variáveis x, y e z são chamadas de variáveis independente e w de variável
dependente.
Exemplo 2.2.1. Encontre o domı́nio da função f definida por
f (x, y, z) =
√
x + y − z + xeyz
Definição 2.2.2. As curvas de nı́vel de uma função f de três variáveis são as superfı́cies
no espaço xyz com equações f (x, y, z) = k, onde k é uma constante na imagem de f .
2.2 Funções de três variáveis e superfı́cies de nı́vel
Exemplo 2.2.2. Encontre os superfı́cies de nı́vel da função f definida por
f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2
22
2.3 Limite e Continuidade
2.3
23
Limite e Continuidade
Definição 2.3.1. Seja f uma função de duas variáveis cujo domı́nio D contém pontos arbitrários próximos de (a, b). Então, dizemos que o limite de f (x, y) quanto (x, y) converge
para (a, b) é L e escrevemos
lim f (x, y) = L,
(x,y)→(a,b)
se para todo número ε > 0, existe uma número correspondente δ > 0 tal que
se (x, y) ∈ D e 0 <
q
(x − a)2 + (y − b)2 < δ, então |f (x, y) − L| < ε.
z
y
f
(x, y)
b
δ
(a, b)
a
L+ε
L
L−ε
x
Notação
q
⋆⋆
Podemos
escrever
(x − a)2 + (y − b)2 = k(x, y) − (a, b)k.
⋆
Exemplo 2.3.1. Se f (x, y) = k é uma função constante, então, para todo (a, b) em R2 ,
lim
(x,y)→(a,b)
f (x, y) = k.
2.3 Limite e Continuidade
Exemplo 2.3.2. Suponhamos que
24
lim
(x,y)→(a,b)
f (x, y) = L. Seja γ uma curva em R2 , contı́nua
em t0 , com γ(t0 ) = (a, b) e, para todo t 6= t0 , γ(t) 6= γ(t0 com γ(t) ∈ D. Prove que
lim f (γ(t)) = L.
t→t0
Nota
⋆⋆ O Exemplo acima nos garante que se existem duas curvas γ1 e γ2 nas mesmas hipóteses
⋆⋆
⋆⋆ e
⋆⋆
lim f (γ1(t)) = L1 e lim f (γ2(t)) = L2
⋆⋆
t→t0
t→t0
⋆⋆
⋆⋆
lim f (x, y) não existirá.
⋆⋆ com L1 6= L2 , então (x,y)→(a,b)
2.3 Limite e Continuidade
Exemplo 2.3.3. Se f (x, y) =
Exemplo 2.3.4. Se f (x, y) =
25
x2 − y 2
tem limite em (0, 0)? Justifique.
x2 + y 2
x2
Exemplo 2.3.5. Seja f (x, y) =
xy
tem limite em (0, 0)? Justifique.
+ y2
2xy 2
.
x2 + y 4
2.3 Limite e Continuidade
26
(a) Descreva as curvas de nı́vel.
(b) Considere a reta γ(t) = (at, bt), com a2 + b2 > 0; mostre que, quaisquer que sejam a e b,
lim f (γ(t)) = 0.
t→0
(c) Calcule lim f (δ(t)), onde δ(t) = (t2 , t).
t→0
(d)
lim
(x,y)→(0,0)
f (x, y) existe? Por quê?
2.4 Propriedades
2.4
27
Propriedades
1. (Teorema do confronto) Se f (x, y) ≤ g(x, y) ≤ h(x, y), para 0 < k(x, y) − (a, b)k < r e
se
lim
(x,y)→(a,b)
f (x, y) =
lim
(x,y)→(a,b)
h(x, y),
então,
lim
(x,y)→(a,b)
2. Se
lim
(x,y)→(a,b)
g(x, y) = L.
f (x, y) = 0 e se |g(x, y)| ≤ M, para 0 < k(x, y) − (a, b)k < r, onde r > 0 e
M > 0 são reais fixos, então
lim
(x,y)→(a,b)
3. Se
(a)
(b)
(c)
(d)
lim
(x,y)→(a,b)
f (x, y) = L1 e
lim
(x,y)→(a,b)
f (x, y)g(x, y) = 0.
g(x, y) = L2 , então
lim
[f (x, y) + g(x, y)] = L1 + L2 .
lim
kf (x, y) = kL1 .
lim
f (x, y)g(x, y) = L1 L2 .
(x,y)→(a,b)
(x,y)→(a,b)
(x,y)→(a,b)
f (x, y)
L1
, com L2 6= 0.
=
(x,y)→(a,b) g(x, y)
L2
lim
Exemplo 2.4.1. Calcule, caso exista,
x3
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
lim
2.4 Propriedades
28
Exemplo 2.4.2. Calcule, caso exista,
x2
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
lim
Definição 2.4.1. Seja f uma função de duas variáveis cujo domı́nio D contém pontos arbitrários próximos de (a, b). Então, dizemos que f é contı́nua em (a, b) se
lim
(x,y)→(a,b)
f (x, y) = f (a, b),
ou seja, se para todo número ε > 0, existe uma número correspondente δ > 0 tal que
se (x, y) ∈ D e 0 < k(x, y) − (a, b)k < δ, então |f (x, y) − f (a, b)| < ε.
Diremos que f é contı́nua em D, se f é contı́nua em todo(a, b) ∈ D.
x2 − y 2
se (x, y) 6= (0, 0)
é contı́nua em (0, 0)?
Exemplo 2.4.3. A função f (x, y) =
x2 + y 2


0
se (x, y) = (0, 0)
Justifique.



2.4 Propriedades
29
Exemplo 2.4.4. Determine onde a função é contı́nua
(a) f (x, y) =
xy(x2 − y 2 )
x2 + y 2
(b) f (x, y) =
1
y − x2
Teorema 2.4.1 (Continuidade de uma função composta). Se f é contı́nua em (a, b) e g é
contı́nua em f (a, b), então a função composta h = g ◦ f definido por h(x, y) = g(f (x, y)) é
contı́nua em (a, b).
Exemplo 2.4.5. Determine onde a função é contı́nua
(a) F (x, y) = sin(xy)
(b) G(x, y) =
1
2
cos(2x2 + y 2 )
1 + 2x2 + y 2
2.5 Continuidade sobre um conjunto
2.5
30
Continuidade sobre um conjunto
Definição 2.5.1. Definimos uma vizinhança Vδ sobre (a, b) como sendo o conjunto
Vδ = {(x, y)|k(x, y) − (a, b)k < δ} .
y
δ
b
(a, b)
a
x
Seja R uma região plana.
Definição 2.5.2. Um ponto (a, b) é um ponto interior de R, se existe uma vizinhança Vδ
sobre (a, b) que está inteiramente contida em R. Um ponto (a, b) é um ponto da fronteira
de R, se toda vizinhança Vδ sobre (a, b) contém pontos de R e também contém pontos que
não são de R.
y
Ponto Interior
Ponto da Fronteira
x
Definição 2.5.3. Uma região R é uma região aberta, se todo ponto de R é um ponto
interior de R. Uma região R é fechada, se R contém todos os pontos de sua fronteira.
Observação 2.5.1. Na definição de continuidade quando a região R é fechada, quando
olhamos para os pontos (a, b) na fronteira, devemos olhar para
lim
(x,y)→(a,b)
f (x, y) = f (a, b),
2.5 Continuidade sobre um conjunto
31
desde que (x, y) → (a, b) ao longo de caminhos que pertencem a R.
Observação 2.5.2. A definição de limite e continuidade pode ser estendida para funções de
três ou mais variáveis em paralela à definição para funções de duas variáveis.
Exemplo 2.5.1. Avalie
lim
(x,y,z)→( π2 ,0,1)
e2y (sin(x) + cos(y))
.
1 + y2 + z2
Exemplo 2.5.2. Determine onde f (x, y, z) = √
ln z
é contı́nua.
1 − − y2 − z2
x2