INTEGRAL DEFINIDA
Seja f uma função e F uma primitiva de f. A integral definida de f de a até b é o número real
b
∫a f(x)dx e calculado por F(b) - F(a).
representado por
b
∫a f(x)dx = [F(x)] a
b
= F(b) - F(a)
E1) Calcule:
1)
∫
3
0
x 2 dx
2)
∫
1
−1
4
(1 − x) dx
1. PROPRIEDADES BÁSICAS
a
a)
∫ a f(x)dx = 0
b)
∫ a f(x)dx = - ∫ b f(x)dx
c)
∫ a c.f(x)dx
d)
∫ a [f(x) ± g(x)]dx = ∫ a f(x)dx ± ∫ a g(x)dx
e)
∫ a f(x)dx = ∫ a f(x)dx + ∫ c f(x)dx , com a < c < b
f)
∫ a f(x)dx ≥ 0,
a
b
b
= c.
b
∫ a f(x)dx , sendo c uma constante
b
b
b
b
c
b
b
se f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a,b]
E2)Calcule:
1
1)
∫0 ( x
4)
∫1 ⎜⎜⎝
7)
∫1 (2x - 4)
10)
∫0
9⎛
4
t−
2
4
∫−1 (3x
5)
∫0 x
dx
8)
∫4 (2x - 6)
du
11)
∫1
1 ⎞
⎟dt
⎟
t⎠
5
1
6u + 1
0
2)
− 3x 3 + 1)dx
2 2
5
− 3x 2 + 2x − 1)dx
(x - 1)dx
2
2
4
dx
x2
( x 3 + 1) 2
∫2 (2 + 2u + 3u
6)
∫2
9)
dx
5
3)
1t
1
+1
t2
∫0 8x(x
2
2
dt
+ 1) 3 dx
)du
1
12)
∫0 (u
13)
∫−2 | x − 1 | dx
16)
3
+ u ) u 4 + 2u 2 + 1 du
3
∫
14)
| x |⎞
⎛
⎟dx
⎜x −
−1 ⎝
2 ⎠
1
17)
dx
2
∫0 x 2 − 6x + 9
5
∫−2
15)
| 2t − 4 | dt
18)
0
∫-1
3
∫1
dx
1- x
x4 − x3
dx
x
2. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL DEFINIDA
Seja f uma função continua em [a,b] com f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a,b].
Vamos calcular a área da região situada entre o gráfico de f e o eixo das abscissas de a até b.
y
f
f(x+ ∆x )
A1
f(x)
A2
A3
∆A
A
0
a
x
x + ∆x
b
x
A é a área da região hachurada, ∆A é o acréscimo que sofre a área A quando x recebe um acréscimo
∆x .
A3 ≤ ( A2 + A3 ) ≤ (A1 + A2 + A3 ) ⇔ f(x). ∆x ≤ ∆A ≤ f(x + x). ∆x ⇒ f(x) ≤
lim f(x) ≤ lim
∆x → 0
∆x → 0
∆A
≤ f(x + ∆x )
∆x
∆A
∆A
∆A
≤ lim f(x + ∆x ) ⇔ f(x) ≤ lim
≤ f(x ) ⇒ lim
= f(x) ⇔ A’ =
∆x → 0 ∆x
∆x → 0 ∆x
∆x
∆x → 0
f(x)
Então A é uma primitiva de f(x) , logo A = F(x) + k.
Para x = a, A = 0 e k = -F(a), logo A = F(x) - F(a)
Para calcular a área de a até b basta tomar x = b.
Para x = b, A = F(b) - F(a) =
∫
b
a
f(x)dx
Se f é uma função continua e não negativa em [a,b], o número
∫
b
a
f(x)dx representa a área da região
limitada pelo gráfico de f, pelo eixo Ox e pelas retas verticais x = a e x = b.
y
f
R
0
a
b
AR =
∫
b
a
x
f(x)dx
3. ÁREA ENTRE DUAS CURVAS
Sejam f e g funções continuas em [a,b] , com f(x) ≥ g(x) , ∀x ∈ [a,b]. Se R é a região limitada pelos
gráficos de f, g, x=a e x=b então AR =
∫
b
a
[f(x) - g(x)]dx
y
f
R
g
0
a
b
x
E3)Calcule a área da região limitada por:
1) y=-x2 + 4 e y=0
2) y=x2 – 4, y=0, x=-1 e x=2
3) y=x, y=0, x=-2 e x=1
4) y=x2 – 1 e y=3
5) y=x2 + 1, y=2x - 2, x=-1 e x=2
6) y=x3, y=-x + 2 e y=0
7) y= x e y=x2
8) y=x e y=x3
4. RESPOSTAS
E1) 1) 9
E2) 1)
10)
4
3
E3) 1)
2)
9
20
11)
32
3
2) −
7
54
7
2
32
5
3) 144
12)
2) 9
7
6
40
3
13
13)
2
4)
3)
5
2
4
3
2
14)
3
5)
4)
32
3
6) −
1
− ln 2
2
15) 2 2 − 2
5) 9
7) −
16) −
6)
3
4
1
2
16
3
32
9) 15
5
34
17) 25
18)
3
8) −
7)
1
3
8)
1
2