1. Mostre, usando a definição de limite, que
(a) lim (5x − 7) = 3
(b) lim
x→2
x→3
2. Mostre, usando a definição de limite, que
1
1
(b) lim+ exp = +∞
(a) lim− exp = 0
x
x
x→0
x→0
x
5
+1 =
2
2
(c) lim
x→2
|x − 4| + x
= +∞
(x − 2)2
3. Seja f : D → R, A ⊂ D e a um ponto de acumulação de A. Mostre que se
lim = b então o limite quando x tende para a da restrição de f a A existe e
x→a
é igual a b.
4. Mostre que, se lim f (x) = b então b é aderente ao contradomı́nio de f .
x→a
5. Mostre que a função de Dirichlet
d(x) =
®
1 x∈Q
0 x∈
/Q
não tem limite em nenhum ponto a ∈ R.
6. Seja f : ] − 1, 1[ → R uma função contı́nua tal que
lim f (x) = −∞
x→−1+
e
lim f (x) = +∞
x→1−
Mostre que existe um x ∈ ] − 1, 1[ tal que f (x) = x (chamamos a x um ponto
fixo de f ).
7. Seja f : [ 0, +∞[ → R uma função contı́nua e suponha que existe b > 0 tal que
f (0) > f (x) para todo o x > b. Prove que f tem máximo em [0, +∞[.
8. Seja f : ]−1, 1[ → R uma função contı́nua tal que
lim f (x) = −∞ = lim− f (x) .
x→−1+
x→1
Prove que f tem máximo no intervalo ]−1, 1[.
9. Recorde que a oscilação duma função f num intervalo I é dada por
osc(f ) = sup f (x) − inf f (x)
I
x∈I
x∈I
sendo a oscilação infinita se o supremo ou o infimo forem infinitos. Assumindo
que a ∈
/ Df ,
(a) Mostre que se J ⊂ I então oscJ (f ) ≤ oscI (f ).
(b) Mostre que lim f (x) existe sse
x→a
inf osc (f ) = 0
ε>0 Vε (a)
(c) Mostre que lim f (x) = b sse
x→a
Ç
inf
ε>0
sup |f (x) − b|
x∈Vε (a)
å
=0