Semana 7: Derivadas, monotonia e concavidade
1 e 2. A tabela seguinte representa alguns dos valores
diferenciável:
x
1 3 5 7
f (x) 1 2 3 5
f ′ (x) 9 7 2 3
Usando os valores nesta tabela
1. Calcule a derivada de f (x2 ) em x = 3.
duma função f : R → R injectiva e
9
7
5
11
11
11
2. Calcule a derivada de f −1 (x) em x = 5.
3. Calcule a derivada de f ◦ f (x) em x = 5.
4 e 5. Calcule as derivadas das seguintes funções:
1
+ 5x
5. (ln x)cos x
4. √
3
x2
6 e 7. Considere a função
(
ecx + 2 sen4 x − 1 x ≥ 0
f (x) =
ln(1 + x2 ) + 3x
x<0
6. Calcule f ′ (x) para x 6= 0;
7. Mostre que f é contı́nua e calcule o valor da constante c de modo a f ser
diferenciável na origem. Qual o valor de f ′ (0)?
8. Sabendo que f ′ (x) = cos(x2 ) calcule a derivada de 3f (cos x)
9. Esboce o gráfico duma função contı́nua f : R → R, diferenciável para x 6= ±2 cujos
sinais das derivadas são
x < −2 −2 < x < 0 0 < x < 1 1 < x < 2 x > 2
f ′ (x)
−
+
+
−
+
f ′′ (x)
−
+
−
−
−
f pode ser diferenciável em x = ±2?
10. A figura seguinte mostra os gráficos de duas funções.
(a) Indique em cada gráfico os pontos crı́ticos, extremos locais e os pontos de
inflexão.
(b) Sabendo que se trata de polinómios, qual o grau mı́nimo de cada polinómio?
11 a 13. Considere a função
8
f (x) = x4 − x3 + 2x2 − 1
3
11. Determine os intervalos de monotonia de f .
12. Estude a concavidade de f e esboce o gráfico de f .
13. Mostre que x5 + 5x + 5 = 0 tem exactamente uma solução.
1
2
14. A figura seguinte representa o gráfico da função f (x) =
superior duma circunferência de raio um:
√
1 − x2 , que é a metade
(a) Verifique se f está nas condições do teorema de Lagrange.
(b) Usando apenas geometria, encontre um c ∈ ]0, 1[ tal que f ′ (c) =
f (1)−f (0)
.
1−0
15. Mostre que entre dois pontos crı́ticos de f existe pelo menos um ponto de inflexão
de f .
16. Esboce o gráfico duma função contı́nua f : [ 0, 1 ] → R tal que f (0) = 0, f (1) = 1
e f ′ (x) 6= 1 para todo o x. Explique porque é que isto não contradiz o teorema de
Lagrange.