LISTA DE EXERCÍCIOS 3 – F. CÁLCULO
c) O crédito pessoal numa instituição chamada Crefisa,
tem taxa de juros mensal de 19,51%, em quantos meses
uma dı́vida contraı́da nessa instituição dobra de valor
caso não seja paga?
1) A média de inflação anual no Brasil nesses 20 anos de plano
real é de cerca de 7% (gráfico abaixo). Se essa taxa for
considerada constante (aproximação) então o crescimento
5) O CDB é um fundo de investimento que rede cerca de 8.5%
dos preços será exponencial.
ao ano. Esse valor é obtido a partir do rendimento mensal
em juros compostos.
a) Qual a taxa mensal de rendimento para se obter os
8,5% ao final de um ano?
b) O trabalhador brasileiro registrado formalmente tem
direito ao décimo terceiro salário. Se o empregador
dispõem do dinheiro para o pagamento desse salário
desde o segundo mês do ano, e o investe num fundo
CDB, qual o rendimento produzido pelo valor depositado desde o segundo mês até o décimo segundo mês
quando será pago?
Gráfico: HC Investimentos. http://goo.gl/23HcXe
Considere uma mercadoria com o preço em 1994 de 1
real, reajustada anualmente de acordo com essa inflação
média. Expresse o preço desta mercadoria ao longo dos
anos através de uma função. Qual seria o valor em 2015?
2) Em 1995 a tarifa do ônibus na cidade de São Paulo era de
R$0,65. Hoje, em 2015, a tarifa é R$3,50.
a) Calcule o preço da tarifa hoje caso o reajuste se desse
apenas em termos da correção sobre a inflação de 7%
ao ano.
b) Se o reajuste da passagem tivesse sido dado à uma taxa
constante, qual seria o valor dessa taxa de reajuste para
se obter o valor atual 20 anos depois?
c) Admitindo a taxa de reajuste anual calculada no item
b, quando a passagem vai chegar à R$ 5,00?
3) O salário mı́nimo em 1994 era de R$70, hoje, 20 anos
depois, ele vale R$724.
a) Calcule qual seria o salário caso ele fosse reajustado a
10% ao ano (para cobrir a inflação média do perı́odo e
garantir o aumento real de 3%).
b) Se o reajuste do salário tivesse sido dado à uma mesma
taxa anual, qual deveria ser essa taxa para obter o valor
atual?
c) O Dieese calcula que o salário “mı́nimo necessário” em
março de 2014 é de cerca de R$2.990. Admitindo a
taxa de crescimento do item anterior em quantos anos o
salário mı́nimo chegará ao valor atualmente concebido
pelo órgão como ideal.
4) A taxa mensal de rendimento da poupança em média pode
ser estimada em 0,5% ao mês.
6) Se por um aperfeiçoamento em um dos processos produtivos de uma pequena empresa passa a realizar uma economia mensal de R$ 5.000 e esse dinheiro é investido mesalmente num fundo de rendimento de 0.5% ao mês. Qual
a quantia acumulada em 1 ano? (sugestão: faça com uma
tabela e calculadora)
7) Em 1970 a população brasileira era de cerca de 90 milhões
de brasileiros (número imortalizado na canção “Pra frente
Brasil” da copa de 70). Em 2010 a população era de cerca
de 200 milhões.
a) Obtenha a função no tipo P = beat que descreva aproximadamente a população brasileira, milhões de habitantes. Adote 1970 como t = 0.
b) Calcule a população brasileira aproximada pela sua
função em 1920.
c) Em que ano chegaremos a 250 milhões de brasileiros de
acordo com a sua função?
d) Considerando uma taxa de crescimento de ”1 filho a
cada 25 anos a cada 5 pessoas”, terı́amos o fator de
crescimento 1.008t , mude para a base natural e e compare com a expressão calculada por você anteriormente.
8) Em uma certa cidade com uma população, 20% dos moradores souberam de uma notı́cia a respeito de um escândalo
polı́tico no dia em que ele foi divulgado. Considere que
50% da população sabia do fato após 5 dias.
a) Utilize a função abaixo (t: tempo em dias, f: número
de pessoas que sabem do escândalo) para modelar a
propagação da informação.
f (t) =
c
1 + be−at
b) Calcule quantos dias até que 75% das pessoas saibam
do escândalo.
c) Faça um gráfico da função modelada.
a) Qual seria o valor atual disponı́vel pra 100 reais deposi- 9) O crescimento populacional natural é particularmente detado em 1994, rendendo juros durante todo o perı́odo?
safiador à gestão de recursos e serviços de uma cidade.
b) A taxa de juros mensal de um empréstimo na Caixa
A inexistência de fatores limitantes (escassez de recursos)
leva à lei de Malthus. Fatores limitantes de recursos fazem
Econômica Federal, crédito pessoal não consignado,
com que seja possı́vel a saturação (se não houver por exematualmente está em 3,36%. Caso um empréstimo de
100 reais tivesse sido realizado em 1994, qual seria o
plo êxodo, pestes, ou predação que levem à diminuição da
população). Abaixo vemos o gráfico da evolução da povalor da dı́vida caso essa taxa fosse mantida constante
pulação da grande São Paulo.
durante o perı́odo?
das circunstâncias de sua morte) tem idade estimada
em 5300 anos. Qual a proporção de carbono-14 foi
encontrada nesta peça em relação à proporção natural
do carbono nos seres vivos?
b) Nos combustı́veis fósseis é encontrado em média 1% do
carbono-14 do que aquele encontrado nos organismos
vivos, calcule a idade da matéria orgânica morta que
compõe o petróleo.
Fonte: wikipedia/dados: IBGE http://goo.gl/iAg6SO
A população da cidade representada no gráfico pode ser
modelada por uma exponencial que evolui para uma saturação como no exercı́cio anterior. A partir do gráfico
acima determine essa função aproximadamente e faça o
seu gráfico.
10) Para o exercı́cio anterior 9, calcule a taxa de crescimento
(derivada) da população no ano de 2015. Compare com o
resultado do exercı́cio 7.
11) A lei de Moore (Gordon Moore, engenheiro elétrico e executivo fundador da Intel e proponente da lei em 1965) diz
”O número de transistores em um circuito integrado dobra
a cada 2 anos”. O gráfico abaixo, em escala logaritmica,
mostra essa tendência histórica.
13) No acidente de Goiânia, em setembro de 1987, com 4
vı́timas diretas segundo dados oficiais, 104 segundo dados
da Associação de Vı́timas. O material radioativo dentro
da cápsula totalizava 0,093kg e a sua radioatividade era,
à época do acidente, de 50,9TBq (TBq: tera-becquerels,
tera quer dizer 1012 , Bq: becquerel é unidade que contabiliza quantidade de radiatividade emitida por um material,
a radiatividade natural do ambiente é da ordem de 5000
Bq)
a) Qual o tempo necessário para que todo o material da
capsula volte aos nı́veis normais de radiação se sua meia
vida é de 30 anos?
b) A cidade de goiânia tem 789 km2 , se o material fosse
espalhado uniformemente por toda cidade, qual seria a
quantidade de radiação a mais por m2 ? Quantos anos
seriam necessários para que a cidade voltasse ao nı́vel
normal de 5000Bq?
14) Calcule as derivadas
dy
dx
a) y = e2x ; b) y = ln(2x); c) y = 23x ;
15) As funções podem ser representada pela expansão (de
Taylor-Mclaurin):
f 000 (0)x3
f 00 (0)x2
+
+ ...
2!
3!
df d2 f 0
00
onde f (0) =
, f (0) =
, etc...
dx x=0
dx2 x=0
f (x) = f (0) + f 0 (0)x +
a) Mostre que:
ex = 1 + x +
x2
x3
x4
+
+
+ ...
2
6
4!
dex
= ex
dx
c) Calcule o valor numérico de e (constante de Euler)
usando 5 termos da expansão. Qual o erro percentual
em relação ao valor exato?
b) Verifique que
Fonte: http://en.wikipedia.org/wiki/Moore%27s_law
A Lei de Moore entretanto não vai continuar indefinida16) Obtenha a função inversa e faça o gráfico para x > 0 e
mente, na medida em que os limites de miniaturização
y≥1
(que chega à escala atômica) estão próximos.
1
a) y = 2x,
d) y =
a) Escreva a expressão que representa a lei: ”Dobrar a
1+x
x
b) y = 2
cada 2 anos”.
1
bx
e) y =
b) A curva y = A2 em escala log y é uma reta, cujos
c) y = x2
1 + ex
coeficientes são:
17) Verifique com uma calculadora (escolha os valores de A e
log y = log A + (b log 2)x
B).
. Para o gráfico acima descubra o valor do coeficiente
a) AlogB A = A
b e compare com a lei original de Moore.
b) log(AB) = log A + log B
12) A meia vida do carbono-14, isótopo radiativo do carbono,
c) log(A/B) = log A − log B
(tempo para a quantidade reduzir pela metade) é de 5730
d) log(AB ) = B log A
anos.
logC A
e) logB A =
a) A múmia humana mais antiga, o Ötzi, (mumificada e
logC B
preservada por conta da baixa temperatura do lugar e