Fı́sica Moderna II: Lista I
Deadline: 12/05/2014
2014/1 - Gabriel Luchini ;
Problema 1
Considere a equação de Schrödinger independente do tempo para a partı́cula livre:
∇2 + k 2 ψ(x) = 0
2 2
k
.
sendo E = ~2m
Mostre que uma onda plana ψ = eikz é solução, bem como uma onda esférica ψ =
eikr
r .
Problema 2
Considere o problema de dupla fenda. Suponha que as ondas emergentes são esféricas e a superposição dessas
ondas na tela, a uma distância L das fendas é dada por
ψ(x) =
eikr−
eikr+
+
,
r+
r−
sendo r± as distâncias entre cada fenda e o ponto x. a) Considerando somente os fatores exponenciais mostre
que interferência construtiva aparece aproximadamente em
y
λ
=n ,
r
d
p
com n inteiro e r = x2 + y 2 + L2 .
b) Faça um gráfico da intensidade |ψ(0, y)|2 como função de y escolhendo k = 1, d = 20 e L = 1000. Use
a função “Plot” do Mathematica. c) Faça um gráfico do contorno da intensidade |ψ(x, y)|2 como função de x
e y, para os mesmos parâmetros, usando a função “CountourPlot”. d) Se você decide fechar uma das fendas
de cada vez a função de onda colapsa em ψ+ se o elétron passa por y = +d/2 e ψ− , se passa por y = −d/2.
Repetindo a medida muitas vezes, a probabilidade de encontrarmos o elétron em um dado ponto na tela fica
|ψ+ (x, y)|2 + |ψ− (x, y)|2 .
Faça um gráfico dessa função no eixo y e mostre que o contorno, para comparar com o caso em que ambas
as fendas estão abertas.
1
Fı́sica Moderna II : Lista I
Problema 2
Problema 3
Mostre que luz da forma
2
x − (x−ct)
Ey = E0 sin 2πν t −
e 2σ2
c
é solução da equação de Maxwell unidimensional. Faça um esboço do gráfico. Calcule a “incerteza” na
posição. Usando análise de Fourier determine a frequência da luz e sua dispersão ∆ν. Calcule o produto
∆x∆ν. Quão pequeno ele pode ser?
Problema 4
O pacote de onda Gaussiano é dado por
2
hx|ψi = N eipx/~ e−(x−x0 )
/4d2
.
a) Calcule a constante de normalização. b) Mostre que hx̂i = x0 . c) Calcule ∆x̂. d) Calcule a função de
onda no espaço do momento hp|ψi. e) Mostre que hp̂i = p. f ) Calcule ∆p̂ e mostre que essa função de onda
está no mı́nimo de incerteza ∆x∆p = ~2 .
Problema 5
O operador U (a) = eipa/~ é o operador de translação espacial em uma dimensão. Para entender isso
precisamos provar a seguinte identidade:
eA Be−A = B + [A, B] +
1
1
[A, [A, B]] + [A, [A, [A, B]]] + . . .
2!
3!
d
Considere B(t) = etA Be−tA aonde t é real. Mostre que dt
B(t) = etA [A, B]e−tA . Usando que B(0) = B e
R1 d
P∞ n
portanto B(1) = B + 0 dt dt B(t), tomando a série B(t) = n=0 t Bn mostre que Bn = n1 [A, Bn−1 ]. Mostre
por indução que
1
Bn = [A, [A, . . . [A, B] . . . ]].
n!
Usando B(1) = eA Be−A prove finalmente a identidade. Mostre então que U (a)xU † (a) = x + a.
Problema 6
Os estados {|1i, |2i} formal um conjunto completo de estados ortogonais. Com respeito a essa base o operador
σy é representado pela matriz
0 −i
σy =
.
i 0
É possı́vel que σ seja um observável? Quais são os autovalores e autovetores nessa base? Determine o
resultado da operação de σy em
1
|ψi = √ (|1i − |2i) .
2
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