LE 7.18. Estude quanto à continuidade a função

2

x
f (x, y) = |x|

 2
y
definida por
se x2 + y 2 < 2y,
se x2 + y 2 = 2y,
se x2 + y 2 > 2y.
Resolução: Como
x2 + y 2 = 2y ⇐⇒ x2 + y 2 − 2y = 0 ⇐⇒ x2 + (y − 1)2 = 1
a equação x2 + y 2 = 2y define uma circunferência de raio 1 centrada no ponto (0, 1). Na região
delimitada pela circumferência, f coincide com a função polinomial (x, y) → x2 e portanto é contı́nua.
Analogamente, f é contı́nua nos pontos (x, y) tais que x2 + y 2 > 2y, uma vez que coincide com a função
polinomial (x, y) → y 2 .
Note-se que no argumento anterior foi importante o facto de os conjuntos
D1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 > 2y} e D2 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < 2y}
serem abertos. É por esta razão que a continuidade de f é equivalente à continuidade de f|Di . Tal não
é verdade para os pontos da circumferência
S = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 2y}.
Aı́ temos que f|S é uma função contı́nua (é a composta da função t 7→ |t| com a função polinomial
(x, y) 7→ x) mas veremos em seguida que f não é contı́nua em todos os pontos de S.
Para que f seja contı́nua em (x0 , y0 ) ∈ S é necessário (e suficiente) que para toda a sucessão
(xn , yn ) ∈ R2 convergente para (x0 , y0 ) tenhamos
lim f (xn , yn ) = f (x0 , y0 ) = |x0 |.
Se escolhermos a sucessão (xn , yn ) → (x0 , y0 ) de tal forma que (xn , yn ) ∈ D1 (podemos por exemplo
tomar (xn , yn ) = (1 + n1 )(x0 , y0 )), temos
f (xn , yn ) = yn2 → y02
e se tomarmos (xn , yn ) ∈ D2 temos
f (xn , yn ) = x2n → x20 ,
logo conclui-se que para que f seja contı́nua em (x0 , y0 ) ∈ S é necessário que se verifiquem as condições
x20 = |x0 | = y02 .
A primeira igualdade implica
|x0 |2 = |x0 | ⇐⇒ |x0 |(|x0 | − 1) = 0 ⇐⇒ |x0 | = 0 ou |x0 | = 1.
Os únicos pontos de S que satisfazem esta condição são
(0, 0),
(0, 2),
(1, 1)
e
(−1, 1).
Destes, todos verificam a condição adicional |x0 | = y02 excepto o segundo.
Vemos assim que f não é contı́nua nos pontos
1
{(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 2y, y 6= 0, y 6= 1},
e resta analisar o que sucede nos pontos (0, 0), (−1, 1) e (1, 1).
Intuitivamente, a função é contı́nua nestes pontos, uma vez que à medida que (x, y) se aproxima de
um deles, o valor da função f aproxima-se do valor da função no ponto, quer esta aproximação seja
1O argumento deste parágrafo pode ser feito (de forma inteiramente análoga) recorrendo ao conceito de limite da
função num ponto relativo a um conjunto. Em verdade o que fizemos acima foi calcular os limites de f relativos aos
conjuntos D1 e D2 .
2
por valores no interior da circumferência, exterior, ou na própria circumferência. Para demonstrar que
a função é de facto contı́nua podemos prosseguir de duas maneiras:
(1) Pela definição de continuidade: Ilustramos com o ponto (1, 1), ficando a verificação para os
outros pontos como exercı́cio. Temos a mostrar que
∀>0 ∃δ>0 ||(x, y) − (1, 1)|| < δ ⇒ |f (x, y) − 1| < .
Ora temos


||x| − 1| se (x, y) ∈ S,
|f (x, y) − 1| = |x2 − 1| se (x, y) ∈ D2 ,

 2
|y − 1| se (x, y) ∈ D1 .
Desde que δ < 1 temos 2 > x > 0, 2 > y > 0 e então
p
p
||x| − 1| = |x − 1| = (x − 1)2 ≤ (x − 1)2 + (y − 1)2 = ||(x − 1, y − 1)||,
|x2 − 1| = |x − 1||x + 1| ≤ |x − 1|3 ≤ 3||(x − 1, y − 1)||,
|y 2 − 1| = |y − 1||y + 1| ≤ |y − 1|3 ≤ 3||(x − 1, y − 1)||.
Isto mostra que se tomarmos
δ = min{1, }
3
a condição na definição de continuidade é satisfeita.
(2) Usando a noção de limite: Observámos acima que nos pontos (x0 , y0 ) = (0, 0), (−1, 1) e (1, 1)
os limites de f relativos aos conjuntos D1 e D2 coincidem com o valor |x0 | da função. Isto
é ainda verdade se considerarmos o conjunto S uma vez que a restrição f|S é uma função
contı́nua.
A continuidade de f nestes pontos resulta então do seguinte resultado que enunciamos de
forma mais geral: Seja f : D → R uma função e a ∈ D um ponto aderente ao domı́nio D.
Suponhamos que existem conjuntos D1 , D2 , . . . Dk ⊂ D tais que a ∈ Di e
D = D1 ∪ . . . ∪ Dk .
Se os limites relativos
lim
Di 3x→a
f (x)
existem e coincidem, então existe o limite
lim f (x).
x→a
De facto, sendo L o limite comum, dado > 0 podemos por hipótese, escolher δi > 0
i = 1, . . . , k tais que
||x − a|| < δi e x ∈ Di ⇒ |f (x, y) − L| < e entâo, tomando δ = min{δ1 , . . . , δk } temos (atendendo a que D = D1 ∪ . . . ∪ Dk ),
||x − a|| < δ e x ∈ D ⇒ |f (x, y) − L| < o que conclui a demonstração. Note-se que a condição de a partição de D nos conjuntos Di ser
finita é essencial neste argumento.
O argumento anterior podia também ter-se realizado usando a definição de continuidade em
termos de sucessões: Dada uma sucessão (xn , yn ) convergindo para (x0 , y0 ) podemos ”separála” em (no máximo) três subsucessões correspondentes aos termos que pertencem a S, D1 e
D2 . Os limites dos valores de f nestas (no máximo) três subsucessões coincidem e então um
argumento análogo ao usado acima garante que f (xn , yn ) converge para o mesmo limite. Como
(xn , yn ) é uma sucessão arbitrária conclui-se que f é contı́nua no ponto em questão.
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Conclui-se que a função f é contı́nua precisamente no conjunto
{(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 6= 2y} ∪ {(0, 0), (−1.1), (1, 1)}