Teoremas de ponto fixo e algumas
consequências dinâmicas
Rafael S. O. de Holanda
O poster engloba um projeto de iniciação cientı́fica intitulado “Dinâmicas
unidimensionais: tópicos iniciais”, orientado pelo professor Dr. Marcus Augusto Bronzi, do IM-UFAL. O trabalho está sendo desenvolvido desde maio
de 2013 e recebe apoio de um projeto desenvolvido na Universidade Federal
de Alagoas, PAINTER – Programa de Ações Interdisciplinares, coordenado
pelo professor Dr. Marcos Petrúcio de Almeida Cavalcante (IM-UFAL).
Neste trabalho foram estudados métodos que garantem a existência de
pontos fixos para funções, sobre intervalos da reta, usando alguns teoremas
que regem o cálculo e a análise real. Essa exibição de poster tratará de
algumas ideias de como garantir a existência e também de como se obter
um ponto fixo usando conceitos de funções contı́nuas, funções deriváveis e
contrações.
Definições e Teoremas
Pontos fixos para funções são pontos x que satisfazem f (x) = x. Esses
pontos farão um papel importante na teoria de sistemas dinâmicos. A seguinte
aplicação fácil do Teorema do Valor Intermediário dá um importante critério
para a existência do ponto fixo.
Proposição 1 Seja I = [a, b] um intervalo e seja f : I → I uma função
contı́nua. Então f tem pelo menos um ponto fixo em I.
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Com o uso do Teorema do Valor Médio podemos obter o seguinte resultado.
Proposição 2 Seja f : I = [a, b] → R e assuma que |f 0 (x)| < 1 para todo x
em I. Então existe um único ponto fixo de f em I.
Uma função f : A → R, onde A ⊂ R, é uma contração se existe 0 ≤ k < 1
tal que |f (x) − f (y)| ≤ k|x − y|, para todo x, y ∈ A. Nesse caso chamamos f
de uma k−contração.
A seguinte proposição é conhecida como o Teorema do Ponto Fixo de
Banach ou Método das Aproximações Sucessivas.
Teorema 1 Seja f : I = [a, b] → R uma k−contração. Então existe um
único ponto fixo para f em I. Mais ainda, para cada ponto x0 ∈ I, a
sequência de pontos xn = f n (x0 ) é convergente e converge para o único ponto
fixo de f em I.
Corolário 1 O teorema acima ainda é válido se no lugar de f assumirmos
que f p é uma contração, para algum p ∈ N.
Para demonstrar o teorema e o corolário acima, faremos uso de conceitos
e resultados de sequências e séries de números reais.
Além disso, trataremos a importância de cada hipótese nos resultados
sobre pontos fixos acima exibindo alguns (contra-)exemplos. Faremos uma
breve discussão sobre o comportamento dinâmico em torno destes pontos
fixos.
Referências
[1] DEVANEY, R. L., Introduction to Chaotic Dynamical Systems.Boulder, CO : Westview Press, 1989.
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[2] FIGUEIREDO, D. G., Análise 1, 2ed, Rio de Janeiro, LTC,
1996.
[3] GUIDORIZZI, H. L., Um curso de Cálculo, Vol 1, 5ed, Rio de
Janeiro, LTC, 2001.
[4] LIMA, E. L., Análise Real, Vol. 1, Rio de Janeiro, IMPA.
Coleção Matemática Universitária, 1999.
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