Cálculo a uma Variável
Sinésio Pesco, Helio Lopes, Marcelo Dreux, Thomas Lewiner, George Svetlichny
CAP 7 - Derivada
Derivada de uma função
Para obter a derivada de uma função, utilizamos o operador D, como ilustrado abaixo:
> restart;
f := x -> x^3-3*x^2-2;
D(f)(x);
Podemos definir a função derivada:
> df := x -> D(f)(x);
> df(1);
> plot( { f(x), df(x) }, x = -2..4, y = -6..2);
As regras de derivação podem ser verificadas diretamente pelo maple:
> restart;
D(f+g)(x);
> D(f*g)(x);
> simplify( D( f / g )(x) );
Podemos inserir funções definidas por várias sentenças:
> f := x -> piecewise( x <= 0, -x, x > 0 , x);
> plot( { f(x), D(f)(x) }, x = -4..4);
Derivada de uma função e Teorema da Função Inversa
Em alguns casos, é possível obter a expressão da inversa utilizando o comando solve do
maple:
> restart;
g := x-> sqrt(x-3);
> solve(g(y)=x,y);
> f := x -> x^2 + 3;
Podemos comparar o gráfico de uma função com sua inversa, visualizando a simetria com
relação a reta y = x, como ilustrado abaixo:
> plot({f(x),g(x),x},x=0..7,y=0..7,thickness=2);
Exercícios Resolvidos
Exercício 1: Determine a derivada de f( x ) =
Solução:
8 x5 − 9 x − 5
x3 − 8 x
.
> f := x -> (8*x^5-9*x-5)/(x^3-8*x+5);
> D(f)(x);
> simplify(D(f)(x));
Exercício 2: Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f( x ) = x3 − 5 x + 1 no
ponto x = 2
Solução:
> f := x -> x^3-5*x-8;
> df := x -> D(f)(x);
> r := x-> df(2)*(x-2) + f(2);
> plot({f(x),r(x)},x=-3..3);
Exercício 3: Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f( x ) = x3 + x − 4 no
ponto x = 1. Determine a equação da reta tangente ao gráfico da f
Solução:
> f := x -> x^3+x-4;
> deriv_f := x -> D(f)(x);
> r := x-> deriv_f(1)*(x-1) + f(1):
> plot({f(x),r(x)},x=-5..5,y=-5..5);
> s:= x->(1/deriv_f(1))*(x+2) + 1;
> plot({f(x),r(x),s(x),x},x=-5..5,y=-5..5,thickness=2);
( −1 )
no ponto x = −2.
Exercícios Propostos
Exercício 1: Determine a equação da reta tangente ao gráfico de g( x ) = x3 + x2 + 1 em
x = 1. Determine as interseções dessa reta com o gráfico da g.
Exercício 2: Dizemos que o gráfico de uma função f é tangente ao gráfico da g num
ponto se f e g possuem a mesma reta tangente nesse ponto. Os gráficos de
f( x ) = x3 + x2 − 5 x + 5 e g( x ) = x2 − 2 x + 3 tem pontos de tangência ?
Exercício 3: Considere f a função definida por:

x2
se x ≤ 1
f ( x) =  2
− x + 4 x − 2 se x > 1
Verifique se f é derivável e determine f '. Utilize o maple para visualizar o gráfico da f e
da derivada.
Exercício 4: Considere f a função definida por:
 x2 − x + a
se x < 1

1
f ( x) = 
se x = 1
2
− x + bx + c se x > 1

Determine valores para a,b e c de tal forma que f seja derivável em x = 1. Utilize o
maple para verificar sua resposta.