UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA
CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS
CURSO DE MATEMÁTICA
PET MATEMÁTICA
MINICURSOS PET MATEMÁTICA
NOÇÕES BÁSICAS DE CÁLCULO COM O SOFTWARE MAXIMA
Alessandra Kreutz
Bruna Silveira Pavlack
Gláucia Lenita Dierings
Matheus Marchi
Orientadores: Profª. Drª Sandra Eliza Vielmo
Prof. Dr. Antonio Carlos Lyrio Bidel
Santa Maria, RS, Brasil
2012
SUMÁRIO
1.
Introdução ....................................................................................... 3
2.
Primeiros comandos ......................................................................... 4
2.1- Números.......................................................................................................... 4
2.2- Algumas funções ............................................................................................. 5
2.3- Definindo variáveis e resolvendo equações .................................................... 6
3.
Gráficos de funções em duas dimensões ........................................... 8
3.1- Funções Explícitas ........................................................................................... 8
3.2- Funções Implícitas ......................................................................................... 12
3.3- Funções Paramétricas .................................................................................... 14
3.4- Outras opções de plotagem para gráficos ..................................................... 16
4.
Gráficos de funções em três dimensões ........................................... 20
5.
Limites ........................................................................................... 22
6.
Derivadas ....................................................................................... 29
6.1- Gráfico das funções e suas derivadas ............................................................ 30
6.2- Interpretação geométrica da derivada .......................................................... 31
6.3- Máximos e mínimos ...................................................................................... 33
7.
Integrais ......................................................................................... 36
7.1- Integral indefinida ou definida ...................................................................... 36
7.2- Calculando áreas com integrais definidas ..................................................... 36
7.3- Área de uma região delimitada por duas funções ........................................ 37
8.
Referências Bibliográficas ................................................................ 39
1. Introdução
O Maxima é um software livre disponível para a realização de cálculos
matemáticos através da manipulação de expressões simbólicas e numéricas. Estas
incluem diferenciação, integração, equações diferenciais ordinárias, sistemas de
equações lineares, vetores, matrizes, entre outros. Além disso, produz resultados de
precisão elevada e pode traçar gráficos de funções em duas e três dimensões.
Para fazer o download da versão do programa que será utilizado nesse
minicurso basta acessar o link http://andrejv.github.com/wxmaxima/.
Este minicurso abordará diversos tipos de funções com o auxílio do software
Maxima, explorando tanto a representação gráfica quanto o cálculo diferencial e
integral.
2. Primeiros comandos
Neste capítulo serão abordados os comandos básicos para a utilização do
software Maxima. Primeiramente, através da opção na barra de ferramentas Editar –
Configurações, personalize o Maxima da seguinte maneira:

Marque a opção Enter calcula células. Desta forma, quando você
clicar Enter, o software irá calcular o comando inserido na célula. Para mudar de
linha sem calcular, deve-se clicar Shift+Enter.
2.1- Números
No Maxima é possível realizar operações aritméticas de maneira simples,
usando os comandos de adição (+), subtração (-), multiplicação (*), divisão (/) e
potenciação (^). Os comandos devem sempre terminar com ponto-e-vírgula (;),
seguidos de Enter para o programa mostrar os resultados.
Observação: Você pode clicar Enter com o cursor em qualquer posição da
linha. Caso você esqueça de colocar o ponto-e-vírgula (;), o Maxima fará isso para
você.
Além desses operadores, existem os operadores relacionais (<, >, <=, >=)
e o operador de definição de função (:=).
Exercício 1: Digitar expressões simples e observar os resultados.
Na divisão de inteiros m e n, o Maxima apenas simplifica a fração. Para obter
o resultado na forma decimal usa-se o comando float (m/n);, ou escreve-se m/n
seguido de vírgula e o comando numer. Quando um dos números da fração é real,
o Maxima dará a resposta diretamente na forma decimal.
Exercício 2: Obter o valor numérico de:
a)
b)
c)
No Maxima, as constantes devem ser escritas usando o símbolo %. Por
exemplo, o número π deve ser escrito %pi, o número de Euler como %e e a
constante imaginária i como %i. Assim como no comando, na resposta também
aparecerá %constante para indicar a constante. Caso você não deseja que apareça o
símbolo % na resposta, você pode desmarcar a opção Manter símbolo de percentual
com símbolos especiais na aba Editar – Configurações.
O símbolo %, quando digitado sozinho, refere-se ao último resultado
apresentado. Você ainda pode acessar a saída de comandos anteriores usando a
variável %on onde n é o número da saída.
Para fazer operações envolvendo números complexos utiliza-se também a
constante %i, além de usar o comando expand para expandir o cálculo.
Exemplo: Multiplicar 5+3i e 2+4i.
Com o comando expand((5+3*%i)*(2+4*%i)); , obtém-se 26%i – 2.
O comando expand também pode ser utilizado para expandir outras
expressões matemáticas.
Exemplo: Expandir
.
Com o comando expand((x+y)^2); obtém-se
.
Exercício 3: Expandir as seguintes expressões:
a)
b)
c)
2.2- Algumas funções
Na tabela a seguir estão descritas algumas funções matemáticas básicas no
Maxima:
Função
sqrt (x)
abs (x)
exp (x)
log (x)
n!
sin (x)
cos (x)
tan (x)
Significado
raiz quadrada de x
módulo de x
exponencial de x
logaritmo natural de x
fatorial de n
seno de x
cosseno de x
tangente de x
O Maxima não possui uma função pré-definida para logaritmo de base 10
ou de outras bases. Por exemplo, podemos definir o logaritmo na base 10 através
do comando log10(x):=log(x)/log(10);, que nada mais é que aplicar a propriedade
de mudança de base. Neste caso em particular, para obter o valor numérico de
log10(100), escrevemos o comando log10(100), numer;
Exercício 4: Obter o valor numérico de:
a)
b)
2.3- Definindo variáveis e resolvendo equações
Para atribuir valores ou expressões a variáveis é preciso digitar a variável
seguida de dois pontos e seu valor ou expressão. Desta forma, será possível realizar
cálculos utilizando esses valores. Quando quisermos remover (limpar) um valor
atribuído a uma variável, usa-se o comando kill.
Exemplo: Atribuindo valores a duas variáveis, realizar um determinado
cálculo com elas e, por fim, remover seus valores:
(%i1) x:5;
(%o1) 5
(%i2) y:8;
(%o2) 8
(%i3) x^2+2*y;
(%o3) 41
(%i4) kill (x);
(%o4) done
(%i5) kill (y);
(%o5) done
Observemos que agora, ao inserir o comando x; o Maxima não retorna o
valor atribuído a x anteriormente.
Notemos também que, no exemplo anterior, não era necessário mostrar os
valores de x e y. Nesse caso, basta usar o símbolo $ ao invés de ponto-e-vírgula ao
final da expressão, para que o valor não seja mostrado.
(%i6) x:5$
(%i7) y:8$
(%i8) x^2+2*y;
(%o8) 41
Para resolver uma equação, usa-se o comando solve. Este comando é
bastante útil e pode ser usado de várias maneiras, como, por exemplo, resolver uma
equação de duas incógnitas e mostrar a solução em função de uma delas; ou
resolver várias equações e fornecer o valor de cada variável. De maneira geral, o
comando
para
resolver
solve([eq1,eq2,...],[var1,var2,...]);.
uma
ou
mais
equações
Exemplo: Resolver o sistema de equações lineares
é
.
Neste caso, usamos o comando solve([x+y=2, x-y=0],[x,y]); e obtemos
[[x=1,y=1]]. Ou seja, a solução do sistema é o ponto (1,1).
Exemplo: Observar os resultados para os seguintes comandos:
a)
solve(3*x-4=0); . Como há somente incógnita x, o Maxima irá isolálo, retornando o resultado
b)
.
solve(x-2*y+1=0,y);. Isolará a variável y e retornará
.
c)
solve([x+2*y=5,y+x=8]);. Resolverá este sistema linear de duas
equações e duas variáveis, retornando
e
.
d)
solve([x-y=0,x^2+y^2=1]);. Obterá os valores de x e y que
satisfazem este sistema não linear, retornando
e
.
e)
solve([x-2*y=3,2*x-4*y=6]);. Como estas equações são LD (uma é
múltipla da outra), há infinitas soluções que satisfazem este sistema, por isso, o
Maxima retorna que as equações são dependentes e atribui um parâmetro para
uma das variáveis. Nesse exemplo, retornam
e
Exercício 5: Resolver os seguintes conjuntos de equações:
a)
=0
b)
c)
.
3. Gráficos de funções em duas dimensões
Neste capítulo veremos os comandos para traçar gráficos em duas dimensões
e opções para a construção dos mesmos.
3.1- Funções Explícitas
Para plotar o gráfico de funções explicitamente, usa-se o comando
wxplot2d([funç1,funç2,...],[x,a,b]);. Com esse comando, pode-se plotar uma ou
mais funções em um mesmo plano cartesiano, definindo um mesmo domínio para
as funções com a opção [x,a,b].
Exemplo: Para plotar o gráfico da função
2,2]); no Maxima e obtém-se:
digita-se wxplot2d(x^2,[x,-
Note que, nesse caso, apenas restringiu-se o domínio da função. É possível
também limitar o intervalo em y. Por exemplo, ao digitar wxplot2d(x^2,[x,2,2],[y,-2,6]);, têm-se:
Exemplo: Para plotar a função afim
wxplot2d([2*x-1], [x,-2,3]);, obtendo o gráfico:
Exemplo: Observe que a função
, usa-se o comando:
tem como inversa a função
. Plotando as funções
,
e a bissetriz y=x de forma
conjunta através do comando wxplot2d([1/3*x+1, 3*x-3, x], [x,-5,5], [y,-5,5]);
onde restringimos o intervalo em y de maneira conveniente, podemos observar a
simetria entre os gráficos de
e
em relação a bissetriz.
Obs: Devido à escala dos eixos o gráfico não fica exatamente simétrico, mas
é possível aproximar-se dessa simetria com uma escolha adequada para a variação
dos intervalos em x e em y.
Exemplo: Construir de forma conjunta o gráfico das seguintes funções:
,
e
e observar a
influência do parâmetro
no gráfico dessas funções, usando o comando
wxplot2d([5*x^2-3*x+2, 10*x^2-3*x+2, 15*x^2-3*x+2], [x,-15,15]);
Exemplo: Plotar
. (Lembre-se que o comando
no
Maxima é logaritmo na base natural . Para plotar na base 2 deve-se fazer mudança
de base, log2(x):=log(x)/log(2);). E finalmente, usamos o comando
wxplot2d(log2(x),[x,-5,5]); para plotar o gráfico da função desejada.
Exemplo: Observe o gráfico da função seno através do comando
wxplot2d(sin(x),[x,-2*%pi,3*%pi]);
Dada a função
b, c e d em relação a função
qual a influência dos parâmetros a,
?
Exemplo: Plotar o gráfico das seguintes funções em um mesmo plano
cartesiano:
,
e
Usando o comando wxplot2d([sin(x),3*sin(x), (1/3)*sin(x)], [x,0,2*%pi]);
observe no gráfico que o parâmetro que multiplica a função seno, altera a
amplitude do gráfico.
Exemplo: Plotar o gráfico das seguintes funções em um mesmo plano
cartesiano:
,
e
Usando o comando wxplot2d([sin(x),sin(2*x),sin(1/2*x)], [x,0,4*%pi]);
observe que o parâmetro modificou o período da função seno. No gráfico de
o período foi dividido por 2 e no gráfico de
foi
multiplicado por 2.
Outra maneira de plotar uma função é defini-la primeiramente e após usar o
comando wxplot2d.
Exemplo: Definir a função
(%i1) f(x):=abs(x+1);
(%o1) f(x)=|x+1|
(%i2) wxplot2d(f,[x,-5,5]);
(%o2)
e plotar seu gráfico.
Exercício 1: Plote o gráfico das seguintes funções:
a)
b)
c)
d)
+4
e)
f)
3.2- Funções Implícitas
Para plotar o gráfico de funções implicitamente, deve-se, primeiramente,
carregar o pacote load(implicit_plot); para então usar o comando
wximplicit_plot([funç1,funç2,...],[x,a,b],[y,c,d]);.
Nas
funções
plotadas
implicitamente é necessário dar a variação do x e do y.
Observação: O Maxima pode falhar em expressões que considera
complicada. Este fato pode ser observado no exemplo abaixo, em que o Maxima
plota erroneamente um gráfico simples.
Exemplo: Plotar a função implícita
.
Primeiramente, carrega-se o pacote load(implicit_plot); e plota-se a função
com o comando wximplicit_plot(x-sqrt(1-y^2)=0,[x,-5,5],[y,-5,5]);.
Funções mais simples o software plota normalmente, mas é importante ter
atenção quanto ao gráfico, pois todo programa pode falhar!
Exemplo: Plotar o gráfico da função
wximplicit_plot(x*y=1,[x,-5,5],[y,-5,5]); obtém-se:
. Usando o comando
Exemplo: Plotar o gráfico da função implícita
. Usando o
comando wximplicit_plot(x^2-y^2=1,[x,-10,10],[y,-10,10]);, obtém-se:
Exemplo: Plotar o gráfico da função implícita
. Use o
comando wximplicit_plot(cos(y)-x^2+1=0,[x,-2,2],[y,-10,10]); para obter
Exemplo: Plotar o gráfico da função
wximplicit_plot(4*x^2-2*y=6, [x,-5,5],[y,-3,3]); obtendo
com o comando
Exercício 2: Plote as seguintes funções implícitas:
a)
b)
3.3- Funções Paramétricas
Pode-se ainda plotar funções paramétricas usando o comando
wxplot2d([parametric, x(t),y(t),[t,a,b]]);. No caso dos gráficos paramétricos não é
necessário indicar o intervalo da variável horizontal x, já que o intervalo do
parâmetro t determina o domínio. No entanto, como os gráficos são representados
numa proporção de 4 para 3 entre os eixos horizontal e vertical, usa-se a opção [x,4/3/,4/3] para obter a mesma escala nos dois eixos. Por exemplo, quando se deseja
plotar uma circunferência de raio 1, centrada em (0,0), o gráfico será visualizado de
forma correta, caso contrário, a visualização parecerá distorcida.
Exemplo: Plotar o gráfico da circunferência de raio 1 na forma paramétrica.
Lembre-se que a parametrização para a circunferência de raio 1 é
e
,
.
Usando
o
comando
wxplot2d([parametric,cos(t),sin(t),[t,0,2*%pi]],[x,-4/3,4/3]); obtém-se
De maneira geral, a equação paramétrica de uma circunferência de raio
centro
e
é dada por
Exemplo: Plotar de forma paramétrica a circunferência de raio 2 e centro
(1,1).
Usando
o
comando
1+2*sin(t),[t,0,2*%pi]]); obtém-se
wxplot2d([parametric,
1+2*cos(t),
Note que o Maxima plota, aparentemente, uma elipse, pois as escalas não
são as mesmas nos dois eixos. Mas, sabe-se que, a equação paramétrica de uma
elipse é dada por
, onde
e
são os semieixos da elipse com
centro em
. No caso particular r1=r2=r, temos o caso particular da
circunferência de raio r.
Exemplo: Plotar a elipse
na forma paramétrica.
Sabendo que
é a equação reduzida da elipse centrada em (0,0),
tem-se que a equação na forma paramétrica é dada por
. Logo,
usando o comando wxplot2d([parametric, 2*cos(t),sin(t),[t,0,2*%pi]]); obtém-se
Exemplo: Plotar na forma paramétrica a reta
comando wxplot2d([parametric,t,2*t+1,[t,-10,10]]);, têm-se:
Exercício 3: Plote na forma paramétrica as seguintes equações:
a)
b)
c)
d)
e)
3.4- Outras opções de plotagem para gráficos
. Usando o
Além de ser possível plotar gráficos explicitamente, implicitamente e de
forma paramétrica, ainda tem-se algumas opções para personalizar seu gráfico, a
maioria delas é feita por listas do tipo [comando,opção1,opção2,...]. Veja algumas
opções de comandos:
A opção xlabel pode ser usada para dar um texto que identificará o eixo
horizontal. Se essa opção não for usada, o eixo será identificado com o nome da
variável indicada em [x,a,b]. Analogamente, o texto para identificar o eixo vertical
pode ser indicado com a opção ylabel.
Exemplo: Plotar o gráfico de
, modificando o nome do eixo x para
função_quadrática e do eixo y para f(x)=x^2.
Usando as opções xlabel e ylabel plota-se o seguinte comando:
wxplot2d(x^2, [x,-5,5],[xlabel,função_quadrática],[ylabel,f(x)=x^2]); e obtémse:
Quando plota-se mais de um gráfico no mesmo plano cartesiano, o Maxima
atribui uma legenda através das expressões das funções.
Exemplo: Plotar num mesmo plano cartesiano os gráficos de
.
Usando o comando wxplot2d([x^2,x^3],[x,-2,2],[y,-2,2]); tem-se:
e
Mas, pode-se modificar essa legenda através de uma lista com o comando
legend da seguinte maneira [legend,nome_função1,nome_função2,...].
Exemplo: Plotar os gráficos do exemplo anterior, dando nome às funções na
legenda.
Usando
o
comando
wxplot2d([x^2,x^3],[x,-2,2],[y,-2,2],
[legend,quadrática,cúbica]); tem-se:
A palavra style deverá ir seguida por um ou mais estilos. Se houver mais
funções e conjuntos de dados do que os estilos definidos, serão repetidos estilos.
Cada estilo poderá ser lines para segmentos de reta e points para pontos isolados.
 lines admite um ou dois números: a largura da linha e um inteiro que
identifica uma cor;
 points admite um ou dois números: o primeiro número é o raio dos
pontos, e o segundo número é um inteiro que permite selecionar
diferentes formas e cores;
Veja alguns exemplos:
Exemplo: Plotar o gráfico da função
mudando o estilo com o
comando style.
Através do comando wxplot2d(tan(x),[x,-5,5],[y,-5,5],[style,[lines,3,5]]);
tem-se um gráfico onde a linha tem espessura 3 e cor 5.
Exemplo: Plotar as funções
e
Através
do
comando
5,5],[style,[lines,1,2],[points,0.5,3]]);, obtém-se:
usando o comando style.
wxplot2d([x,2*x],[x,-
Observação: A numeração para cores pode variar dependendo da versão do
software Maxima.
4. Gráficos de funções em três dimensões
Para plotar um gráfico de uma função
de duas variáveis é necessária
a utilização do comando plot3d.
Para plotar o gráfico de funções explicitamente, usa-se o comando
wxplot3d([funç1,funç2,...],[x,a,b],[y,a,b]);. Com esse comando, pode-se plotar
uma ou mais funções em um mesmo plano cartesiano, definindo um mesmo
domínio para as funções com a opção [x,a,b] e [y,a,b].
Exemplo: Plotar o gráfico de um plano em
, definido pela função
. Para isso, basta digitar wxplot3d(2-x-y,[x,-1,1],[y,-1,1]);, e
obtém-se:
Exemplo: Plotar o gráfico da função
, conhecida como
sela, digita-se no Maxima wxplot3d(y^2-x^2,[x,-2,2],[y,-2,2]);, e obtém-se:
Outro modo de plotar o mesmo gráfico é utilizando o gnuplot, que permite
o manuseio do gráfico gerado de acordo com o usuário, bastando apenas clicar em
cima do gráfico e girá-lo. Neste caso, digita-se plot3d(y^2-x^2,[x,-2,2],[y,-2,2]);,
e uma nova janela é aberta com o gráfico.
Exemplo: Plotar o parabolóide
.
Com o comando wxplot3d(y^2-x^2,[x,-10,10],[y,-10,10]);, obtém-se
Exemplo: Plotar o cone
.
Usando o comando wxplot3d(sqrt(y^2+x^2),[x,-4,4],[y,-4,4]); obtém-se:
Exercício 1: Plote as seguintes superfícies no Maxima:
a)
b)
c)
5. Limites
Diz-se que o limite de
quando tende a é igual a L se é possível
tornar os valores de
tão próximos de L quanto se quiser, tomando
suficientemente próximo de , mas não igual a e escreve-se
.
Para calcular o limite de uma função no Maxima, utiliza-se o comando limit,
da seguinte maneira: escreve-se o comando limit seguido de parênteses, dentro
deles escreve-se a função desejada, e, entre vírgulas, a variável e o ponto para onde
a função está tendendo, limit(f(x),x,a);.
Exemplo: Para calcular o limite da função
, quando
2, escreve-se limit(x^2-4,x,2);, e obtém-se o resultado esperado: 0.
tende a
Para o cálculo de limites, usa-se alguns comandos especiais, como inf e minf
(ou –inf), para designar infinito positivo e negativo, respectivamente. Além disso, em
resultados podem aparecer as expressões und (undefined - não definido), ind
(indefinido mas associado) e infinity (infinito complexo).
Exemplo: Calcular
:
Digitando o comando: limit(x^2-x,x,inf);, obtemos o resultado
.
No Maxima é possível também calcular os limites laterais. Neste caso,
acrescenta-se no comando, entre vírgulas, a opção minus (quando quiser calcular o
limite à esquerda do ponto escolhido) ou plus (quando quiser calcular o limite à
direita do ponto escolhido).
Exemplo: Calcular
:
Digitando o comando anterior, obtém-se uma indeterminação. Então,
calcula-se os limites laterais, digitando:
limit((x^3-3*x+4)/(x^2-4),x,-2,plus); limit((x^3-3*x+4)/(x^2-4),x,-2,minus);
Assim, obtém-se os resultados
limite da função
e
quando
, respectivamente. Portanto, não existe o
tende a
Exercício 1: Calcular os seguintes limites:
a)
b)
.
Os limites são muito utilizados na construção de assíntotas e de gráficos de
funções racionais.
Exemplo: Plotar o gráfico de
:
Usando o comando: wxplot2d(1/x, [x,-5,5], [y,-5,5]);, obtém-se o gráfico:
Nos pontos de descontinuidade das funções racionais, os gráficos das
funções aproximam-se muito de uma reta vertical, chamada assíntota vertical. No
exemplo anterior, a assíntota vertical é a reta
.
As assíntotas verticais auxiliam no esboço do gráfico de uma função
racional e elas são facilmente determinadas através da noção de limite. Diz-se que
é uma assíntota vertical da curva
se pelo menos uma das seguintes
condições estiver satisfeita:
Exemplo: Obter a assíntota vertical de
e plotar o gráfico da
função.
O primeiro item a ser analisado em uma função racional é o seu domínio,
nesse caso tem-se que
. Mas se f não está definida em x=3, o que
acontece com a função com pontos suficientemente próximos de 3? Para responder
a esta pergunta deve-se analisar os limites laterais.
Note que, quando tomamos valores pela direita de 3, esses valores são
maiores que 3. Logo quando
,
. Assim,
Analogamente, quando tomamos valores pela esquerda de 3, tem-se
. Logo,
Portanto, x=3 é uma assíntota vertical e podemos plotar com maior
facilidade o gráfico de
.
Para calcular esses limites laterais no Maxima, usa-se os comandos:
limit(1/(x-3), x, 3, plus); para limite lateral à direita de 3 e limit(1/(x-3), x, 3,
minus); para limite lateral à esquerda de 3.
Para plotar a assíntota vertical no Maxima, precisa-se usar o comando de
função implícita. Para isso, primeiramente deve-se carregar o pacote através do
comando load(implicit_plot);. E em seguida, plota-se o gráfico com o comando:
wximplicit_plot([f(x,y)=0,g(x,y)=0], [x,a,b], [y,c,d], [style, [lines, espessura, cor],
[lines, espessura, cor]]);, onde o comando style permite alterar cor e espessura
dos gráficos, como visto anteriormente.
Nesse exemplo, tem-se wximplicit_plot([x=3,y*(x-3)=1], [x,-1,5],[y,-5,5],
[style, [lines,1,4], [lines,2,5]]);, onde a função
terá espessura 1 e cor 4 e a
assíntota vertical terá espessura 2 e cor 5.
Observe que somente o conceito de assíntota vertical, muitas vezes não
permite saber o comportamento do gráfico da função:
Exemplo: Dada a função
, esboce o gráfico de
.
Primeiramente, analisa-se que o domínio da função, onde
e em seguida o que acontece próximo de
. Temos que
, pois no numerador tem-se um número negativo e no denominador um
número positivo e muito próximo de zero. E,
, pois no
numerador tem-se um número negativo e no denominador um número negativo e
muito próximo de zero. Portanto,
é uma assíntota vertical da curva
.
Na dúvida, pode-se calcular os limites através
limit(x/(x+4), x, -4, plus); e limit(x/(x+4), x, -4, minus);.
dos
comandos:
Observe o gráfico da assíntota vertical:
load(implicit_plot);
wximplicit_plot(x=-4, [x,-6,4],[y,-5,5], [style,[lines,2,3]]);
Somente com essa informação, é possível esboçar o gráfico de
?
A resposta, obviamente, é não!
Pode-se fazer, pelo menos, duas perguntas importantes a repeito do
comportamento desse gráfico: a curva tem interseção com o eixo x? O que
acontece com a curva quando x tende ao infinito? Veja:
Para descobrir se há interseção com o eixo x, devem-se encontrar os
pontos em que
.
Portanto, o gráfico passa pelo ponto (0,0).
E quando se pergunta o que acontece no infinito, busca-se saber se há
alguma assíntota horizontal da curva, e isso ocorre quando
ou
No exemplo anterior:
e
Ou, no Maxima, limit(x/(x+4), x, inf); para limite tendendo a + infinito e
limit(x/(x+4), x, -inf); para limite tendendo a – infinito.
Portanto, a reta
é uma assíntota horizontal.
Essas informações adicionais permitem esboçar o gráfico com facilidade.
Vejamos:
load(implicit_plot);
wximplicit_plot([x=-4,y=1, y*(x+4)=x], [x,-10,4],[y,-5,5]);
Exercício 2: Obtenha as assíntotas verticais e horizontais, se existirem, à
curva definida pelas seguintes funções. Além disso, construa o gráfico das funções,
juntamente com as assíntotas encontradas. Verifique no software Maxima se seu
esboço está correto.
a)
b)
c)
Ainda pode-se ter outro tipo de assíntota para uma função racional que é a
assíntota oblíqua. Sabe-se que a função racional é do tipo
, onde
e
são polinômios. Se o grau do numerador for uma unidade maior que o grau
do denominador, então o gráfico de
tem uma assíntota oblíqua do tipo
e a distância vertical entre o gráfico e a assíntota oblíqua tende a zero
quando
ou
.
Na prática, para descobrir qual é a assíntota oblíqua, divide-se o polinômio
por
e o resultado dessa divisão será a assíntota oblíqua.
É importante observar que se o gráfico de uma função tem assíntota oblíqua
então ele não terá assíntota horizontal. Da mesma forma, se tiver assíntota
horizontal, não terá assíntota oblíqua. Note também que o gráfico poderá
interceptar uma dessas assíntotas, mas nunca interceptará a assíntota vertical.
Exemplo: Obter as assíntotas da função racional
gráfico.
Note primeiro que
Logo,
e esboçar seu
. Há assíntota vertical?
é uma assíntota vertical.
Há assíntota horizontal? Não!
Para responder isso não é necessário calcular o limite quando
ou
, basta observar que o grau do numerador é uma unidade maior que o grau
do denominador, portanto há uma assíntota oblíqua e não há assíntota horizontal.
Qual é a assíntota oblíqua?
Fazendo a divisão dos polinômios tem-se:
Observe que -5 é o resto da divisão e a assíntota oblíqua é a reta
.
Para saber se há interseção do gráfico da função com a assíntota oblíqua,
calcula-se
e observa-se que não há nenhum x que satisfaça a
igualdade.
Para um esboço bem detalhado, verifica-se ainda as interseções com os eixos
cartesianos, e obtém-se os pontos (3,0), (-3,0) e (0,9/4).
Com o esboço feito, verifique suas respostas no Maxima:
load(implicit_plot);
wximplicit_plot([x=2,y=x/2+1, y*(2*x-4)=x^2-9], [x,-5,5],[y,-5,5]);
Exercício 3: Encontre as assíntotas e construa o gráfico das seguintes
funções:
a)
b)
c)
Exercício 4: Quantas assíntotas horizontais pode ter o gráfico de
Justifique.
?
6. Derivadas
Para calcular a derivada de uma função usa-se o comando diff(f(x),x,n),
onde f é a função, x a variável em relação a qual se deseja derivar e n o número de
vezes a se derivar.
Exemplos:
1) diff(x^4,x,1);

2) diff(3*x^2,x,3);

3) diff(x^3+2*y^2,y,1);

OBS: O comando Diff(f,x,n), com D maiúsculo, apenas indica a derivada a
ser calculada.
Exemplo: Diff(x^4,x,1);

Exercício 1: Calcule as derivadas das funções indicadas:
a) Derivada segunda de
b) Derivada primeira de
c) Derivada terceira de
d) Derivada primeira de
, em relação a .
e) Derivada primeira de
f) Derivada décima quinta de
g) Derivada sétima de
Também, através deste comando é possível calcular derivadas parciais.
Exemplos:
1) Calcular a derivada primeira em relação a x e derivada segunda em
relação a y da função
.
Comando: diff(x*y^2,x,1,y,2);
2) Calcular a derivada primeira em relação a x e derivada primeira em
relação a y da função
Comando: diff(y^3*cos(2*x),x,1,y,1);
Exercício 2: Calcule as derivadas parciais das funções indicadas:
, derivada primeira em relação à y e derivada
segunda em relação à x;
b)
, derivada segunda em relação à z e derivada
primeira em relação à x;
c)
, derivada primeira em relação à y e derivada primeira
em relação à x;
d)
, derivada segunda em relação à z e derivada segunda
em relação à y.
6.1- Gráfico das funções e suas derivadas
Segue alguns exemplos do gráfico da função e sua derivada.
Exemplos:
e
Comando: wxplot2d([x^2+2*x-1, 2*x+2], [x,-5,5], [y,-5,8]);
1)
2)
,
e
Comando: wxplot2d([x^2+2*x-1,2*x+2, 2], [x,-5,5], [y,-5,8]);
Exercício 3: Calcule as derivadas solicitadas e faça o gráfico da função e
suas derivadas:
a) Até a derivada segunda de
;
b) Até a derivada terceira de
;
c) Até a derivada primeira de
6.2- Interpretação geométrica da derivada
Uma ideia do significado geométrico da derivada de uma função pode ser
observada ao plotar o campo de direções de uma função. Para isso, inicialmente
devemos carregar o comando load(plotdf); e então plotar plotdf(f’(x));.
Exemplo: Calcular a derivada primeira de
campo de direções.
diff(x^2,x,1);
plotdf(%);
e a seguir plotar o seu
Observe que, se clicarmos sobre um determinado ponto no gráfico,
aparecerá a curva que passa pelo ponto, que é exatamente uma parábola.
6.3- Máximos e mínimos
Para determinar os pontos de máximo e mínimo de uma função,
inicialmente é necessário encontrar os pontos críticos da função. Após, analisar se
são de fato, ponto de máximo, de mínimo ou nenhum dos dois. Existem dois
teoremas do Cálculo que são essenciais nesta tarefa.
Teorema 6.3.1 (Teste da derivada primeira)
Seja f uma função contínua num intervalo fechado [a,b], que possui derivada
em todo ponto do intervalo aberto (a, b), exceto possivelmente num ponto c.
i) Se
para todo
e
para todo
, então f tem
um máximo relativo em c.
ii) Se
para todo
e
para todo
, então f tem
um mínimo relativo em c.
Vamos utilizar o Maxima como ferramenta para encontrar os máximos e
mínimos de uma função.
se
Exemplo: Obter os pontos de máximo e mínimo relativos da função
.
Primeiro calcula-se
, com o comando: diff(x^3-7*x+6,x,1); obtendo.
A seguir, resolver a equação
através do comando: solve([3*x^2-
7], [x]); obtendo
e
, os quais são os pontos críticos de
Seguindo uma análise pelo teorema acima tem-se que para
,
. Para
tem-se
derivada primeira, conclui-se que
mínimo relativo em
.
e
. Assim, pelo Teste da
tem um máximo relativo em
e um
.
Para melhor visualização, construa o gráfico da
e observe o máximo e
mínimo relativo.
Comando: plot2d([x^3-7*x+6], [x,-15,15], [y,-15,15]);
Teorema 6.3.2 (Teste da derivada segunda)
Seja f uma função contínua em um intervalo [a,b] e derivável em (a, b). Além
disso, seja c um ponto crítico de f no intervalo (a, b), isto é,
tal que f
admite a derivada segunda em (a, b), então:
i) Se
, f tem um valor máximo relativo em c.
ii) Se
, f tem um valor mínimo relativo em c.
Exemplo: Obter os máximos e mínimos relativos de
, aplicando o teste da derivada segunda.
Primeiro
calcula-se
através
do
comando:
diff(4*x^3+3*x^2+18*x,x,1); obtendo
.
A seguir, obtém-se
pelo comando: diff(-4*x^3+3*x^2+18*x,x,2);
retornando
.
Resolvemos a equação
, com o comando: solve([12*x^2+6*x+18], [x]); obtemos
segue que
relativo em
e
. Como
é um ponto de máximo relativo de
é dado por
<0
Seu valor máximo
.
Analogamente como
>0 segue que
mínimo relativo de
Seu valor mínimo relativo em
.
é um ponto de
é dado por
Para melhor visualização, construa o gráfico da
e observe o máximo e
mínimo relativo.
Comando: wxplot2d([-4*x^3+3*x^2+18*x], [x,-5,5], [y,-25,25]);
7. Integrais
7.1- Integral indefinida ou definida
Para integrar uma função usa-se o comando integrate(f, x), onde f é a função
e x a variável em relação a que deseja integrar. Usa-se o comando acima quando se
quer uma integral indefinida. Caso queira uma integração definida usa-se o
comando integrate(f, x, a, b);, onde a e b são os limites de integração.
Exemplos:
1) integrate(x^2,x);

2) integrate(x^2+y^2,y);

3) integrate(x^3,x,0,1);

7.2- Calculando áreas com integrais definidas
Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, se
é uma função
contínua no intervalo
,e
, isto é,
é uma primitiva ou antiderivada de
, então
Exemplo: Usar a integração para calcular a área da região delimitada pelo
eixo x e pela função
, no intervalo
.
Geometricamente:
No Maxima, usando o comando integrate(2*x+1, x, 1, 3); obtém-se 10, ou
seja, a área desta região é 10 unidades de área.
Exercício 1: Use integração para calcular a área das regiões delimitadas pelo
eixo x e pelas seguintes funções:

b)

Analise as três respostas.
7.3- Área de uma região delimitada por duas funções
Considere f e g funções contínuas em um intervalo [a,b] tais que
f(x)≥g(x)≥0, ou seja, os gráficos de f e g estão acima do eixo x e ainda o gráfico
de f está acima do gráfico de g. Considere, por exemplo,
e
e
observe a figura abaixo . Como encontrar o valor da área da região que está abaixo
do gráfico de f, acima do gráfico de g e entre as retas x=a e x=b?
Observe que a área procurada pode ser obtida descontando a área da região
sob o gráfico da g, da área da região sob o gráfico da f. Em outras palavras, em
termos de integrais temos
No caso do exemplo em particular, temos:
Exemplo: Calcular a área da região delimitada pelos gráficos das funções
e
.
 No Maxima, a visulaização desta região pode ser obtida pelo
comando: wxplot2d([x^2,-x^2+4*x], [x,0,3], [y,0,5]);
 Primeiramente usando o comando solve([-x^2+4*x=x^2], [x]);
encontra-se x=0 e x=2, que são os valores de x onde as funções se
interceptam;
 Para encontrar a área procurada usa-se o comando integrate(x^2+4*x, x, 0, 2) - integrate(x^2, x, 0, 2);, encontrando assim a
área igual a 8/3.
Exercício 2: Calcule a área da região delimitada pelo gráfico das funções
indicadas.
a)
e
;
e
e
.
8. Referências Bibliográficas
Introdução ao Software MAXIMA. Disponível em
<http://cmup.fc.up.pt/cmup/v2/include/filedb.php?id=289&table=publicacoes&fie
ld=file> Acesso em 11 jan. 2013.
O Emprego do Software Maxima no Apoio ao Ensino da Matemática.
Disponível em <http://www.inf.unioeste.br/~rogerio/Tutorial-modII-parteBfuncoes-trig.pdf> Acesso em 11 jan. 2013.