Notas de Aula: Derivadas
A DERIVADA
O conceito de limite que estudamos na seção anterior será usado para definir um processo
matemático chamado diferenciação. Uma quantidade de problemas que não podem ser tratados por
técnicas estritamente algébricas – incluindo problemas envolvendo a taxa de variação de uma
quantidade variável – podem ser resolvidos usando este procedimento. Do ponto de vista
geométrico tais problemas podem ser interpretados como questões envolvendo uma reta tangente ao
gráfico de uma função. As regras usuais para a diferenciação também serão relacionadas.
Coeficiente angular da reta tangente a um gráfico em um ponto
Suponhamos que P = (x1, y1) é um ponto no gráfico de uma função f, tal que y1 = f(x1), e que
queremos calcular a reta tangente ao gráfico de f em P (Fig. 1). Desde que essa reta tangente é a
linha reta que contém o ponto P e “melhor aproxima” o gráfico de f nas vizinhanças de P, é fácil
desenhá-la grosseiramente "a olho”.
Fig 1. Reta tangente
No entanto, suponhamos que precisássemos desenhar esta reta tangente precisamente. Já que
uma linha reta no plano é completamente determinada quando sabemos o seu coeficiente angular e
um ponto P pertencente a ela, só precisaremos calcular o coeficiente angular da reta tangente.
A Fig. 2 mostra um ponto Q no gráfico de f próximo ao ponto P. O segmento de reta PQ que
liga dois pontos de uma curva é chamado secante e a linha reta contendo P e Q é chamada reta
secante ao gráfico de f. A coordenada x de P é x1, e, se a coordenada x de Q difere da coordenada x
de P por uma pequena quantidade ∆x, então a coordenada x de Q é x1 + ∆x.
Fig 2. Construção da reta tangente ao gráfico de uma curva em um ponto.
Como Q pertence ao gráfico de f, segue-se que a coordenada y de Q é f(x1 + ∆x). De novo, a
coordenada y de Q difere da coordenada y de P por uma pequena quantidade ∆y, onde
∆y = f (x1 + ∆x ) − f ( x1 )
Assim,
Q = ( x1 + ∆x, f (x1 + ∆x )) = ( x1 + ∆x, y1 + ∆y )
Pela fórmula do coeficiente angular, a inclinação da secante PQ é
f ( x1 + ∆x ) − y1
f ( x1 + ∆x ) − f ( x1 ) ∆y
=
=
∆x
∆x
( x1 + ∆x) − x1
Assim,a reta secante também tem inclinação
∆y
.
∆x
Agora, se fizermos ∆x → 0 , o ponto Q se moverá sobre a curva y = f(x) e tenderá ao ponto P; além
disso, a reta secante irá girar em torno do ponto P e tenderá para a reta tangente. Assim, enquanto
∆x → 0 , a inclinação
∆y
da reta secante tende para a inclinação m da reta tangente; ou seja
∆x
f ( x1 + ∆x ) − f (x1 )
∆y
= lim
∆x
∆x → 0 ∆x ∆x → 0
m = lim
As considerações anteriores nos levam para a seguinte definição formal de uma reta tangente ao
gráfico de uma função.
Definição: Seja f uma função definida pelo menos em algum intervalo contendo o número x1
e seja y1 = f(x1). Se o limite
f (x1 + ∆x ) − f ( x1 )
∆x
∆x → 0
m = lim
existe, diremos que a linha reta no plano xy contendo o ponto (x1, y1) e tendo coeficiente angular m
é a reta tangente ao gráfico de f em (x1, y1).
Exemplo:
Calcule o coeficiente angular m da reta tangente ao gráfico da função f ( x ) = x 2 dada no
ponto (1,1) indicado em P. Esquematize um gráfico de f mostrando a reta tangente em P.
Solução:
(1 + ∆x )2 − (1)2
f (1 + ∆x ) − f (1)
= lim
∆x
∆x
∆x → 0
∆x → 0
m = lim
1 + 2 ∆x + (∆x )2 − 1
= lim (2 + ∆x ) = 2
∆x
∆x → 0
∆x → 0
⇒ m = lim
Derivada de uma função
∆y
, conhecido como limite da razão incremental, aparecem com
∆x → 0 ∆x
Limites da forma lim
tanta freqüência em cálculo que é necessário introduzir uma notação e uma terminologia especial
para eles.
Definição: Derivada
Dada uma função f, com y = f(x), a função f' definida por
f'=
dy
f ( x + ∆x ) − f ( x )
∆y
= lim
= lim
dx ∆x → 0
∆x
∆x → 0 ∆x
é chamada a derivada de f.
Na definição subentendeu-se que o domínio da função derivada f' é o conjunto de todos os
números x no domínio de f para os quais o limite da razão incremental existe. No cálculo desse
limite, devemos tomar cuidado em tratar x como uma constante enquanto se faz ∆x → 0 .
Exemplo:
Calcule a derivada de f ( x ) = x 3 diretamente da definição.
Solução:
(
dy
f ( x + ∆x ) − f (x )
x + ∆x )3 − x 3
f =
= lim
= lim
dx ∆x → 0
∆x
∆x
∆x → 0
'
⇒ f'=
dy
x 3 + 3 x 2 ∆x + 3 x(∆x )2 + (∆x )3 − x 3
= lim
dx ∆x → 0
∆x
⇒ f'=
dy
= lim 3 x 2 + 3 x∆x + (∆x )2 = 3 x 2
dx ∆x → 0
Regras básicas para derivação de uma função
No exemplo anterior diferenciamos a função f ( x ) = x 3 pelo uso direto da definição de uma
derivada (como um limite de uma razão incremental). O cálculo direto das derivadas desta maneira
pode ser cansativo, mesmo para as funções relativamente simples que temos considerado. Na
prática, utilizam-se regras gerais para diferenciação que permitem cálculos corretos de tais
derivadas. Nessa seção apresentaremos regras para diferenciação de somas, produtos e quocientes
de funções cujas derivadas já são conhecidas. Em cursos mais avançados estas relações são
estabelecidas de forma rigorosa, a partir da sua definição.
Nas regras a seguir, c denota uma constante, n é um inteiro, e u e v são funções
diferenciáveis de x.
A regra da cadeia
(
Suponha que y = x 2 + 5 x
(
alternativa é expandir x 2 + 5 x
)3
e considere o problema de determinar sua derivada. Uma
)3 e então diferenciar o polinômio resultante. Assim,
(
y = x2 + 5x
)3 = x6 + 15 x 5 + 75 x 4 + 125 x 3
Então
dy
= 6 x 5 + 75 x 4 + 300 x 3 + 375 x 2
dx
dy dy du
,
=
Outro método é utilizar a regra da cadeia. Fazendo u = x 2 + 5 x tal que y = u 3 ,
dx du dx
du
dy
= 3u 2 ;
= 2 x + 5 . Então,
dx
du
(
)
2
dy dy du
=
= 3u 2 (2 x + 5) = 3 x 2 + 5 x (2 x + 5) = 6 x 5 + 75 x 4 + 300 x 3 + 375 x 2
dx du dx
Estabeleceremos a seguir, uma das mais importantes regras de diferenciação do cálculo: a regra da
cadeia.
A regra da cadeia
Se y é uma função diferenciável de u e se u é uma função diferenciável de x, então y é uma
função diferenciável de x e:
dy dy du
=
dx du dx
A regra da cadeia é realmente uma regra para diferenciação da composta f o g de duas funções.
Derivada e Diferencial
Estamos usando a terminologia diferenciação e derivação para expressar a mesma operação.
Cabe observar, no entanto, que existe uma diferença importante entre derivada e diferencial. Isto
será particularmente importante quando estivermos estudando as integrais indefinidas. Considere o
exemplo a seguir:
y = 5 x3 + 4 x 2 + 3x
Sua derivada é:
dy
= 15 x 2 + 8 x + 3
dx
A diferencial é: dy = (15 x 2 + 8 x + 3) dx
⎛ dy ⎞
Observe que a diferencial pode ser escrita como: dy = ⎜ ⎟ dx
⎝ dx ⎠
Regras para diferenciação das funções mais importantes
Temos a seguir tabelas com as derivadas das funções mais importantes. Observe que será
utilizada a seguinte notação:
d
df du
df
f (u ) =
⇒ Dx f =
Dx u
dx
du dx
du
Regra da potência para expoentes racionais:
D x x r = rx r − 1
Funções trigonométricas:
Funções logarítmica e exponencial:
(1) D x ln u =
1
Dxu
u
(2) D x log a u =
1
Dx u
u ln a
(3) D x e u = e u D x u
(4) D x b u = b u ln b D x u
Funções trigonométricas inversas:
As equações de retas tangentes e normais
Suponha que a função f é diferenciável em x, então f'(x1) é o coeficiente angular da tangente
ao gráfico de f no ponto (x1, f(x1)). Se y1 = f(x1), a equação da tangente na forma ponto-coeficiente
angular é:
y − y1 = f ' ( x1 ) ( x − x1 )
A reta normal ao gráfico de f no ponto (x1, y1) é definida como sendo a linha reta através de
(x1, y1) que é perpendicular à reta tangente em (x1, y1) (Fig. 3).
Fig 3. Reta tangente e reta normal ao gráfico de uma curva em um ponto.
Como f'(x1) é o coeficiente angular da tangente ao gráfico de f em (x1, y1), o coeficiente
angular da normal em (x1, y1) é –1/ f'(x1). Conseqüentemente, a equação da normal na forma pontocoeficiente angular é:
y − y1 =
−1
'
f ( x1 )
(x − x1 )
Exemplo:
Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de f ( x ) =
Ilustre graficamente.
Solução:
f' =−
( 2) = −
⇒ f' 1
1
x2
1
( )
1 2
2
= −4
Dessa forma, a equação da tangente é:
1⎞
⎛
y − 2 = −4⎜ x − ⎟ ⇒ y = −4 x + 4
2⎠
⎝
A equação da normal é
y−2 =
1⎛
1⎞
x 15
⎜x− ⎟ ⇒ y = +
4⎝
2⎠
4 8
1
no ponto (1/2 ,2).
x