IFSC / Cálculo I
Prof. Júlio César TOMIO
A DERIVADA
Introdução:
O cálculo é a matemática das variações. O instrumento principal do cálculo para estudar as taxas de variação é um método
conhecido como derivação. Neste estudo, vamos descrever esse método e mostrar como ele pode ser usado para
determinar a taxa de variação de uma função [em qualquer um de seus pontos] e também a inclinação de qualquer reta
tangente a uma curva.
Exemplo intuitivo:
 Num experimento científico em laboratório, um móvel se desloca sobre uma trajetória retilínea obedecendo à função
horária S(t) = 3t2 – 5t + 2 [sendo S em metros e t em segundos]. Assim:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Qual a velocidade média da partícula no intervalo de tempo [ 2 , 4 ] ?
Qual a velocidade média da partícula no intervalo de tempo [ 2 , 3 ] ?
Qual a velocidade média da partícula no intervalo de tempo [ 2 ; 2,1 ] ?
Qual a velocidade média da partícula no intervalo de tempo [ 2 , (2 + h) ], com h ≠ 0?
Como você interpreta fisicamente a velocidade média da partícula no item anterior, quando “h” tende a zero?
Qual a velocidade da partícula no instante t = 2 s?
Resolução:
Cálculos auxiliares:
a) A velocidade média Vm de um móvel num certo intervalo de tempo é definida
S (t )  3t  5t  2
pelo quociente entre o espaço percorrido
tempo gasto para percorrê-lo
Vm 
S
t

S final  S inicial
t final  t inicial
S  S final  Sinicial
e o intervalo de
t  t final  tinicial . Assim:

S (4)  S (2) 30  4 26


 13
42
2
2
2
2
S (2)  3(2)  5(2)  2
S (2)  3(4)  10  2
S (2)  12  8
S (2)  4
2
S (t )  3t  5t  2
2
Logo: Vm  13 m / s
S (4)  3(4)  5(4)  2
b) Neste item, temos:
S (4)  48  18
S (4)  30
Vm 
S
t

S (4)  3(16)  20  2
S final  S inicial
t final  t inicial

S (3)  S (2) 14  4 10


 10
3 2
1
1
S (3)  27  13
S (3)  14
c) E neste item, temos:
Vm 
t

2
S (3)  3(3)  5(3)  2
S (3)  3(9)  15  2
Logo: Vm  10 m / s
S
2
S (t )  3t  5t  2
S final  S inicial
t final  t inicial
S (2,1)  S (2) 4,73  4 0,73



 7,3
2,1  2
0,1
0,1
Logo: Vm  7,3 m / s
2
S (t )  3t  5t  2
2
S (2,1)  3(2,1)  5(2,1)  2
S (2,1)  13,23  10,5  2
S (2,1)  4,73
d) Neste caso, calcularemos primeiramente S (2  h) . Ao h denominamos ”incremento”. Então:
2
S (t )  3t  5t  2
2
S (2  h)  3(2  h)  5(2  h)  2
2
S (2  h)  3(4  4h  h )  10  5h  2
2
S (2  h)  12  12h  3h  8  5h
S (2  h)  4  7h  3h
Vm 
S
t

2
S final  S inicial
t final  tinicial

S (2  h)  S (2) [4  7h  3h 2 ]  [4] 7h  3h 2 h(7  3h)



 7  3h
2h2
h
h
h
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Logo: Vm  [ 7  3h ] m / s
Observe que este item com o incremento genérico
No item (a) temos:
h2 s
No item (b) temos:
h1 s
No item (c) temos:
h  0,1 s



h na verdade engloba os itens calculados anteriormente. Veja:
Vm  7  3.(2)  7  6  13 m / s
Vm  7  3.(1)  7  3  10 m / s
Vm  7  3.(0,1)  7  0,3  7,3 m / s
e) No item anterior [d] obtivemos a velocidade média da partícula no intervalo de tempo
[ 2 , (2  h) ] , com h  0 .
h tende a zero [ h  0 ] , o segundo extremo de intervalo de tempo tende a 2 e o referido intervalo tende para
[ 2 , 2 ] , que podemos definir como um “intervalo de amplitude nula”, caracterizando exatamente o instante t  2 s .
Assim, fisicamente, quando h tende a zero [ h  0 ] , a velocidade média tenderá para o que chamaremos de velocidade
instantânea da partícula no instante t  2 s e esta velocidade poderá ser denotada por V (2) .
Quando
f) Considerando o exposto no item [e], concluímos que:
V (2)  lim [ 7  3h ]  7 m / s
h0
2
Nota: O gráfico abaixo representa a função S (t )  3t  5t  2 do exemplo intuitivo em questão. Trace a reta secante para
t  2 s e t  4 s e observe os valores utilizados para calcular a velocidade média nesse intervalo. Trace também a reta
tangente para t  2 s e observe que isso resultou no cálculo da velocidade instantânea para esse instante.
Observação:
Taxas de variação normalmente podem
ser identificadas através de suas unidades.
São exemplos de taxas de variação:

m/s

km/h

ºC/min

m/s2

g/dia

habitantes/m2

litros/h

peças/min

libras/pol2

g/cm3
entre outras.
A velocidade média é uma TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA [TVM], pois indica a variação entre duas grandezas [o espaço
percorrido em relação ao tempo gasto para percorrê-lo] e é definida como:
S
t
 Vm .
Quando calculamos a velocidade no instante t  2 s encontramos a velocidade instantânea, e assim, temos neste caso uma
TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA [TVI], que chamaremos de derivada de “S” em relação à “t” no instante 2 s, e
podemos denotar por:
dS
dt
 V (2)  7 m / s
t  2
De maneira análoga, para funções com as variáveis x e
relação à x , e podemos denotar por:
dy
y,
a derivada é a taxa de variação instantânea de
.
dx
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y
em
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Agora podemos formalizar o conceito de derivada:
DEFINIÇÃO
Derivada de uma função:
A derivada de uma função
f (x) em relação à x é a função f (x) [que se lê: “f linha de x”] dada por:
f ( x)  lim
f ( x  h)  f ( x )
h0
Uma função
h
f (x) é derivável [ou diferenciável] num ponto x  c , se f (x) existe, ou seja, se o limite [acima] existe no
ponto em que x  c .
Observação: O processo para calcular uma derivada é chamado de derivação.
Notação de derivada [Operadores]:
f (x) muitas vezes é escrita na forma y  , ou ainda, na forma:
A derivada
da função
f no ponto em que x  a , ou seja, f (a) , é escrito na forma:
dy
. Nesta última notação, o valor da derivada
dx
dy
dx
. Assim:
dy
f (a) 
dx
x a
x a
Pronúncias e outras notações:
y

[lê-se: “y linha”, ou melhor: derivada de y]
y(x)

[lê-se: “y linha de x”, ou melhor: derivada de y em relação à x]

[lê-se: “dê y sobre dê x”, ou melhor: derivada de y em relação à x].
y

[lê-se: “y ponto”, ou melhor: derivada de y]
Dx f

[lê-se: “dê-f de x”, ou melhor: derivada de f em relação à x]

[lê-se: “dê f sobre dê x”, ou melhor: derivada de f em relação à x].
dy
dx
df
dx
Algumas similaridades de operadores:
Com indicação que a derivada é no ponto x  a :
Apenas a indicação do operador de derivação:
f (a)
f ( x)


dy
dx
dy
dx


y(a) 
y 
df
dx
x a

df
(a) 
dx

Dx f
Dx f ( a )
y
Notas:
 A notação
dy
Veja e Reflita:
é devida a Leibnitz.
dx
 Na TVM temos:
 A notação
f (x) é atribuída a Lagrange.
 A notação
y
é atribuída a Newton.
 Na TVI temos:
y
x
dy
dx
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 TVM =

f ( x2 )  f ( x1 )
TVI = lim
h0
x2  x1
f ( x1  h)  f ( x1 )
x1  h  x1
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Agora, revisitando o exemplo intuitivo visto anteriormente...
Para encontrarmos a velocidade no instante
que
t  2 s , calculamos a derivada da função S (t )  3t 2  5t  2 no ponto em
t  2 s . Assim:
dS
dt
 S (2)  V (2)  7 m / s
t 2
Isso implica em dizer que a derivada da função horária da posição nos fornece a função da velocidade, ou seja:
dS
dt
 V (t )
Veremos a seguir que, a derivada da função horária da velocidade nos fornece a função da aceleração, ou seja:
dV
dt
 a (t )
A derivada como coeficiente angular da reta tangente à curva num determinado ponto
Seja
f uma função derivável [qualquer] representada no gráfico abaixo:
y
f
P
f(x)
x
x
Gostaríamos de encontrar a inclinação da reta tangente a este gráfico em um determinado ponto, vamos supor o ponto
P( x , y ) , que representaremos por P( x , f (x)) .
Sabemos que o coeficiente angular de uma reta nos dá a inclinação da mesma. Sendo assim, vamos encontrar o
coeficiente angular da reta tangente à curva [gráfico] no ponto P( x , f (x)) .
y
f
s
P
f(x)
x
x
P( x , f (x)) e Q( x  h , f ( x  h)) dois pontos da função f onde h [incremento] representa a diferença
entre as abscissas de P e Q . Já é de nosso conhecimento como determinar o coeficiente angular da reta que passa por
P e Q utilizando os conceitos de trigonometria no triângulo retângulo PQR . Então:
Agora, sejam
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Seja s a reta secante ao gráfico de
f pelos pontos P e Q .
f(x)
y
s
Q
f(x+h)
P
f(x)
f
R
x
Observando o triângulo
x+h
x
PQR , sabemos que o coeficiente angular ms da reta secante s é dado por:
ms  tg  
cat. op.
QR

cat. adj.
PR
Agora, vamos considerar no gráfico de

ms 
f ( x  h)  f ( x )
ms 

xhx
f ( x  h)  f ( x )
h
f os pontos Q1 , Q2 , Q3 ,..., Qn posicionados cada vez mais próximos de P .
Imagine que a reta s permaneça passando pelo ponto
P,
entretanto, o ponto
Q será trocado gradativamente pelos
Q1 , Q2 , Q3 ,..., Qn que se aproximam de P . Isso fará com que a reta s que é secante à curva, “tenda” para a posição de
tangência no ponto
P
[tornando-se a reta
t ] fazendo, consequentemente, o acréscimo [ou incremento] h , tender a zero.
f(x)
y
s
Q
f(x+h)
Q1
t
Q2
f
P
f(x)
Q3
R
x
Assim, o coeficiente angular mt da reta tangente
t
x+h
à curva no ponto
x
P , será dado por: mt  lim
h0
f ( x  h)  f ( x )
.
h
Note que o valor de mt coincide com o valor da derivada de uma função, conceito este visto anteriormente. Assim
concluímos que:
mt  f ( x)  lim
h 0
f ( x  h)  f ( x )
h
Conclusivamente:
A derivada de uma função
f [diferenciável] no ponto P(a , f (a)) é:
 O coeficiente angular mt da reta tangente à curva da função
ou
 A [TVI] taxa de variação instantânea
Simbolicamente temos:
f nesse ponto P .
f (a) [da grandeza f (x) em relação à x ] nesse ponto P .
mt  f (a)  lim
h0
f ( a  h)  f ( a )
h
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1) Considere o movimento de um corpo ao cair de uma grande altura. De acordo com a física clássica, em
queda, o corpo percorre uma distância S (t )  4,9t
velocidade do corpo após
2
2
t
segundos de
metros. Suponha que estejamos interessados em determinar a
segundos. A menos que o corpo caia equipado por um velocímetro, é difícil medir diretamente a
velocidade. Entretanto podemos determinar a distância percorrida pelo corpo entre o instante
a velocidade média durante esse intervalo de tempo e, fazendo
t  2 e t  2  h e calcular
h  0 , teremos a velocidade instantânea em t  2 s .
Resolução:
Vm 
S
t

S (2  h)  S (2)
2h2

4,9.(2  h) 2  4,9.(2) 2
h

4,9.(4  4h  h 2 )  4,9.(4)

h
19,6h  4,9h 2
h
 19,6  4,9h
h é pequeno, a velocidade média está próxima da velocidade instantânea no instante t  2 s .
Assim, é razoável determinar a velocidade instantânea tomando o limite da expressão anterior quando h tende a zero:
Se o intervalo de tempo
V (2)  lim [ 19,6  4,9h ]  19,6 m / s ou, usando a notação de Leibnitz:
h0
Dessa forma, após
2
dS
segundos de queda, o corpo estará viajando a uma velocidade de
2) [FLEMMING] Uma região
X
 19,6 m / s
dt
t 2
19,6 m / s .
é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam que o número de
pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo
t
(medido em dias a partir do primeiro dia da epidemia) é,
aproximadamente, dado por:
N (t )  64t 
t3
3
Pergunta-se:
t  4?
b) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t  8 ?
c) Quantas pessoas são atingidas pela epidemia no 5º dia?
a) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo
Resolução:
A taxa com que a epidemia se propaga é dada pela razão de variação da função
N (t ) em relação à t .
Aplicaremos a definição de derivada para resolver os itens [a] e [b].
a) Para
t  4 dias :
N (4)  lim
Aplicando a definição, temos:
h0
N (4  h)  N (4)
( 4  h)  4
 lim
h0
N (h  4)  N (4)
h

(h  4) 3  
(4) 3 

(h 3  12h 2  48h  64)   704
64
(
h

4
)


64
.
4

64
h

256


 


   3 
3
3  
3 



N (4)  lim
 lim
h0
N (4)  lim
144h  h 3  12h 2
h0
h0
h
3h
 lim
h.(144  h 2  12h)
h0
Utilizando a notação de derivada [Leibnitz], temos:
b) Para
t  8 dias :
 lim
(144  h 2  12h)
h0
3h
dN
dt
Aplicando a definição, temos:
h
3
 48
 48 pessoas atingidas/ dia
t 4
N (8)  lim
h0
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N (8  h)  N (8)
(8  h)  8
 lim
h0
N (h  8)  N (8)
h
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
(h  8) 3  
(8) 3 

(h 3  24h 2  192h  512)  1024
64
.(
h

8
)


64
.
8

64
h

512


 


   3 
3
3  
3 



N (8)  lim
 lim
h0
N (8)  lim
h0
h
 h 3  16h 2
h0
 lim
h.(h 2  16h)
h0
3h
 lim
(h 2  16h)
h0
3h
h
3
 0
Utilizando a notação de derivada [Leibnitz], temos:
dN
dt

 0 pessoas atingidas/ dia
t 8
Qual o significado deste resultado?
Ao lado, a representação gráfica de
N (t )  64t 
t3
.
3
Nota: Poderíamos “otimizar” os cálculos das questões [a] e
[b] calculando a derivada da função N (t ) genericamente para
t  h e somente ao final, substituir os valores de t  4 e
t  8 [Veja o exemplo (2) de sala de aula, indicado a seguir!].
c) Para determinarmos quantas pessoas foram atingidas pela
epidemia no 5º dia, basta calcular N (5)  N (4) . Assim:

(5) 3  
(4) 3   835  704 131
N (5)  N (4)  64.(5) 
  64.(4)  3    3    3   3  43,66...
3  


   
Logo, no
5º dia serão atingidas pela epidemia aproximadamente 44 pessoas.
3) Uma partícula caminha sobre uma trajetória retilínea de modo que sua velocidade obedece à função
V (t )  8t  2 , com
V em m/s e t em segundos. Determine a aceleração da partícula no instante t  4 s .
Resolução:
Para obter a aceleração instantânea da partícula no instante
mesma no intervalo de tempo
A aceleração média
Assim:
V
t

[ 4 , (4  h) ] .
a m de um móvel num certo intervalo de tempo é definida pelo quociente entre a variação de velocidade
V  V final  Vinicial
am 
e o intervalo de tempo correspondente:
V final  Vinicia l
t final  t inicial

t  t final  tinicial . Assim:
V (4  h)  V (4) [8.(4  h)  2]  [8.(4)  2] [30  8h]  [30] 8h



8
( 4  h)  4
h
h
h
am  8 m / s 2
Para obtermos a aceleração instantânea em
uma função independente de
Veja:
t  4 s , deve-se inicialmente calcular a aceleração média da
t  4 s , devemos calcular a(4) fazendo com que h  0 . Como am  8 é
h [função constante], quando h  0 , a am continua sendo 8 , ou seja: a(4)  8 m / s 2 .
a(4)  lim [ 8 ]  8 m / s 2
[Quando a aceleração é constante temos um MUV!]
h0
Utilizando a notação de derivada [Leibnitz], temos:
dV
dt
 8 m / s2
t 4
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Observe que a derivada da velocidade em função do tempo nos fornece a função aceleração:
dV
dt
 V (t )  a(t ) .
Notação:
Quando derivamos a função horária da posição encontramos a velocidade. Se a derivarmos novamente encontramos a
aceleração. Sendo assim, podemos dizer que a aceleração é a segunda derivada da posição e indicamos por:
S (t ) 
dS
dt
 V (t )
S (t ) 
e
d 2S
dt 2
 a(t )
Nota: Abordaremos esse conteúdo [derivadas sucessivas] com detalhes mais adiante!
4) Obtenha a equação da reta tangente à curva
y  x 2 no ponto A(1 , 1) .
Resolução:
Inicialmente, vamos calcular o coeficiente angular
abscissas
ms da reta secante à parábola dada, que passa pelos seus pontos de
x  1 e x  1  h . Assim:
(1  h) 2  (1) 2 (1  2h  h 2 )  1 2h  h 2 h.(2  h)
ms 



 2h
1 h 1
h
h
h
O coeficiente angular
mt da reta tangente à parábola no seu ponto A(1 , 1) será obtido a partir de ms , fazendo-se h
tender a zero. Desta forma:
mt  lim [ 2  h ]  2
h0
Então, a reta tangente à parábola no ponto
Substituindo em
.
A(1 , 1) tem coeficiente angular mt  2 .
y  y A  m( x  x A ) temos:
y  1  2.( x  1 )
Logo, a equação da reta tangente à curva
y 1  2x  2

y  x 2 no ponto A(1 , 1) é:

y  2x  1
y  2x 1 .
EXEMPLOS ADICIONAIS [resolução em sala]:
1) Determine a [fórmula da] derivada da função
f ( x)  x 2  5 x  6 , através da definição de derivada.
f ( x)  x 2  5 x  6 , determine:
a) a TVI quando x  4 .
b) a equação da reta t tangente à curva f (x) no ponto em que x  4 .
c) o coeficiente angular da reta tangente à curva f (x) no ponto em que x  0 . [veja observação abaixo]
2) Dada a função
3) Encontre a derivada da função
f ( x)  3x 2  12x através da definição e calcule f (1) , f (2) e f (6) .
4) [Relembrando] Escreva a equação da reta na forma geral e reduzida, sabendo que ela passa pelo ponto
tem coeficiente angular igual a
3.
y
5) [Relembrando] A reta “ r ” está representada graficamente ao lado.
Escreva a equação desta reta nas formas: segmentária, geral e reduzida.
Observação: Para simplificar o texto, poderemos escrever a questão 2(c) assim:
 Determine o coeficiente angular da curva f (x ) no ponto
x 0.
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●5
0
4
●
x
P( 1 , 2) e
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RELEMBRANDO: TIPOS [FORMAS] DE EQUAÇÃO DE UMA RETA [NO PLANO]
A equação de uma reta [no plano] pode ser escrita na forma:
↳ Geral
↳ Reduzida
↳ Segmentária
↳ Paramétrica
Nota:
Nem todas as retas podem
ser representadas em todas
as formas citadas ao lado.
Detalhando um pouco, temos:
ax  by  c  0
 Equação Geral:
by   ax  c
temos:
Agora, separando o denominador:
a
c
y   x
b
b
Assim temos a equação da reta na sua forma reduzida:
y  mx  n
 Equação Reduzida:
↳
y
Coeficiente angular:
ou
e
b
n
c
b
 ax  c
b

y

 a  c
y    x    
 b  b
y
y  mx  n
m  tg 
a
ax  by  c  0
Observe que, se na forma geral:
Isolarmos o termo em
m
 Sendo que na equação geral:
y
n●
y  yA
m B
xB  x A
●
●n
0
●
0
x
x
m0
m0
Nota: A função polinomial do 1º grau é representada pela equação reduzida da reta.
 Equação Segmentária:
↳
Sendo que
q
 p  intercepto x

q  intercepto y
Sendo que:
 Equações Paramétricas:
↳
y
x
y
 1
p q
t
●
p
●
0
x
 x  f (t )

 y  g (t )
é um parâmetro comum às equações. Veja um exemplo:
 x  4t  7

y  2  t
RELEMBRANDO: COMO ENCONTRAR [CALCULAR] A EQUAÇÃO DE UMA RETA
Quando conhecemos:
 2 pontos
 1 ponto
A( x A , y A ) e B( xB , y B ) :
Substitua os pontos em:
P( xP , y P ) + o coeficiente angular “ m ”:
y  mx  n
Aplique em:
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ou
aplique:
x
y
1
xA
xB
yA 1  0
yB 1
y  y P  m( x  xP )
↳
“Equação Fundamental da Reta”
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EXERCÍCIOS – DEFINIÇÃO DE DERIVADA
1) Uma partícula caminha sobre uma trajetória qualquer de modo que sua velocidade obedece à função: v(t) = t2 – 4t
[sendo: “v” em m/s e “t” em segundos]. Sabe-se que a aceleração média da partícula [am] num certo intervalo de tempo, é
dada por am = ∆v/∆t , determine:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Qual a aceleração média da partícula no intervalo de tempo [ 0 , 1 ] ?
Qual a aceleração média da partícula no intervalo de tempo [ 0 ; 0,5 ] ?
Qual a aceleração média da partícula no intervalo de tempo [ 0 ; 0,1 ] ?
Qual a aceleração média da partícula no intervalo de tempo [ 0 , h ] , com h ≠ 0?
Como você interpreta fisicamente a aceleração média da partícula no item anterior, quando “h” tende a zero?
Qual a aceleração da partícula no instante t = 0 s?
2) Uma partícula caminha sobre uma trajetória qualquer obedecendo à função horária: S(t) = t3 + t2 – 2t + 3 [com S em
metros e t em segundos]. Determinar a velocidade no instante t = 5 s.
3) Uma partícula caminha sobre uma trajetória qualquer obedecendo à função horária: S(t) = t2 – 7t + 10 [com S em
metros e t em segundos]. Assim:
a)
b)
c)
d)
Determine a lei de sua velocidade em função do tempo.
Calcular a velocidade da partícula no instante t = 3 s
Obter a lei de sua aceleração em função do tempo.
Calcular a aceleração da partícula no instante t = 3 s.
4) Uma partícula caminha sobre uma trajetória qualquer obedecendo a função horária: S(t) = 4t3 – 5t2 + 8t +1 [sendo
S em metros e t em segundos]. Então:
a)
b)
c)
d)
Determine a lei de sua velocidade em função do tempo.
Calcular a velocidade da partícula no instante t = 1 s
Obter a lei de sua aceleração em função do tempo.
Calcular a aceleração da partícula no instante t = 4 s.
5) Encontre a equação da reta tangente à curva y = x2 – 2x + 1 no ponto (2 , 1).
6) Determine a equação da reta tangente à curva y = 2x2 +3 no ponto P(2 , 11).
7) Dada a função f(x) = 5x2 + 6x –1, calcule f’(2).
8) Dada a função f(x) = 3x2 – 1 e g(x) = 5 – 2x, determinar:
a) f’(1)
b) g’(1)
c) f’(1) + g’(1)
9) Usando a definição, determinar a derivada das seguintes funções:
a) f(x) = 1 – 4x2
b) g(x) = 2x2 – x –1
d) y = x3
c) h(x) = 3x + 2
10) A população inicial de uma colônia de bactérias é 10000. Depois de t horas a colônia terá uma população P(t) que
obedece a lei: P(t) = 10000 + 8600t + 10000t2. Assim:
a) Determine o número de bactérias presentes depois de 10 horas.
b) Encontre a lei que dá a taxa de variação da população P em relação ao tempo t.
c) Determine a taxa de variação [instantânea] da população quando t = 10 horas.
RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS
1a) –3 m/s2
1b) –3,5 m/s2
1c) –3,9 m/s2
3a) v(t) = 2t – 7
3b) v(3) = –1 m/s
4b) v(1) = 10 m/s
4c) a(t) = 24t – 10
8a) f’(1) = 6
8b) g’(1) = –2
10a) P(10) = 1.096.000 bactérias
8c) 4
1d) h  4
1e) aceleração instantânea
3d) a(3) = 2 m/s2
3c) a(t) = 2
4d) a(4) = 86 m/s2
5) y = 2x – 3
9a) f’(x) = –8x
9b) g’(x) = 4x – 1
10b) dP/dt = 8600 + 20000t
1f) – 4 m/s2
2) 83 m/s
4a) v(t) = 12t2 – 10t + 8
6) y = 8x – 5
9c) h’(x) = 3
7) f’(2) = 26
9d) y’ = 3x2
10c) 208600 bactérias/hora
Para refletir: O maior prazer de um homem inteligente é bancar o idiota diante de um idiota que banca o inteligente.
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EXERCÍCIOS EXTRAS – DEFINIÇÃO DE DERIVADA
Nota:
Com o objetivo de simplificar o “texto”,
1. Determine:
onde escrevemos: “o coeficiente angular
da reta tangente à curva no ponto P”,
1
escreveremos: “o coeficiente angular da
no ponto em que x  3 .
x
curva no ponto P”.
1
1
b) para qual valor de “ x ”, o coeficiente angular da curva y 
será  ?
4
x
1
c) o coeficiente angular da curva y 
no ponto em que x  a e avalie o seu sinal [quando será positivo e/ou negativo].
x
a) o coeficiente angular da curva
y
Observação: represente graficamente a função
y
1
para avaliar melhor seus resultados.
x
2. [Queda livre em Júpiter] A equação para a queda livre na superfície de Júpiter é S = 11,44t 2 , com S em metros e t em
segundos. Suponha que uma esfera de aço seja largada do topo de um penhasco de 500m de altura. Determine a velocidade
[em km/h] e a aceleração dessa esfera [em m/s2], quando t = 2s.
3. [Círculo de área variável] Qual é a taxa de variação da área de um círculo em relação ao raio, quando r = 3? Lembre-se
que a área do círculo é:
A(r )   .r 2 .
4. Mostre que a reta y = mx + n é sua própria tangente em qualquer um de seus pontos (x0 , mx0 + n).
Os exercícios extras acima foram extraídos/adaptados do livro: THOMAS, George B. Cálculo. V. 1. Pearson. São Paulo: 2002.
RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS
1a) –1/9
1b) para x =  2
1c) m < 0 para a
 *
2) v(2) = 164,736 km/h e a(2) = 22,88 m/s2
3) dA/dr = 6
Para refletir: Não aprenda a desejar aquilo que não merece. [retirado de um biscoito da sorte chinês]
Espaço para Anotações:
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REGRAS E TÉCNICAS DE DERIVAÇÃO [Usando a Tabela de Derivadas]
Inicialmente, vamos determinar a derivada de algumas funções “bem elementares”...
Nota: você deverá ter em mãos a “nossa” tabela de derivadas [que também está apresentada no final deste material].
 Derivada de uma Função Constante:
f ( x)  3
Outras notações:
y


f ( x)  0

df
0
dx

d
(3)  0
dx



x














yk
Generalizando, temos:
y  0  [ com k  R ]


 Derivada de uma Função do 1º Grau:
f ( x)  2 x

f ( x)  2

Regra 1 da Tabela!
g ( x)  3x  1
g ( x)  3


y
y













x
x






































y

Nota: “Função Identidade”
yx

y  1



x












Generalizando, temos:

y  mx  n

y  m
[ com
mR* e n R ]


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




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A Derivação é uma TRANSFORMAÇÃO LINEAR.
Sejam:
u  u (x)
v  v(x)
a,k R
 u é uma função com variável independente
 v é uma função com variável independente
 a e
Assim, dada a função genérica:
(x) .
(x) .
k são constantes reais.
f ( x)  a.u  k.v , a sua derivada [genérica] será:
d
d
d
(a.u  k .v)  a  (u )  k  (v)
dx
dx
dx

[Propriedade da Linearidade da Derivação]
f ( x)  a . u  k . v
Ou simplesmente:
Nota:
A Regra 2 da Tabela, indica como derivar uma função u que é multiplicada por uma constante
y  k. u
k . Veja:
y  k . u 

“para derivar uma função que é multiplicada por uma constante, basta multiplicar a constante pela derivada da função”.
 Derivada de uma Função Polinomial [de qualquer grau]:
Observe a Regra 3 da Tabela:
y  ua

y  a . u a1. u
Exemplos:
a)
f ( x)  x 4
b)
g ( x)  3 x 5
c)
h( x)  2 x 3  4 x 2  3x  14
d)
y
2 5 x2
x 
x 3
5
4
Para concluir, veja:
f (x)
f (x)
x
1
x2
2x
x3
3x
2
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x4
4x
3
x5
5x
4


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 Derivada de Funções Trigonométricas:
Veja na tabela:
Regra 11:
y  sen u

y  u. cos u
Regra 12:
y  cos u

y  u.sen u
Regra 13:
y  tg u

y  u. sec 2 u
Nota:
Observe as regras [14 a 20] da nossa tabela de derivadas. Elas envolvem outras funções trigonométricas, inversas de
trigonométricas e trigonométricas hiperbólicas.
Exemplos:
a)
f ( x)  sen( x)
b)
y  2 cos(3x 2  1)
Outra notação:
d
( sen x)  cos x
dx
 Derivada de “Outras” Funções:
Exemplos:
a)
A( x)  (2 x  3) 4
[Aplicaremos a Regra 3]:
y  ua

y  a . u a1. u
b)
B ( x )  4 2 x 3
[Aplicaremos a Regra 4]:
y  au

y   ln a . a u . u 
c)
C ( x)  (2 x  3) 4 x
[Aplicaremos a Regra 10]:

y  v . u v1. u  u v . ln u . v
y  uv
Observação:
As Regras 3 e 4 são
casos particulares da
Regra 10.
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d)
D( x)  e 4 x1
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[Aplicaremos a Regra 5]:
y  eu

y  e u . u 
Nota:
Para:
y  ex
Temos:
y  e x
Observação:
Note que a Regra 5
é um caso particular
da Regra 4.
e)
E ( x)  log (4 x 2 )
[Aplicaremos a Regra 6]:
y  loga u

y 
1 u

ln a u
 Derivada de Funções com Radicais:
Você não encontrará na tabela, funções com “raízes”. Assim, para funções que contenham radicais, faremos inicialmente
uma preparação para aplicarmos adequadamente alguma regra, geralmente, a Regra 3 da tabela.
A Regra 3 da Tabela:
yu
a

y  a . u
a 1
. u
Exemplo:
y  10 3x  1
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Lembre-se que:
a
m
n

n
am
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 Derivada de Multiplicação [Produto] de Funções:
y  uv
Regra 8:

y  u. v  u . v
Exemplos:
a)
f ( x)  x 3 ( 2 x 2  4 x)
b)
y  4 x 2 . sen ( x)
 Derivada de Divisão [Quociente] de Funções:
y
Regra 9:
u
v

y 
u. v  u . v
v2
Exemplos:
a)
b1)
y
3x 2  1
7x
y
4
3
2 x  14
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Nota: Em alguns casos, como este, pode ser “interessante” evitarmos a aplicação da “Regra da Divisão”. Veja:
b2)
y
4
3
2 x  14
Dica do Prof. Tomio!
Para encontrar a derivada de funções [utilizando as regras e a tabela], seguiremos basicamente três passos:
1) identificar a(s) função(ões) a ser(em) derivada(s) e observar se é necessário “preparar” a expressão para melhor adaptála à(s) regra(s) de derivação correspondente(s).
2) realizar a operação de derivação através da(s) regra(s), observando atentamente cada procedimento.
3) simplificar e organizar a expressão o máximo possível.
Resumidamente, temos:
1) identificar função / prepará-la, se necessário.
2) derivar através da(s) regra(s).
3) simplificar a expressão.
Para descontrair [se puder] com o Calvin...
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REGRA DA CADEIA [Para Funções Compostas]
Inicialmente, vamos relembrar de forma simples e breve, o conceito de composição de funções através de um exemplo.
Veja:
Sejam as funções
por
f ( x)  x 5  6 e g ( x)  2 x 3  4 . Vamos encontrar a função composta de f com g , que é indicada
f ( g ( x)) . Assim:
Notação:
A função composta
f ( g ( x)) , também pode
ser representada por f  g ou ainda por
( f  g )(x) .
Como se lê:

f ( g ( x)) 
f
composta com
simplesmente

f g

f
g
ou
f de g (x) .
composta com
simplesmente
g ou
f bola g .
Observação:
Com as funções
f e g também podemos
gerar outras funções compostas, tais como:
g ( f ( x)) , f ( f ( x)) , f ( g ( f ( x))) , entre
outras.
Agora...
Em muitas situações, a taxa de variação de uma grandeza pode ser expressa como um produto de outras taxas.
Por exemplo, um automóvel que esteja viajando a 80 km / h e o consumo de gasolina a esta velocidade seja de 0,1  / km .
Para calcularmos o consumo de gasolina, em litros por hora, basta multiplicarmos as duas taxas em questão. Veja:
0,1

km
 80
km
h
 8 /h
Atente que, na situação acima, multiplicamos duas taxas de variação do problema para encontrar a taxa de variação de
interesse. Essa expressão é um caso particular de uma regra importante conhecida como Regra da Cadeia.
A partir dessa “ideia”, podemos diferenciar [derivar] funções compostas, aplicando o processo de diferenciação [derivação]
separadamente nas funções que compõem essa função composta. Assim:
A Regra da Cadeia:
f e g forem diferenciáveis [deriváveis] e a função composta de f com g definida por y  f ( g ( x)) , então y é
diferenciável e y  é dada pelo produto:
Se
y  f ( g ( x))  g ( x)
Na notação de Leibniz, se
y  f (u ) e u  g (x) forem funções deriváveis, então:
dy
dx

dy du

du dx
Reflita: O fracasso quebra as almas pequenas e engrandece as grandes, assim como o vento apaga a vela e atiça o fogo da floresta. [Benjamim Franklin]
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Exemplo:
1) Calcule a derivada de
y  (2 x 3  4) 5  6 utilizando a regra da cadeia.
2) Utilizando a regra da cadeia, determine
dy
para y  tg [5  sen(2t )] .
dt
Para descontrair...
Coleção: As Melhores Tiras – Cebolinha / Autor: Maurício de Souza / Editora: Globo
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APLICAÇÕES DE DERIVAÇÃO: Taxas de Variação
A abordagem deste tema se dará através da resolução e discussão de situações-problema, dadas a seguir.
1) Um copo de limonada a uma temperatura de
40º F é colocado em uma sala com temperatura constante de 70º F .
Considerando um princípio da Física, denominado Lei de Resfriamento/Aquecimento de Newton, pode-se mostrar que,
se a temperatura da limonada atingir
52º F em uma hora, então a temperatura T da limonada como função do tempo
0, 5t
decorrido é modelada aproximadamente pela expressão T (t )  70  30.e
, onde T é dado em º F e t , em horas.
Responda:
a) Qual a fórmula que define a taxa de variação [instantânea] da temperatura
b) Qual a taxa de variação quando
t 1 e t 5
c) Represente graficamente a função
T
em relação ao tempo
t?
horas? [Explique o significado dos resultados encontrados]
T (t ) .
2) Analistas de produção verificaram que, em uma determinada fábrica montadora, o número de peças produzidas nas
primeiras x horas diárias de trabalho é dado por:
 50.( x 2  x) ,
f ( x)  
 200.( x  1) ,
para 0  x  4
para 4  x  8
Pergunta-se:
a) Qual a razão de produção (em peças por hora) ao final de 3 horas de trabalho?
b) E ao final de 7 horas?
c) Quantas peças são produzidas na oitava hora de trabalho?
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APLICAÇÕES DE DERIVAÇÃO: Problemas de Reta Tangente à Curva
Já fizemos uma abordagem deste tema no momento em que estudamos a derivada de uma função através da sua definição.
Com o objetivo de relembrar e fixar alguns conceitos, vamos resolver e discutir os problemas dados a seguir.
1) Dada a função
f ( x)  x 2  6 x  5 , determine:
f (x) no ponto em que x  5 . [veja observação abaixo]
f (x) no ponto em que x  5 .
c) o coeficiente angular da curva f (x) no ponto em que x  0 .
d) o ponto de f (x) em que a reta tangente a essa curva é horizontal.
a) o coeficiente angular da reta tangente à curva
b) a equação da reta
t
tangente à curva
Observação: Para simplificar o texto, poderemos escrever a questão 1(a) assim:
 Determine o coeficiente angular da curva f (x ) no ponto
2) Dada a função
a) a derivada
dy
dx
y
x  5.
sen ( x)
, determine:
x
.
b) o coeficiente angular da curva no ponto em que
x  0.
c) o que se pode concluir com o resultado encontrado em (b)?
Nota: Os gráficos acima foram plotados no Maple 13.
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EXERCÍCIOS – Regras e Técnicas de Derivação [Usando a Tabela de Derivadas]
1) Determine a derivada das funções dadas a seguir [as respostas estão na coluna da direita].
5
f ( x) 
(2 x  1) 2
y 
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 3x 2
5 . 5 ( x 3  1) 6
 3x  2 


 2x  1 
4
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

y  3 sec(3x)  tg (3x)
y   e x  sen (e x )
Curiosidade: Dizem que nenhum pedaço de papel pode ser dobrado ao meio mais de 7 vezes. Será verdade?
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2) Calcule a derivada das funções e encontre a taxa de variação indicada [as respostas estão na coluna da direita].
a)
A(r )   . r 2
b)
y  (3x 5  1)(2  x 4 )
A(r )  2. . r
A(10)  ?
dy
dx
e
A(10)  20
dy
 27 x 8  30 x 4  4 x 3
dx
?
x  1
c)
f ( x)  2 x. e x
f (6)  ?
f ( x)  2. e x (1  x)
d)
h( x ) 
x2
2x  3
h(0)  ?
h( x) 
e)
y
dy
dx
dy e x (1  x) 2

dx (1  x 2 ) 2
ex
1 x2
?
x 1
7
(2 x  3) 2
f)
g ( x) 
3
5
 5
4
x
x
g (1)  ?
g ( x)  
g)
y ( x) 
x 1
 (3x 2  6 x)
x2
y (0)  ?
y ( x) 
12 25
 6
x5
x
dy
dx
 1
x  1
f (6)  14. e 6
e
h(0) 
e
e
e
7
9
dy
dx
x 1
e
g (1)  37
0
6 x 3  27 x 2  36 x  12
( x  2) 2
e
y (0)  3
3) Derive as funções dadas a seguir, aplicando a Regra da Cadeia [as respostas estão na coluna da direita].
2x
x 3
a)
f ( x)  ln ( x 2  3)
f ( x) 
b)
g ( x)  sen (4 x)
g ( x)  4 cos (4 x)
c)
h(t )  cos (8t 2 )
h(t )  16t . sen (8t 2 )
d)
y  2 ln(2t  1)
dy
4

dt
2t  1
e)
y  e 5 x
dy
 5. e 5 x
dx
f)
f (t )  (t 2  3) 4
df
 8t.(t 2  3) 3
dt
g)
y  3x  1
y 
4) Em quais pontos do gráfico da função
1
3
y  x3  x 2  2x
3
2
2
3
2. 3x  1
é possível traçarmos uma reta tangente horizontal a
essa curva? Utilize um software gráfico para “visualizar” a resposta.
Resposta: Os pontos procurados são:
Página 24 de 47
 5
1 , 
 6
e
2

2 , .
3

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EXERCÍCIOS – Aplicações de Derivação: Taxas de Variação
1) Uma partícula caminha sobre uma trajetória qualquer obedecendo à função horária: S(t) = t3 + t2 – 2t + 3 [com S em
metros e t em segundos]. Determinar a velocidade no instante t = 5 s.
2) [Queda livre em Júpiter] A equação para a queda livre na superfície de Júpiter é S = 11,44t2 , com S em metros e t em
segundos. Suponha que uma esfera de aço seja largada do topo de um penhasco de 300m de altura. Determine a velocidade
[em km/h], quando t = 3 s.
3) [FLEMMING / Adaptada] Uma região
X
é atingida por uma
moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam que o
número de pessoas atingidas pela moléstia depois de um
tempo
t
(medido em dias a partir do primeiro dia da epidemia)
é, aproximadamente, dado por:
N (t )  64 t 
t3
3
A representação gráfica desse fenômeno se encontra ao lado.
Pergunta-se:
t  4?
b) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t  8 ?
a) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo
c) Quantas pessoas são atingidas pela epidemia em
8 dias?
d) Quantas pessoas são atingidas pela epidemia no 8º dia?
4) A população inicial de uma colônia de bactérias é
obedece a lei:
10.000 . Depois de t horas, a colônia terá a população P(t ) que
P(t )  10.000 (1,2) t .
a) Qual o número de bactérias depois de
10 horas?
b) Encontre a lei que dá a variação da população
P
em relação ao tempo
c) Determine essa variação instantânea da população quando
t  10
t.
horas.
5) Uma partícula se move segundo a equação S(t) = t3 – 2t2 + 5t – 1, sendo S medido em metros e t em segundos. Em
que instante a sua velocidade vale 9 m/s?
6) Mariscos Zebra são mariscos de água doce que se agarram a qualquer coisa que possam achar. Apareceram primeiro no
Rio St. Lawrence no começo da década de 80. Estão subindo o rio e podem se espalhar pelos Grandes Lagos. Suponha que
numa pequena baía o número de mariscos zebra ao tempo
t
seja dado por Z (t )  300t , onde
2
t
é medido em meses
desde que esses mariscos apareceram nesse lugar. Assim:
a) Quantos mariscos zebra existirão na baía depois de quatro meses?
b) A que taxa a população está crescendo em quatro meses?
7) Um reservatório de água está sendo esvaziado e a função V (t )  200(30  t )
presente no reservatório no tempo
t
[em minutos], com
2
indica o volume [em litros] de água
0  t  30 . Pergunta-se:
a) Qual a quantidade de água existente no reservatório depois de 8 minutos de escoamento?
b) A que taxa o volume de água do reservatório varia após 8 minutos?
c) Qual a taxa média de variação do volume de água durante os primeiros 8 minutos?
8) Sabe-se que o volume V de um cubo é função de seu lado. Assim, determine a taxa de variação do volume em relação ao
lado quando este mede 5 uc. [Nota: pense em como você indicará a unidade da taxa de variação]
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9) [FLEMMING] Numa granja experimental, constatou-se que uma ave em desenvolvimento pesa, em gramas:
1

20   (t  4) 2 , para 0  t  60
w(t )  
2
 24,4t  604 , para 60  t  90
, onde
t
é medido em dias.
a) Qual a razão do aumento do peso da ave quando t = 50 dias?
b) Quanto esta ave aumentará no 51º dia?
c) Qual a razão de aumento de peso quando t = 80 dias?
10) Um paraquedista salta de um avião. Supondo que a distância que ele cai, antes de abrir o paraquedas, é de
S (t )  986(0,835t  1)  176t , onde S está em pés e
paraquedista quando
t  15
t
em segundos; calcule a velocidade instantânea (em m/s) do
segundos. Observação: 1 pé = 0,3048 m.
11) De uma pequena comunidade se obteve uma estimativa que, daqui a
P(t )  20 
5
t 1
t
anos, a sua população será de
milhares de pessoas. Daqui a 18 meses, qual será a taxa de variação da população desta comunidade?
12) Certa imobiliária aluga salas comerciais por R$ 600,00 mensais. Este aluguel sofre um reajuste mensal de 2%. Calcule a
taxa de variação do aluguel daqui a 10 meses.
RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS
1) 83m/s
2) v(3) = 247,104 km/h
3a) N’(4) = 48 pessoas atingidas/dia
3b) N’(8) = 0 pessoas atingidas/dia
3c) N(8)  341 pessoas
4a) P(10) = 61917 bactérias
4b) P’(t)  1823.(1,2)t
4c) P’(10) = 11288 bactérias/hora
5) t = 2 s
6a) Z(4) = 4800 mariscos
7a) V(8) = 96.800

6b) Z’(4) = 2400 mariscos/mês
7b) V’(8) = – 8800
 /min
7c) Vm = –10400
 /min
8) V’(5) = 75 ua/uc
9a) w’(50) = 54 g/dia
9b) w(51) – w(50) = 54,5 g
9c) w’(80) = 24,4 g/dia
10) v(15)  164,1 pés/s  50 m/s
11) P’(1,5) = 800 pessoas/ano
12) aprox. 14,48 reais/mês
Para descontrair com o Calvin…
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3d) N(8) – N(7)  8 pessoas
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EXERCÍCIOS – Aplicações de Derivação: Problemas de Reta Tangente à Curva
y  x 4  2 x 2  2 e seu gráfico representado abaixo.
1) Seja a função
y
a) Determine
dy
.

dx
b) Calcule
dy
dx
e
x 1 / 2
dy
dx

.
x 3 / 2

c) Qual o significado geométrico dos valores encontrados
no item (b)?
d) Encontre os valores de x , para os quais
dy
dx

 0.

x
e) O que os valores de x , encontrados no item
(d),

representam geometricamente?








NOTA:
Com o objetivo de simplificar o “texto”, onde escrevemos: “o coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto P”,
escreveremos: “o coeficiente angular da curva no ponto P”.

2) Determine:
1
no ponto em que x  3 .
x
1
1
b) para qual valor de “ x ”, o coeficiente angular da curva y 
será  ?
4
x
1
c) o coeficiente angular da curva y 
no ponto em que x  a e avalie o seu sinal [quando será positivo e/ou
x
a) o coeficiente angular da curva
y
negativo].
Observação: represente graficamente a função
y
1
para avaliar melhor seus resultados.
x
3) Determine a equação da reta tangente à curva
f ( x)  2 x 2  3 no ponto P(2 , 11) .
4) Determine a equação da reta tangente à curva
f ( x)  sen ( x) no ponto Q( , 0) .
5) Mostre [através do processo de derivação] que a abscissa do vértice de uma parábola qualquer y  ax  bx  c pode
2
ser encontrada através da fórmula
xV  
b
.
2a
RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS
1a)
2a)
dy
 4x3  4x
dx
m
1
9
3) y  8 x  5
1b)
dy
dx
2b) Para
4)

x 1 / 2
3
2
dy
dx
e
x  2 ou x  2

x 3 / 2
15
2
2c)
y  x  
Página 27 de 47
1d) {1, 0 , 1}
m
1
a2
1c–1e) Resposta teórica
e m será negativo para
a  R *
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DERIVADAS SUCESSIVAS [Derivadas de Ordem Superior]
As derivadas sucessivas [ou de ordem superior] têm diversas aplicações. Algumas delas estão na:




Construção e Interpretação de Gráficos;
Otimização de Funções [Máximos e Mínimos];
Cálculo Avançado [Equações Diferenciais, Séries, etc.];
Física Superior, Áreas Aplicadas da Tecnologia/Engenharia, entre outras.
Neste momento, vamos abordar o tema através de alguns exemplos. Veja:
f ( x)  x 5  3x 2  3 , determine sua derivada de 6ª ordem.
1) Dada a função polinomial de 5º grau:
Notações:
f (x)

f (x)

y
dy
dx
2
f (x)

d y
dx
2
3
f (x)

d y
dx
3
4
f
( 4)
( x)

d y
dx
4
5
f
( 5)
( x)

dx


2) Sendo
y  2 ln(x) , determine
d4y
dx 4
Lembre-se da similaridade das notações:
d y
5
n
f
.
(n)
( x)

d y
dx
y
(n)
 f
(n)
dn f
dny
( x) 

dxn
dxn
Página 28 de 47

Dxn f
 D n f ( x)
n
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3) Determine
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Dx27 (cos x) , ou seja, para y  cos ( x) , encontre y ( 27) .
S (t )  2t 3  10t 2  8t  5 de um móvel em certa trajetória [no SI], determine a sua
velocidade, aceleração e arranque, no instante t  3 s.
4) Dada a função horária das posições
Nota: o arranque [também chamado de arranco ou de sobreaceleração] é a taxa de variação da aceleração em relação ao
tempo. No SI, sua unidade é o m/s3. A letra [símbolo] utilizada para representá-lo é o “j” [Jota], provavelmente oriundo da
palavra inglesa “jerk” que tem significado similar.
Reveja as Notações:
dS
 v(t )
dt
 Velocidade:
v(t )  S (t )
 Aceleração:
a(t )  S (t )
a(t )  v(t )  S (t )
d 2S
 a (t )
dt 2
 Arranque:
j (t )  S (t )
j (t )  a(t )  v(t )  S (t )
d 3S
dt 3
Página 29 de 47

j (t )
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Utilizando derivadas para encontrar [calcular] LIMITES
A REGRA DE L'HOPITAL [ou L'Hôspital]
Ocorrendo, em limites, a forma indeterminada
lim
x a
0
0
ou
f ( x)
f ( x)
f ( x)
 lim
 lim
 
x a g ( x)
x a g ( x)
g ( x)

, então:

até que “desapareça” a indeterminação!
Nota:

aR
ou
a   .
Caso ocorra, num limite, uma das outras 5 indeterminações:    , 0   , 0 ,  , 1 , poderemos “transformá-la”
0
em
0

ou
para então aplicarmos a regra de L’Hopital, caso seja de interesse.

0
Exemplos:
Calcule os limites:
a)
lim
2x
e 1
b)
lim
x  sen( x)
x3
c)
lim
x2  x  6
x 2  3x  2
d)
x 0
x 0
x 2
lim
x  
x
ln x
2 x
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0
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EXERCÍCIOS – Derivadas Sucessivas [Derivadas de Ordem Superior] + Regra de L'Hopital
1) Encontre as derivadas primeira e segunda das funções dadas a seguir.
a)
e)
b)
f)
c)
g)
d)
h)
2) Determine
3) Se
4) Se
para
.
, encontre
, encontre
5) Encontre uma fórmula para
6) Determine
.
.

.
Nota: Você poderá optar por utilizar, em algum momento, a relação:
sabendo que:
.
.
7) Encontre um polinômio de 2º grau , tal que
,
e
.
8) Dois móveis têm seus movimentos sobre uma mesma trajetória retilínea, dados pelas equações
e
. Determine as velocidades e as posições desses móveis quando as suas acelerações forem
iguais. Considere em metros e em segundos.
9) Num equipamento automatizado, um dispositivo móvel descreve uma trajetória definida pela equação
centímetros e
10) Seja
em segundos]. Determine a velocidade e a aceleração do dispositivo após se deslocar
. Verifique que:
11) A equação
e
. Para que valores de
[
em
cm.
.
é chamada equação diferencial pois envolve a função desconhecida
, a função
satisfaz a equação diferencial em questão?
12) Um objeto preso a uma mola vertical tem função posição dada por
oscilação e
é uma constante. Assim:
, onde
a) Encontre a velocidade e a aceleração como função do tempo.
b) Mostre que a aceleração é proporcional ao deslocamento .
c) Mostre que a velocidade é máxima quando a aceleração é zero.
13) Calcule os limites [caso existam] aplicando a regra de L'Hopital, adequadamente.
a)
b)
c)
d)
Página 31 de 47
–
e suas derivadas
é a amplitude de sua
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e)
f)
g)
h)
–
i)
j)
k)
l)
Observação: O limite da letra [k]:
na forma:
forma
–
pode aparecer, principalmente em livros de origem norte-americana,
. Lembre-se que a maioria das calculadoras científicas apresenta a função
. Ambas representam a função inversa de
na
. Fique ligado!
14) Mostre, através da aplicação da regra de L'Hopital, que os limites fundamentais:
a)
15) Prove que
 c)
–
b)
para todo
inteiro positivo. Note que isso mostra que a função exponencial
tende
mais rapidamente ao infinito que qualquer potência de .

16) Se um montante inicial de dinheiro
investimento após anos será:
for investido a uma taxa de juros
composta
vezes ao ano, o valor do
Se fizermos
, chamamos isso de juros compostos contínuos. Use a regra de L'Hopital para mostrar que se os juros
forem compostos continuamente, então o montante
após anos será:
RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS
1a)
1b)
e
e
1c)
e
1d)
1e)
e
1f)
e
1g)
e
1h)
e
e
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
12a)
e
com
e
e
11)
e
13a)
13b)
13c)
13d)
13e)
13f)
13g)
13h)
13i)
13j)
13k)
13l)
As Origens da Regra de L'Hopital:
A regra de L'Hopital foi publicada pela primeira vez em 1696, no livro Analyse des Infiniment Petits, do matemático Guillaume François
Antoine, o Marquês de L'Hopital, mas na verdade ela foi descoberta em 1694 pelo matemático suíço John (Johann) Bernoulli. Uma
explicação para esse fato é que esses dois matemáticos fizeram um curioso acordo, que dava ao Marquês de L'Hopital os direitos das
descobertas de Bernoulli. Entretanto, parece não existir um consenso sobre a história do tal “acordo”.
Baseado num texto de: STEWART, James. Cálculo. v.1. 5. ed. São Paulo: Thomson, 2006.
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DIFERENCIAÇÃO OU DERIVAÇÃO IMPLÍCITA [Notas de Aula]
Introdução:
Funções Explícitas:

y  x 5  14x 2  3

f ( x)  3x 2  1

g ( x)  x  sen ( x)
Funções Implícitas:

y










y

x
x




























x 2  y 2  25











y 5  3x 2 y 2  5 x 4  12
y

y








x
x






























x 3  y 3  6 xy

[Fólio de Descartes]
[Forma Polar:
Outros exemplos:

y 3  sen ( x 2 y)  y  e 3 x

y 4  2 xy  3. ln( y)  sen ( x)  1
( x 2  y 2 ) 3  9( x 2  y 2 ) 2
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r  3 cos (2 ) ]

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Exemplos:
1) Derive as expressões dadas a seguir:
a)
3x 2  y  12  0
b)
x 2  y 2  25
Tópico Extra!
[b1] Derive explicitamente as
c)
xy  1
d)
x 3  y 3  6 xy
e)
funções de
x 2  y 2  25 .
[b2] Determine o
coeficiente
angular da reta tangente à curva
x 2  y 2  25 no ponto em
que x  3 , do 1º quadrante.
y 3  sen ( x 2 y)  y  e 3 x
Espaço para Anotações:
Para refletir:
A Álgebra é generosa; ela frequentemente contribui com mais do que foi pedido.
Jean le Rond d’ Alembert (1717-1783)
In Carl B. Boyer: A History of Mathematics [Wiley, 1968, p. 481]
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EXERCÍCIOS – Derivação Implícita
1) Determine implicitamente a derivada
a)
das funções dadas a seguir.
[]
b)
h)
[]
i)
c)
j)
d)
k)
e)
l)
f)
m)
g)
n)

[] Construa o gráfico
das funções indicadas
utilizando um software
adequado!
[] é conhecida como curva do diabo!
[]
2) Dada a equação
, chamada Quártica Especial de Lamé [sendo, às vezes, apelidada de círculo gordo],
determine
e
e utilize um software para representá-la graficamente, confirmando seu singelo “apelido”.
Ao final da aula de cálculo, o professor pergunta: alguma dúvida?
RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS
1a)
1b)
1c)
1d)
1e)
1f)
1g)
1h)
1i)
1j)
1k)
1l)
1m)
–
1n)
–
2)
e
Para refletir: A vida é um eco. Se você não está gostando do que está recebendo, observe o que está emitindo. (Lair Ribeiro)
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Resolução do Exercício 2 – Derivação Implícita
x 4  y 4  16
Calculando a 1ª derivada:
4 x 3  4 y 3 y  0
 Derivação Implícita em relação à variável
x.
4 y 3 y   4 x 3
y  
4x3
4 y3
x3
y   3
y
 Logo, a 1ª derivada é:
 x
y     
 y
3
Calculando a 2ª derivada:
Inicialmente, vamos “preparar” a expressão
y   x 3 
y  
x3
y3
para facilitar o cálculo da 2ª derivada. Assim:
1
y3
y   x 3 . y 3
 Agora, fazendo a Derivação [pela Regra da Multiplicação]
y  ( 3x 2 ).( y 3 )  ( x 3 ).(3 y 4. y )
y   3x 2 y 3  3x 3 y 4.( y)
 Lembre-se que:
y   x 3. y 3
y   3x 2 y 3  3x 3 y 4 .( x 3. y 3 )
y   3x 2 y 3  3x 6 y 7
y    3x 2 
1
1
 3x 6  7
3
y
y
y 
 3x 2
3x 6

y3
y7
 Tirando o
MMC
y 
 3x 2 y 4  3x 6
y7
 Note que:
x 4  y 4  16
de
y3
e
y7

y 4  16  x 4
 3x 2.(16  x 4 )  3x 6
y  
y7
y 
 48 x 2  3x 6  3x 6
y7
 48 x 2
y  
y7
 Logo, a 2ª derivada é:
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y  
48 x 2
y7
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CONSTRUINDO E INTERPRETANDO GRÁFICOS ATRAVÉS DE DERIVADAS [Máximos e Mínimos]
Relembrando...
O que o valor da derivada nos diz quando analisamos graficamente uma função?
Considere uma função f(x).
 Onde f’ é positiva [f’ > 0], a reta tangente ao gráfico de f(x) está “subindo”.
 Onde f’ é negativa [f’ < 0], a reta tangente ao gráfico de f(x) está “descendo”.
 Onde f’ é nula [f’ = 0], a reta tangente ao gráfico de f(x) não está “subindo e nem descendo”, está na horizontal.
Assim, temos que o sinal de f’ nos diz se f(x) é crescente ou decrescente. Logo:
 Se f’ > 0 em um intervalo, então f é crescente nesse intervalo.
 Se f’ < 0 em um intervalo, então f é decrescente nesse intervalo.
 Se f’ = 0 em um intervalo, então f é constante nesse intervalo.
Além disso, o valor absoluto da derivada nos dá a taxa de variação. Logo, se f’ é grande em módulo (positiva ou negativa),
então o gráfico de f(x) é bastante inclinado (para cima ou para baixo), enquanto, se f’ é pequena em módulo, o gráfico de
f(x) tem inclinação “mais suave” (mais próximo da horizontal). Com isso em mente, podemos entender melhor o
comportamento de uma função através do comportamento de sua derivada.
y
y

Derivadas Positivas
Derivadas Negativas

x
x
Texto acima adaptado do Livro:
HUGUES-HALLETT, Deborah et al. Cálculo de uma Variável. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2004.
Pontos Críticos
Seja f(x) uma função definida no intervalo fechado [ a , b ] definida pelo gráfico abaixo.
Vamos identificar, através dos valores de “x”, os pontos críticos, os extremos relativos e os extremos absolutos.
Y
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Os pontos críticos de uma função são aqueles em que a derivada é zero ou que a derivada não existe.
Esses pontos podem ser extremos relativos, ou ainda, pontos de inflexão, ou mesmo, “bicos” no gráfico.
Pontos Críticos:
f ( x)  0 :
x1 , x2 , x4 , x6 , x7
 f (x) :
x3 , x5 , x8
Nota:
O ponto de uma curva em que a
função muda sua concavidade é
chamado ponto de inflexão.
Extremos Relativos:
[Local]
Valores Máximos Relativos:
Valores Mínimos Relativos:
f(x4) e f(x6)
f(x2) , f(x5) e f(x7)
Extremos Absolutos:
[Global]
Valor Máximo Absoluto:
Valor Mínimo Absoluto:
f(a)
f(x5)
Observe, no gráfico, que o valor mínimo relativo f(x2) é MAIOR do que o valor máximo relativo f(x6).
Considere também que os pontos críticos da função em: x1 , x3 e x8 NÃO representam um extremo relativo.
Fonte: http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap15_Calc1.html
[i] Critério da Derivada Primeira:
a) Para determinar quais são os extremos relativos de uma função f (x) , devemos encontrar os valores para os quais a
derivada de uma função é igual a zero, ou seja, f ( x)  0 . Veja o esquema abaixo:
c
b) Para determinar se os extremos relativos de uma função f (x) são valores de máximo ou de mínimo, analisamos:
–
+
 f (x) é decrescente
f ( x)  0 para x  c
 f (x) é crescente
Logo, f (x) tem mínimo relativo em c
c
+
f ( x)  0 para x  c
–
c
f ( x)  0 para x  c
 f (x) é crescente
f ( x)  0 para x  c
 f (x) é decrescente
Logo, f (x) tem máximo relativo em c
[ii] Critério da Derivada Segunda:
P
Note que no exemplo ao lado, em ambos os lados do ponto P, o gráfico da função é
crescente, mas à esquerda de P a concavidade está para baixo e à direita de P a
concavidade está para cima. O ponto em que uma função muda sua concavidade é
chamado ponto de inflexão, nesse caso, o ponto P.
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Assim:
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a) Para determinarmos o(s) ponto(s) de inflexão [caso exista(m)], devemos encontrar o(s) ponto(s) em que
a derivada segunda se anula, ou seja, f ( x)  0 .
b) Para determinar a concavidade de uma função, ou seja, se a função é côncava para cima ou côncava para
baixo, num dado intervalo, analisamos:
y
Com f (x) crescendo, a função f (x) é côncava para cima [nesse intervalo]
x
y
Com f (x) decrescendo, a função f (x) é côncava para baixo [nesse intervalo]
x
Então, concluímos que:
 Se f ( x)  0 então a curva de f (x) é côncava para cima.
 Se f ( x)  0 então a curva de f (x) é côncava para baixo.
Exemplos:
1) Avalie os pontos críticos e as concavidades das funções:
a) f ( x)  x 2  6 x  10
b) g ( x)  x 3  1
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2) Construa o gráfico da função f ( x)  x 3  3x 2  4 e identifique os pontos críticos.
Note que:
3
2
lim ( x  3x  4)   
x 
Revisando:
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e
3
2
lim ( x  3x  4)    .
x 
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EXERCÍCIOS – Construindo e Interpretando Gráficos Através de Derivadas
1) Construa o gráfico da função f ( x)  x 3  3x  3 , indicando os extremos relativos e os pontos de inflexão.
2) Construa o gráfico da função f ( x)  x 4  2 x 2  2 , indicando os extremos relativos e os pontos de inflexão.
3) Construa o gráfico da função g ( x)  x 4  4 x 3  10 , indicando os extremos relativos e os pontos de inflexão.
4) Construa o gráfico da função h( x)  64x 

x3
, determinando todos os pontos críticos.
3
5) Construa o gráfico da função y  ( x 2  3). e x , indicando os extremos relativos e o ponto de inflexão.
RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS
1)
2)
3)
4)
5)
Para refletir: As ciências têm as raízes amargas, porém
os frutos são doces. [Aristóteles]
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PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO [MÁXIMOS E MÍNIMOS]
EXEMPLO 1: Quais devem ser as dimensões [em cm] de uma lata com capacidade de 1 litro e com a forma de um cilindro
reto, de modo que se utilize o mínimo de material? Observação: Ignore a espessura do material e o ‘desperdício’ na
fabricação.
Eu estava furioso por não ter sapatos; então encontrei um homem que não tinha pés e me dei por muito satisfeito. [Provérbio Chinês]
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EXEMPLO 2: Suponha que, numa empresa, a receita seja definida por R( x)  9 x e que o custo de produção seja definido
por C ( x)  x 3  6 x 2  15 x , ambos em reais, onde “x” representa milhares de unidades de um produto. Qual o nível de
produção que maximiza o lucro?
Dica do Prof. Tomio!
Na resolução dos problemas de otimização, você deve “montar” uma função [obviamente, respeitando os dados do problema] em que a
variável dependente [costumamos representá-la por “y”] é aquela que representa a grandeza do problema que necessitamos otimizar,
ou seja, calcular o seu valor máximo ou mínimo.
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EXERCÍCIOS – Problemas de Otimização [Máximos e Mínimos]
1) Uma caixa aberta deve ser feita com uma folha de papelão,
medindo 8 cm de largura por 15 cm de comprimento,
cortando-se quadrados iguais dos 4 cantos e dobrando-se os
lados. Qual deve ser o tamanho dos quadrados cortados para a
obtenção de uma caixa com o máximo volume?
2) Um terreno retangular é cercado por 1500 m de cerca. Quais as dimensões desse terreno para que a sua área seja a
maior possível? E qual a área máxima?
2
3) [ROCHA] Um tipógrafo quer imprimir diplomas retangulares com 512 cm de texto impresso, margens superior e
inferior de 6 cm e margens laterais de 3 cm cada uma. Quais as dimensões da folha para minimizar o gasto de papel?
4) Uma área retangular está limitada por uma cerca de arame em três de seus lados e por um rio reto no quarto lado.
Ache as dimensões do terreno de área máxima que pode ser cercado com 1.000 m de arame.
5) [ANTON] Um terreno retangular deve ser cercado de duas formas. Dois lados opostos devem receber uma cerca
reforçada que custa R$ 3,00 o metro, enquanto os outros dois restantes recebem uma cerca-padrão de R$ 2,00 o metro.
Quais são as dimensões do terreno de maior área que pode ser cercado com R$ 6.000,00?

6) O rio da figura a seguir tem uma largura de 100m e o ponto C está deslocado de 400m do ponto A, na outra
margem. Deseja-se ir do ponto A ao ponto C, fazendo o percurso AB remando e depois BC correndo pela margem.
Sabendo que se pode remar a 40m/min e correr a 100m/min, qual deve ser o valor do segmento “BC” para que essa
travessia seja feita no menor tempo possível? Qual é o menor tempo que será gasto para executar tal travessia?
Lembre-se que: V 
S
t
3
7) [ANTON] Um recipiente em forma de paralelepípedo com base quadrada deve ter um volume de 2.250 cm . O material
2
2
para a base e a tampa do recipiente custa R$ 2,00 por cm e o dos lados R$ 3,00 por cm . Quais as dimensões do
recipiente de menor custo?
8) Uma lata cilíndrica fechada tem capacidade de 1 litro. Mostre que a lata de área mínima é obtida quando a altura do
cilindro for igual ao diâmetro da base.
9) Um grupo de escoteiros possui uma peça de lona circular de 3 m de raio. Cortando-se um setor circular pode-se
construir uma tenda de forma cônica. Quais as dimensões da tenda para que seu volume seja máximo?
2
10) Uma folha de papel para um cartaz tem 2 m de área. As margens no topo e na base são de 25 cm e nas laterais 15 cm.
Quais as dimensões da folha para que a área limitada pelas margens seja máxima?
11) Um fazendeiro tem 200 bois, cada um pesando 300kg. Até agora ele gastou R$ 380.000,00 para criá-los e continuará
gastando R$ 2,00 por dia para manter cada boi. O gado aumenta de peso a uma razão de 1,5 kg/dia. Seu preço de venda
hoje é R$ 18,00 o quilograma, entretanto o preço cai 5 centavos por dia. Quantos dias deveria o fazendeiro aguardar para
ter o maior lucro possível?
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12) [ANTON] Ache o raio e a altura de um cilindro circular
reto com o maior volume, o qual pode ser inscrito em um
cone reto com 10 cm de altura e 6 cm de raio.
13) Dois terrenos retangulares, com dimensões x e y e um lado comum x, como mostra a figura, devem ser murados. Cada
2
terreno tem uma área de 400 m . Determinar as dimensões de cada terreno para que o comprimento do muro seja o
menor possível.
14) Certa fábrica produz embalagens retangulares de papelão. Um de seus compradores exige que as caixas tenham 1 m
3
de comprimento e volume de 2 m . Quais as dimensões de cada caixa para que o fabricante use a menor quantidade de
papelão?
15) [FLEMMING] Um retângulo é inscrito num triângulo retângulo de
catetos medindo 9 cm e 12 cm. Encontre as dimensões do retângulo
com maior área, supondo que a sua posição é dada na figura ao lado.
3
16) Um agricultor deseja construir um reservatório cilíndrico, fechado em cima, com capacidade de 6.280 m . Sabendo
2
que o custo da chapa de aço é de R$50,00 o m , determine:
a) o raio e a altura do reservatório de modo que o custo seja mínimo;
b) o custo mínimo.
3
2
17) [FERREIRA] Sendo 5.832 cm o volume de um reservatório de água sem tampa com base quadrada, R$ 3,00 por cm o
2
preço do material da base e R$ 1,50 por cm o valor do material para os lados, calcule as dimensões desse reservatório de
modo que o custo total do material seja mínimo.
18) Uma forma líquida de penicilina produzida a granel por uma indústria farmacêutica, é vendida a granel a um preço de
2
R$ 200,00 a unidade. Se o custo total de produção para “x” unidades for C(x) = 500.000 + 80x + 0,003x e se a capacidade
de produção da fábrica for, de no máximo, 30.000 unidades por mês, quantas unidades de penicilina devem ser fabricadas
e vendidas nesse período para que o lucro seja máximo? E qual o valor do lucro máximo?
19) Uma certa indústria vende seu produto por R$ 100,00 a unidade. Se o custo da produção total diária, em R$, para “x”
2
unidades for C(x) = 0,0025x + 50x + 100.000 e se a capacidade de produção mensal for, de no máximo, 15000 unidades,
quantas unidades desse produto devem ser fabricadas e vendidas mensalmente para que o lucro seja máximo?
20) [FLEMMING] Uma fábrica produz “x” milhares de unidades mensais de um determinado artigo. Se o custo da produção
3
2
2
desta fábrica é dado por C = 2x + 6x + 18x + 60, e o valor obtido na venda é dado por V = 60x – 12x , determinar o
número ótimo de unidades mensais que maximiza o lucro L = V – C.
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21) Suponha que o número de bactérias em uma cultura no instante “t” é dada por N = 5000.(25 + t.e
número de bactérias durante o intervalo de tempo: 0  t  100.
–t/20
). Ache o maior
22) [MUNEM] Uma centena de animais pertencendo a uma espécie em perigo estão colocados numa reserva de proteção.
Depois de “t” anos a população “p” desses animais na reserva é dada por p  100
t 2  5t  25
t 2  25
. Após quanto tempo a
população será máxima?
3
23) Um tanque para peixes, de base quadrada, deve ser construído de forma que seu volume seja 2500 m . O material do
2
2
fundo do tanque (base) vai custar R$ 1200,00 por m e o material das paredes (laterais), R$ 980,00 por m . Encontre as
dimensões do tanque de modo que o custo material seja mínimo.
24) Um cilindro deve ser fabricado para conter 6 litros. Que medidas [raio e altura] devem ter esse cilindro para custar o
mínimo possível, sabendo que:
2
2
 O material do fundo custa R$ 5,00/dm ;
 O material da lateral custa R$ 3,00/dm ;
2
3
 O material da tampa custa R$ 2,00/dm ;
 1 litro = 1 dm .
2
25) Um clube campestre será construído, tendo uma área de 12.100 m . A prefeitura exige que exista um “pedaço” livre,
com 25m na frente, 20m nos fundos e 12m em cada lado do terreno. Encontre as dimensões do lote [retangular] que
tenha área mínima na qual possa ser construído esse clube.
RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS
01) 5/3 cm
14) Largura = altura =
02) 375 m por 375 m e 140.625 m
2
m
15) 4,5 cm por 6 cm
03) 22 cm por 44 cm
16a) r = 10 m e h = 20 m
04) 250 m por 500 m
17) Base de 18 cm por 18 cm e altura de 18 cm
05) 500 m por 750 m
18) 20.000 unidades e R$ 700.000,00
06) x = 356,36 m e t = 6,29 min
19) 10.000 unidades
07) Base de 15 cm por 15 cm e altura de 10 cm
20) 1.000 unidades
08) h = 2r = 10,8 cm
21) t = 20  N  161.788 bactérias
09) r =
m e h=
16b) R$ 94.200,00
22) Após 5 anos
m
10) 1,09 m por 1,83 m
23) 15,98 m e 9,79 m
11) 66,67 dias
24) r = 0,935 dm e h = 2,185 dm
12) r = 4 cm e h = 10/3 cm
25) 104,33 m por 195,62 m
13) x =
m e y=
m
Para descontrair! [se puderes]
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TABELA DE DERIVADAS
Considere:
u  u( x ) ,
v  v( x ) ,
Propriedade da Linearidade:
y' 
dy
dx
u' 
e
du
dx
e ainda “k” e “a” como constantes
d
d
d
(k u  v )  k
(u) 
(v)
dx
dx
dx
Fórmulas:
1) y  k
y'  0
11) y  senu
y '  u ' cos u
2) y  k u
y'  k u'
12) y  cos u
y '   u ' sen u
3) y  u
y '   u  1 u '
13) y  tg u
y '  u ' sec 2 u
4) y  au , a  1 e a  0
y '  ln a au u '
14) y  cotg u
y '   u ' cosec 2 u
5) y  eu
y '  eu u '
15) y  sec u
y '  u ' tg u sec u
6) y  log a u
y' 
1 u'
ln a u
16) y  cosec u
y '   u ' cotg u cosec u
7) y  ln u
y' 
u'
u
17) y  arcsenu
y' 
y'  u.v'  v.u'
18) y  arctg u
y' 
v.u'  u.v'
v2
19) y  senh u
y '  u ' coshu
20) y  cosh u
y '  u ' senhu
8) y  u . v
9) y 
u
v
10) y  uv
Função Composta:
y' 
y '  v uv  1 u ' uv ln u v '
Se u  u (x) e x  x(t ) ,
então:
du
dt

du dx

dx dt
1
1  u2
u'
1
u'
1  u2
[Regra da Cadeia]
dy
Função Paramétrica:
Se y  y(t ) e x  x(t ) ,
então:
dy
dx

dt
dx
dt
Função Inversa:
Se y  f (x) admite inversa, então:
dy
dx

1
dx / dy
Para refletir: A verdadeira viagem de descoberta não está em procurar novas paisagens, mas em adquirir novos olhos.
[Marcel Proust, Em busca do tempo perdido]
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