matA12
cálculo diferencial
1.
Considere a representação gráfica da função f.
Determine:
1.1.
A variação de f em  2, 4 .
1.2.
A variação de f em  0,6 .
1.3.
tmv0,6
1.4.
Indique um intervalo do domínio onde a taxa média de
variação é 2.
2.
A figura representa um reservatório com três metros de
altura. Considere que, inicialmente, o reservatório está
cheio de água e que, num certo instante, se abre uma
válvula e o reservatório começa a ser esvaziado.
O reservatório fica vazio ao fim de catorze horas.
Admita que a altura, em metros, da água no reservatório,
t horas após este ter começado a ser esvaziado, é dada por
1 

h  x   log 2  8  t  , t  0,14
2 

Prove que a taxa de variação média de h no intervalo 0,11 é 0,2 . Interprete este valor
no contexto da situação descrita.
3.
Dada a função f, real de variável real, definida por f  x   x 2  3x .
3.1.
Calcule a razão incremental, tmv, de f entre os pontos 2 e 3.
3.2.
Calcule
3.2.1.
3.2.3.
3.3.
4.
f 1
f 1  h   f 1
h
3.2.2.
f 1  h 
3.2.4.
lim
h 0
f 1  h   f 1
h
Indique o valor da derivada de f no ponto de abcissa 1.
Seja f uma função de domínio
4.1.
Determine f  5  f  2 
4.2.
Indique o valor de tmv  2,5
4.3.
Mostre que f '  2   3
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e que f  2  h   f  2  2h2  3h, h 
.
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cálculo diferencial
5.
Recorrendo à definição de derivada de uma função num ponto, determine:
5.1.
f '  0  , considerando f  x   x2  1
5.2.
f '  2  , considerando f  x   x3  x
5.3.
f '  5 , considerando f  x  
5.4.
f ' 1 , considerando f  x   x  2
5.5.
f '  1 , considerando f  x   e x
5.6.
f '  5 , considerando f  x   ln x
6.
6.1.
7.
x3
x2
Seja f uma função tal que a sua derivada no ponto de abcissa -3 é 5. Determine o valor de:
lim
x 3
f  x   f  3
6.2.
x 9
2
lim
h 0
3h
f  3  h   f  3
Considere a função, real de variável real, definida por f  x   4 x3  3x .
7.1.
Recorrendo à definição de derivada de uma função num ponto, determine f '  2  .
7.2.
Escreva uma equação reduzida da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 2.
7.3.
Escreva uma equação da reta normal ao gráfico de f no ponto x  2 .
8.
9.
9.1.
9.2.
Seja f  x  uma função, real de variável real, e f '  a  , a derivada de f no ponto de abcissa
a. Mostre que uma equação reduzida da reta tangente a f no ponto x  a é dada por
y  f '  a  x  a   f  a  .
Seja f a função definida por f  x    x 2  4 x .
Determine f '  a  , onde a 
.
Determine o ponto do gráfico de f onde a reta tangente é horizontal e escreva a respetiva
equação da reta.
10. Considere a função f  x   x 2  1 .
10.1. Utilizando as potencialidades da máquina de calcular gráfica, faça um esboço do gráfico
da função f.
10.2. Por observação do gráfico, o que pode concluir acerca do sinal de f '  2  e de f '  2  ?
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10.3. Confirme a resposta da alínea anterior calculando f '  2  e f '  2  através da definição.
10.4. Escreva as equações das retas tangentes ao gráfico da função f, nos pontos x  2 x  2 .
11. Considere as funções f e g representadas graficamente.
Mostre que existe f '  0  , mas não existem g '  0  e g ' 1 .
12. Escreva a equação da reta tangente à curva y  f  x  , em x  a , sabendo que f '  a  
1
e
2
que a reta tangente à curva contém a origem do referencial.
13. Na figura encontra-se parte da representação gráfica da
função f, sendo r uma semitangente ao gráfico no ponto
de abcissa 5.
13.1. Determine f '  5  e f '  5  .
135º
13.2. Existe f '  5 ?
13.3. Defina por uma condição as semitangentes ao gráfico
em x  5 .
14. Seja f a função definida por:
 1x
f  x   e
 x
se x  0
se x  0
Investigue se f tem derivada em 0.
15. Indica a veracidade de cada uma das seguintes afirmações.
15.1. Numa certa função f sabe-se que f ' 1  2 , então a função é contínua no ponto 1.
15.2. Se g tem lim g  x   g 1 , então a função g é derivável no ponto 1.
x 1
15.3. Se f é contínua no ponto 2, então é derivável nesse mesmo ponto.
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cálculo diferencial
16. Considere a função f de domínio
graficamente na figura ao lado.
representada
16.1. Em x  2 a função é descontínua. Justifique esta
afirmação.
16.2. Qual o resultado de lim
f  x   f  2
x2
x 2
?
16.3. As derivadas laterais de x  2 são iguais? Justifique.
17. Considere a função g representada graficamente.
17.1. Determine g '  2  , g '  2  , g '  4  e g '  4  .
17.2. Comente a afirmação “A função g é derivável em x  2
porque g '  2   g '  2  .”
17.3. A função é derivável em x  4 ? Justifique.
18. Prove, recorrendo a processos analíticos, que a função h definida por h  x   x  1 é
contínua no ponto de abcissa 1, mas não tem derivada nesse ponto.
19. Consideremos uma função f de domínio



e que:
f é contínua em x  4

f ' 2  0

não existe f '  4 
f ' 10   
Faça um esboço de um possível gráfico de f.
20. Sabe-se que g é uma função definida em  4,  e que:

g  5  2

g '  5  2

g '  7  existe

g  7  é um máximo
20.1. Justifique que g é contínua em x  5 .
20.2. Indique o valor de g '  7  .
20.3. Determine o valor de lim
x 5
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2 g  x    g  5 
2
x 2  7 x  10
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21. Na figura encontra-se representada graficamente a função f de domínio  3, 4 .
Qual o domínio da derivada de f ?
22. Na figura encontra-se a representação de parte do gráfico de uma função g de domínio
.
22.1. Qual o domínio de g’, derivada de g?
22.2. Caraterize g’.
23. Caraterize a função derivada da função f definida por:
 x
se x  0

f  x   x  2
3x 2  1 se x  0

Bom trabalho!!
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10.
10.1.
Soluções
1.
1.1.
-5
1.3.

2.
-4
1.4.
0, 2
Por exemplo:
“A altura da água no reservatório desceu,
em média, 0,2 metros por hora, entre os
instantes correspondentes a seis e onze
horas após a abertura da válvula.”
3.
3.1.
4
h 2  5h
h
3.3.
4.
4.1.
4.3.
2
3
1.2.
27
3
3.2.
h2  5h  4
3.4.
5
4.2.
5.4.
0
3
6
5.2.
11
5.5.
1
e
10.3.
10.4.
f '  2   0 e f '  2   0
2 5
2 5
, f '  2   
5
5
2 5
5
Tangente: y 
x
5
5
2 5
5
Normal: y  
x
5
5
f ' 2 
11.
9
5.
5.1.
10.2.
5.3.

5.6.
1
5
5
9
1
x
2
12.
y
13.
13.1.
f '  5   2 , f '  5   1
13.2.
13.3.
Não
y  2x  6 e y   x  9
6.
6.1.
7.
7.1.
7.2.
7.3.

5
6
6.2.
45
y  45x  64
1
1172
y x
45
45
8.
9.
9.1.
9.2.
f '  a   2a  4
a  2, y  4
3
5
14.
15.
15.1.
15.2.
15.3.
Verdadeiro
Falso
Falso
16.
16.1.
Porque lim f  x   lim f  x 
16.2.
16.3.

Não, f '  2    e f '  2  tem
x 2
x 2
derivada finita
17.
17.1.
g '  2    , g '  2    ,
g '  4    e g '  4   
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cálculo diferencial
17.2.
Falso, pois g '  2  e g '  2  não
17.3.
têm derivada finita
Não
18.
19.
20.
20.1.
Por exemplo:
20.2.
Existe derivada finita em x  5 ,
logo a função é contínua nesse
ponto.
g '7  0
20.3.

21.
D f '  3,4 \ 1,1,3
22.
22.1.
Dg ' 
4
3
\ 1,2
22.2.
0 se

g '  x   1 se
2 se

x  1
-1<x  2
x2
23.
 2
2

f  x     x  2
 6x

se x  0
se x  0
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