Maiores de 23
Teste formativo 6
23.maio.2014
Nome:
UTAD — ECT — Maiores de 23
Matemática: preparação para acesso
Teste formativo 6 (Funções); 23.maio.2014
Número de CC:
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1. Seja f uma função real. de variável real, tal que
( −x
e
x<0
x ,
f (x) =
2 sin x cos x − cos x, x > 0
(a) Num referencial retangular Oxy, verifique se f
admite assı́ntotas paralelas ao eixo Oy.
(b) No intervalo ] − ∞; 0[, caracterize a variação de
f e respetivos extremos locais.
(c) Identifique os zeros de f , no intervalo ] − 3; 3[.
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5. Considere f :] − π; π[→ R, tal que f (x) =
cos x
1+cos x .
(a) Analise a função, quanto à existência de assı́ntotas.
(b) Caracterize a variação de f ; e respetivos extremos.
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6. Considere a função real f , de variável real, tal que
( ex −1
x , x<0
f (x)
3x+2
2x+2 , x > 0
(a) Mostre que f é contı́nua.
(b) Caracterize a variação de f , em R+ .
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2. Considere a funão f ; R → R tal que
(
1 + x2 ex+1 , x 6 0
f (x) =
x+sin x
,
x>0
x
(a) Identifique o domı́nio de continuidade de f .
(b) Mostre que f tem um único extremo no intervalo ] − ∞; 0[.
(c) Considere a reta r de equação y = 1.
Mostre que existe uma infinidade de pontos de
interseção de r com o gráfico de f .
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3. Considere a função f : [0; 2π] → R tal que
(
1 + ln(π − x), 0 6 x < π
f (x)
cos(2x),
π 6 x 6 2π
(a) Identifique o domı́nio de continuidade de f .
(b) Identifique os zeros de f .
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4. Considere f : R+ → R,
f (x) = x + sin( πx ).
(a) Justifique que a reta de equação y = x é uma
assı́ntota de f .
7. Considere a função real f , de variável real, tal que
f (x) = 1 + 3x2 e−x .
(a) Caracterize a variação de f ; e respetivos extremos.
(b) Justifique a proposição:
existe xo ∈] − 1; 0[ tal que f (x0 ) = 4.
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8. Seja f : R+ → R, tal que f (x) = ln(x + x1 ).
(a) Caracterize a variação de f ; e respetivos extremos locais.
(b) Calcule lim (f (x) − ln x).
x→+∞
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9. Considere g : [0; +∞[→ R, g(x) = ln(1 + x) − x.
(a) Caracterize a varação de g; e respetivos extremos locais.
(b) Justifique, ou refute, a proposição:
qualquer que seja x ∈ R+ , g(x) < 0.
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10. Seja f a função real, de variável real, tal que
(b) Escreva uma equação da reta tangente ao gráfico
de f , no ponto (2, f (2)).
(c) Justifique que, no intervalo ]1, +∞[, f não tem
zeros.
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f 0 (x) = (x + 1)ex − 10x.
Sabe-se que o gráfico de f tem um único ponto de inflexão; e que a abcissa deste pertence a um intervalo
da forma ]n; n + 1[, onde n é um número inteiro.
Identifique n.
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fim