UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA
FACULDADES DE CIÊNCIAS INTEGRADAS DO PONTAL
Notas de aula:
Cálculo Numérico
Parte V
Prof. Dr. Homero Ghioti da Silva
2013
1
1
Interpolação e Aproximação de funções de
uma Variável real
A proposta desta seção é aprender maneiras de aproximar por funções ou
polinômios para um dado conjunto finito de dados em funções de teor mais
complexo.
Exemplo:
Pm
Sendo f uma função, então considere f∗ =
i=1 ci φi uma combinação
linear de funções φi ; i = 1, ..., m sendo uma aproximação para f.
Conhecendo-se um número finito de pontos do gráfico de f i a saber
{(xj ,f(xj )); i = 1, ..., n}. Tomando φi (xj ) = f(xj ) para qualquer i = 1,
..., m, temos que, a determinação dos coeficientes Ci dá origem ao sistema
linear:

c1 φ(x1 ) + c2 φ(x2 ) + ... + cm φ(xm ) = f (x1 )



c1 φ(x1 ) + c2 φ(x2 ) + ... + cm φ(xm ) = f (x2 )
.................



c1 φ(x1 ) + c2 φ(x2 ) + ... + cm φ(xm ) = f (xn ).
Sendo m o número de icógnitas e n o número de equações.
Se m = n e as funções φi forem linearmente independentes, estão o sistema
acima tem uma única solução e teremos, portanto, uma interpolação de f .
Se n > m, o sistema tem mais equações do que icógnitas e o sistema pode
ser sobredeterminado.
Neste caso, a sobredeterminação pode ser usado para reduzir o erro
aleatório na aproximação dessa funções, dando ao sistema uma forma regular.
Exemlo de Interpolação:
FIGURA
Nem todo ponto deve fazer parte da interpolação, deve-se usar extrapolação neste caso. Interpolação pode resultar em um grande erro de aproximação.
Exemplo de interpolação de um conjunto de dados por um polinômio.
Resumindo...
1. Interpolação: Busca de uma função interpoladora para os dados ou
função de mais complexo tratamento. Maior a quantidade de dados,
melhor a aproximação para a interpolação. (pontos muito fora deve-se
extrapolar ou cancelar).
2. Sobredeterminação: Busca de qual equação da reta, ou função exponencial ou polinômios mais aproximados com os conjuntos de dados
2
informados. (Problema de minimização de erro pontual da curva obtida e os dados informados.
Exemplo
FIGURA
Exemplo de sobredeterminação. A melhor reta que aproxima estes resultados.
Malha com o ponto (xi ,f(xi )), f∗ uma reta gerada por duas funções φ0 =
1 e φ0 = x.
Interpolação:
As funções interpolantes mais comuns são as combinações lineares formados por {gi }i=1 n , onde gi são monômios {xk }, 0 ≤ k ≤ n, funçẽs trigonométricas {sen(kx), coss(kx)}, e as exponenciais {ebk x }; 0 ≤ k ≤.
1.1
Interpolação por Monômios ou Polinômial
São os mais simples e sempre existem, garantidos pelo seguinte Teorema de
Weirstrass:
Se f é uma função contı́nua num intervalo fechado [a,b], então, dado >
0, existe algum polinomial de ordem n, Pn com n = n(), tal que:
|f (x) − Pn (x)| < , parax ∈ [a, b]
O teorema acima da existência
do polinômio, mas não ensina como obtêPn
lo. Supondo que Pn (x) = i=0 ai xi .
Achar os coeficientes ai resulta diferentes métodos de interpolação, estes
diferentes métodos de interpolação define diferentes formas para o erro de
truncamento e que devem ser estudados cuidadosamente.
1.2
Interpolação Polinomial por Diferençãs Divididas
Finitas (DDF)
Considere uma função f , contı́nua em [a,b] diferenciavel em (a,b). Seja x0 ∈
[a,b] então ∀ x ∈ [a,b]; x 6= x0 temos:
Definição: A diferença dividida finita de primeira ordem de f é definido
por:
f (x) − f (x0 )
x − x0
Definição de DDF para ordem superiors também pode ser definida segundo a tabela abaixo.
f [x, x0 ] =
3
Ordem
0
1
2
...
n
DDF
f[x0 ]
f[x1 , x0 ]
f[x2 , x1 , x0 ]
...
f[xn , xn−1 , ..., x1 , x0 ]
Valor
f(x0 )
f (x1 )−f (x0 )
x1 −x0
f [x2 ,x1 ]−f [x1 ,x0 ]
x2 −x0
...
f [xn ,xn−1 ,...,x1 ]−f [xn−1 ,xn−2 ,...,x0 ]
xn −x0
Exercı́cio: Calcular DDfs da pg 139.
Propriedades:
• Irrelevância da ordem dos argumentos da DDF:
(x1 )
(x0 )
= f (xx00)−f
= f[x1 , x0 ].
f[x1 , x0 ] = f (xx11)−f
−x0
−x1
Generalizando por indução temos:
f [xn , xn−1 , ..., x1 , x0 ] = f [xα0 , xα1 , xα2 , ..., xαn ]
onde α1 , α2 , ..., αn é qualquer permutação dos inteirosn, n-1, ..., 2, 1, 0.
• Simetria das DDFs:
f (x1 )
f (x0 )
+
x1 − x0 x0 − x1
Por indução e manipulação algébrica nas diferenças, demonstra-se que:
f [x1 , x0 ] = f [x0 , x1 ] =
f [xn , xn−1 , ..., x1 , x0 ] =
n
X
f (xi )
k=0;k6=i (xi − xk )
Qn
i−0
que é a forma simétrica geral das DDFs.
Interpolação Linear com DDF
Usa-se quando se conhece apenas dois pontos de f , isto é (x0 , f(x0 )) e (x1 ,
f(x1 )).
Suponha f sendo linear (Trivial).
FIGURA
é possı́vel ver que F[x, x0 ] = f[x1 , x0 ] (*)
(x0 )
Assim, f (x)−f
= f[x1 , x0 ] ⇔
x−x0
f (x) = f (x0 ) + (x − x0 )F [x1 , x0 ] = P1 (x)
f não linear
Sendo assim (*) não se verifica
4
FIGURA
Assim, P1 (x) ' f(x); x0 ≤ x ≤ x1
Assim,
f (x) = P1 (x) + R1 (x)
= f (x0 ) + (x − x0 )f [x1 , x0 ] + R1 (x)
(1)
ou seja, o erro de interpolação:
R1 (x) = f (x) − f (x0 ) − (x − x0 )f [x1 , x0 ]
= (x − x0 ){f [x, x0 ]}
= (x − x0 )(x − x1 )f [x, x1 , x0 ].
(2)
Supondo conhecido um terceiro ponto (x2 , f(x2 )) de gráfico de f , pode-se
estimar R1 (x), como:
R1 (x) ≈ (x − x0 )(x − x1 )f [x2 , x1 , x0 ]
1.3
Interpolação de Ordem Superior
n = 2 (segunda ordem).
Supõe-se que conhecemos os pontos ((x0 , f(x0 )), (x1 , f(x1 )), (x2 , f(x2 )))
do gráfico f.
Suponhamos que ∀ x0 ≤ x ≤ x2
R1 (x) = (x − x0 )(x − x1 )f [x, x1 , x0 ]
Assim
R1 (x)
}|
{
z
f (x) = f (x0 ) + (x − x0 )f [x1 , x0 ] + (x − x0 )(x − x1 )f [x2 , x1 , x0 ]
= P2 (x)
(3)
Assim, P2 passa pelos pontos {(xi , f(xi )}, i = 1, 2, 3.
Caso a igualdade f[x,x1 ,x0 ] = f[x2 ,x1 ,x0 ] não é satisfeita, pode se dizer
apenas que:
f (x) ' P2 (x)
FIGURA
5
Para se restabelecer a igualdade, insere-se um termo para o erro, isto é:
f (x) = P2 (x) + R2 (x)
onde, R2 (x) segue:
R1 (x) =
=
=
=
=
f (x) − P2 (x)
f (x) − f (x0 ) − (x − x0 )f [x1 , x0 ] − (x − x0 )(x − x1 )f [x2 , x1 , x0 ]
(x − x0 )f [x, x0 ] − f [x1 , x0 ] − (x − x0 )(x − x1 )f [x2 , x1 , x0 ]
(x − x0 )(x − x1 )f [x, x1 , x0 ] − f [x2 , x1 , x0 ]
(x − x0 )(x − x1 )(x − x2 )f [x, x2 , x1 , x0 ]
(4)
Este mesmo procedimento pode ser assumido até para uma aproximação
de ordem n onde:
f (x) = Pn (x) + Rn (x)
conhecendo-se os pontos (xi ,f(x1 )); 0 ≤ i ≤ n, onde
Pn (x) = f (x0 )+(x−x0 )f [x1 , x0 ]+(x−x0 )(x−x1 )f [x2 , x1 , x0 ]+(x−x0 )(x−x1 )(x−x−2)f [x3 , x2 , x1 x0
e
Rn (x) =
n
Y
(x − xi )f [x, xn , xn−1 , ..., x1 , x0 ]
i=0
Ver exemplo da página 139.
Fazer um programa para calcular Polinômios interpolador deste exemplo
e plotar em um gráfico.
Estimativa do Erro no uso de Interpolação Polinomial ou DDF ou Interpolação de Newton
Q
Temos que Rn (x) = ni=0;i6=k (xi − x − n)f [xn , xn−1 , ..., x0 ]
Teorema: Sejam f uma função contı́nua de ordem n + 1 (diferenciável até
a ordem n) em [a,b] e Pn a polinomial interpoladora, de ordem n, usando
DDF, nos pontos a = x0 < x1 < ... < xn . Então para cada x ∈ [a,b], existe
ξ ∈ (a,b), tal que:
n
Y
f n+1 (ξ)
Rn (x) =
(x − x1 )
; ξ ∈ (a, b)
(n + 1)!
i=0
Exemplo 5.2
6