Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciência e Tecnologia - PPGECT
Softwares como ferramenta no ensino de
Cálculo: estudo de caso para cursos de Tecnologia
Diego Paulo Penczkoski
Sani de Carvalho Rutz da Silva
André Koscianki
Resumo
Este artigo apresenta um estudo de análise qualitativa acerca das
dificuldades de aprendizagem na disciplina de Cálculo, da Universidade
Tecnológica Federal do Paraná no campus de Ponta Grossa, do curso de
Tecnologia em Automação Industrial. Propõe-se a utilização de softwares para
auxiliar a desenvolver conceitos matemáticos como facilitador do processo de
ensino-aprendizagem. Para conduzir esta investigação, aplicaram-se testes antes e
após o emprego dos recursos computacionais, visando diagnosticar a influência
destes sobre o desenvolvimento do raciocínio na resolução de problemas, bem
como ampliar as formas que os conteúdos da disciplina são repassados aos alunos,
contribuindo tanto para diminuir a ocorrência de dificuldades na visualização e
representação gráfica de funções quanto para a reflexão de conceitos durante a
resolução de exercícios.
Palavras-chave: Visualização Gráfica, Dificuldades de aprendizagem,
Recursos tecnológicos.
Abstract
Softwares as tool for teaching Calculus: a study case in Technological
graduation classes
This paper shows a qualitative analysis study about difficulties of learning
on Calculus classes, of Federal Technological University of Parana in Ponta
Grossa’s campus, for a graduation on Industrial Automation Technology. It
proposes using software to help develop mathematical concepts as a tool in
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teaching and learning process. To conduct this research, was applied tests before
and after introducing computational resources, in order to diagnose their
influence on student’s logical for solving problems development and it extend the
ways that course’s content can be passed to them, contributing to reduce
difficulties in visualization and graphical representation of functions as for
concepts reflections on solving exercises.
Keywords: Graphical visualization, Learning’s difficulties, Computational
resources.
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Introdução
Muitos estudos buscam explicar as causas do constante quadro de dificuldades na análise e
interpretação gráfica presente nos alunos de ensino superior. Como demonstrado por Villareal
(1999), Allevato (2007), Frescki e Pigatto (2009), a decorrência de dificuldades vem desde o
ensino básico. Uma vez que os assuntos tratados anteriormente são carregados com ‘macetes’ e
‘decoreba’, não visando a compreensão dos conceitos básicos.
Como no ensino superior, principalmente na área de exatas, a metodologia de ensino segue
o modelo tradicional, através de exposição do conteúdo e diálogo do conceito, atrelado muitas
vezes somente a livros-texto ou ao material copiado da lousa. Segundo Santos (2005), os
profissionais contam somente com os livros didáticos, seja por vontade própria ou por obrigação,
assim repassam o conhecimento de forma superficial e sem relação com a realidade em que o
estudante está inserido.
Além disso, os alunos mantêm a mesma postura de maus hábitos de memorização e
reprodução do ensino básico, não procuram aprender por contar própria, ficando dependentes de
professores ou até mesmo de colegas que conseguem solucionar o exercício. Para Frescki e
Pigatto (2009), as falhas no processo de ensino e aprendizagem, podem ser oriundas da
metodologia adotada pelo professor, da postura do aluno, de algum fator da Instituição de Ensino
Superior (IES) ou de alguma combinação das três.
O presente estudo se desenvolveu durante o Programa de Iniciação Científica (PIBIC),
realizada no curso superior de Tecnologia em Automação Industrial, da Universidade Tecnológica
Federal do Paraná (UTFPR - Campus Ponta Grossa). O experimento foi realizado com uma turma
ingressante no curso, visando demonstrar uma possível melhora nas dificuldades de análise e
interpretação gráfica dos alunos da disciplina de Cálculo.
A disciplina de Cálculo e os cursos de Tecnologia
Os cursos de Tecnologia se caracterizam pela menor duração que um curso convencional de
graduação, como uma Engenharia, e uma formação técnica mais aprofundada. Ou seja, os futuros
tecnólogos terão uma formação especializada em determinada área técnica de atuação.
Estes fatores aumentam a procura dessa modalidade de formação por pessoas que estão,
em sua maioria, a mais de 3 anos afastadas das salas de aula e que já atuam no mercado de
trabalho não dispondo de tempo suficiente para dedicar a uma graduação em período integral.
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Das diversas disciplinas do Curso Superior de Tecnologia em Automação Industrial, a de
Cálculo destaca-se, por sua importância no decorrer do curso e, como o Instituto Nacional de
Estudos e Pesquisas Educacionais (INEP) informa, pelo índice de reprovações.
Segundo Orton apud Villarreal (1999), estudos mostraram que os estudantes obtêm um
bom desempenho em tarefas algébricas, mas encontram dificuldades quando haviam
representações gráficas envolvidas. A autora evidencia que a maioria dos estudantes não domina
o conceito, até mesmo estudantes avançados no curso, mais isso não impede que consigam
resolver exercícios e problemas propostos.
O emprego da tecnologia no ensino-aprendizagem
A tecnologia se disseminou de tal forma que passou a fazer parte do cotidiano de
professores e alunos. Bittencourt (1998) afirma que, “as tecnologias sempre tiveram papel
importante na organização das sociedades, na forma de interação entre o homem e sua cultura,
particularmente as tecnologias da informação, que permitem o armazenamento, a difusão e a
elaboração de conhecimento”.
É impossível não cogitar seu uso, com o intuito de melhorar as técnicas de ensino,
possibilitando uma melhor visualização de fenômenos anteriormente abstratos para os alunos. As
políticas sociais, como a de inclusão digital, facilitaram o acesso à tecnologia e possibilitam que o
aluno adquira conhecimento através de sua utilização.
Os estudantes não necessitam mais de conhecimento algébrico para resolver uma equação
de 2º grau, pode-se alimentar uma calculadora gráfica e assim é possível se obter os dados de
interesse, como o vértice, as raízes e o gráfico. Porém, o que se busca é mesclar o uso da
tecnologia com o desenvolvimento do raciocínio dos conceitos aprendidos.
Deve-se ressaltar a importância do acesso à tecnologia fora do ambiente institucional,
possibilitando aos alunos confrontarem resultados sem a necessidade de recorrer diretamente ao
professor. O grande problema disso, é que a maioria dos softwares disponíveis tem um custo
relativo à obtenção de uma licença para uso, impossibilitando ao aluno adquiri-los.
Alternativamente, diversos pesquisadores contribuem desenvolvendo ‘softwares livres’, ou
softwares Open GL (licença global livre). Nicoladelli (2005), permeou o desenvolvimento de uma
plataforma para o ensino de lógica, focada em cálculo proposicional, sob a seguinte alegação:
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“As sociedades modernas, preocupadas com o desenvolvimento autosustentado,
desenvolvem
seus
próprios
mecanismos,
dispositivos
e
ferramentas, adequados às suas culturas e necessidades didático-pedagógicas.
Usam a educação como estratégia de desenvolvimento, procurando criar suas
próprias soluções inovadoras, o que lhes confere além de auto-suficiência, a
possibilidade de exportação de cultura e de tecnologia educacional. Como
consequência disto, disponibilizam à comunidade acadêmica e a população em
geral, ambientes de ensino-aprendizagem apropriados e atualizados”.
A criação de novos ambientes livres permite uma maior disseminação dessas plataformas, e
amplia o emprego delas pelos professores na didática de ensino. Allevato (2007) explica que,
diversas pesquisas evidenciam que a utilização de computadores nos ambientes de ensino conduz
os estudantes a desenvolverem um modo de pensar e de construir o conhecimento favorável à
aprendizagem de conteúdos ou conceitos matemáticos.
Pode-se afirmar, que a didática auxiliada pelo ambiente virtual contribuirá à aprendizagem
dos alunos, diminuindo a ocorrência de dificuldades de compreensão e melhorando o
desenvolvimento dos conceitos. Além disso, o aumento de interesse, provocará uma tendência
maior de o aluno procurar aprofundar no conteúdo por conta própria.
Procedimento de investigação
Para caracterizar a análise qualitativa, procurou-se definir qual seria a abordagem da
pesquisa. De acordo com Bittencourt (1998), as análises podem ser tratadas de diversos aspectos,
sendo que em torno do uso dos softwares se caracterizam:
- O modelo teórico onde deseja-se que o aluno se aproprie e as formas de
representação adequados para isso;
- As modificações a nível conceitual que esta modelização acarreta;
- A perspectiva de ensino-aprendizagem tanto do ponto de vista macro quanto
micro que nos possibilite tratar destas implicações, por exemplo articulando o uso de
programas educativos a uma teoria da didática, e
- A análise da utilização de determinados programas através das interações
aluno/conhecimento/conhecimento-tratado-pelo-programa/ professor.
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Selecionou-se focar uma abordagem referente ao último item, uma vez que o professor já
havia repassado todo o conteúdo relacionado a funções (quadráticas, exponenciais, logarítmicas e
trigonométricas) e assim seria possível identificar as dificuldades dos alunos em desenvolverem as
soluções através de métodos gráficos.
Para realizar esta identificação, elaborou-se um exercício onde os alunos, deveriam esboçar
graficamente quatro funções. O teste foi aplicado em sala de aula, após orientações do
pesquisador, e deveria ser elaborado individualmente. As funções presentes no teste serão
referenciadas como (1), (2), (3) e (4).
Sendo que, a análise das respostas, seria efetuada da forma como eles desenvolveram o
raciocínio do conceito. Por exemplo, em (1), o aluno deveria identificar que o gráfico da função
quadrática apresentaria concavidade para baixo, devido ao coeficiente negativo da porção ‘a2’, e
estaria deslocado em três unidades para a esquerda, referente ao valor -3 da porção ‘a0’.
f1 ( x) = − x 2 − 4 x − 3
(1)
Analogamente, as demais funções seguiram a mesma análise. Em (2), o aluno deveria
observar na equação, sua tendência a valores próximos as raízes do termo entre parênteses.
f 2 ( x) = ln( x 2 − 4)
(2)
Do mesmo modo, em (3), demonstrar a curva da função exponencial.
f 3 ( x) = 5 ⋅ e( x −1)
(3)
E em (4), além da capacidade de demonstrar o perfil senoidal no gráfico, perceber que a
senóide possui amplitude igual a 2.
f 4 ( x) = 2 ⋅ sen( x)
(4)
O grupo onde foi aplicado este ‘pré-teste’ era composto de 41 estudantes, sendo que,
todos realizaram o exercício proposto. Após análise dos resultados, o pesquisador deveria
ministrar uma aula no ambiente virtual, que deveria abranger as dificuldades apresentadas e
saná-las através de soluções pelo método gráfico utilizando o software.
O Laboratório de Eletrônica Auxiliada por Computador (LEAC) onde foi ministrada a aula no
ambiente virtual, possui 15 computadores com o software Maple®. Foram selecionadas, dentre os
presentes por ordem alfabética, 15 pessoas que acompanharam o pesquisador até o laboratório.
Procedeu-se uma breve apresentação do programa, e do modo como alimentar os dados, e
os alunos passaram a desenvolver as mesmas equações que haviam resolvido anteriormente no
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teste. As quatro funções foram resolvidas com o auxílio do recurso virtual, demonstrando o
raciocínio de conceito de cada função (discutidos anteriormente). Posteriormente, o pesquisador
apresentou uma simulação de um exemplo de aplicação prática, onde um vídeo1 mostrava a curva
senoidal de um osciloscópio submetido a uma corrente alternada.
Para finalizar a atividade, foram apresentados dois exemplos práticos, de aplicação futura
no curso, onde os alunos puderam visualizar aplicações do método gráfico na descarga de um
capacitor e como a somatória de senos de diferentes frequências e mesma amplitude produzem
uma onda quadrada (Transformada de Fourier). O grupo que realizou a atividade no ambiente
virtual foi submetido, em sala da aula, ao pós-teste. As análises dos resultados e discussões serão
abordadas a seguir.
Análise de resultados e Discussões
Os exercícios propostos foram aplicados nos alunos participantes, através de pré e póstestes, sendo as aulas em ambiente virtual com o software Maple® ministradas após a análise dos
resultados do pré-teste. Pode-se verificar nesta análise que o maior número de dificuldades
encontradas ocorreu nas funções (1), (2) e (3). Para ilustrar as dificuldades, a figura 1 apresenta a
resolução em 1-(a) por F.S. e em 1-(b) por D.S.G.
(a) Resolução elabora por F.S.
(b) Resolução elabora por D.S.G.
Figura 1 – Resultados obtidos no pré-teste
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Analisando o caso da figura 1-(a) observa-se que o aluno tentou definir o vértice da
parábola, e erroneamente obteve um valor para yv , que na verdade vale 1. Durante a atribuição
de pontos para traçar o gráfico cometeu outro erro, já que para f ( −2 ) = +1 , f ( −1) = 0 , f ( +1) = −8
e f ( +2 ) = −13 . Uma vez que o aluno considerou apenas os valores que obteve atribuindo valores
para ‘x’, pode-se afirmar que não levou em consideração o conceito de concavidade relacionado
ao coeficiente ‘a²’, que indica uma parábola com concavidade voltada para baixo.
Neste caso, é interessante mostrar que a abordagem algébrica sobrepõe à analítica.
Villarreal apud Allevato (2007), descreve este comportamento como um conflito, neste caso o
conflito pode ser causado pelo confronto de uma vivência anterior com ensino essencialmente
algébrico e as novas concepções de conceitos abordados na matemática do ensino superior.
Na figura 1-(b), o erro cometido se dá nas raízes da equação, o aluno tomou como raízes os
valores x1 = −1 e x2 = +3 , quando na verdade as raízes valem x1 = −1 e x2 = −3 . Porém,
apresentou conhecimento do conceito do coeficiente de ‘a²’ para determinar para que lado a
concavidade estaria voltada.
Dentre os alunos que foram submetidos ao ambiente virtual, na análise do pós-teste, a
grande maioria apresentou melhora no desenvolvimento da representação gráfica. Um caso que
podemos destacar é o do aluno I.A.M., evidenciando os resultados obtidos no pré e pós-teste. A
resolução de I.A.M. para a função (1), pode ser verificada na figura 2-(a) para o pré-teste e na
figura 2-(b) para o pós-teste.
(a) Pré-teste
(b) Pós-teste
Figura 2 – Resoluções elaboradas por I.A.M. para a função (1)
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Verifica-se que o aluno I.A.M. cometeu, no pré-teste, o mesmo erro de interpretação que o
aluno F.S., ou seja, o conceito errôneo da concavidade. Porém, após a experiência com o recurso
virtual, o aluno realizou a interpretação gráfica correta no pós-teste.
Segundo Allevatto (2007), o raciocínio desenvolvido pelos alunos ao interpretarem gráficos
não se faz através de registros escritos de sequências algébricas, mas na forma de reflexões e
raciocínios conduzidos na interpretação dos gráficos pertencentes a uma habilidade de pensar
matematicamente.
Isso pode ser comprovado quando novamente o aluno I.A.M. apresenta uma diferenciação
na representação gráfica da função (3), conforme mostrado na figura 3-(a) para o pré-teste e na
figura 3-(b) para o pós-teste. Onde, fica evidente o desenvolvimento do conceito de tendência,
uma vez que o gráfico da função tenderá a zero mas nunca interceptará o eixo ‘x’.
(a) Pré-teste
(b) Pós-teste
Figura 3 – Resoluções elaboradas por I.A.M. para a função (3)
Vale ressaltar que, este aluno, faz parte do grupo de estudantes que está afastado a algum
período de tempo dos estudos, e é possível verificar que as aulas ministradas no ambiente virtual
foram de suma importância para o desenvolvimento de alguns conceitos que anteriormente
provocavam dificuldades.
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Considerações finais
Destaca-se a importância da utilização dos recursos tecnológicos, como os computadores,
pela facilidade dos alunos em ter acesso a essa tecnologia e por ela auxiliar a fixar conceitos já
adquiridos pela metodologia tradicional, em sala de aula utilizando a lousa e/ou livros didáticos.
Há ainda, a possibilidade do emprego na simulação e visualização de fenômenos de interesse
pelos alunos, sendo capazes de interpretar os fenômenos físicos com maior facilidade.
Os resultados demonstram a melhora na compreensão e na visualização gráfica, correlação
entre os conceitos obtidos em sala com os do ambiente virtual, e uma reformulação das
concepções sobre a resolução de problemas dos alunos submetidos ao estudo.
Podem-se enumerar ainda diversas vantagens no uso dos ambientes, como as obtidas nas
pesquisas realizadas por Nicoladelli et. al. (2008): diminuição de repetições para resolução de
exercícios, redução do trabalho manual, melhora na capacidade do aluno pensar, rapidez nas
construções da formulação de problemas, interesse dos alunos pelo conteúdo e um melhor
ambiente de trabalho para alunos e professores.
Propõem-se que futuros estudos foquem numa maior acessibilidade dos alunos a estes
tipos de recursos, implementar aulas no ambiente virtual na grade curricular, e possibilitar aos
alunos a opção de estenderem este ambiente à suas casas através de softwares livres. Isso
permitiria, aos alunos, esclarecer dúvidas enquanto estudam em suas casas e diminuiria as
interrupções durante as aulas.
Referências
Allevato, N. S. G. As concepções do aluno sobre a resolução de problemas ao utilizarem o
computador no estudo de funções. Revista Paradigma, Macaray, v.28, n.1, p. 131-156, jun. 2007.
Bittencourt, J. Informática na educação? Algumas considerações a partir de um exemplo. Revista
da Faculdade de Educação, São Paulo, v. 24, n.1, jan/jun. 1998.
Frescki, F. B.; Pigatto, P. Dificuldades na aprendizagem de cálculo diferencial e integral na
educação tecnológica: proposta de um curso de nivelamento. In: Simpósio Nacional de Ensino de
Ciência e Tecnologia, 1., 2009, Ponta Grossa. Anais...Ponta Grossa: UTFPR, 2009. p. 910-917.
Nicoladelli, J. M. ASA-CALCPRO: uma ferramenta de cálculo proposicional e sua utilização no
ensino. 2005. Dissertação (Mestrado em ciências) – Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e
Informática Industrial, Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Curitiba.
Nicoladelli, J. M.; Montaño, R. A. N. R.; Finger, M. Projeto ASEA: ferramentas de suporte ao
ensino-aprendizagem. Revista Negócios e Tecnologia da Informação, Curitiba, v. 3, n. 2, 2008.
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Villarreal, M. E. O pensamento matemático de estudantes universitários de Cálculo e
tecnologias informáticas. 1999. Tese (Doutorado em educação matemática) – Instituto de
Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro.
Santos, A. dos. Revisando as funções do 1º grau e do 2º grau com a interatividade de um
hiperdocumento. 2005. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Matemática) – PósGraduação em Educação Matemática, Pontifícia Universidade Católica, São Paulo.
1
Link para o vídeo citado: http://www.youtube.com/watch?v=22434JHXYjs
Diego Paulo Penczkoski: Graduando do Curso de Engenharia Mecânica da Universidade
Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR). [email protected]
Sani de Carvalho Rutz da Silva: Doutora em Ciências dos Materiais – UFRGS e Professora do
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciência e Tecnologia Universidade Tecnológica
Federal do Paraná (UTFPR/PG), Ponta Grossa, Paraná. [email protected]
André Koscianki: Docente do Mestrado Profissional em Ensino de Ciência e Tecnologia da
Universidade Tecnológica Federal do Paraná. [email protected]
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