RENDAS OU ANUIDADES
Há três tipos de Rendas ou Anuidades:
1. Depósitos sucessivos para constituir um capital
2. Pagamento de prestações de um financiamento
3. Pagamento pelo uso de algo, sem data de término
Processo de Capitalização*
Processo de Amortização*
Aluguéis
Quanto a forma de pagamento das Rendas ou Anuidades, temos:
1. Renda Certa ou Determinística: a duração e os pagamentos são predeterminados, fixos, imutáveis
(estudados em Matemática Financeira)
Ex: Compra de bens a prazo.
2. Renda Aleatória ou Probabilística: quando um dos elementos não podem ser predeterminados, pois
são variáveis (estudados em Matemática Atuarial)
Ex: Pagamento de um seguro de vida (prestações são fixas, mas a data do pagamento, a data
da morte é imprevisível)
Classificação:
Quanto à periodicidade:
 Periódicas: todos os períodos são iguais.
 Não periódicas: os períodos não são iguais entre si.
Quanto ao prazo:
 Temporárias: a duração é limitada ( 1 ano, 5 anos ).
 Perpétuas: a duração é ilimitada (seguros de vida).
Quanto ao valor dos termos:
 Constantes: todos os termos são iguais.
 Variáveis: os termos não são iguais entre si.
Quanto à forma de pagamento ou de recebimento:
 Imediatas: quando os termos são exigíveis a partir do primeiro período.
 Antecipadas: os termos são exigíveis no início dos períodos, na data zero.
 Diferidas: quando os termos são exigíveis a partir de uma data que não seja o primeiro período.
1 CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
1.1 Renda Imediata
Os depósitos acontecem no final de cada período.
Exemplo 1: Uma pessoa deposita em uma financeira, no fim de cada mês, durante 5 meses, a quantia de
R$ 100,00. Calcule o montante da renda , sabendo que essa financeira paga juros compostos de 2% ao
mês, capitalizados mensalmente.
n = 1 100
n = 2 100 + [anterior com juros] = 100 + 100.1,02
n = 3 100 + [anterior com juros] = 100 + [100 + 100.1,02] . 1,02 = 100 + 100.1,02 + 100.1,02²
n = 4 100 + [anterior com juros] = 100 + [100 + 100.1,02 + 100.1,02²] = 100 + 100.1,02 + 100.1,02² + 100.1,02³
n = 5 100 + [anterior com juros] = 100 + [100 + 100.1,02 + 100.1,02²+ 100.1,02³] = 100 + 100.1,02 + 100.1,02² + 100.1,02³ +
4
100.1,02
Então no final de 5 meses tem-se:
4
100 + 100.1,02 + 100.1,02² + 100.1,02³ + 100.1,02 =
1
4
100 . (1 + 1,02 + 1,02² + 1,02³ + 1,02 ) = 100 (1 + 1,02 + 1,0404 + 1,0612 + 1,0824 ) = 100 . 5,204 = 520,40
R: R$ 520,40.
Dedução da Fórmula:
Usaremos as notações abaixo:
Depósitos = T
taxa = i
prazo = n
Montante final = S
n 1 S  T
n  2 S  T  T 1  i 
n  3 S  T  T  T 1  i   1  i   T  T 1  i   T 1  i 
2


n  4 S  T  T  T 1  i   T 1  i   1  i   T  T 1  i   T 1  i   T 1  i 
2
2
S  T  T 1  i   T 1  i   T 1  i   ...  T 1  i 
2
n
n 1
3

3

 T 1  1  i   1  i   1  i   ...  1  i 

2
3
n 1
PG
Fórmula da Soma de uma PG Finita: Sn 
A1  1
q  1  i 
S 
An  q  A1
q 1
1  i n 1  1  i   1  1  i n  1
1 i 1
An  1  i 
n 1
Substituindo temos a Fórmula:
i
n

1  i  1
S T 
i
Exemplo 2: Deposito no final de cada mês, a importância de R$ 800,00, a 0,5% ao mês. Quanto terei no fim
de 1 ano?
S  800 
T = 800
i = 0,005 a.m.
n = 12 meses
S=?
1  0,00512  1  800  12,3356  9868,45
0,005
Re sposta : R$ 9.868,45
1.2 Renda Antecipada
Os depósitos acontecem no início de cada período.
 1  i n 1  1 
 1
Fórmula: S  T  
i


Exemplo 3: Uma pessoa deposita em uma financeira, no início de cada mês, durante 5 meses, a quantia de
R$ 100,00. Calcule o montante da renda, sabendo que essa financeira paga juro de 2% ao mês,
capitalizados mensalmente.
2
T = 100
i = 0,02 a.m.
n = 5 meses
S=?
 1  0,0251  1 
S  100  
 1  800  5,30812  530,82
0,02


Re sposta : R$ 530,82
1.3 Exercício de Capitalização Composta
1. Uma pessoa deposita R$ 680,00 no final de cada mês. Sabendo que seu ganho é de 1,5% ao mês, quanto
possuirá em 2 anos e meio? (R$ 25.526,30)
2. Qual a importância constante a ser depositada em um banco, ao final de cada ano, à taxa de 6% ao ano,
capitalizados anualmente, de tal modo que, ao fazer o décimo depósito, forme o capital de R$ 400.000,00?
(R$ 30.347,00)
3. Calcule o depósito anual imediato capaz de, em 6 anos, dar um montante de R$ 200.000,00, à taxa de
25% ao ano. (R$ 17.763,90)
4. Qual o montante de uma renda antecipada de 10 termos mensais de R$ 500,00, à taxa de 1,5% ao mês?
(R$ 5.431,60)
5. Calcule o montante de uma renda trimestral antecipada de 8 termos iguais a R$ 7.000,00, sendo de 2,5%
ao trimestre a taxa de juro composto. (R$ 62.681,63)
6. Uma pessoa deposita R$ 200,00 no fim de cada mês. Sabendo que a taxa de juro é de 2% ao mês,
quanto possuirá em 2 anos? (R$ 6.084,37)
7. Quanto devo aplicar mensalmente, durante 3 anos, para que possa resgatar R$ 35.457,00 no final dos 36
meses, sabendo que a aplicação proporciona um rendimento de 1,5% ao mês? (R$ 750,00)
8. Uma pessoa deposita R$ 5.000,00 em uma instituição financeira no início de cada trimestre. Sabendo
que a taxa de juro é de 6% ao trimestre, qual o montante no fim de 1 ano e meio? (R$ 36.969,20)
9. Quanto se deve aplicar mensalmente, durante 20 meses, à taxa de 2,5% ao mês, para que se tenha R$
60.000,00 no final do vigésimo mês, dentro dos conceitos de renda imediata e antecipada? (R$ 2.348,88 e
R$ 2.291,54)
10. Quanto terei no final de 20 meses se aplicar R$ 500,00 por mês, durante os 15 primeiros meses, a uma
taxa de 1% ao mês, de acordo com os conceitos de renda imediata e de renda antecipada? (R$ 8458,95 e
R$ 8.543,54)
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