MATEMÁTICA FINANCEIRA
PROFESSOR: JAIR VIEIRA SILVA JÚNIOR
4 – Capitalização e Amortização Compostas
4.1
Introdução
Quando queremos fazer um investimento, podemos depositar todos os meses
uma certa quantia em uma caderneta de poupança; quando queremos comprar um bem
qualquer, podemos fazê-lo em prestações, a serem pagas mensalmente.
Podemos, portanto, constituir um capital ou resgatar uma dívida depositando ou
pagando certa quantia, em épocas distintas.
No primeiro caso temos uma capitalização e no segundo, uma amortização.
Estudaremos a seguir, como calcular os juros, as parcelas e os montantes (ou
valores atuais) envolvidos nas operações de capitalização e de amortização.
4.2
Rendas
A sucessão de depósitos ou de prestações, em épocas diferentes, destinados a
formar um capital ou pagar uma dívida é denominada renda.
Os termos da sucessão de depósitos ou de prestações são denominados termos
da renda e o intervalo de tempo que decorre entre os vencimentos de dois termos
consecutivos é chamado período da renda.
Exemplo:
No caso da compra de uma TV em cores em 7 prestações mensais de R$ 41,00,
cada uma das prestações é um termo da renda e o período é mensal.
As rendas podem ser de dois tipos: certas ou aleatórias.
a) Rendas certas ou anuidades: ocorrem quando o número de termos, seus
vencimentos e seus respectivos valores podem ser prefixados.
Exemplo: Compra de bens a prazo.
b) Rendas aleatórias: ocorrem quando pelo menos um dos elementos não
pode ser previamente determinado.
Exemplo: Pagamento de um seguro de vida (o número de termos é
indeterminado).
Quando o período da renda é sempre o mesmo, dizemos que ela é periódica;
caso contrário, é não-periódica.
Nas rendas periódicas, se o período é o mês, o trimestre ou o ano, temos,
respectivamente, renda mensal, trimestral ou anual, e assim por diante.
Se todos os termos da renda são iguais, ela é denominada constante; caso
contrário, é variável.
Quanto à data do vencimento do primeiro termo, uma renda certa pode ser
imediata, antecipada ou diferida.
a) Imediata: Ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá no fim do
primeiro período a contar da data zero, isto é, na data da assinatura do
contrato.
Exemplo: Compra de um bem a prazo, em prestações mensais, pagando a
primeira prestação um mês após a assinatura do contrato.
1
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4 – Capitalização e Amortização Compostas
b) Antecipada: Ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá na data
zero.
Exemplo: Depósito mensal de uma mesma quantia em caderneta de
poupança, durante um prazo determinado.
c) Diferida: Ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá no fim de um
determinado número de períodos, a contar da data zero.
Exemplo: Compra de um bem a prazo, em prestações mensais, pagando a
primeira prestação no fim de um determinado número de meses.
Notas:
- Sempre que o tipo de renda não for especificado, deveremos supor que se trata de
renda imediata, por ser o tipo mais comum;
- Neste texto, por seu caráter elementar, abordaremos apenas as rendas certas
constantes e periódicas.
4.3 Capitalização composta
Neste item vamos estudar a determinação do montante constituído por depósitos
periódicos de quantias constantes sobre as quais incide a mesma taxa.
4.3.1 Renda imediata
Consideremos o seguinte problema:
Uma pessoa deposita em uma financeira, no fim de cada mês, durante 5 meses,
a quantia de R$ 100,00. Calcule o montante da renda, sabendo que essa financeira
paga juros compostos de 2% ao mês.
Temos:
C  100,00

i  2% a.m.  0,02 a.m.
n  5 meses

O gráfico abaixo esquematiza a situação:
Assim, cada prestação (T = 100,00) representa o valor futuro individual de um
valor atual que não conhecemos, aplicado a 2% ao mês e por prazos que vão de 1 a 5
meses.
O que se pede no problema é a determinação do montante desses depósitos na
data final.
Sendo:
Mn  C 1  i 
a fórmula que nos dá o montante, e, como o último depósito não terá rendimento, por
ser aplicado exatamente no dia em que se pede o montante, resulta:
n
2
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Como, por definição, o valor do montante de uma renda  Sn
i
 * é igual à soma
dos valores dos montantes de seus termos, podemos escrever:
S5
0,02
 100  100  1,02  100  1,022  100  1,023  100  1,024 


 100 1  1,02  1,022  1,023  1,024 
 100 1  1,02  1,0404  1,0612  1,0824  
 100  5,204
Daí:
S5
0,02
 520,40,
isto é, o montante da renda é de R$ 520,40.
Pelo exemplo dado, podemos comprovar como é penoso realizar o cálculo para
obtermos o montante de uma venda. Vamos, então, obter uma fórmula que minimize
esse esforço.
Sendo:
T o valor dos depósitos periódicos

n o número de períodos
i a taxa de juro

usando um raciocínio análogo ao do exemplo dado, temos:
Logo:
Sn
 T  T 1  i  T 1  i   ...  T 1  i 
n 3
2
i
3
 T 1  i 
n2
 T 1  i 
n1
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ou :
Sn
 T 1  1  i   1  i   ...  1  i 

n 3
2
i
 1  i 
n 2
 1  i 
n 1


Note, que a expressão que se encontra dentro dos colchetes é a soma dos
termos de uma P.G. (progressão geométrica), na qual:
__________________
* Lê-se: Sn , cantoneira i, ou simplesmente, s, n, i.
a1  1

n 1
an  1  i 

q  1  i
Lembrando que:
an  q  a1
q 1
Sn 
podemos escrever:
1  i 1  i  1
n1
Sn 
1 i  1
Daí:
1  i
n
Sn 
1  i
n
O fator
i
1
1
i
é um fator de capitalização, comumente indicado por Sn i .
Assim,
1  i
n
Sn
i

1
i
Temos, finalmente, a fórmula que nos dá o montante de uma renda imediata
(indicado por F):
F  T  Sn
i
Para facilitar nossa compreensão, usaremos T = A, logo:
F  A  Sn
4
i
(1)
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Sendo:

F o montante de uma renda imediata  valor futuro 


 A o valor dos depósitos periódicos  valor atual
Exercícios resolvidos
1.
Deposito em uma instituição financeira, no fim de cada mês, a importância de
R$ 150,00, a 1% ao mês. Quanto terei no fim de 10 meses?
Resolução:
Temos:
 A  150,00

n  10 meses
i  1% a.m.  0,01 a.m.

Substituindo esses valores em (1), vem:
1  i
n
F  A  Sn
i
F A
1
i
1  0,01
10
 F  150 
0,01
1

 F  150  10,4622  1569,33
isto é, terei um montante de R$ 1.569,33.
2.
Calcular o valor das prestações mensais que, aplicadas por 1 ano e à taxa de
2% a.m., geram um total capitalizado de R$ 50 000,00.
Resolução:
Temos:
F  50 000,00

n  12 meses
i  2% a.m.  0,02 a.m.

Substituindo esses valores em (1), vem:
50000  A  S12
0,02
 50000  A  13,4121  A  3727,98
isto é, o valor das prestações é de R$ 3.727,98.
5
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4 – Capitalização e Amortização Compostas
Exercícios propostos
4.1
Uma pessoa deposita em uma financeira, no fim de cada mês, durante 5 meses,
a quantia de R$ 100,00. Calcule o montante da renda, sabendo que essa financeira
paga juros compostos de 2% ao mês.
4.2
Deposito em uma instituição financeira, no fim de cada mês, a importância de
R$ 800,00 a 0,5% ao mês. Quanto terei no fim de 1 ano?
4.3
Qual a importância constante a ser depositada em um banco, ao final de cada
ano, à taxa de 6% ao ano, capitalizados anualmente, de tal modo que, ao fazer o
décimo depósito, forme o capital de R$ 400.000,00?
4.4
Quantas prestações mensais imediatas de R$ 500,00 devem ser colocadas, à
taxa de 2% ao mês, a fim de se constituir o montante de R$ 6.706,00?
4.3.2 Renda antecipada
Seja:
T o valor dos depósitos periódicos

n o número de períodos
i a taxa de juro

Como vimos, na renda antecipada depositamos, no início do período, n parcelas
iguais a T, a uma taxa unitária i, referida à mesma unidade do período constante.
Como, neste caso, o depósito é feito no início do período, ao final deste período
ele já estará dando origem a um montante.
Então, usando um raciocínio análogo ao empregado na dedução da fórmula da
renda imediata, temos:
Representando o montante de uma renda antecipada por Sn i , podemos
escrever:
Sn
 T 1  i  T 1  i   T 1  i   ...  T 1  i 
2
i
n2
3
Somando T a ambos os membros, vem:
6
 T 1  i 
n1
 T 1  i 
n
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Sn i  T  T  T 1  i  T 1  i   T 1  i   ...  T 1  i 
2
n2
3
 T 1  i 
n1
 T 1  i 
n
Examinando o segundo membro dessa igualdade, vemos que ele nada mais é
do que o montante de uma renda imediata de n + 1 termos, isto é:
Sn i  T  T  Sn  1
i
Daí,
Sn
i
 T  Sn  1 i  T
Temos, finalmente, a fórmula que nos dá o montante de uma renda
antecipada (indicado por Sn i ):
Sn
i


 T  Sn  1 i  1
Para facilitar nossa compreensão, usaremos a fórmula:
F  A  1  i   Sn
Sendo:
i
(2)
F o montante de uma renda antecipada  valor futuro 



 A o valor dos depósitos periódicos  valor atual 

n
1  i  1

Sn i 
i

Exercícios resolvidos
1.
Calcular o montante produzido por 12 parcelas de R$ 1.000,00 colocados
mensalmente a juros de 3% ao mês, sendo a primeira parcela antecipada.
Resolução:
Temos:
 A  1.000,00

n  12 meses
i  3% a.m.  0,03 a.m.

Substituindo em (2), vem:
F  1000  1  0,03  
1  0,03 
12
0,03
F  1000  1  0,03  14,192
F  14617,76
isto é, o montante da renda é de R$ 14.617,76.
7
1
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4 – Capitalização e Amortização Compostas
2.
Quanto se deve depositar no início de cada semestre, numa instituição
financeira que paga 18% ao ano, para constituir o montante de R$ 50.000,00 no fim de
3 anos, sendo os juros capitalizados semestralmente?
Resolução:
Temos:
n  3 anos  6 semestres


 18 
i  18% a.a.    % a.s.  9% a.s.  0,09 a.s.
 2 

F  50.000,00
Substituindo em (2), vem:
50000  A  1  0,09  
1  0,09 
6
1
0,09
1,678  1
50000  A  1  0,09  
0,09
50000  A  1  0,09   7,5233
A
50000
= 6097,26.
8,2004
Exercícios propostos
4.5
Uma pessoa deposita em uma financeira, no início de cada mês, durante 5
meses, a quantia de R$ 100,00. Calcule o montante da renda, sabendo que essa
financeira paga juro de 2% ao mês, capitalizados mensalmente.
4.6
Qual o montante de uma renda antecipada de 10 termos mensais de R$ 500,00,
à taxa de 1,5% ao mês?
4.7
Uma pessoa deseja depositar bimestralmente uma mesma importância numa
instituição financeira, à taxa de 1,5% ao bimestre, capitalizados bimestralmente, de
modo que com 8 depósitos antecipados constitua o capital de R$ 150.000,00. Calcule a
importância.
Referência bibliográfica:
CRESPO, Antônio Arnot. (2012) Matemática Financeira Fácil. 14ª ed. São Paulo:
Saraiva.
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