Caso do Lava-Jato
Funções Quadráticas
Prof: Rosemberg Trindade
Caso Inicial: Aprofundando no Lava Jato
 No caso anterior o dono do lava-jato encomenda uma pesquisa
de mercado visando estudar o comportamento do consumidor
em relação ao preço da lavagem.
 Qual preço lhe trará melhor receita e consequentemente melhor
lucro?
 Após várias pesquisas o resultado se traduziu no quadro a
seguir:
Caso Inicial: Aprofundando no Lava Jato
Variável Independente (x)
Variável dependente (y)
Preço da Lavagem - PV
Provável nº de carros lavados (d)
10
400
12
300
14
200
16
100
Caso Inicial: Aprofundando no Lava Jato
 Considerando o que estudamos em funções lineares, responda:
 Qual a expressão que pode representar o nº de carros lavados
em função do preço?
 Utilize a equação da reta e dois pontos conhecidos para isso.
 Sejam os pontos (10;400) e (16,100)
Equação da reta a partir de dois pontos conhecidos


𝑦−400
100−400
𝑦−400
−300
=
=
𝑥−10
16−10
𝑥−10
6
 6 𝑦 − 400 = −300 𝑥 − 10
 6𝑦 − 2400 = −300x+3000
 6𝑦 = −300x+3000+2400
 6𝑦 = −300x+5400 (÷ 6)
 𝑦 = −50x+900
 Mas y = d e x = PV
 𝑑 = −50PV+900
Caso Inicial: Aprofundando no Lava Jato
 Considerando que receita total é o preço de venda multiplicado pela
quantidade vendida (R = PV*d) qual a expressão que irá representar
a receita total em função do preço cobrado?
 𝑑 = −50𝑃𝑉 + 900
 R = 𝑃𝑉 ∗ 𝑑
 R = 𝑃𝑉 −50𝑃𝑉 + 900
 𝑅 = −50𝑃𝑉 2 + 900𝑃𝑉
 Deste modo percebemos que a expressão da receita em função do
preço de venda passou a ter um termo elevado ao quadrado, neste
caso temos uma função do 2º grau ou quadrática.
Conceituando a função quadrática
 Chamamos de função quadrática ou do 2º grau toda função
do tipo
 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 +c
 Em que a , b e c são números reais


x é a variável independente;
y é a variável dependente;
 Quando x=0 teremos y = c, ou Para resolver uma equação
seja o gráfico toca o eixo das do 2º grau temos a seguinte
ordenadas
no
valor fórmula.
correspondente a c.
 ∆= 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
 Zeros da Função – os zeros
 𝒙𝟏 =
−𝒃+√∆
𝟐𝒂
−𝒃−√∆
da função são os valores que x
 𝒙𝟐 =
𝟐𝒂
assume para que o y=0. Para
acharmos os zeros da função
devemos resolver a equação
do 2º grau que se forma.
Gráfico da Função
 Coeficiente a > 0, parábola
com a concavidade voltada
para cima.
 Coeficiente a < 0, parábola
com a concavidade voltada
para baixo.
  > 0 – A equação do 2º grau
possui duas soluções distintas,
isto é, a função do 2º grau terá
duas raízes reais e distintas.
 A parábola intersecta o eixo
das abscissas (x) em dois
pontos.
Gráfico da Função
  = 0 – A equação do 2º grau
possui uma única solução,
isto é, a função do 2º grau
terá apenas uma raiz real. A
parábola irá intersectar o
eixo das abscissas (x) em
apenas um ponto.
  < 0 – A equação do 2º grau
não possui soluções reais,
portanto, a função do 2º grau
não intersectará o eixo das
abscissas (x).
Pontos notáveis do gráfico de uma função
O
vértice da parábola
constitui
um
ponto
importante do gráfico, pois
indica o ponto de valor
máximo e o ponto de valor
mínimo.
 De acordo com o valor do
coeficiente a, os pontos
serão definidos, observe:
Ponto de Máximo
Ponto de Mínimo
 Outra relação importante na
função do 2º grau é o ponto
onde a parábola corta o eixo
y.
 Para acharmos o vértice de
uma função do 2º grau
utilizamos as formulas.
 𝒙𝒗 =
 𝒚𝒗 =
−𝒃
𝟐𝒂
−∆
𝟒𝒂
Exemplo
 Seja a função y = 𝑥 2 + 7𝑥 + 6  𝒙 = −𝒃 = −𝟕 = −𝟑, 𝟓
𝒗
𝟐𝒂
𝟐
 Como o a = 1 > 0 a concavidade
−∆
−𝟐𝟓

𝒚
=
=
=-6,25
𝒗
é para cima;
𝟒𝒂
 ∆= 𝟕𝟐 − 𝟒 ∗ 𝟏 ∗ 𝟔 =49-16=25
 𝒙𝟏 =
−𝒃+√∆
𝟐𝒂
−𝟕+𝟓
𝟐
= −𝟏
 𝒙𝟐 =
−𝒃+√∆
𝟐𝒂
−𝟔
 E o vértice
=
=
−𝟕+ 𝟐𝟓
𝟐∗𝟏
−𝟕− 𝟐𝟓
𝟐∗𝟏
 Vejamos então o gráfico desta
função.
=
=
−𝟕−𝟓
𝟐
𝟒
=
Gráfico
Exemplo
−𝟗𝟎𝟎−𝟗𝟎𝟎
−𝟏𝟎𝟎
 Voltando ao caso inicial R=
2
−50𝑃𝑉 + 900𝑃𝑉
 Como o a = -50 < 0 a
concavidade é para baixo;
 ∆= 𝟗𝟎𝟎𝟐 − 𝟒 ∗ (−𝟓𝟎) ∗ 𝟎 =
𝟗𝟎𝟎𝟐 = 810.000
−𝒃+√∆
−𝟗𝟎𝟎+ 𝟖𝟏𝟎.𝟎𝟎𝟎
=
𝟐𝒂
𝟐∗(−𝟓𝟎)
−𝟗𝟎𝟎+𝟗𝟎𝟎
=𝟎
−𝟏𝟎𝟎
 𝒙𝟏 =
 𝒙𝟐 =
−𝒃−√∆
𝟐𝒂
=
−𝟗𝟎𝟎− 𝟖𝟏𝟎.𝟎𝟎𝟎
𝟐∗(−𝟓𝟎)
=18
 E o vértice
=
=
 𝒙𝒗 =
−𝒃
𝟐𝒂
=
−𝟗𝟎𝟎
𝟐∗(−𝟓𝟎)
 𝒚𝒗 =
−∆
𝟒𝒂
=
−𝟖𝟏𝟎.𝟎𝟎𝟎
𝟒∗(−𝟓𝟎)
=𝟗
= 𝟒. 𝟎𝟓𝟎
Gráfico
Exemplo
 Lembrando que calculamos a receita em função do preço






de venda, mas o que realmente nos interessa é o Lucro,
pois é receita menos despesa.
Achemos então a expressão do lucro:
𝐿𝐵 = 𝑅 − 𝐶𝑇
𝐿𝐵 = 𝑃𝑉 ∗ 𝑑 − 𝐶𝑉 ∗ 𝑑 + 𝐶𝐹
𝐿𝐵 = 𝑃𝑉 ∗ 𝑑 − 𝐶𝑉 ∗ 𝑑 − 𝐶𝐹)
𝐿𝐵 = (𝑃𝑉 − 𝐶𝑉) ∗ 𝑑 − 𝐶𝐹
𝐿𝐵 = (𝑃𝑉 − 4,4) ∗ 𝑑 −1692
Exemplo
 Como 𝑑 = −50𝑃𝑉 + 900 temos então que
 𝐿𝐵 = (𝑃𝑉 − 4,4) ∗ (−50𝑃𝑉 + 900) −1692
 𝐿𝐵 = (𝑃𝑉 − 4,4) ∗ (−50𝑃𝑉 + 900) −1692
 𝐿𝐵 = −50𝑃𝑉 2 + 900𝑃𝑉 + 220𝑃𝑉 − 3960 − 1692
 𝐿𝐵 = −50𝑃𝑉 2 + 1.120𝑃𝑉 − 5.652
 Façamos então o gráfico do lucro bruto em função da
receita para achar o melhor preço de venda para o
negócio.
Exemplo
 𝐿𝐵 = −50𝑃𝑉 2 + 1.120𝑃𝑉 −  𝒙 = −𝒃−√∆ = −𝟏.𝟏𝟐𝟎− 𝟏𝟐𝟒.𝟎𝟎𝟎 =
𝟐
𝟐𝒂
𝟐∗(−𝟓𝟎)
5.652
 Como o a = -50 < 0 a
concavidade é para baixo;
 ∆= 𝟏𝟏𝟐𝟎𝟐 − 𝟒 ∗ −𝟓𝟎 ∗
−𝟓. 𝟓𝟔𝟐 = 𝟏. 𝟐𝟓𝟒. 𝟒𝟎𝟎 −
𝟏. 𝟏𝟑𝟎. 𝟒𝟎𝟎 = 𝟏𝟐𝟒. 𝟎𝟎𝟎
−𝒃+√∆
=
𝟐𝒂
−𝟏.𝟏𝟐𝟎+ 𝟏𝟐𝟒.𝟎𝟎𝟎
=
𝟐∗(−𝟓𝟎)
−𝟏.𝟏𝟐𝟎+𝟑𝟓𝟐,𝟏𝟒
=7,68
−𝟏𝟎𝟎
 𝒙𝟏 =
−𝟏.𝟏𝟐𝟎−𝟑𝟓𝟐,𝟏𝟒
−𝟏𝟎𝟎
=14,72
 E o vértice
 𝒙𝒗 =
−𝒃
𝟐𝒂
=
−𝟏𝟏𝟐𝟎
𝟐∗(−𝟓𝟎)
 𝒚𝒗 =
−∆
𝟒𝒂
=
−𝟏𝟐𝟒.𝟎𝟎𝟎
𝟒∗(−𝟓𝟎)
= 𝟏𝟏, 𝟐
=620
Gráfico
 Análise Final
 Vejam a importância desta análise para o caso em questão, chegamos a
conclusão que para este negócio o lucro máximo a ser obtido é de R$
620,00 com um preço de R$ 11,20 por carro lavado.
 Para que o proprietário alcance maior lucro deverá implementar mudanças
nesta empresa de forma que o comportamento de suas despesas tomem um
novo rumo.
 Referências:
 SILVA, Fernando César Marra e; ABRÃO, Mariângela. Matemática Básica
para Decisões Administrativas. 2ª Ed. São Paulo: Atlas, 20
 SILVA, Sebastião Medeiros da; SILVA, Elio Medeiros da.; SILVA, Ermes
Medeiros da. Matemática Básica para Cursos Superiores. São Paulo:
Atlas, 2012.