CEEJA
“MAX DADÁ GALLIZZI”
MATEMÁTICA
ENSINO MÉDIO
APOSTILA
10
Parabéns!!!
Você já é um vencedor!
Voltar a estudar é uma vitória que poucos podem dizer que conseguiram. É
para você, caro aluno, que desenvolvemos esse material. Foi pensando em seu
sucesso e em auxiliá-lo nas redescobertas da “arte matemática” que elaboramos
o conteúdo e os exercícios contidos nesta coleção de apostilas. Ela foi escrita em
linguagem simples e com a preocupação de transmitir os assuntos importantes
de matemática da forma mais clara possível.
Todos nós usamos matemática diariamente, mesmo sem perceber. Em uma
compra, ao pagar e ao receber o troco, estamos fazendo matemática. Até para
utilizarmos corretamente uma máquina de calcular, precisamos saber
matemática. Para isto, em cada aula, você encontrará “ferramentas”
matemáticas que passarão a fazer parte da sua vida para enriquecê-la e facilitála. A matemática não é um conjunto de regras que devam ser decoradas. O
importante é compreender o que está por trás de cada regra; é compreender os
conceitos. Assim você poderá utilizar os seus conhecimentos em situações
novas, resolvendo os problemas que surgirem na sua casa, no seu trabalho, na
sua vida.
Uma parte fundamental dessa apostila são os Exercícios. Não se aprende
matemática apenas lendo um texto. É preciso praticar. É preciso gastar lápis e
papel resolvendo exercícios. Só assim ganhamos segurança no que aprendemos
e ficamos preparados para a aula seguinte. Portanto, tente fazer os exercícios de
cada aula. Talvez você não consiga resolver todos, mas o importante é tentar
fazer. Também aprendemos muito com nossos próprios erros. Resolva todos os
exercícios em seu caderno (não responder na apostila, pois a mesma será
utilizada por outros alunos no decorrer do curso). Procure-nos assim que
surgirem as primeiras dificuldades, nós estaremos sempre prontos para ajudálo.
No fim do curso você terá adquirido uma série de conhecimentos de
matemática que serão suas ferramentas para compreender melhor o mundo que
nos cerca, tornando-o um cidadão mais seguro e respeitado. Mas, acima de
tudo, você vai descobrir que pensar é divertido. Raciocinar é estimulante.
Resolver desafios, questionar, encontrar soluções nos dá prazer, desenvolve a
nossa mente e torna mais ágil o nosso raciocínio.
Adquirindo o hábito de pensar de forma organizada, você terá aprendido a
mais importante das lições e nós teremos cumprido o nosso objetivo.
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Função
Introdução
Um dos conceitos mais utilizados em Matemática é o de função. Ele se aplica
não somente a esta área, mas também à Física, à Química e à Biologia, entre
outras. Além disso, está muito presente em nosso dia-a-dia, ajudando a melhor
compreender o mundo que nos cerca.
Esta aula introduz o conceito de função, com o qual trabalharemos nas
próximas aulas. Veja alguns exemplos da aplicação desse conceito:
 o preço de um armário é função da área que ele cobre;
 a dose de um remédio é função do peso da criança que é medicada;
 a altura de uma criança é função de sua idade;
 o desconto do Imposto de Renda é função da faixa salarial;
 o salário de um vendedor é função do volume de vendas;
 a área de um quadrado é função da medida de seus lados;
 o buraco na camada de ozônio é função do nível de poluição etc.
Esses são apenas alguns exemplos. O que você precisa para entender o conceito
de função é pensar em duas grandezas que variam, sendo que a variação de
uma depende da variação da outra.
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A construção de uma tabela
EXEMPLO 1:
Para representar duas grandezas que dependem uma da outra, utilizamos uma
tabela. A que segue mostra a variação do preço do armário embutido por metro
quadrado.
Área (m²)
Preço (R$)
1
120,00
2
240,00
3
360,00
4
480,00
5
600,00
Vemos que a área do armário é uma grandeza variável; o preço é uma grandeza
variável; e a variação do preço depende da variação da área.
Dizemos então que o preço é função da área.
EXEMPLO 2:
Vamos imaginar a bula de um remédio pediátrico que diz:
MODO DE USAR OU POSOLOGIA: 2 gotas a cada kg de peso
Pela tabela abaixo, podemos ver a variação dessa função:
Peso (kg)
Dose (nº de gotas)
1
2
2
4
3
6
4
8
5
10
6
12
7
14
8
16
9
18
10
20
Vemos que o peso é uma grandeza variável; a dose é uma grandeza variável; e a
variação da dose depende da variação do peso.
Dizemos então que a dose é função do peso.
Para cada um dos outros exemplos, podemos construir uma tabela como a que
acabamos de ver.
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Representação por diagrama
É também muito comum representarmos a dependência entre duas grandezas
que variam (variáveis) utilizando conjuntos e flechas. Observe como ficariam
representadas as funções apresentadas nas duas tabelas:
O conjunto A é o conjunto dos números que expressam a medida da área, e o
conjunto P é o conjunto dos preços do armário para cada área.
A cada elemento de A, corresponde um único elemento de P, ou seja, para cada
área, temos um único preço.
A
P
1
120
2
240
3
360
4
480
5
600
No caso do remédio, chamaremos K o conjunto dos valores que expressam os
pesos e D o conjunto do número de gotas.
Observe que, para cada peso, corresponde uma única dose do remédio. Caso
contrário, continuaríamos sem saber que dose administrar e não teríamos uma
função.
K
D
1
2
2
4
3
6
4
8
5
10
6
12
7
14
8
16
9
18
10
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Notação de uma função
Utilizamos a letra f para representar uma função. Nos exemplos que acabamos
de estudar, representamos:
f: A → B
Função de A em P;
Função que relaciona a
Preço = f (área)
preço é função da área. área ao preço do armário
f: K → D
Função de K em D;
Função que relaciona o
Dose = f (peso)
dose é função do peso.
peso à dose de remédio.
Em Matemática, como você já sabe, utilizamos letras para representar
grandezas variáveis. Numa função, temos sempre duas variáveis: chamamos x
a variável do primeiro conjunto e y a variável que depende do valor da
primeira. Assim:
Vejamos um outro exemplo. A área do quadrado é função da medida de seu
lado. Você sabe que a expressão para o cálculo da área de um quadrado é:
Utilizando os conceitos já estudados, temos:
 A tabela
Lado (cm)
1
2
3
Área (cm²)
1
4
9

O diagrama
A
4
16
5
25
6
36
B
1
1
2
4
3
9
4
16
5
25
6
36
 A notação
f:A→B
y = f(x)
onde
A fórmula matemática que associa y e x é:
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Domínio e Imagem
No exemplo anterior, o conjunto A dos números que expressam a medida do
lado é chamado domínio e o conjunto B dos números que expressam a área do
quadrado é chamado imagem.
Vamos pensar nas seguintes questões:
Nos outros exemplos que vimos, quais eram o domínio e a imagem?
Qual é a lei que associa as variáveis daquelas funções?
É possível representar essas leis matematicamente?
Veja como podemos responder a todas essas questões:
f:A→P
Domínio = A
y = f(x) = x . 120,00
f:K→D
y = f(x) = 2x
EXEMPLO:
Domínio = K
Imagem = P
Imagem = D
Mário é um vendedor que recebe mensalmente seu salário em duas partes: uma é fixa,
no valor de R$ 300,00, e a outra é variável, sendo igual a 1% do total que ele vende no
mês. Vamos chamar de x o total de vendas no mês e de y o salário de Mário. Como
você já deve ter notado y = f(x), ou seja, o salário do vendedor é função do total de suas
vendas no mês.
Podemos, agora, calcular os valores de y (o salário) atribuindo valores para x (o total de
vendas) e construir uma tabela para essa função:
Total de Vendas → x
3.000,00
5.000,00
10.000,00
50.000,00
80.000,00
1% de x
30,00
50,00
100,00
500,00
800,00
Salário → y
300,00 + 30,00 = 330,00
300,00 + 50,00 = 350,00
300,00 + 100,00 = 400,00
300,00 + 500,00 = 800,00
300,00 + 800,00 = 1.100,00
Sabendo que o menor valor do total de vendas de um funcionário é de
R$ 3.000,00 e o maior valor já conseguido é R$ 80.000,00, o domínio dessa função é o
conjunto de valores de R$ 3.000,00 a R$ 80.000,00.
DOMÍNIO: R$ 3.000,00 ≤ x ≤ R$80.000,00
Nesse exemplo, como podemos observar na tabela anterior os valores de y varia
de R$ 300,00 a R$ 1.100,00:
IMAGEM:
R$ 300,00 ≤ y ≤ R$ 1.100,00
A lei matemática que associa y e x pode ser escrita assim:
y = 150,00 + 1% x
ou
y = 150,00 + 0,01 x
Observe que, utilizando essa lei, podemos calcular y para qualquer valor de x
que esteja no domínio:
f(3.000,00) = 300,00 + 30,00 = 330,00
f(3.550,00) = 300,00 + 35,50 = 335,50
f(4.000,00) = 300,00 + 40,00 = 340,00
f(4.200,00) = 342,00 e assim por diante.
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Exercícios
Questão 01:
Responda:
a) Se o lado de um quadrado mede 10 cm, qual é sua área?
b) Se o lado do quadrado mede 7 cm, qual a sua área?
c) A área do quadrado é função da medida do lado?
d) Calcule o perímetro dos quadrados de 10 cm e 7 cm.
e) O perímetro do quadrado é função da medida do lado? Por quê?
f) Escreva a lei que associa a medida do lado x ao perímetro do quadrado y.
Questão 02:
Um automóvel consome 1 litro de combustível a cada 8 km.
a) Complete a tabela abaixo:
Distância (km)
8
16
Consumo (ℓ)
1
2
b) O consumo é função da distância percorrida?
c) Escreva uma lei que associe a distância x ao consumo de combustível y.
d) Represente esta função usando conjuntos e flechas.
Questão 03:
Um marceneiro e um auxiliar recebem, por hora de trabalho, R$ 12,00 e R$ 8,00,
respectivamente. Nessas condições, complete a tabela abaixo e responda as
seguintes questões:
a) Copie e complete a tabela:
Tempo trabalhado
1 hora
2 horas
3 horas
4 horas
5 horas
6 horas
7 horas
8 horas
Valor ganho pelo marceneiro
R$ 12,00
R$ 24,00
Valor ganho pelo auxiliar
R$ 8,00
R$ 16,00
b) O valor a ser ganho por cada trabalhador é função de qual grandeza?
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Questão 04:
Em um restaurante vegetariano, o preço do quilo da comida é R$ 8,00 nos fins
de semana e R$ 6,00 de segunda a sexta-feira.
a) Copie e complete a tabela:
Peso
Valor a pagar
de 2ª a 6ª
R$ 0,60
100 gramas
150 gramas
200 gramas
250 gramas
300 gramas
350 gramas
400 gramas
fins de semana
R$ 0,80
b) O valor a pagar é proporcional à quantidade de gramas de comida? Por
quê?
c) Quanto se pagaria por 750 gramas de comida no fim de semana?
d) Essas grandezas são direta ou inversamente proporcionais?
e) Escreva as fórmulas para representar o valor a pagar em função do peso
x.
Questão 05:
Os alunos de uma turma resolveram comprar um presente para a professora. O
presente escolhido custa R$ 180,00.
a) Copie e complete a tabela que relaciona a quantia que caberá a cada
aluno em função do número de alunos que participarão da surpresa,
representando por y a quantia e por x o número de alunos.
x
y
10
15
20
25
30
35
40
45
50
b) A quantia a ser paga por aluno é função do número de participantes?
c) A quantia a pagar e o número de alunos participantes são grandezas
diretamente ou inversamente proporcionais?
d) Escreva uma fórmula para representar essa função.
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Questão 06:
Observe a sequência de figuras:
a) Quantas bolinhas terá a próxima figura?
b) Qual é a posição da figura que tem 100 bolinhas?
c) Considerando n a posição da figura e q o total de bolinhas, sendo q
função de n, qual é a fórmula dessa função?
d) Quantas bolinhas terá a 15ª figura?
Questão 07:
Uma função tem domínio D = {4, 7, 9} e associa a cada elemento do domínio o
dobro do valor dele. Qual é a imagem dessa função?
Questão 08:
A tabela abaixo representa as distâncias percorridas por um ciclista numa
velocidade de 20 km/h:
a) Complete a tabela abaixo:
Tempo
30min
1h
1h30min
2h
Distância
10 km
b) Qual o domínio?
c) Qual a imagem?
Questão 09:
Considere o conjunto A = {-1, 0, 1, 2, 3} e uma função f: A → B definida por
y = x + 1. Determine:
a) O domínio de f.
b) f(-1) =
f(2) =
f(0) =
f(3) =
f(1) =
c) A representação de f por diagrama.
d) A imagem de f.
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O Gráfico de uma Função
Freqüentemente você se depara com tabelas e gráficos, em jornais, revistas e
empresas que tentam transmitir de forma simples fatos do dia-a-dia. Fala-se em
elevação e queda da Bolsa de Valores, de lucros de empresas, de inflação, e
apresenta-se um gráfico. Fala-se também em máximos e mínimos, variação
lenta, variação rápida. Tudo isso, a partir da leitura de gráficos. Quem não
estiver familiarizado com essas interpretações perde muitas das informações
fornecidas.
Por meio de vários exemplos do cotidiano, que a noção de função e sua
representação gráfica estão fortemente relacionadas e que, pela análise do
gráfico, é possível obter várias conclusões importantes sobre as funções.
Nesta aula, você conhecerá mais uma forma de utilizar os gráficos. Muitas
vezes encontramos gráficos para demonstrar: uma pesquisa de opinião, a
freqüência com que algo acontece, projeções para o futuro, etc . Vamos fazer
uma pequena iniciação à interpretação de seus resultados quando apresentados
sob a forma de gráficos, quadros e tabelas.
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EXEMPLO 01:
Observe o gráfico ao lado, que foi montado a partir de dados levantados pelo
IBGE.
Para cada faixa etária (de 7 a 9 anos, de 10 a 19 anos, de 20 a 29 anos etc), temos
uma coluna que representa o número de analfabetos naquela faixa, na região
urbana de São Paulo. Assim, por exemplo, entre 10 e 19 anos, o número de
analfabetos é um pouco superior a 100 mil pessoas. Temos uma função que
associa a cada faixa etária o número correspondente de analfabetos.
As variáveis da nossa função são: x = faixa etária e y = nº de analfabetos. Note
que y = f(x), ou seja, y é função de x (o nº de analfabetos depende da faixa
etária).
O domínio dessa função são as faixas etárias: 7 a 9, 10 a 19, 20 a 29, 30 a 39, 40 a
49, 50 a 59 e 60 anos ou mais. Esse conjunto (domínio) possui, então, 7
elementos.
A imagem da nossa função é formada pelas quantidades de analfabetos
encontrados em cada faixa.
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EXEMPLO 02:
Num exercício da aula anterior, você viu que o perímetro de um quadrado é
função da medida do lado do quadrado. A equação que associa o perímetro y à
medida do lado x é:
Vamos considerar quadrados com lados medindo números inteiros variando de
1 cm a 10 cm e construir uma tabela e o gráfico desta função.
Para isso, vamos usar um papel quadriculado para representar o plano
cartesiano. No eixo horizontal, também conhecido como eixo x ou eixo das
abscissas, vamos marcar os valores de x (medida do lado) que constam na
tabela. No eixo vertical, também conhecido como eixo y ou eixo das ordenadas,
vamos marcar os valores de y (valor do perímetro) para cada valor de x.
Este é o gráfico da função f de A em B definida pela equação y = 4x. Neste caso,
estamos considerando:
O gráfico fica como a figura ao lado: em vez de pontos isolados, temos uma
semi-reta.
Domínio = A { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Imagem = B { 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40}
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EXEMPLO 03:
Observe agora o gráfico da dívida externa brasileira. Esta função relaciona a
dívida com os anos.
Assinalamos no gráfico as informações que temos a cada cinco anos.
Os pontos foram ligados por segmentos de reta que representam a
continuidade da função a cada cinco anos.
Não temos dados para saber se a evolução se deu desse modo, mas o fato de
unirmos pontos isolados de um gráfico auxilia a visualização e a análise da
função.
Observando atentamente esse gráfico, podemos concluir que:

A dívida externa cresceu menos entre 1955 e 1960 e manteve-se constante
no qüinqüênio seguinte.

A dívida cresceu mais na década de 1970 e nos cinco anos seguintes,
sendo a maior taxa verificada entre 1980 e 1985.
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Mas o que é taxa de crescimento?
Em Matemática, taxa é a medida de uma variação. Numa função, você já sabe,
temos duas variáveis. Para calcular a taxa de variação, verificamos como y varia
em função de x.
No nosso exemplo, para um mesmo período de tempo, a maior taxa de
crescimento ocorre onde o y cresce mais rapidamente.
Veja o cálculo da taxa de crescimento entre dois pontos de um gráfico. Isso é
feito dividindo-se a diferença dos valores de y pela diferença dos valores de x.







Assim, podemos comparar os crescimentos em períodos diferentes.
Concluímos, até mesmo, que o crescimento mais rápido da dívida externa
brasileira se deu entre 1980 e 1985. Nesse período, o crescimento foi, em média,
de 8,4 bilhões de dólares por ano.
No gráfico, com o auxílio de uma régua, você pode observar que o segmento
que está mais inclinado, ou seja, o que faz um ângulo maior em relação ao eixo
horizontal é o que tem maior taxa de crescimento.
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Exercícios
Questão 10:
O gráfico de barras ao lado mostra a produção mundial de petróleo extraído na
terra e no mar.
Observando este gráfico, responda:
a) A produção é maior na terra ou no mar?
b) Qual delas tem crescido mais?
c) Qual o valor máximo da produção na terra, aproximadamente?
d) Em que ano a produção no mar foi maior?
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Questão 11:
Elabore um gráfico de barras, utilizando os dados da tabela abaixo.
Áreas Metropolitanas
Região Metropolitana População
Belém
1.334.460
Fortaleza
2.294.524
Recife
2.859.469
Salvador
2.472.131
Belo Horizonte
3.461.905
Rio de Janeiro
9.600.528
São Paulo
15.199.423
Curitiba
1.975.624
Porto Alegre
3.015.960
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Questão 12:
a) Elabore um gráfico que represente a balança comercial brasileira,
utilizando os dados fornecidos pela tabela a seguir.
Ano
1978
1981
1984
1987
1988
1990
Balança Comercial Brasileira
Importações
(Bilhões de Dólares)
15
24
15,2
16,5
16
20,4
Exportações
(Bilhões de Dólares)
12,6
23,2
27
26,2
33,8
31,4
b) Quantas funções estão representadas nesse gráfico? Quais são elas?
c) Calcule as taxas de crescimento das importações para cada um dos
períodos. Qual a maior taxa? Qual a menor?
d) Calcule as taxas de crescimento das exportações para cada um dos
períodos. Qual a maior taxa? Qual a menor?
e) Sabendo que a balança comercial é calculada pela diferença entre
importações (I) e exportações (E), construa a tabela e o gráfico da função
B = I - E.
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Questão 13:
O gráfico mostra o perfil de desempenho das turmas A e B em Matemática, no
ano passado.
a) Qual a média da turma A em junho? E da turma B?
b) Em que meses a turma A teve média mais alta que a turma B?
c) Qual a média máxima e a mínima de cada uma das turmas? Em que
meses ocorreram?
d) Em que períodos o desempenho da turma A foi crescente? Em que
período foi decrescente? Quando se manteve constante?
e) A turma B teve desempenho constante em algum período?
f) Qual das duas turmas apresentou um desempenho mais equilibrado?
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Questão 14:
Observe o gráfico da função desenhado abaixo:
Domínio: 1 ≤ x ≤ 10
e
Imagem: 1 ≤ y ≤ 6
a) O valor mínimo da função ocorre para x = ....
b) O valor máximo da função ocorre para x = ....
c) O valor mínimo da função é y = .....
d) O valor máximo da função é y = ....
e) A função é crescente no intervalo ..... ≤ x ≤ .....
f) A função é decrescente nos intervalos .... ≤ x ≤ .... e ..... ≤ x ≤ ..... .
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Questão 15:
Observe os climogramas abaixo:
a) Qual o valor mínimo da temperatura no oeste do Rio Grande do Sul e em
que mês ocorre?
b) E no norte do Paraná?
c) Qual das regiões possui um índice pluviométrico mais estável?
d) Em que meses ocorre uma maior variação na precipitação de chuvas no
norte do Paraná?
e) Qual o mês mais quente nas duas regiões?
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Função do 1º Grau
Toda equação do tipo y = ax + b é denominada equação do 1º grau e seu gráfico
é uma reta. Vamos então recordar algumas coisas.
 Se a = 0, a nossa equação fica com a forma y = b e passaremos a chamá-la
de função constante. Seu gráfico é uma reta horizontal. Veja:
Função constante: y = b
 Se a ≠ 0, a expressão y = ax + b chama-se função do primeiro grau. Ainda,
se a > 0 (a positivo) ela é uma função crescente; se a < 0 (a negativo), ela é
uma função decrescente, como mostram os gráficos:
Funções do 1º grau
A função do 1º grau é a única cujo gráfico é uma reta.
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O Gráfico da Função do 1º Grau
Inicialmente precisamos rever o gráfico da função do 1º grau. Como construílo?
Se ele é uma reta, então bastam dois pontos para sua determinação. Por
exemplo, vamos desenhar o gráfico da função:
Atribuímos a x dois valores quaisquer e calculamos os valores correspondentes
de y. Na tabela a seguir, fizemos x = 0 e x = 4. Os valores de y foram calculados,
os pontos marcados no plano cartesiano e o gráfico construído.
A Raiz da Função do 1º Grau
A raiz da função y = ax + b é o valor de x que torna y igual a zero. Por isso, esse
valor de x também é chamado de zero da função. Vamos calcular, por exemplo,
a raiz (ou o zero) da função y = 2x - 3. Fazendo y = 0, temos:
O valor
é a raiz (ou o zero) da função y = 2x - 3. Como você vê no gráfico
abaixo, a raiz da função é o ponto onde a reta corta o eixo dos x.
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EXEMPLO 01:
No Brasil, as temperaturas são medidas em graus Celsius. Nos Estados Unidos,
elas são medidas em outra escala: em graus Farenheit. Um técnico está
trabalhando com um motor americano e as temperaturas de funcionamento
estão nesta escala, que ele desconhece. Felizmente, existe uma fórmula que
permite relacionar a escala americana com a que usamos aqui:
Onde:
 y é a temperatura em graus Celsius (°C)
 x é a temperatura em graus Farenheit (°F)
Como é o gráfico dessa função?
Solução: Para fazer o gráfico de uma função do 1º grau, necessitamos de dois
pontos quaisquer. Vamos escolher y = 0, que é a temperatura em que a água
vira gelo, e y = 100, que é a temperatura em que a água ferve:
Observe então a tabela e o gráfico:
Veja que o zero (ou raiz) da função
é x = 32.
Observe que, na escala Farenheit, a água congela a 32ºF e ferve a 212ºF.
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EXEMPLO 02:
Na conta telefônica de uma residência, o valor total a ser pago é calculado da
seguinte maneira:

A assinatura da linha telefônica dá direito a um certo número de ligações
e custa R$ 29,90. Passando desse número, o valor das ligações (pulsos)
excedentes é calculado multiplicando-se o número de pulsos extras pelo
valor de cada pulso, que é de R$ 0,10.

Em seguida, esse valor é acrescentado ao valor da assinatura e obtemos o
valor total da conta.
Pergunta-se:
a) Qual será a fórmula matemática que permite calcular a conta telefônica?
b) Qual o valor de uma conta onde foram realizados 200 pulsos excedentes
num determinado mês?
Solução:
a) Chamando de x o número de pulsos excedentes no período e de y o
valor da conta telefônica, podemos escrever o seguinte:
nº de pulsos excedentes: x
valor da conta: y
→
b) Substituindo-se o número x de pulsos excedentes na equação acima
descobriremos o valor da conta:
R: O valor da conta será de R$ 49,90
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Exercícios
Questão 16:
O salário de uma vendedora é composto de duas partes:
 Uma parte fixa no valor de R$ 1.000,00;
 Uma parte variável de 10% do total de vendas do mês.
Determine:
a) A equação que permite calcular o salário dessa vendedora
b) Supondo que em determinado mês ela tenha vendido R$ 30.000,00,
quanto recebeu de salário?
Questão 17:
Em uma corrida de táxi, deve-se pagar R$ 5,00 de “bandeirada” e R$ 2,00 por
quilômetro rodado. Seja d a distância percorrida por um táxi e P o preço a ser
pago pela corrida.
a) Complete a seguinte tabela:
d (km)
0
1
2
3
4
5
P (reais)
b) Determine a função que relaciona o preço P e a distância d.
c) Qual é o preço da corrida de 2,5 km?
Questão 18:
A função que representa o valor a ser pago após um desconto de 3% sobre o
valor x de uma mercadoria é:
a) f(x) = x – 3 b) f(x) = -3x
c) f(x) = 0,97x d) f(x) = 1,3x e) f(x) = 1,03x
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Função do 2º Grau
Na aula anterior, estudamos a função do 1º grau (y = ax + b) e verificamos que
seu gráfico é uma reta. Nesta aula, vamos estudar outra função igualmente
importante: a função do 2º grau. Ela é representada pela fórmula:
onde as letras a, b e c são números conhecidos e a é diferente de zero. Veja
alguns exemplos de funções do 2º grau:
y = 2x² - 3 + 4
y = - 3x² + 9
y = x²
y = x² + 6x
O objetivo desta aula é investigar os gráficos dessas funções, que são sempre
uma curva: a parábola.
Acompanhe os próximos exemplos para ter noção da forma de uma parábola.
EXEMPLO 01:
Imagine um forte antigo, com canhões preparados para atirar em navios
inimigos que se aproximassem:
Um navio se aproxima e um canhão dá um tiro. A trajetória da bala segue
muito aproximadamente essa curva, chamada parábola. Se não houvesse a
resistência do ar, a bala do canhão descreveria exatamente uma parábola.
EXEMPLO 02:
Um menino, em cima de um muro, rega as plantas com uma mangueira.
Visualizando o jato d’água, você terá uma idéia clara da forma dessa curva.
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A Parábola
Os exemplos mostraram, aproximadamente, a forma da parábola. Agora, vamos
construir uma delas com maior precisão. Escolhemos então a função:
y = - x² + 6x
O domínio dessa função é o conjunto de todos os números reais. Vamos atribuir a x
alguns valores e calcular os valores correspondentes de y. Observe:
se x = 0
então
y = - 0² + 6 . 0 = 0
se x = 0,5 então
y = - 0,5² + 6 . 0,5 = 2,75
se x = 1
então
y = - 1² + 6 . 1 = 5
se x = 1,5 então
y = - 1,5² + 6 . 1,5 = 6,75
Esse trabalho continua e nos permite organizar uma tabela com diversos pontos.
Mostramos abaixo a tabela correspondente a alguns valores de x entre
0 e 6 e os valores calculados para y. Assinalando no gráfico cartesiano cada um desses
pontos, você tem uma primeira idéia do comportamento dessa função. Veja:
Para visualizar melhor o gráfico da função y = - x² + 6x, podemos aumentar a nossa
tabela para obter mais pontos. O resultado você vê na figura a seguir, que já mostra o
gráfico da nossa função entre x = 0 e x = 6.
É bom lembrar que esse desenho é apenas parte do gráfico da nossa função.
Para valores de x menores que 0 ou maiores que 6 os valores calculados para y serão
sempre negativos (experimente) e, portanto, o gráfico continuará abaixo do eixo dos x.
Veja:
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A Concavidade
Vamos fazer uma outra experiência para observar a parábola em uma outra
posição. Tomemos como exemplo a função:
y = x² - 2x - 3
Agora, vamos organizar nossa tabela. Atribuímos a x valores entre - 2 e 4 e
calculamos os valores correspondentes de y. Você compreenderá, um pouco
mais tarde, a razão da escolha desses valores para x.
De qualquer forma, sugerimos que confira nossos cálculos, observe a marcação
dos pontos e a construção do gráfico:
Esse gráfico tem exatamente a mesma forma daquele que encontramos no
exemplo anterior, com uma diferença: está em outra posição.
Dizemos que essa parábola tem a concavidade voltada para cima,
enquanto a do exemplo anterior tem a concavidade voltada para
baixo.
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Antes de construir o gráfico da função y = ax² + bx + c, é possível saber como
será a sua concavidade. Basta observar o sinal do coeficiente a:
 Se a > 0 (a positivo), a concavidade estará voltada para cima:
 Se a < 0 (a negativo), a concavidade estará voltada para baixo:
As Raízes
As raízes de uma função são os pontos onde seu gráfico corta o eixo dos x.
Na função do 2º grau y = ax² + bx + c, se y = 0 obtemos a equação ax² + bx + c = 0.
Podemos, então, ter três casos:
 A equação tem duas raízes diferentes. A parábola, então, corta o eixo dos x em
dois pontos distintos.
 A equação tem apenas uma raiz. A parábola é, então, tangente ao eixo dos x.
 A equação não tem raiz. A parábola, então, não corta o eixo dos x.
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EXEMPLO
Tomemos como exemplo a função:
y = x² - 6x + 8
Para construir seu gráfico assinalando poucos pontos, devemos inicialmente
verificar se a função possui raízes. Vamos então resolver a equação
x ² - 6x + 8 = 0 usando a fórmula de Bhákara:
As raízes da nossa função são, portanto:
Descobrimos que o gráfico da nossa função corta o eixo dos x nos pontos x1 = 2 e
x2 = 4 e sabemos também que a parábola terá concavidade voltada para cima
porque a = 1 (positivo). Basta, então, para construir a tabela, atribuir a x outros
valores próximos aos que já temos. É muito importante atribuir a x o valor
,
porque ele fica bem no meio das raízes e vai determinar o ponto mais baixo da
parábola:
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O Vértice
No gráfico que acabamos de construir, o ponto V = (3, - 1) é o vértice da
parábola. Ele é o ponto mais baixo da parábola quando a > 0.
No gráfico da função y = - x² + 6x, que você viu no início da aula, o ponto (3, 9) é
também o vértice da parábola, que fica no ponto mais alto do gráfico, porque
a < 0:
Para a construção do gráfico de uma função do 2º grau, o vértice é seu ponto
mais importante. É possível encontrá-lo de forma bastante simples.
Chamando de xv a abscissa do vértice da parábola y = ax² + bx + c, temos:
Além disso, se a função possui raízes x1 e x2, podemos encontrar a abscissa do
vértice determinando o seu ponto médio, ou seja:
EXEMPLO:
Consideremos a função y = x² - x + 5.
Sabemos que ela tem concavidade voltada para cima, pois a = 1.
Para fazer um esboço de seu gráfico, determinamos seu vértice. Primeiro,
precisamos encontrar sua abscissa:
Substituímos então esse valor de x na função para encontrar a ordenada do
vértice:
Portanto, o vértice é o ponto (2, 1) e, como a concavidade está voltada para
cima, o gráfico tem este aspecto:
A imagem da função é então o conjunto dos valores de y tais que y ≥ 1.
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Máximos e Mínimos
Problemas de máximos e mínimos estão presentes em quase todas as atividades
do mundo moderno. Por exemplo, você pode imaginar como um carteiro
distribui a correspondência?
Qual seria seu itinerário para que o tempo de distribuição fosse o menor
possível?
Uma variação desse problema é o trajeto do ônibus escolar. Ele deve passar na
casa de cada criança para levá-las à escola. Conhecendo os endereços, é preciso
planejar o percurso para fazer o serviço no menor tempo possível.
Em qualquer empresa, grande ou pequena, ouvimos falar em encontrar a
receita máxima, reduzir o desperdício ao mínimo entre outras coisas.
Na prática, os problemas de máximos e mínimos são, freqüentemente,
complexos, porque envolvem muitas variáveis. Entretanto, existem também
aqueles que se resolvem por uma simples função do 2º grau.
Vamos mostrar alguns desses problemas.
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PROBLEMA 1:
Os técnicos de uma fábrica de automóveis fizeram diversos testes com um de
seus carros populares para examinar o consumo de gasolina. O carro percorria
100 km em uma estrada plana, com velocidade constante. O percurso foi feito
muitas vezes e, a cada vez, usou-se uma velocidade diferente. No final de cada
viagem, os técnicos verificaram a quantidade de combustível gasta e
observaram que o consumo não se mantinha o mesmo, pois era função da
velocidade.
A conclusão foi a seguinte: para velocidade entre 40 e 120 km/h, o consumo
desse carro é dado por:
y = 0,005 x² - 0,6 x + 26
onde x é a velocidade em quilômetros por hora e y é o número de litros de
gasolina gastos para percorrer 100 km.
Em que velocidade devemos andar com esse carro, para gastar o mínimo de
combustível?
Este é um problema interessante. Muita gente acha que andar bem devagar
economiza combustível. Não é verdade! É certo que andar muito rápido faz
com que o consumo seja alto, mas cada carro possui uma velocidade em que o
consumo é o menor possível.
Solução: A função que os técnicos encontraram é do tipo y = ax²+ bx + c.
Como o coeficiente a é positivo, sabemos que existe um valor mínimo dessa
função. Seu gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para cima:
O ponto mais baixo do gráfico é o vértice (v) da parábola e o número xv é a
velocidade que faz com que o consumo seja o menor possível. Na aula anterior
aprendemos a calcular a abscissa do vértice da parábola. Observe:
Logo, a velocidade que dá o mínimo consumo é de 60 km/h para gastar a
menor quantidade possível de gasolina. Se, entretanto, desejarmos saber qual o
gasto mínimo de combustível para percorrer os 100 km, basta substituir o x da
função por 60. Teremos então:
Portanto, andando a 60 km/h, gastaremos apenas 8 litros de gasolina para percorrer os 100 km.
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Exercícios
Questão 19:
Usando a função do Problema 1 da nossa aula, calcule:
a) O consumo de combustível a 50 km/h;
b) O consumo de combustível a 90 km/h;
c) Em que velocidade, maior que 60 km/h, o carro andou se gastou 10 litros
para percorrer os 100 km?
Questão 20:
João tem uma pequena fábrica de sorvetes. Ele vende, em média, 300 caixas de
picolés por R$ 20,00 cada uma. Entretanto percebeu que, cada vez que diminuía
R$ 1,00 no preço da caixa, vendia 40 caixas a mais. Pergunta-se:
a) Quanto ele deveria cobrar pela caixa para que sua receita fosse máxima?
b) Qual o valor máximo dessa receita?
Sugestão: Inicialmente ele vendia 300 caixas por R$ 20,00 cada uma.
Sua arrecadação era 300 · 20 = R$ 6.000,00. Diminuindo R$ 1,00 no preço, ele
venderá 40 caixas a mais. Nesse segundo caso, sua arrecadação será
340 · 19 = R$ 6.460,00. Portanto a arrecadação aumentou. Complete alguns
valores da tabela abaixo.
Preço
20
19
18
17
16
15
14
13
12
Nº de Caixas Vendidas
300
340
Receita
R$ 6.000,00
R$ 6.460,00
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Gabarito
Questão 01:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
A= 100cm2
A= 49cm2
Sim
P10= 40cm ; P7= 28cm
Sim, porque o perímetro é a soma dos lados.
Y=4x
Questão 02:
a)
8
1
16
2
24
3
32
4
40
5
48
6
b) Sim
c) x = 8y
d)
Questão 03:
a)
R$36,00
R$24,00
R$48,00
R$32,00
R$60,00
R$40,00
R$72,00
R$48,00
R$84,00
R$56,00
R$96,00
R$64,00
b)Sim
Questão 04:
a)
R$0,90
R$1,20
R$1,50
R$1,80
R$2,10
R$2,40
R$1,20
R$1,60
R$2,00
R$2,40
R$2,80
R$3,20
b) Sim, porque o valor aumenta de acordo com o peso.
c) R$6,00
d) Diretamente proporcional.
e) y= R$6,00.x
;
y=R$8,00.x
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Questão 05:
a)
10
R$18,00
15
R$12,00
20
R$9,00
25
R$7,20
30
R$6,00
35
R$5,14
40
R$4,50
45
R$4,00
50
R$3,60
b) Sim.
c) Inversamente proporcional.
d) Y=
Questão 06:
c) q = n2
d) 225 figuras.
a) 25 bolinhas.
b) 10ª
Questão 07: I=
Questão 08:
a)
1h
20km
1h30min
30km
2h
40km
b)Tempo.
c) Distância.
Questão 09:
a) {-1,0,1,2,3}
b) f(-1)=0
f(2)=3
c)
f(0)=1
f(3)=4
f(1)=2
d) I={0,1,2,3,4}
Questão 10:
a) Na terra.
b) No mar.
c) 17 bilhões.
d) 1985
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Questão 11:
Questão 12:
a)
b) Duas: importações e exportações.
c)
A maior taxa ocorreu entre 1987 e 1988 e a menor entre 1981 e 1984.
A maior taxa ocorreu entre 1987 e 1988 e a menor entre 1988 e 1990.
e)
Questão 13:
a)
b)
c)
d)
Turma A: 80 e Turma B: 65
Março, abril, junho e novembro.
Turma A: 65 em março ; Turma B: 55 em março.
Crescente: março à junho e outubro à novembro
Decrescente: junho à agosto
Constante: agosto à outubro
Não.
Turma A.
e)
f)
Questão 14:
a)
b)
c)
x=3
x=8
y=1
d)
e)
f)
y=6
≤
≤
d)
e)
Novembro e Dezembro
Dezembro
≤
≤
≤
≤
Questão 15:
a)
b)
c)
Questão 16:
a)Y=1000 + 0,1x
b) Y=1000 + 0,1 . 30 000
Y= 4000
Questão 17:
a)
P (reais)
5
7
9
11
13
15
b) P= R$5,00 + R$ 2,00.d
c) R$10,00
Questão 18: alternativa c
Questão 19:
a) 8,5 litros
Y= 0,005x2 – 0,6x + 26
b) 12,5 litros
c) 80km/h
Questão 20:
a) R$14,00
b) R$7 560,00
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Bibliografia
Os textos e os exercícios foram retirados e/ou pesquisados nos seguintes livros:

Telecurso 2000 – Matemática: Volumes 1,2 e 3 Ensino Médio. - São Paulo:
Editora Globo, 2000.

Matemática: Aula por Aula: Volume Único: Ensino Médio / Benigno
Barreto Filho, Cláudio Xavier Barreto. - São Paulo: FTD, 2000.

Matemática: Contexto & Aplicações: Volumes 1, 2 e 3: Ensino Médio. São Paulo: Ática,1999.

Matemática Fundamental, 2º grau: Volume Único / José Ruy Giovanni,
José Roberto Bonjorno, José Ruy Giovanni Jr. – São Paulo: FTD, 1994.

Coleção Base: Matemática: Volume Único / Manoel Paiva. – São Paulo:
Moderna, 1999.

Curso Prático de Matemática: Volumes 1, 2 e 3 Ensino Médio / Paulo
Bucchi. – São Paulo: Moderna, 1998.

Matemática: Temas e Metas: Volumes 1,2 e 3 / Antônio dos Santos
Machado. – São Paulo: Atual, 1986.

Praticando Matemática: 6º ao 9º ano /Álvaro Andrini, Maria José
Vasconcellos. – São Paulo: Editora do Brasil, 2002.

A Conquista da Matemática – Nova: 6º ao 9º ano / José Ruy Giovanni,
Benedito Castrucci, José Ruy Giovanni Jr. – São Paulo: FTD, 1998.
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Este conjunto de apostilas foi elaborado pelos
professores da Área de Matemática do
CEEJA Max Dadá Gallizzi,
com base nos livros didáticos descritos na
Bibliografia, ora transcrevendo exercícios e
teorias, ora criando com base nos conteúdos
observados.
Professores
Ednilton Feliciano
Francis Mara C. Sirolli
Paulo Teles de Araújo Jr
Satie Sandra Soares Taira
2010
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