Lista de Exercícios – 05
EQUAÇÃO DO 2º GRAU
Denomina-se equação do 2° grau, qualquer sentença matemática que possa ser reduzida à forma
ax2 + bx + c = 0, onde x é a incógnita e a, b e c são números reais, com a ≠ 0. a, b e c são coeficientes da
equação. Observe que o maior índice da incógnita na equação é igual a dois e é isto que a define como sendo
uma equação do segundo grau.
Fórmula Geral de Resolução
Para a resolução de uma equação do segundo grau completa ou incompleta, podemos
recorrer à fórmula geral de resolução:
− ±√ −4
=
2
Esta fórmula também é conhecida como fórmula de Bhaskara.
O valor b2 - 4ac é conhecido como discriminante da equação e é representado pela letra
grega Δ. Temos então que Δ = b2 -4ac, o que nos permitir escrever a fórmula geral de resolução
como:
− ± √∆
=
2
Exemplo: Encontre as raízes da equação 3x² - 7x + 2 = 0
a = 3, b = -7 e c = 2
Δ = b2 - 4ac = (-7)² - 4.3.2 = 49 - 24 = 25
Substituindo na fórmula:
=
x=
− ± √∆ −(−7) ± √25 7 ± 5
=
=
2
2.3
6
=2e
=
=
Logo, o conjunto verdade ou solução da equação é: S =
,2
Exercícios:
1) Calcular o discriminante de cada equação e analisar as raízes em cada caso:
a) x² + 9 x + 8 = 0
b) 9 x² - 24 x + 16 = 0
c) x² - 2 x + 4 = 0
d) 3 x² - 15 x + 12 = 0
e) x² - 10x + 25 = 0
f) x² - x - 20 = 0
FUNÇÃO DO 2º GRAU
A função do 2º grau, também denominada função quadrática, é definida pela expressão do tipo:
y = f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são constantes reais e a ≠ 0
Exemplos:
a) y = x² + 3x + 2 ( a = 1; b = 3; c = 2 )
b) y = x² ( a = 1; b = 0; c = 0 )
c) y=x² - 4 ( a = 1; b = 0; c = - 4 )
Gráfico de uma função do 2º grau: O gráfico de uma função quadrática é uma parábola
Representação gráfica:
Exemplo: Construa o gráfico da função y = x²:
Como na função do 1º grau, basta atribuir valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.
x
-2
-1
0
1
2
3
y = f(x) = x²
4
1
0
1
4
9
Notem que os pontos: A e A`, B e B`, C e C` são simétricos (estão a mesma distância do eixo de
simetria). O ponto V representa o vértice da parábola, é a partir dele que determinamos todos os outros
pontos.
Coordenadas do vértice
A coordenada x do vértice da parábola pode ser determinada por x = - b/2a .
Exemplo: Determine as coordenada do vértice da parábola y = x² - 4x + 3
Temos: a = 1, b = -4 e c = 3
−
−(−4)
=
=
=2
2
2.1
Logo, a coordenada x será igual a 2, mas e a coordenada y?
Simples: Vamos substituir o valor obtido da coordenada x e determinar o valor da coordenada y.
Assim, para determinarmos a coordenada y da parábola y= x² - 4x + 3, devemos substituir o valor de x por 2.
y = (2)² - 4.(2) + 3 = 4 - 8 + 3= - 1
Logo, as coordenadas do vértice serão V=(2,-1)
Portanto, para determinarmos as coordenadas do vértice de uma parábola, achamos o valor da coordenada x
(através de x=-b/2a) e substituindo este valor na função, achamos a coordenada y!
Raízes (ou zeros) da função do 2º grau
Denominam-se raízes da função do 2º grau os valores de x para os quais ela se anula.
y = f(x) = 0
Exemplo: na função y = x² - 4x + 3, que acima acabamos de determinar as coordenadas de seus vértices, as
raízes da função serão x=1 e x`=3.
Vejamos o gráfico:
Notem que quando x = 1 e x` = 3, a parábola intercepta ("corta") o eixo x.
Concavidade da parábola
De forma simplificada temos que, quando a > 0, a concavidade da parábola está voltada para cima e quando
a < 0, a parábola está voltada para baixo.
Exemplos:
y = f(x) = x² - 4
y = f(x) = -x² + 4
a = 1 >0
a = -1 < 0
Observação Importante: Quando a concavidade está voltada para cima (a >0), o vértice representa o
valor mínimo da função. Quando a concavidade está voltada para baixo (a <
0), o vértice representa o valor máximo.
Sobre o discriminante ()
 Quando o discriminante é igual a zero
Quando o valor de Δ = b2 - 4ac = 0, o vértice a parábola encontra-se no eixo x.
A coordenada y será igual a zero.
Exemplo: y = f(x) = x² + 2x + 1
Δ = b2 - 4ac = 22 - 4.1.1 = 0-
x = x` = -b/2a = -1
As coordenadas do vértice serão V=(-1,0)
Gráfico:
 Quando o discriminante é maior que zero
Quando o valor de Δ = b2 - 4ac > 0, a parábola intercepta o eixo x em dois pontos.
(São as raízes ou zeros da função vistos anteriormente).
Exemplo: y = f(x) = x² - 4x + 3
Δ = b2 - 4ac = (- 4)2 - 4.1.3 = 4
x=1, x`=3
Gráfico:
 Quando o discriminante é menor que zero
Quando o valor de Δ = b2 - 4ac < 0, a parábola não intercepta o eixo x. Não há raízes
ou zeros da função.
Exemplo: y = f(x) = x² - x + 2
Δ = b2 - 4ac = (- 1)2 - 4.1.2 = -7
Gráfico:
Resumindo:
a>0
a>0
a>0
a<0
Esboçando o gráfico
Desenhar o gráfico da função: y= - x² - 4x - 3
1ª etapa: Raízes ou zeros da função
- x² - 4x - 3 = 0
Aplicando a fórmula de Bháskara
x = -1, x` = -3
2ª etapa: Coordenadas do vértice
Coordenada x =-b/2a = -(-4)/2.(-1)=-2
Coordenada y: Basta substituir o valor de x obtido na função
y = -x²-4x-3 = -(-2)²-4.(-2)-3 = -4+8-3 = 1
Portanto, V=(-2,1)
3ª etapa: Concavidade da parábola
y = -x² - 4x - 3
Como a = -1 < 0, a concavidade estará voltada para baixo
Feito isso, vamos esboçar o gráfico:
a<0
a<0
Exercícios Resolvidos:
1) Uma tela retangular com área de 9600cm2 tem de largura uma vez e meia a sua altura. Quais são as
dimensões desta tela?
Solução: Se chamarmos de x altura da tela, temos que 1,5x será a sua largura. Sabemos que a área de uma
figura geométrica retangular é calculada multiplicando-se a medida da sua largura, pela medida da sua altura.
Escrevendo o enunciado na forma de uma sentença matemática temos:
x . 1,5x = 9600
Que pode ser expressa como:
1,5x2 - 9600 = 0
As raízes reais encontradas são -80 e 80, no entanto como uma tela não pode ter dimensões negativas,
devemos desconsiderar a raiz -80.
Como 1,5x representa a largura da tela, temos então que ela será de 1,5 . 80 = 120
2) Um corpo lançado do solo verticalmente para cima tem posição em função do tempo dada pela função
f(t) = 40 t – 5 t2 onde a altura f(t) é dada em metros e o tempo t é dado em segundos. De acordo com essas
informações responda:
a) Quanto tempo que o corpo levou para atingir a altura máxima?
Solução: Note o tempo o o "x" da função, assim a altura máxima é atingida no vértice da função.
Logo, Xv = -b/2a = -40/2.(-5) = 4.
Assim o corpo atinge a altura máxima em 4 segundos
b) A altura máxima atingida pelo corpo?
Solução: Como a altura é dada pela função f, basta calcula o f(4). Isto é, encontrar o Yv (a coordenada y do
vértice).
f(4) = 40.4 - 5.42 = 80 metros
3) Encontre a função que representa o gráfico abaixo.
Solução:
Note que a função passa por 4 pontos com características específicas. São eles:
(0, 3) - Ponto onde a função "corta" o eixo Y
(1, 0) e (3, 0) - Raízes da função
(2, -1) - Vértice da função
Como a função é do tipo y = ax2 + bx + c. Podemos aplicar cada ponto na fórmula gerar da função.
(0, 3)  3 = a02 + b0 + c. Logo, c = 3.
Agora usando c = 3
(1, 0)  0 = a12 + b1 + 3
(3, 0)  0 = a32 + b3 + 3. Podemos agora montar um sistema para obter a e b.
Note também que temos o x do vértice. Xv = -b/2a  2 = -b/2a  4a = -b
Assim, podemos escrever
0 = a12 + (-4a).1 + 3
a - 4a + 3 = 0
a = 1. E, b = -4.
Resposta y = x2 - 4x + 3.
ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO DO 2º GRAU
Toda expressão matemática no formato: f(x) = ax² + bx + c é considerada uma função do 2º grau. O sinal de
uma função depende dos valores de x, os quais determinam:



f(x) > 0, função positiva
f(x) < 0, função negativa
f(x) = 0, função nula
No caso de uma função do 2º grau, temos que o valor do discriminante (∆) e do coeficiente a determinam os
seus sinais.
∆>0
∆=0
∆<0
INEQUAÇÃO DO 2º GRAU
As inequações do 2º grau são resolvidas utilizando o teorema de Bháskara. O resultado deve ser comparado ao sinal da
inequação, com o objetivo de formular o conjunto solução.
Exemplo: Determine a solução da inequação –2x² – x + 1 ≤ 0.
Solução: Estudo do sinal de y = –2x² – x + 1.
Raízes: -1, 1/2. Note ainda que essa parábola tem concavidade para baixo (a = -2).
Como o exercício pede os valores menores ou iguais a 0 (≤ 0)
S = {x  R / x ≤ –1 ou x ≥ 1/2}
Exemplo: Determine a solução da inequação x² – 4x ≥ 0.
Solução: Estudo do sinal de y = x² – 4x.
Raízes: 0, 4. Note ainda que essa parábola tem concavidade para cima (a = 1).
Como o exercício pede os valores maiores ou iguais a 0 (≥ 0)
S = {x  R / x ≤ 0 ou x ≥ 4}
Exemplo: Determine a solução da inequação x² – 6x + 9 > 0.
Solução: Estudo do sinal y = x² – 6x + 9 .
Raíz: 3. Note ainda que essa parábola tem concavidade para cima (a = 1).
Como o exercício pede os valores maiores ou iguais a 0 (≥ 0)
S = {x  R / x < 3 ou x > 3}
ou
S = {x  R / x ≠ 3}
Exercícios
2) Encontre as raízes, o vértice e faça o gráfico da seguinte função f(x) = 2x2 + 5x – 1.
3) A figura a seguir representa o gráfico de uma parábola cujo vértice é o ponto V.
a) Determine a equação da reta r.
b) Determine a equação dessa parábola.
c) Seja f(x) a diferença entre a equação da parábola e a equação da reta. Determine x para que f(x) seja a
maior possível.
4) Na loja A, um aparelho custa 3800 reais mais uma taxa mensal de manutenção de 20 reais. Na loja B, o
mesmo aparelho custa 2500 reais porém a taxa de manutenção é de 50 reais por mês.
a) Qual das duas opções é a mais vantajosa?
b) Represente graficamente esta situação.
5) Ache os valores reais de p para os quais a função f(x) = (p – 1)x2 + (2p – 2)x + p + 1 é sempre positiva,
qualquer que seja x.
6) Uma empresa apresenta o lucro mensal de acordo com a equação L = t2 + 25t , onde t é a quantidade de
toneladas vendidas mensalmente e L (lucro) que é dado na proporção de 1 (um) por R$ 1.000,00 (um mil
reais), então podemos dizer que (Verdadeiro ou Falso):
a) Quanto maior for a venda mensal maior será o lucro.
b) O lucro obtido com a venda de 10 toneladas é de R$ 150.000,00, porém é o mesmo lucro obtido com a
venda de 15 toneladas.
c) Se a venda mensal for maior que 20 toneladas, a empresa terá um lucro superior a R$ 175.000,00.
d) O lucro máximo que esta empresa pode ter é de R$ 156.250,00.
7) Considere a função f:R → R definida por f(x) = x2 + 2mx + 16. Determine m de modo que:
a) a função f não tenha raízes reais;
b) o gráfico da função f passe pelo ponto (2, - 4);
c) a parábola representativa da função seja tangente ao eixo X.
8) A figura abaixo ilustra uma ponte suspensa por estruturas metálicas em forma de arco de parábola.
Os pontos A, B, C, D e E estão no mesmo nível da estrada e a distância entre quaisquer dois consecutivos é 25m.
Sabendo-se que os elementos de sustentação são todos perpendiculares ao plano da estrada e que a altura do elemento
central CG é 20m, a altura de DH é:
9) Com 80metros de cerca um fazendeiro deseja circundar uma área retangular junto a um rio para confinar alguns
animais.
Quais devem ser as medidas do retângulo para que a área cercada seja a maior possível?
10) Determine o valor de k de modo que a função f(x)= - x2 +12x + k, tenha 2 raízes reais e iguais.
Referências:
http://www.exatas.mat.br
http://www.matematicadidatica.com.br
http://www.somatematica.com.br
http://www.mundoeducacao.com.br
Respostas:
1)
a) (R:-1 e -8)
b) (R:4/3)
c) (vazio)
d) (R: 1 e 4)
e) (R: 5)
f) (R: 5 e -4)
2)
b) y = -x2 + 2x + 3
3) a)y = 2x + 2
c) xv = 0
4) B será melhor até 43 meses
A será melhor após 44 meses
5) p > 1
6) a) V
7) a) -4 < m < 4
b) F
c) V
b) m = - 6
d) F
c) m = ± 4
8) 16,8
9) altura = 20 e base = 40
10) - 36
Profº Leandro Colombi Resendo