1. Supondo que A, B 2 Mn⇥n (R) são matrizes tais que AB = O (onde O denota a matriz nula). Demonstre
ou forneça um contra-exemplo para cada uma das seguintes afirmações.
(a) A = O ou B = O
(b) BA = O
(c) Se B tem inversa então A = O
2. Considere o sistema de equações
(
x+y z =↵
x y + 2z =
(a) Determine a solução geral do problema homogéneo.
(b) Considere que ↵ = 1 e
particular do sistema.
= 2 e verifique que x = 1, y = 1 e z = 1 é, nesse caso, uma solução
(c) Continuando a considerar ↵ = 1 e
= 2 determine a silução geral do sistema.
(d) Encontre uma solução particular do sistema quando ↵ = 3 e
neste caso.
= 6. Determine a solução geral,
3. Considere o seguinte sistema de equações:
8
>
<x + y z = ↵
x y + 2z =
>
:
3x + y =
Estude a natureza dos sistema (possı́vel e determinado, possı́vel e indeterminado ou impossı́vel) em
função dos parâmetros ↵, , .
4. Considere as matrizes A e B
A=

1 3
4 2
,
B=

3
1
0
2
Calcule AB e BA. Constate que AB 6= BA e que, portanto, a propriedade comutativa não é válida
para o produto de matrizes.
5. A transposta de uma matriz A = [aij ] é a matrix AT = [aji ], i.e., a primeira coluna de AT é a primieira
linha de A, a segunda coluna de AT a segunda linha de A, etc. . . . A operação de transposição de
matrizes satisfaz (AT )T = A e (AB)T = BT AT (claro que esta regra generaliza a um qualquer número
de factores). Uma matriz A diz-se simétrica se AT = A.
Mostre que a matriz AT BA é simétrica de B é simétrica.
6. Mostre que se uma matriz simétrica A é invertı́vel então A
7. Considere a matriz
Mostre que A2 6= O mas A3 = O.
2
0 ↵
A=4 0 0
0 0
0
1
é simétrica.
3
5
8. Designando por diag(↵1 , . . . , ↵n ) a matriz diagonal de ordem n em que aii = ↵i (para 1  i  n),
verifique se dada uma matriz arbitrária A do tipo n ⇥ n, se tem sempre que AD = DA, quando
D = diag(↵, ↵, . . . , ↵). Diga em que circunstâncias é que a matriz D é invertı́vel e, nesse caso, determine
a inversa.
9. Recorde que uma matriz A = [aij ] é triangular superior se todas as entradas abaixo da diagonal principal
são nulas, i.e., se se tem aij = 0 para qualquer j > i. Mostre que o produto de duas matrizes triangulares
superiores é uma matriz triangular superior.
10. Suponhamos que A, B 2 Mn⇥n (R) e que se A é uma matriz quadrada então o traço de A, que se denota
tr(A), é a soma de todos os elementos da diagonal principal. Mostre que
1
(a) tr(A + B) = tr(A) + tr(B).
(b) tr(↵A) = ↵ · tr(A).
(c) tr(AB) = tr(BA).
(d) tr(AT ) = tr(A).
(e) Se B é invertı́vel então tr(A) = tr(BAB
1
).
11. Dada uma matriz quadrada A, uma matriz quadrada B com a propriedade AB = I diz-se uma inversa
direita de A. Análogamente, se BA = I diz-se que B é uma inversa esquerda de A. Mostre que se uma
matriz quadrada tem inversa esquerda e inversa direita, elas são iguais.
12. Usando o facto que se uma matriz quadrada tem inversa direita ( resp. inversa esquerda) então é invertı́vel
para mostrar que se uma matriz satisfaz a equação
A3
A+I=O
então, A é invertivel.
13. Diga para que valores do parâmetro ↵ o sistema seguinte é possı́vel:
(
3X1 X2 + ↵X3 = 0
3X1 X2 + X3 = 5
14. Mostre que um sistema de equações lineares em que a matriz dos coeficientes é invertı́vel é sempre possı́vel
e determinado.
15. Que relação devem satisfazer ↵, ,
2
seja possı́vel.
A=4
para que o sistema Ax = b onde
3
2
3
2
3
1
4
7
x
↵
5
0
3
5 5, x = 4 y 5, b = 4
2
5
9
z
2