XIII ONM - Categoria B (10o , 11o e 12o anos)
1a Eliminatória
23/11/94
SUGESTÕES para a resolução dos problemas
Duração: 2 horas
Cada questão vale 10 pontos
1. (a) Cada folha dupla de um jornal é formada por quatro páginas, a segunda com numeração
consecutiva da primeira e a quarta com numeração consecutiva da terceira. Como a primeira
dessas páginas tem sempre numeração ı́mpar, a folha referida contém as páginas 5, 6, 19 e
20.
(b) Atendendo à resposta anterior, a folha do jornal que contém a página 1 contém também as
páginas 2, 23 e 24. Portanto o jornal tem 24 páginas.
2. Como cada coluna não pode ter mais do que 3 fichas e há 4 colunas, então o número máximo de
fichas que é possı́vel colocar no quadriculado não excede 12(= 4 × 3).
Para mostrar que o número máximo é de facto 12, basta agora exibir uma configuração onde 12
fichas estejam colocadas de acordo com as regras. Por exemplo:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
3. Considere-se a seguinte figura, onde desenhamos, a partir de cada um dos outros lados do
quadrado, triângulos geometricamente iguais a [ABC]:
d IDH,
d
O polı́gono exterior [ABCIDHEJA] é um quadrado (basta notar que os ângulos BCI,
d
d
HEJ e JAB são rasos) e, uma vez que [BG] bissecta o ângulo em B, se prolongarmos este
segmento obtemos uma diagonal ([BH]) que então bissecta o ângulo no vértice H. Como [BF ]
e [GH] bissectam, respectivamente, os ângulos rectos dos triângulos [ABC] e [DHE] que, por
construção, são geometricamente iguais, concluı́mos que AF = DG e F C = GE. A conclusão é
dG = EGF
d e AF
dG = DGF
d , pois trata-se de ângulos alternos, e
agora óbvia (basta notar que CF
os ângulos restantes dos quadriláteros [AF GE] e [CDGF ] são rectos).
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XIII ONM - Categoria B (10o , 11o e 12o anos)
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Cada questão vale 10 pontos
4. Comecemos por analisar o que se passa em [0, 1]. Neste intervalo, os racionais que satisfazem ao
enunciado são
1 7 11 13 17 19 23 29
,
,
,
,
,
,
,
,
30 30 30 30 30 30 30 30
que são em número de 8 e cuja soma perfaz 4.
30 + n
No intervalo [1, 2] os números serão da forma
, com 1 ≤ n < 30, e é evidente que estas
30
n
fracções serão irredutı́veis se, e só se, as fracções
, com 1n < 30, o forem. Surgem portanto as
30
fracções correspondentes ao intervalo [0, 1] adicionadas de uma unidade. A soma neste intervalo
é portanto 8 × 1 + 4 = 12.
No intervalo seguinte, a soma será 8 × 2 + 4 = 20, e assim sucessivamente até ao último, onde a
soma é 8 × 9 + 4 = 76.
A soma total é pois
4 + 76
4 + 12 + 20 + · · · + 76 =
× 10 = 400.
2
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