1a Lista de Álgebra Linear II
Questão 1. Uma reta em R2 pode ser descrita por uma equação paramétrica, da forma
~x = p~ + t~u, t ∈ R, ou por uma equação cartesiana, da forma ax + by + c = 0. Encontre:
1.a. uma equação paramétrica e uma equação cartesiana para a reta que passa pelos
pontos (3, 1) e (1, −1);
1.b. uma equação cartesiana para a reta ~x = (3, 2) + t(0, 2);
1.c. uma equação paramétrica para a reta que passa por (3, 4) e é paralela à reta x+y = 0;
1.d. os pontos de interseção entre as retas 2x − y − 1 = 0 e x − 3y + 2 = 0 e
1.e. os pontos de interseção entre as retas 2x − y − 1 = 0 e ~x = (1, 3) + t(1, 2).
Questão 2. Um plano em R3 pode ser descrito por uma equação paramétrica, da forma
~x = p~ + s~u + t~v , s, t ∈ R, ou por uma equação cartesiana, da forma ax + by + cz + d = 0.
Uma reta em R3 pode ser descrita por uma equação paramétrica, da mesma que em R2 , ou
como um sistema de duas equações cartesianas, representando a interseção de dois planos.
2.a. Encontre uma equação paramétrica para o plano em R3 que contém os pontos (2, 1, 0),
(3, 2, 1) e (0, 3, 2).
2.b. Encontre uma equação cartesiana para o plano ~x = (1, 2, 3) + s(2, 1, 2) + t(1, 2, 1).
2.c. Encontre uma equação paramétrica para o plano x + y + z = 3.
2.d. Encontre uma equação paramétrica para a reta resultante da interseção dos planos
x + y + z = 1 e x − z = 2.
Questão 3. Determine se os planos ~x = (1, 1, 1) + s(1, 0, 1) + t(2, −1, 0) e ~x = (1, 2, 3) +
m(0, 1, 2) + n(3, −1, 1) são coincidentes ou não. Em caso afirmativo, determine a correspondência entre os parâmetros s, t e m, n.
Questão 4. Sejam ~v1 = (2, 1, 0), ~v2 = (−2, 2, 1), ~v3 = (2, 7, 2) e ~v4 = (1, 0, 0).
4.a. Determine se o vetor ~v4 é ou não combinação linear dos vetores ~v1 , ~v2 , ~v3 .
4.b. O conjunto {~v1 , ~v2 , ~v3 , ~v4 } é LI ou LD?