Sociedade Brasileira de Matemática
Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional
MA33 - Introdução à Álgebra Linear
Unidade 2 - Matrizes
Exercı́cios recomendados
1) Determine os valores de x, y, z ∈ R para que as matrizes A e B dadas sejam
iguais:
x+y
0
13 0
A=
eB=
.
z
x − 2y
1 4
2) Considere as matrizes:
(i) A = (aij )4×7 , definida por aij = i − j;
(ii) B = (bij )7×9 , definida por bij = i;
(iii) C = (cij )4×9 , definida por C = AB.
Determine o elemento c36 .
3) Sejam a, b ∈ R tais que a · b = 0, é sabido que a = 0 ou b = 0. Este fato vale
para multiplicação de matrizes ?
4) Verdadeiro ou falso? Justifique. Sejam A, B e C matrizes quadradas de
mesma ordem tais que AB = AC, então B = C.
5) Mostre que se A é uma matriz triangular superior, então A2 também é uma
matriz triangular superior.
6) Dada uma matriz A = (aij ) ∈ M(m, n), definimos a sua transposta como
sendo a matriz At = (bij ) ∈ M(n, m) tal que bij = aji para cada par (i, j).
Mostre que:
(a) Se A ∈ M(m, n), então (At )t = A.
(b) Se A ∈ M(m, n) e α ∈ R, então (αA)t = αAt .
(c) Se A, B ∈ M(m, n), então (A + B)t = At + B t .
(d) Se A ∈ M(m, n) e B ∈ M(n, p), então (AB)t = B t At .
1
7) Uma matriz quadrada A é chamada simétrica se At = A e antisimétrica se
At = −A.
(a) Se A é uma matriz quadrada, mostre que B + B t e BB t são simétricas.
(b) Se A é uma matriz quadrada, mostre que B − B t é antisimétrica.
(c) Conclua que toda matriz quadrada se escreve como soma de uma matriz
simétrica e de uma matriz antissimétrica.
8) Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Definimos o traço de A, denotado
por tr(A), como sendo a soma dos elementos de sua diagonal principal, isto
é, tr(A) = a11 + a22 + · · · + ann .
(a) Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, mostre que
tr(A + B) = tr(A) + tr(B) e tr(AB) = tr(BA).
(b) Existem matrizes A, B ∈ M(n, n) tais que AB − BA = In ? Justifique
sua resposta apresentando um exemplo ou provando o caso geral.
(c) Seja A uma matriz antisimétrica, mostre que tr(A) = 0.
(d) Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem tais que A é simétrica,
B é antisimétrica e AB = BA. Determine o traço de AB.
9) Sejam A e B matrizes quadradas invertı́veis de ordem n. Mostre que:
(a) A−1 é invertı́vel e (A−1 )−1 = A.
(b) AB é invertı́vel e (AB)−1 = B −1 A−1 .
10) Seja A ∈ M(n, n) uma matriz invertı́vel, mostre que a transposta de A é
invertı́vel e (At )−1 = (A−1 )t . Conclua que se A é simétrica invertı́vel, então
A−1 também é simétrica.
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