Ajuste de Curvas e
Interpolação
Ajustamento de Curvas
Ajuste Linear
Ajuste Polinomial
Ajuste não linear
Interpolação Polinomial: forma de Lagrange e de Newton
Ajustamento de Curvas
• Boa Aproximação!!!!
• Caso Discreto (quando f é dado numa tabela de valores)
• Caso Contínuo (quando f é dada por sua forma
analítica)
Caso Discreto
O problema do ajuste de curvas no caso em que temos
uma tabela de pontos onde escolhemos n funções
contínuas e obtemos n constantes, tais que a função
ajustada se aproxime se aproxime ao máximo de f(x).
Ajustamento de Curvas
Caso Discreto
Dizemos que um modelo é matemático
linear quando determinamos as
constantes e elas aparecem linearmente,
embora as funções que queremos
aproximar sejam exponenciais,
quadráticas, etc.
Ajustamento de Curvas
• Primeira pergunta:
Como escolher a função que melhor se
ajuste a função contínua?
Observando o gráfico dos pontos tabelados
em um diagrama de Dispersão.
Ajustamento de Curvas
• Exemplo 1
x
-1
-0,75
-0,6
-0,5
-0,3
0
0,2
0,4
0,5
0,7
1
f(x)
2,05
1,153
0,45
0,4
0,5
0
0,2
0,6
0,512
1,2
2,05
2,5
2
1,5
1
0,5
0
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
Ajustamento de Curvas
• Escolhemos então (x) = x2 é a equação
da parábola que passa na origem.
• Existem formas de impormos um desvio
mínimo entre a função exata da função
aproximada este método chamamos de
Método dos Mínimos Quadrados.
Ajustamento de Curvas
Método dos Mínimos Quadrados
O problema do ajuste de curvas no caso em que
se tem uma tabela de m pontos com x1, x2, x3 ,
… , xm pertencentes [a,b], consiste em:
“escolhidas” n funções contínuas g1(x), g2 (x),
g3(x),… , gn(x), contínuas em [a,b], obter n
constantes a1, a2, a3, …, an tais que a função
ϕ(x) = a1 g1(x) + a2 g2 (x)+ a3 g3 (x)+ … + an gn
(x) se aproxime ao máximo de f (x).
Ajustamento de Curvas
Método dos Mínimos Quadrados
Este modelo matemático é linear pois os
coeficientes que devem ser determinados a1,
a2, a3, …, an aparecem linearmente, embora as
funções g1(x), g2(x), g3(x), …, gn(x) possam ser
funções não lineares de x, como por exemplo,
g1(x)= x^2, g2(x)= e^x, g3(x)= (1+x)^2, etc.
Surge então a primeira pergunta: Como escolher
as funções contínuas g1(x), g2 (x), g3(x),
… , gn (x) ?
Ajustamento de Curvas
Método dos Mínimos Quadrados
No caso geral, escolhidas as funções g1(x), g2(x), ...,
gn(x), temos de estabelecer o
conceito de proximidade entre as funções ϕ(x) e f(x) para
obter as constantes a1, a2, a3, …, an.
Uma idéia é impor que o desvio entre f(x) e ϕ(x), ou seja,
dk=(f(xk)-ϕ(xk)) seja mínimo para todos os pontos (k =1,
2, ...., m).
Existem varias formas de impor que os desvios sejam
mínimos. Veremos nessa aula o método dos mínimos
quadrados.
Seja dk = f (xk) − ϕ (xk) o desvio em xk .
Ajustamento de Curvas
Método dos Mínimos Quadrados
Ajustamento de Curvas
Método dos Mínimos Quadrados
Ajustamento de Curvas
Método dos Mínimos Quadrados
• Seja os dados do Exemplo 1 (anterior) e
escolhemos a função (x) = x2 que
melhor se ajusta a curva visualizada no
diagrama de Dispersão.