Método dos
Mínimos Quadrados
Motivação
A interpolação não é adequada quando
desejamos obter um valor aproximado da
função em um ponto fora do intervalo
tabelado – extrapolar
 Os valores tabelados são resultado de
experimento físico ou de pesquisa que
podem conter erros

Há necessidade de ajustar à função
tabelada, uma função que seja uma boa
aproximação para os valores tabelados
 Esta boa aproximação deve permitir
extrapolação com uma certa margem de
segurança

Método dos mínimos Quadrados
Método dos mínimos Quadrados
Método dos mínimos Quadrados
Método dos mínimos Quadrados
h(x)
f(x) – h(x)
Método dos mínimos Quadrados
Método dos mínimos Quadrados
h(x)
Método dos mínimos Quadrados
h(x)
Caso discreto
Sejam dados os pontos (x1,f(x1)), (x2,f(x2)),
..., (xm,f(xm)) os pontos conhecidos
 Sejam g1(x), g2(x), ..., gn(x) funções
escolhidas de alguma forma
 Sendo m >= n

O objetivo é determinar coeficientes α1,
α2,..., αn tal que
 h(x)= α1g1(x)+ α2g2(x)+...+ αngn(x)


E h(x) se aproxime ao máximo de f(x)

Seja dk = f(xk) – h(xk) o desvio em xk

O objetivo é encontrar α tal que a soma
dos quadrados dos desvios seja mínima
m

k 1
dk 2 
m
2


f
(
x
)

h
(
x
)

k
k 1
k
m

k 1
dk 
2
m
 f (x )   g (x )  
k
k 1
1
1
k
2
g 2( xk )  ...  ngn( xk )2
Minimizando os desvios

Do cálculo diferencial: para obter um
ponto de mínimo de F(α1,α2,...,αn)
devemos encontrar os pontos críticos

Devemos encontrar os pontos onde as
derivadas parciais são iguais a zero
F ( xk ) 
m
  f (x )   g (x )  
k
1
1
k
2
g 2( xk )  ...  ngn( xk )2
k 1
m
F
(1... n )  2  f ( xk )   1 g 1( xk )   2 g 2( xk )  ...  ngn( xk )[ g1( xk )]
1
k 1

Regra da Cadeia
F
( 1, 2,...,n )  0,
j
j  1,2,..., n.
m
F
( 1, 2,...,n)  2  f ( xk )   1 g 1( xk )...  ngn( xk ) gj ( xk ).
j
k 1

m
  f ( x )   g ( x )...   g ( x )g ( x )  0
k
1
1
k
n n
k
1
k
k 1
m
  f ( x )   g ( x )...   g ( x )g ( x )  0
k
1
1
k
k 1
n n
k
2
k
...
m
  f ( x )   g ( x )...   g ( x )g ( x )  0
k
k 1
1
1
k
n n
k
n
k
m
m

m

f ( xk )g1( xk )
 g1( xk ) g1( xk ) 1  ...   gn( xk ) g1( xk )n 
k 1

k 1

k 1



m
m

m

f ( xk )g 2( xk )
 g1( xk ) g 2( xk ) 1  ...   gn( xk ) g 2( xk )n 
k 1

k 1

k 1
...



m
m

m

f ( xk )gn( xk )
 g1( xk ) gn( xk ) 1  ...   gn( xk ) gn( xk )n 
k 1

k 1

k 1



a111  a12 2  ....  a1nn  b1
a211  a22 2  ....  a2nn  b2
...
an11  an2 2  ....  annn  bn
Propriedades
aij = aji – a matriz A é simétrica
 Se as funções gi(x) forem tais que os
vetores gi resultantes forem linearmente
independentes, o sistema admite uma
única solução
 Se o sistema tem uma única solução, esta
solução é o ponto mínimo da função
F(α1,α2,...,αn)

Exemplo

Seja o conjunto de pontos:
x
f(x)

-1
-0,75
-0,6
-0,5
-0,3
0
0,2
0,4
0,5
0,7
1
2,05
1,153
0,45
0,4
0,5
0
0,2
0,6
0,512
1,2
2,05
Ajuste uma parábola do tipo x2aos pontos
usando MQ
11
 11

f ( xk )g ( xk )
 g ( xk ) g ( xk ) 
k 1

k 1


11
 11

f ( xk )g ( xk )
 g ( xk ) 2  
 k 1

k 1


11
 11 2 2 
( x k2 ) f ( xk )
 ( x k )  
 k 1

k 1


x
-1
-0,75
-0,6
-0,5
-0,3
0
0,2
0,4
0,5
0,7
1
somas
x2.x2
1
0,3164
0,1296
0,0625
0,0081
0
0,0016
0,0256
0,0625
0,2401
1
2,8464
f(x).x2
2,05
0,6485
0,162
0,1
0,045
0
0,008
0,096
0,128
0,588
2,05
5,8756
2,8464α = 5,8756
α = 2,0642

Assim, h(x)=2,0642 x2 é a parábola que
melhor se aproxima no sentido dos
mínimos quadrados, da função tabelada
Para o caso contínuo

Vimos o método dos mínimos quadrados
para o caso discreto

Como fazer para o caso contínuo?
m
m

m

 g1( xk) g1( xk)1  ...   gn( xk) g1( xk)n   f ( xk)g1( xk)
k 1
 k 1

 k 1

m
m

m

 g1( xk ) g 2( xk )1  ...  gn( xk ) g 2( xk )n   f ( xk )g 2( xk )
k 1
 k 1

 k 1

...
m
m

m

 g1( xk) gn( xk)1  ...   gn( xk) gn( xk )n   f ( xk )gn( xk)
k 1
 k 1

 k 1

 b g1( x) g1( x)dx 1  ...   b gn ( x) g1( x)dx n  b f ( x)g1( x)dx
a
 a

 a

 b g1( x) g 2( x)dx 1  ...   b gn ( x) g 2( x)dx n  b f ( x)g 2( x)dx
a
 a

 a

...
 b g1( x) gn ( x)dx 1  ...   b gn ( x) gn ( x)dx n  b f ( x)gn ( x)dx
a
 a

 a

 b g1( x) g1( x)dx 1  ...   b gn ( x) g1( x)dx n  b f ( x)g1( x)dx
a
 a

 a

 b g1( x) g 2( x)dx 1  ...   b gn ( x) g 2( x)dx n  b f ( x)g 2( x)dx
a
 a

 a

...
 b g1( x) gn ( x)dx 1  ...   b gn ( x) gn ( x)dx n  b f ( x)gn ( x)dx
a
 a

 a

Onde [a,b] é o intervalo onde f(x)
e todas as gi(x) são contínuas
Casos não Lineares




Em alguns casos a família de funções pode ser
não linear nos parâmetros
Nestes casos, deve-se linearizar o problema
através de uma transformação conveniente
O método dos mínimos quadrados pode ser
aplicado no problema linearizado
Os parâmetros obtidos não são ótimos porque o
ajuste é feito no problema linearizado e não no
problema original