Escola Politécnica de Pernambuco
Departamento de Ensino Básico
Capítulo 09
Ajuste de Curvas, Regressão e
Correlação
Prof. Sérgio Mário Lins Galdino
http://epoli.pbworks.com/
Agenda
Ajuste de curvas;
Regressão;
O método dos mínimos quadrados;
A linha mínimos quadrados;
A linha mínimos quadrados em termos da variância
amostral e covariância;
Agenda
Desvio Padrão da Estimativa;
O Coeficiente de Correlação Linear;
Coeficiente de Correlação Generalizado;
Correlação e Dependência;
Ajuste de curvas
A determinação de equações de curvas que se
ajustem a determinados conjuntos de dados
observados é chamado de Ajustamento de
Curvas.
Ajuste de curvas
Pode-se fazer uma análise da seguinte forma:
• coleta-se os dados de duas variáveis. Por exemplo, x e y,
a altura e peso de um grupo de pessoas, ,
respectivamente.
•traça-se um gráfico dos pontos (X1,Y1), (X2,Y2)....(Xn,Yn)
em um sistema de coordenadas retangulares. O conjunto
resultante é conhecido como diagrama de dispersão. Com
esse diagrama pode-se visualizar uma curva aproximativa
de dados ( curva de ajuste).
Ajuste de curvas
 Relação linear entre variáveis
 Relação linear não linear
Ajuste de curvas
Não existe relação
Regressão
Um dos objetivos do ajustamento é estimar
uma das variáveis (V. D.) em função da outra (V. I.).
Esse processo é conhecido como regressão (y(x)
versus x) .
A equação e a curva de regressão de x sobre y
ocorre quando a variável x é estimado em função
de y (x(y) versus y) .
Método dos mínimos quadrados
De todas curvas que se aproximam de
determinados conjuntos de pontos, a curva que atende
a propriedade :
d₁2 + d₂2 + ......+dn2 = mínimo
Obs: o dn corresponde a diferença entre o valor Yn e o
valor ajustado pela curva Y n
Método dos mínimos quadrados
dn = desvio, erro ou resíduo
C = melhor curva ajustadora
A linha de mínimos quadrados
A reta de mínimos quadrados aproxima o
conjunto de pontos (xi , yi), tem a equação
y  a b x
onde a e b são determinadas pela solução das
equações normais para linha de mínimos
quadrados

 y  a  n  b   x

2
xy

a

x

b

x




A linha de mínimos quadrados
Os valores de a e b são
a
b
2
y

x
    x x y
n   x   x 
2
2
n x  y   x  y 
n   x   x 
2
2
A linha de mínimos quadrados
O valores b pode ser reescrito como:

x  x  y  y 

b
 x  x 
2
onde

x

x
n
y  a  b x  a  y b x
A linha passando pelo centróide
A reta de mínimos quadrados passa pelo ponto
x, y , chamado centróide (centro de gravidade
dos dados).

x  x  y  y 

y y 
 x  x 
 x  x 
2
Ou a linha de regressão de x sobre y

x  x  y  y 

xx 
 y  y 
 y  y 
2
Exemplo
Altura do Pai (x)
(polegadas)
65
63
67
64
68
62
70
66
68
67
69
71
Altura do Filho (y)
(polegadas)
68
66
68
65
69
66
68
65
71
67
68
70
Exemplo
x
y
x2
xy
y2
65
68
4225
4420
4624
63
66
3969
4158
4356
67
68
4489
4556
4624
64
65
4096
4160
4225
68
69
4624
4692
4761
62
66
3844
4092
4356
70
68
4900
4760
4624
66
65
4356
4290
4225
68
71
4624
4828
5041
67
67
4489
4489
4489
69
68
4761
4692
4624
71
70
5041
4970
4900
x = 800
y = 811
x2 =
53.418
xy =
54.107
y2 =
54.849
a= 35.82 e b= 0.476
y = 35.82 + 0.476.x
A linha mínimos quadrados em termos da
variância amostral e covariância
As variâncias e covariâncias amostrais de x e y
são dadas por
É definido o coeficiente de correlação amostral
como:
Então a equação da reta de regressão de mínimos
quadrados de y sobre x:
Desvio Padrão da Estimativa
A medida da dispersão em torno de uma curva de
regressão é dado por:
Como
verificamos que a curva
de mínimos quadrados é a que apresenta o menor
desvio padrão de estimativa dentre as curvas de
regressão.
Coeficiente de correlação linear
O coeficiente pode ser definido como:
: variação explicada ( os desvios
tendem a um padrão definido pela reta de
regressão de mínimos quadrados).
: variação total
Coeficiente de correlação linear
O r é a medida de quão bem a reta de regressão
de mínimos quadrados se ajusta aos dados.
Assim r2=1 é definido como correlação linear
perfeita. Se r2=0 a variação total é toda não
explicada.
Observação: ‘r’ estar entre 0 e 1.
Coeficiente de Correlação
Generalizado
O coeficiente pode ser definido como:
: variação explicada
: variação total
Mede quão bem uma curva de regressão não-linear se
ajusta aos dados = Coeficiente de Correlação
Generalizado
Exemplo
Encontre o coeficiente de determinação e o coeficiente de
correlação linear do exemplo acima.
Relembrando que o coeficiente de determinação é r2:
variaçãoexplicada 19.22
r 

 0.4938
variaçãototal
38.92
2
O coeficiente de correlação é r:
r  0.4938  0.7027
Correlação e Dependência
• Sempre que duas variáveis x e y tem coeficiente de
correlação diferente de 0, ela são dependentes ( sentido
probabilístico).
• Nem sempre essa correlação representa uma
interdependência causal direta.
• Exemplo 1 :
altura e peso→ interdependência direta
• Exemplo 2:
salário e criminalidade → Interdependência indireta.