Matemática Elementar III – Progressões Geométricas
Nessas condições, a produção anual, nesse
período, será representada pela seqüência
(200000, 220000, 242000, 266200, 292820,
322102).
TEMA 31
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
Notamos que, nessa seqüência, cada termo, a
partir do segundo, é obtido multiplicando o
termo anterior por um número fixo (no caso
1,10 ), ou seja, a produção anual teve uma taxa
de crescimento relativa constante de 10% em
relação do ano anterior.
Enquanto a população humana cresce em progressão geométrica, a produção de alimentos
cresce em progressão aritmética.
(Thomas Malthus)
Seqüências com tipo de lei de formação são
chamadas progressões geométricas. No exemplo dado, o valor 1,10 é chamado de razão da
progressão geométrica e indicado por q (no
exemplo, q = 1,10). Dizemos que os termos
dessa seqüência estão progressão geométrica.
Introdução
A taxa de crescimento relativo de uma grandeza é dada pela razão entre o seu aumento e
seu valor inicial. Assim, uma grandeza que
passa do valor a para o valor b tem taxa de
crescimento relativo igual a
Definição
Progressão geométrica (PG)é toda seqüência
de números reais não-nulos em que é constante o quociente da divisão de cada termo (a
partir do segundo) pelo termo anterior. Esse
quociente constante é chamado razão (q)da
progressão. Ou seja, uma PG é uma seqüência
na qual a taxa de crescimento relativo de cado
termo para o seguinte é sempre a mesma.
.
Por exemplo, a taxa de crescimento relativo de
uma grandeza que passa do valor 5 para o valor
8 é igual a 60%, pois
%.
Neste tema, trataremos de seqüências que
variam com taxa de crescimento relativo constante. Examine, por exemplo, a seguinte situação-problema.
Notação
Sendo uma seqüência uma progressão geométrica, vamos denotar a mesma por:
Em 2003, uma empresa produziu 200 mil
unidades de certo produto. Quantas unidades
produzirá no período de 2003 a 2008, se o
aumento de produção anual for sempre de
10% em relação ao ano anterior?
(a1,a2,a3,a4,...,an−1,an,...) ou
A = (a1,a2,a3,a4,...,an−1,an,...)
Exemplos
Esquematizando o problema da seguinte forma, teremos:
1. A seqüência (2,10,50,250,...) é uma PG, em
que o primeiro termo é a1 = 2 e a razão
q = 5. Obeserve que a2 = a1.5 = 2.5 = 10;
a3 = a2.5 = 10.5 = 50 e assim por diante.
• produção em 2003 = 200000l
• produção em 2004 = produção em 2003.
1,10 = 200000 . 1,10 = 220000
2. A seqüência (6,−12,24,−48,96) é uma PG
de cinco termos, em que o primeiro termo é
a1 = 6 e a razão q = −2, pois:
• produção em 2005 = produção em 2004.
1,10 = 220000. 1,10 = 242000
• produção em 2006 = produção em 2005.
1,10 = 242000. 1,10 = 266200
a1 = 6; a1.(−2) = 6.(−2) = −12;
a3 = a2 .(−2) = (−12) . (−2) = 24;
• produção em 2007 = produção em 2006.
1,10 = 266200. 1,10 = 292820
a4 = a3 .(−2) = 24 . (−2) = −48;
a5 = a4 .(−2) = (−48) . (−2) = 96
• produção em 2008 = produção em 2007.
1,10 = 292820. 1,10 = 322102
De modo geral, se a seqüência dada por
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