EIXO TEMÁTICO II: FUNÇÕES ELEMENTARES E MODELAGEM
Tema 5: Funções
Tópico 11: Progressão Geométrica
Por que ensinar
As progressões geométricas apareceram naturalmente em vários contextos como exemplificado neste texto. As situações
apresentadas aqui podem ser utilizadas para disparar o processo de ensino do tópico.
Exemplo 1. Calcular o valor de uma grandeza após n períodos, partindo de um valor inicial, digamos , sob a
condição que a cada período ela tem um crescimento de 25%.
Situações como essa ocorrem, por exemplo, quando uma quantia é aplicada em um investimento.
Exemplo 2. No cálculo de prestações fixas em financiamentos.
Exemplo 3. Na estimativa de populações de acordo com a data. Em particular, no Modelo de Malthus de crescimento
populacional.
Exemplo 4. Na determinação do termo geral ou de um termo em posição específica de uma seqüência dada, em que
a regularidade observada caracteriza a seqüência como uma progressão geométrica.
Condições para ensinar


Propriedades da potenciação;
Proporcionalidade e Porcentagem.
O que ensinar
Conceito: Uma progressão geométrica (PG) é uma seqüência (an) na qual o quociente de cada termo pelo anterior, a
partir do segundo, é constante, chamada razão da progressão. Vale observar que isso é equivalente a dizer que
numa PG a taxa de crescimento é constante. Observe que se a razão for menor do que 1 então haverá um
decrescimento ou seja an < an+1.
Identificar o termo geral de uma progressão geométrica.
Resolver problemas que envolvam a soma dos primeiros termos de uma progressão geométrica.
Como ensinar
Uma vez apresentadas e discutidas algumas situações problema a idéia é desenvolver métodos para solucioná-los.
Começando com casos específicos e paulatinamente generalizando, até atingir uma posição adequada para tratar o
tema abstratamente, usando a álgebra (linguagem simbólica).
Pedir para que os alunos construam tabelas de progressões geométricas da forma bn, para valores particulares da
constante b, comparando-as para observar o crescimento quando b > 1 e o decrescimento, quando b < 1.
A seguir apresentamos algumas sugestões de situações que envolvem a progressão geométrica.
Exemplo 1. Dar alguns termos de uma seqüência, que é uma progressão geométrica, para que o aluno “descubra”
como os termos são construídos. E, ainda, deixar que o aluno tente escrever o termo de ordem 10 ou 50, sem
construí-los todos.
Para o segundo exemplo, vale comentar que é muito comum falar-se em taxa de crescimento ou decrescimento de
uma população ou da inflação. O que significa isso?
“A taxa de crescimento entre dois valores a e b de uma grandeza é a razão entre o aumento da grandeza b − a e o
seu valor inicial a”.
Um exemplo, disso é o seguinte: A taxa de crescimento de uma grandeza que passa de 4 para o valor 5 é igual
a
ou 25%.
Para os exemplos 2 e 3, utilizaremos que um valor x mais 25% de x é igual a x + 0,25x = 1,25x.
Exemplo 3. Se dissermos que uma grandeza tem crescimento de 25% em cada período, estamos dizendo que se
iniciando com o valor a1, podemos obter o valor a2, relativo ao segundo período, simplesmente fazendo o produto
1,25a1. E assim por diante, o valor an, relativo ao n-ésimo período, é igual a 1,25an-1 para todo número inteiro n maior
que 1.
Exemplo 4: O Modelo de Malthus de crescimento populacional. Considere que a população dobra a cada instante,
ou seja, a população no instante n é igual ao dobro da população no instante n − 1, isto é pn = 2pn-1, para todo
número inteiro n maior que 1. Portanto, se iniciarmos com uma população de 15 indivíduos, teremos pn = 15 x 2n1
indivíduos depois de n etapas.
Exemplo 5. Suponha que a população de um certo país aumente 2% ao ano. Então se denotamos por pn a
população no ano n, podemos traduzir simbolicamente a afirmação acima do seguinte modo: pn é igual à população
pn-1, no ano anterior mais o aumento da população, que é 2% de pn-1. Isto é, pn = 1,02 pn-1. Assim, pn = 1,02n-1 p0,em
que p0 é a população no ano em que se iniciou a observação e para todo número inteiro n maior que 1.
Como avaliar
Propor pesquisar dados sobre modelo de crescimento populacional (Malthus) em Biologia ou de expansão de uma
epidemia, usando dados concretos;
Propor exercícios de traçar o gráfico de uma PG com razões maior do que um e menor do que um. Esboçar o gráfico
correspondente a várias situações.
Discutir problemas que envolvam a absorção de medicamentos (por exemplo, antibióticos e a necessidade do
período da dosagem).
Relacionar o cálculo de prestações em financiamentos com a função exponencial e a progressão geométrica.
Orientação Pedagógica: Progressão Geométrica
Conteúdo Básico Comum - Matemática Médio
Autor(a): Michael Spira
Centro de Referência Virtual do Professor - SEE-MG/2008