Matemática Elementar III – Progressões Aritméticas
termo para o seguinte é sempre o mesmo e é
chamado de razão da progressão.
TEMA 24
Definição
Progressão Aritmética (PA) é toda seqüência
de números reais na qual a diferença entre
cada termo (a partir do segundo) e o termo
anterior é constante. Essa diferença constante
é chamada de razão da progressão e é representada por r.
PROGRESSÕES ARITMÉTICAS
Uma seqüência muito útil é a seqüência aritmética, que possui domínio infinito. Essa seqüência é conhecida, no âmbito do Ensino
Médio, como uma Progressão Aritmética.
Encontramos freqüentemente grandezas que
sofrem variações iguais em intervalos de tempo iguais. Veja, por exemplo, o seguinte problema:
Notação para a PA:
(a1, a2, a3, ..., an, ....)
ou
C = (a1, a2, a3, ..., an, ....)
Uma empresa produziu, no ano 2000, 100 mil
unidades de um certo produto. Quantas
unidades produzirá, anualmente, de 2000 a
2005, se o aumento anual de produção for
estabelecido em 20 mil unidades?
Exemplos:
1. A seqüência de números reais, dada por
(2,4,6,8,...,2n,....) com n∈N é uma PA de
razão r = 2
Esquematizando o problema da seguinte forma, teremos:
2. A seqüência de números reais, dada por
(1,3,....,2n − 1,....) com n∈N é uma PA de
razão r = 2
• Produção em 2000: 100 mil unidades.
• Produção em 2001 = produção em 2000 +
20 mil unidades = 100 mil unidades +20 mil
unidades = 120 mil unidades.
Na seqüência, apresentamos os elementos básicos de uma Progressão Aritmética da forma:
• Produção em 2002 = produção em 2001 +
20 mil unidades = 120 mil unidades + 20
mil unidades = 140 mil unidades.
(a1,a2,a3,....,an,....)
1. n indica uma posição na sequência. n é o
índice para a ordem do termo geral an na
seqüência.
• Produção em 2003 = produção em 2002 +
20 mil unidades = 140 mil unidades + 20
mil unidades = 160 mil unidades.
2. an é o n-ésimo termo da PA, que se lê a
índice n.
• Produção em 2004 = produção em 2003 +
20 mil unidades = 160 mil unidades + 20
mil unidades = 180 mil unidades.
3. a1 é o primeiro termo da PA, que se lê a
índice 1.
• Produção em 2005 = produção em 2004 +
20 mil unidades = 180 mil unidades + 20
mil unidades = 200 mil unidades.
4. a2 é o segundo termo da PA, que se lê a
índice 2.
5. r é a razão da PA, e é possível observar que
Nessas condições, a produção nesse período
será representada pela seqüência (100 mil, 120
mil, 140 mil, 160 mil, 180 mil, 200 mil).
an = a1 + r,
a3 = a2 + r,
..........,
Notamos que, nessa seqüência, cada termo, a
partir do segundo, é obitido do anterior somando-se a este um número fixo 20 mil.
an = an − 1 + r,
..........
Seqüência desse tipo são chamadas de progressões aritméticas. O aumento de cada
A razão de uma Progressão Aritmética pode ser
obtida subtraindo o termo anterior (antecedente)
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