Universidade Federal de Ouro Preto
Professor: Antônio Marcos da Silva
Aula 03: Integrais Duplas - Caso Geral
Observações:
1. Se f (x, y) = g(x)h(y) é uma função de duas variáveis contı́nua em um retângulo R = [a, b] × [c, d], então
Z Z
Z
b
Z
h(y)dy.
c
a
R
d
g(x)dx
f (x, y)dA =
h πi h πi
× 0, , então
Exemplo 0.1. Se f (x, y) = sen x cos y e R = 0,
2
2
Z Z
Z π2
Z π2
f (x, y)dA =
sen xdx
cos ydy = 1 · 1 = 1.
R
0
0
2. Como visto na aula anterior, dada uma função f (x, y) contı́nua em um retângulo R = [a, b] × [c, d], a integral
dupla de f sobre R nos fornece o volume do sólido acima da reigão R, abaixo do gráfico de f e entre os planos
x = a, x = b, y = c e y = d. Dessa forma, é esperado que os valores das integrais
Z dZ b
Z bZ d
f (x, y)dxdy,
f (x, y)dydx e
a
c
c
a
sejam iguais!
O teorema a seguir nos garante esse fato.
Teorema 1 (Teorema de Fubini - Para integrais duplas). Dada uma função contı́nua sobre um retângulo R =
[a, b] × [c, d], temos que
Z Z
Z
b
Z
f (x, y)dA =
R
d
Z
d
Z
f (x, y)dydx =
a
c
b
f (x, y)dxdy.
c
a
Exemplo 0.2. Determine os valores das integrais iteradas a seguir:
Z Z
Z Z
h πi
(a)
xydA, em que R = [0, 1] × [−1, 1].
(b)
(sec2 x + y)dA, em que R = 0,
× [−1, 0].
4
R
R
Exemplo 0.3. Calcule o volume do sólido S que está abaixo do plano z = 1 + x + y e acima da região delimitada por
x = 0, x = 1, y = 0 e y = 1.
Integrais Duplas - Caso Geral
Até agora vimos como calcular a integral dupla de uma função contı́nua f (x, y) sobre um retângulo, isto é, o volume
do sólido acima de um retângulo e abaixo do gráfico de f . Mas, e se quisessemos encontrar, usando integrais duplas,
o volume de um sólido cuja base não seja retangular? Por exemplo: cilindros, cones, elipsódes, etc...
Para isso será preciso identificar os tipos de regiões sobre os quais iremos integrar.
Definição 0.1. Uma região plana D é dita do
1. tipo I, se existem funções contı́nuas em [a, b], f1 (x) e f2 (x), tais que
D = (x, y) ∈ R2 ; a ≤ x ≤ b e f1 (x) ≤ y ≤ f2 (x) .
2. tipo II, se existem funções contı́nuas [c, d], g1 (y) e g2 (y), tais que
D = (x, y) ∈ R2 ; g1 (y) ≤ x ≤ g2 (y) e c ≤ y ≤ d .
Veja as figuras abaixo:
Exemplo 0.4. Sabendo-se que g1 (x) = 2x e g2 (x) = x2 , descreva a região abaixo como uma região do tipo I e depois
do tipo II.
Teorema 2.
1. Se f é uma função contı́nua em uma região D do tipo I, então
Z Z
b
Z
f2 (x)
Z
f (x, y)dydx;
f (x, y)dA =
D
a
f1 (x)
2. Se f é uma função contı́nua em uma região D do tipo II, então
Z Z
Z
d
Z
g2 (x)
f (x, y)dA =
D
Z Z
g1 (x)
(x + 2y)dA, sabendo-se que D é a região delimitada pelas parábolas y = 2x2 e y = 1 + x2 .
Exemplo 0.5. Calcule
Resp.:
f (x, y)dxdy.
c
D
32
.
15
Exemplo 0.6. Determine o volume do sólido que está abaixo do parabolóide z = x2 + y 2 e acima da região D (do
216
.
tipo I) do plano xOy limitada pela reta y = 2x e pela parábola y = x2 . Resp.:
35
Exemplo 0.7. (Exercı́cio) Refaça o exercı́cio anterior considerando D como uma região do tipo II.
Z Z
Exemplo 0.8. Determine
xydA, D é a região limitada pela reta y = x − 1 e pela parábola y 2 = 2x + 6. Resp.:
D
36.
Z
1
Z
1
Exemplo 0.9. Calcule
0
x
sen y 2 dydx. Resp.:
1 − cos 1
.
2
Exemplo 0.10. Use integral dupla para determiar a área da região hachurada da figura abaixo.
2