Geometria Plana
www.spexatas.com.br
grupoexatas.wordpress.com
Exercı́cios Dissertativos
1. (2002) No triângulo ABC da figura, que não está desenhada em escala, temos:
(a) Mostre que os triângulos ABC e BEC são semelhantes e, em seguida, calcule AB e EC.
(b) Calcule AD e FD.
2. (2003) A figura representa, em um sistema ortogonal de coordenadas, duas retas, r e s, simétricas
em relação ao eixo Oy, uma circunferência com centro na origem do sistema, e os pontos A =
(1, 2), B, C, D, E e F , correspondentes às interseções das retas e do eixo Ox com a circunferência.
Nestas condições, determine
(a) as coordenadas dos vértices B, C, D, E e F e a área do hexágono ABCDEF.
b
(b) o valor do cosseno do ângulo AOB.
Professor: Leonardo Carvalho
UNIFESP
contato: [email protected]
Geometria Plana
www.spexatas.com.br
grupoexatas.wordpress.com
3. (2004) Na figura, são exibidas sete circunferências. As seis exteriores, cujos centros são vértices de um
hexágono regular de lado 2, são tangentes à interna. Além disso, cada circunferência externa é também
tangente às outras duas que lhe são contı́guas.
Nestas condições, calcule:
(a) a área da região sombreada, apresentada em destaque à direita.
(b) o perı́metro da figura que delimita a região sombreada.
4. (2004) As figuras A e B representam dois retângulos de perı́metros iguais a 100 cm, porém de áreas
diferentes, iguais a 400cm2 e 600cm2 , respectivamente.
A figura C exibe um retângulo de dimensões (50 − x) cm e x cm, de mesmo perı́metro que os retângulos
das figuras A e B.
(a) Determine a lei, f(x), que expressa a área do retângulo da figura C e exiba os valores de x que
fornecem a área do retângulo da figura A.
(b) Determine a maior área possı́vel para um retângulo nas condições da figura C.
Professor: Leonardo Carvalho
UNIFESP
contato: [email protected]
Geometria Plana
www.spexatas.com.br
grupoexatas.wordpress.com
5. (2004) Considere a região sombreada na figura, delimitada pelo eixo Ox e pelas retas de equações
y = 2x e x = k, k > 0.
Nestas condições, expresse, em função de k:
(a) a área A(k) da região sombreada.
(b) o perı́metro do triângulo que delimita a região sombreada.
6. (2005) Um observador, em P, enxerga uma circunferência de centro O e raio 1 metro sob um ângulo
Î¸, conforme mostra a figura.
(a) Prove que o ponto O se encontra na bissetriz do ângulo θ.
(b) Calcule tg(θ), dado que a distância de P a O vale 3 metros.
Professor: Leonardo Carvalho
UNIFESP
contato: [email protected]
www.spexatas.com.br
grupoexatas.wordpress.com
Geometria Plana
7. (2006) Em um dia de sol, uma esfera localizada sobre um plano horizontal projeta uma sombra de 10
metros, a partir do ponto B em que está apoiada ao solo, como indica a figura.
Sendo C o centro da esfera, T o ponto de tangência de um raio de luz, BD um segmento que passa por
C, perpendicular à sombra BA, e admitindo A, B, C, D e T coplanares:
(a) justifique por que os triângulos ABD e CTD são semelhantes.
(b) calcule o raio da esfera, sabendo que a tangente do ângulo BÂD é
1
.
2
8. (2008) Na figura, os triângulos ABD e BCD são isósceles. O triângulo BCD é retângulo, com o ângulo
C reto, e A, B, C estão alinhados.
b em graus.
(a) Dê a medida do ângulo B AD
(b) Se BD = x, obtenha a área do triângulo ABD em função de x.
Professor: Leonardo Carvalho
UNIFESP
contato: [email protected]
Geometria Plana
www.spexatas.com.br
grupoexatas.wordpress.com
9. (2010) Um jogo eletrônico consiste de uma pista retangular e de dois objetos virtuais, O1 e O2 , os
quais se deslocam, a partir de uma base comum, com O1 sempre paralelamente às laterais da pista e
π
O2 formando um ângulo x com a base, x(0, ). Considere v1 e v2 os módulos, respectivamente, das
2
velocidades de O1 e O2 . Considere, ainda, que os choques do objeto O2 com as laterais da pista (lisas
e planas) são perfeitamente elásticos e que todos os ângulos de incidência e de reflexão são iguais a x.
(a) Exiba o gráfico da função y = f (x) que fornece o módulo da componente da velocidade de desloπ
camento do objeto O2 , no sentido do deslocamento do objeto O1, em função do ângulo, x(0, ).
2
π
(b) Se v1 = 10m/s e v2 = 20m/s, determine todos os valores de x, x(0, ), para os quais os objetos
2
O1 e O2 , partindo num mesmo instante, nunca se choquem.
Professor: Leonardo Carvalho
UNIFESP
contato: [email protected]