Desenvolvimento de um algoritmo para aproximar
computacionalmente uma função linear
descontı́nua de duas variáveis por uma função
contı́nua
Edson Luiz Valmorbida
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[email protected]
Prof. Dr. Paulo Rafael Bösing
2
[email protected]
Suponha que possuı́mos uma superfı́cie no R3 dada por uma função K : R2 → R
em que, para os pontos dentro de uma determinada região do domı́nio a função seja
constante igual a um valor k1 e fora dela uma constante k2 , com k1 > k2 . Dessa
forma, é fácil perceber que esta superfı́cie é descontı́nua (na fronteira da região).
Agora, imagine que essa região, chame-a de Ω, seja delimitada por uma poligonal
fechada simples (desconsideremos o caso em que a região é um único ponto). O
problema que tratamos neste trabalho é o de encontrar um método para definir
computacionalmente uma função Kε que seja “parecida” com a função K só que ao
invés de ser descontı́nua sobre a poligonal ela seja contı́nua.
A estratégia adotada foi criar planos inclinados que “ligam” a parte superior
(região constante igual a k1 ) com a parte inferior (região constante igual a k2 ). É
claro que para isso teremos que restringir as regiões onde a função assume as duas
constantes.
Para isso, ao invés de definir Kε como sendo “no interior da poligonal vale k1 e no
exterior k2 ” vamos criar duas poligonais, uma no interior de Ω e outra no exterior de
Ω, e definir que no interior da poligonal interna, Kε vale k1 , no exterior da poligonal
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Aluno de mestrado do Programa de Pós-Graduação em Matemática e Computação Cientı́fica
da UFSC e bolsista CAPES.
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Orientador - Departamento de Matemática UFSC - Florianópolis - SC.
externa, Kε vale k2 e entre as duas poligonais, Kε vale o mesmo que a equação do
plano que liga as duas superfı́cies.
Mais formalmente, seja V = {v1 , . . . , vn } ⊂ R2 um conjunto de pontos distintos
e ordenados tais que a união dos segmentos vi vi+1 , i = 1, . . . , n − 1, juntamente com
o segmento vn v1 , forme uma poligonal fechada simples e orientada no sentido antihorário. Ou seja, V é o conjunto de vértices da poligonal Ω. Além disso, supomos
que Ω não possui três vértices consecutivos colineares (caso haja podemos eliminar o
vértice intermediário).
Seja K : R2 → R um função definida da seguinte forma:
(
K(x) =
k1
se x ∈ Int(Ω)
k2
se x ∈ Ext(Ω)
com k1 > k2 .
Dado ε > 0, a partir de Ω definimos duas poligonais Ωint e Ωext da seguinte forma:
Para cada vi ∈ V definimos os vértices ii e ei como sendo os pontos que distam ε/2
de vi e estão sobre a reta bissetriz ao ângulo formado pelas semirretas que partem
de vi e passam por vi−1 (vn no caso de i = 1) e vi+1 (v1 no caso de i = n) com
ii ∈ Int(Ω) e ei ∈ Ext(Ω). Com isso definimos Ωint e Ωext como sendo as poligonais
com vértices ii e ei , respectivamente. Sejam I e E os conjuntos formados pelos ii ’s e
ei ’s, respectivamente.
Com isso, dividimos R2 em 3 regiões distintas, a saber Int(Ωint )∪Ωint , Ext(Ωext )∪
Ωext e Int(Ωext ) ∩ Ext(Ωint ). Porém, estamos interessados em considerar separadamente algumas sub-regiões de Int(Ωext ) ∩ Ext(Ωint ). Denotemos por Qi os quadriláteros formados por cada par de vértices consecutivos de Ωint e Ωext e seja Πi
o plano que do R3 que contém os pontos (i1i , i2i , k1 ), (i1i+1 , i2i+1 , k1 ), (e1i+1 , e2i+1 , k2 ) e
(e1i , e2i , k2 ), com i = 1, . . . , n.
Seja Kε : R2 → R uma função dada por:
Kε (x) =



 k1
se x ∈ Int(Ωint )
k2 se x ∈ Ext(Ωext )


 Π (x) se x ∈ Q , i = 1, . . . , n
i
i
Assim, o problema consiste em achar um método de definir a função Kε (x) computacionalmente de modo que dado um ponto qualquer x ∈ R2 possamos obter o
valor de Kε (x).
A abordagem utilizada para resolver o problema divide-se em algumas etapas:
ˆ Encontrar os vértices internos e externos.
ˆ Calcular os coeficientes dos planos Πi .
ˆ Escolher um vértice de Ω adequado que auxiliará na avaliação da função.
ˆ Avaliar a função Kε baseado na relação entre x e o vértice escolhido.
Isso nos permite considerar aplicações práticas para o método desenvolvido. Em
particular, permite aproximar equações diferenciais parciais com coeficientes descontı́nuos, como é o caso da equação de Poisson-Boltzmann, por equações diferenciais
parciais com coeficientes contı́nuos, o que simplifica a sua resolução numérica pelo
método de elementos finitos de Galerkin descontı́nuo, por exemplo.
Referências
[1] CARMO, Manfredo Perdigão do. Geometria Diferencial de Curvas e Superfı́cies.
3. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2008. 607 p. (Textos Universitários).
[2] FIGUEIREDO, Luiz Henrique de; CARVALHO, Paulo César Pinto. Introdução
À Geometria Computacional. Rio de Janeiro: Impa, 1991. 111 p. (18º Colóquio
Brasileiro de Matemática).