PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática
O RESGATE DE ELEMENTOS E DE CONSTRUÇÕES DO DESENHO GEOMÉTRICO
PARA AUXILIAR O ESTUDO DA GEOMETRIA ESPACIAL COM ALUNOS DO 2o
ANO DO ENSINO MÉDIO
Cláudio Antônio da Silva
Belo Horizonte
2011
Cláudio Antônio da Silva
O RESGATE DE ELEMENTOS E DE CONSTRUÇÕES DO DESENHO GEOMÉTRICO
PARA AUXILIAR O ESTUDO DA GEOMETRIA ESPACIAL COM ALUNOS DO 2o
ANO DO ENSINO MÉDIO
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em
Ensino de Ciências e Matemática da Pontifícia Universidade
Católica de Minas Gerais, como requisito parcial para a
obtenção do título de Mestre em ensino de Ciências e
Matemática.
Orientador: Dr. Dimas Felipe de Miranda
Belo Horizonte
2011
Cláudio Antônio da Silva
O Resgate de Elementos e de Construções do Desenho Geométrico para Auxiliar o Estudo
da Geometria Espacial com Alunos do 2o Ano do Ensino Médio
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em
Ensino de Ciências e Matemática da Pontifícia Universidade
Católica de Minas Gerais Belo Horizonte, 2011.
______________________________________________________________
Dimas Felipe de Miranda (Orientador) – PUC Minas
______________________________________________________________
– FUMEC
Edna
______________________________________________________________
– PUC Minas
Eliane Gazire
______________________________________________________________
–
Belo Horizonte
2011
A quatro pessoas que são os pilares da minha vida:
À minha mãe Helena: Por ser um exemplo de força, coragem, responsabilidade e está
sempre presente em minha vida.
À minha esposa Rita: Pelo amor dedicado a mim e a nossa família, força nos momentos
de desânimo e com a qual divido todos os meus sonhos e realizações.
Às minhas filhas Isabella e Mirella: Por serem meu sonho realizado, amo vocês.
AGRADECIMENTOS
A Deus, pelo dom da vida e pela oportunidade de participar do seu plano neste mundo.
A todas as pessoas que contribuíram para que este trabalho fosse realizado.
A minha esposa Rita que desde o dia em que fiz minha inscrição no processo seletivo foi
incansável e perseverante no apoio a mim.
Minhas filhas Isabella e Mirella que ficaram sem minha presença em vários momentos em
prol da realização desse trabalho.
Ao meu querido orientador Professor Dimas pela paciência e interesse em que este
trabalho fosse realizado com êxito.
Ao corpo docente do Programa de Mestrado em ensino da PUC – Minas.
Aos meus alunos do 2º. Ano do Ensino Médio, ano 2009, dos dois colégios onde apliquei
as atividades, vocês são demais e, em especial ao Pedro que já se tornou anjo..
E, finalmente, a banca pelos conselhos e orientações que levarei para minha vida.
A Geometria faz com que possamos adquirir o hábito de raciocinar,
e este hábito pode ser empregado, então, na pesquisa da verdade e
ajudar-nos na vida.
Jacques Bernoulli
RESUMO
Essa dissertação apresenta uma pesquisa, de caráter Qualitativo, do tipo Observação Participante,
cujo objetivo foi resgatar elementos e construções usados na disciplina de Desenho Geométrico,
como auxiliares no estudo de Geometria Espacial. Foram observados e analisados o
desenvolvimento dos trabalhos dos alunos das turmas do segundo ano do Ensino Médio de duas
escolas particulares da cidade de Belo Horizonte. Eles trabalharam com régua, compasso e
esquadro na resolução de um conjunto de Atividades Didáticas, abordando construções
geométricas, produto dessa pesquisa. As Atividades foram planejadas e elaboradas, conforme os
objetivos estabelecidos e os referenciais teóricos previamente levantados em autores, como
Polya, Ponte, Zabala, Ludke, Piaget e outros. Como resultado, foram verificadas entre os alunos
expectativas e posturas favoráveis à proposta, bem como notório empenho ao desenvolver as
atividades e, posteriormente, em relacionar e aplicar o conhecimento adquirido nos estudos de
Geometria Espacial ou Sólida. Ao término do processo, pesquisador e alunos avaliaram o
trabalho. Na análise e na avaliação foram identificadas formas de contribuições, dificuldades e
estímulos advindos da experiência com a proposta da pesquisa.
Palavras-chave: Desenho Geométrico. Geometria Espacial. Atividades didáticas.
ABSTRACT
This dissertation presents a research work which proposes recovering elements used in Geometric
Drawings discipline, aiming for the development of Solid Geometry study. In this research, two
classes of second grade High School students, in two private schools in Belo Horizonte, were
observed and analysed. They worked in a solution of a set of didatic activities which were
planned and elaborated according to previous theoretical references. Geometric drawing materials
like rules, pair of compasses and set squares were used in the activities by the students, in order
to star or restart a certain familiarity with them and notice how developed geometric
constructions could help them throughout Solid Geometry studies. As a result, it was checked a
favorable expectation and position to the proposal among the students, as well as a notorious
commitment in doing the activities; and afterwards, in applying the acquired knowledge in future
geometric studies. At the end of Spacial Geometry unit study, researcher and students evaluated
the work done, identifying how they realized the contribution ways, the difficulties and
encouragement coming from the experience toward the research proposal.
Key words: Geometric Drawing. Solid Geometry. Didactic Activities.
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ......……………… ……………………………………..……………………
2 UM POUCO DA HISTÓRIA DA GEOMETRIA .....................................................................
2.1 GEOMETRIA PLANA .........................................................................................................
2.2 DESENHO GEOMÉTRICO ................................................................................................
2.3 GEOMETRIA SÓLIDA ........................................................................................................
3 O TRABALHO DE PESQUISA ................................................................................................
3.1 A SONDAGEM ......................................................................................................................
3.2 A SEQUÊNCIA DIDÁTICA NA PESQUISA .....................................................................
3.3 ATIVIDADE 1: Posições relativas entre retas ....................................................................
3.4 ATIVIDADE 2: As cevianas e os pontos notáveis de um triângulo ..................................
3.5 ATIVIDADE 3: Polígonos regulares inscritos em uma circunferência ............................
3.6 ATIVIDADE 4: Isometria e Homotetia ...............................................................................
3.7 ANÁLISE DOS DADOS .......................................................................................................
4 CONSIDERAÇÕES FINAIS ......................................................................................................
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .........................................................................................
APÊNDICE .....................................................................................................................................
ANEXOS ..........................................................................................................................................
1. INTRODUÇÃO
O tema geometria tem sido um objeto de estudo bastante freqüente nas pesquisas em
Educação Matemática. A geometria, como um dos ramos mais antigos da Matemática, continua
levando os estudiosos a grandes descobertas e abrindo perspectivas de estudos futuros.
O desenho geométrico, com seus instrumentos e construções sistematizadas e
sequenciadas, pode auxiliar e contribuir com o estudo da geometria, em geral, desenvolvendo e
conectando as percepções mental e visual. Hoje, com os ambientes cada vez mais informatizados,
as construções geométricas manuais desfrutam de pouco atenção por parte de professores,
pesquisadores e alunos.
O interesse desse pesquisador pelo tema, bem como o sentimento de que este aspecto
artesanal do desenho geométrico pode trazer benefícios ao estudante, vem de quando ele cursava
o ensino médio. Ao fazer seu curso numa Escola Técnica Federal, em 1980, pode, já no segundo
ano, ter contato com a disciplina de Desenho Técnico e manusear instrumentos de desenho, como
escala triangular, régua T, compasso e esquadros.
Durante o curso superior de Engenharia Mecânica, em 1983, veio o reforço na assimilação
dos conhecimentos em Desenho Técnico, quando o pesquisador pode ser aprovado com notas
máximas, levando-o a se interessar mais pela disciplina.
Ao cursar licenciatura plena em Matemática, esse pesquisador percebeu que, no currículo
e na proposta do curso, não se dava muita ênfase ao tema Desenho Geométrico, o foco recaía na
Geometria Plana e Espacial, com ênfase nas definições e deduções de teoremas.
Há 19 anos dedicando-se à prática docente em Matemática, quase em sua totalidade com
ensino médio, esse pesquisador pode perceber uma lacuna entre a Geometria Sólida estudada no
2º. Ano do Ensino Médio e a visão dos elementos que a constroem, associada a um
desconhecimento e despreparo no contato com instrumentos geométricos (régua, compasso,
esquadros).
A partir daí, foi-se construindo a idéia de um trabalho de pesquisa que experimentasse
uma metodologia que contemplasse levar aos alunos uma proposta, visando manusearem e
construírem figuras geométricas como suporte e em conexão com o estudo da Geometria
Espacial.
Por isso, o pesquisador escolheu como questão principal de estudo:
Que contribuições e desafios podem ser observados e identificados ao se resgatar a
utilização de materiais de desenho geométrico e suas construções, através da realização de
atividades didáticas planejadas, visando o estudo de Geometria Espacial em turmas de 2º.
ano do Ensino Médio?
As construções geométricas e a própria Geometria são um conteúdo de importância
reconhecida pelos PCN’s (2005). O documento prevê a organização dos conteúdos matemáticos
em quatro blocos: Números e operações; Funções; Geometria; e Análise de dados e
probabilidade. No bloco Geometria é colocada como orientação: possibilitar ao aluno
desenvolver a capacidade de resolver problemas práticos do quotidiano, como, por exemplo,
orientar-se no espaço, ler mapas, estimar e comparar distâncias percorridas, reconhecer
propriedades de formas geométricas básicas e saber usar diferentes unidades de medida. Alguns
estudiosos da Educação Matemática dão ênfase às construções geométricas, como no trabalho de
Zuin (2001) com suas investigações a respeito do Desenho Geométrico, realizado em escolas
mineiras. O pesquisador, Wagner (1993), já preocupado com o tema, escreveu o livro
Construções Geométricas, incentivando o resgate do ensino do Desenho Geométrico. Assunto,
segundo o autor, esquecido nas escolas atuais. Mas, quanto à geometria, há um consenso e até um
reclamo, em nível do discurso, de que seu estudo seja incentivado em todas as faixas básicas de
aprendizagem (Ensino Infantil, Ensino Fundamental I, Ensino Fundamental II e Ensino Médio) e
em todos os níveis superiores no campo das Exatas (Engenharia, Arquitetura, Matemática etc.).
O estudo da Geometria, em conexão com as construções geométricas, pode levar os
alunos a ter uma visão mais ampla de medida, área e espaço, dentro de sua realidade e na sua
vivência pessoal e física.
A observação da prática docente leva à percepção de que os alunos e professores, em
geral, não dão ênfase ao estudo de Geometria, tornando-se um assunto de pouca aceitação. Este
pesquisador, no entanto, tem como hipótese que este conteúdo pode ter melhor aceitação se for
ministrado de forma mais lúdica, com atividades devidamente conduzidas e deduções das
fórmulas geométricas, ao invés de simplesmente levar os alunos a construir pequenos sólidos de
papelão ou com palitos, imaginando que, com isso, os alunos terão uma “visão” do que é a
Geometria Sólida. O estudo de Geometria pode levar os alunos a grandes descobertas não só na
própria Geometria, mas também na Álgebra.
Espera-se que este resgate da utilização dos instrumentos de construção de elementos
geométricos (compasso, esquadros, transferidor, etc.) possa levar a um conhecimento maior dos
entes geométricos, ajudando na construção de uma Geometria com maior visualização e mais rica
em informações.
É importante frisar que, a Geometria é seqüencial (está em todos os níveis de estudo),
portanto não é recomendável prosseguir no estudo se, os pré-requisitos básicos não ficarem bem
fixados. Em particular, este fato é tido como o grande empecilho para que todos aprendam e
estudem, efetivamente, a Geometria e a Matemática, em geral.
Este trabalho pretende contribuir para resgatar a importância do estudo e aplicação de
atividades de Desenho Geométrico em todos os níveis do ensino básico. A prática deste
pesquisador vem detectando um déficit deste conteúdo nos alunos do segundo ano do Ensino
Médio, ao iniciar o estudo de Geometria Espacial ou Geometria Sólida.
Neste contexto, o objetivo geral desta pesquisa estabeleceu-se como:
- resgatar elementos e construções usados na disciplina de Desenho Geométrico, como
auxiliares no estudo de Geometria Espacial.
Os objetivos específicos seriam:
- formular um conjunto de atividades didáticas conforme os objetivos e a questão de
pesquisa;
- realizar observações do processo de desenvolvimento das atividades pelos sujeitos da
pesquisa;
- analisar os dados, as observações e as contribuições advindas do processo da pesquisa.
Frente à problemática levantada, foi estabelecida uma seqüência de ações.
Este trabalho foi desenvolvido durante o ano de 2009 com duas turmas de alunos do 2º.
Ano do Ensino Médio em duas escolas particulares de Belo Horizonte. Percebeu-se, ao final, um
significativo diferencial no desempenho dos alunos, detectado em todo o processo avaliativo,
tanto qualitativa, como quantitativamente, visto que o pesquisador lecionou esta disciplina nos
anos de 2008 e 2009.
Inicialmente, foi feito, pelo pesquisador, um levantamento a respeito do conhecimento e
contato dos alunos das turmas do 2º. Ano do ensino médio com os instrumentos e as construções
do desenho geométrico. O intuito era de preparar e embasar o pesquisador sobre como conduzir o
trabalho de pesquisa.
Em seguida, o pesquisador aplicou quatro atividades para suas turmas com o objetivo de
observar e coletar dados para montagem de seu trabalho de pesquisa.
A elaboração e a condução da pesquisa foram feitas conforme metodologias e teorias de
LUDKE e ANDRÉ (...........), ZABALLA (2007), PONTE (2003) e POLYA (1995) entre outros.
ZABALLA (2007) com suas áreas de formação da aprendizagem, conceitual (C),
procedimental (P) e atitudinal (A), determinou categorias de análise para a pesquisa.
As teorias investigativas de PONTE (2003) proporcionoaram ao pesquisador, durante a
aplicação das atividades, uma postura de busca, de descoberta e de formas de se lidar com os
alunos diante das situações e desafios apresentados.
POLYA (1995) deu suporte para as Atividades. As etapas propostas pelo autor para se
trabalhar com problemas: compreensão do problema, estabelecimento de um plano, execução do
plano e retrospecto foram assumidas na elaboração e no desenvolvimento das Atividades.
As contribuições de LUDKE (.......) se deram na tipologia da pesquisa, permitindo
classificá-la como uma pesquisa de caráter Qualitativo, na categoria de Observação Participante.
A pesquisa que se apresenta tem como escopo básico 5 capítulos. Neste capítulo 1, tem-se
a Introdução.
No capítulo 2, aborda-se uma breve história da Geometria, com os tópicos envolvendo a
geometria plana, o desenho geométrico e a geometria sólida ou espacial, demonstrando a
importância da mesma na trajetória da Matemática e na história da humanidade.
No capítulo 3 relata-se a sondagem inicial que foi feita com os alunos, uma rápida teoria
sobre atividades didáticas e uma descrição das quatro atividades realizadas com os alunos do 2º.
ano do ensino médio de duas escolares particulares de Belo Horizonte para o trabalho de
pesquisa.
No capítulo 4 é apresentada a análise dos dados obtidos com as atividades, mostrando os
resultados através de comentários e descobertas feitas pelos alunos e pelo próprio pesquisador.
No capítulo 5 é apresentada a conclusão a partir dos resultados gerais do trabalho de
pesquisa e das observações.
No Apêndice, apresenta-se o conjunto de Atividades, elaborado e proposto aos sujeitos da
pesquisa.
E, finalmente, nos anexos estão apresentadas algumas fotos tiradas durante a execução das
atividades, dentro das instituições de ensino.
É importante frisar que, essas duas turmas foram escolhidas porque o pesquisador é o
professor de Matemática efetivo delas e, não foi objetivo da pesquisa, em momento algum,
realizar uma comparação entre os alunos ou entre as escolas.
2. GEOMETRIA E DESENHO GEOMÉTRICO
A Geometria é um dos ramos mais antigos do estudo de Matemática e, durante milênios
intrigou estudiosos e leigos por seus detalhes e pela sua magnitude. Através dela foram
construídas obras faraônicas e foram descobertas informações que definiram a forma de nosso
planeta e do espaço fora dele.
A origem da palavra Geometria vem do grego significa medidas da terra (geo = terra e
metron = medida)
O historiador grego Heródoto, que viveu no século V antes de Cristo, no livro II (Euterpe)
das suas Histórias, refere-se deste modo às origens da Geometria: (CARAÇA, 2003)
“Disseram-me que este rei (Sesóstris) tinha repartido todo o Egipto entre
os egípcios, e que tinha dado a cada um uma porção igual e rectangular
de terra,, com a obrigação de pagar por ano um certo tributo. Que se a
porção de algum fosse diminuída pelo rio (Nilo), ele fosse procurar o rei
e lhe expusesse o que tinha acontecido a sua terra. Que ao mesmo tempo
o rei enviava medidores ao local e fazia medir a terra. Eu creio que foi
daí que nasceu a Geometria e que depois ela passou aos gregos”.
Há registros da geometria babilônica que datam de 2000 a.C. a 1600 a.C. sobre estudos de
áreas de retângulos, triângulos e trapézios, do volume de um paralelepípedo e de prisma
trapezoidal reto. A principal marca da geometria babilônica era seu aspecto algébrico. Isto nos
mostra que a humanidade nesse momento já sentia a necessidade e a importância dos elementos
geométricos como base para seus estudos futuros.
Dois papiros traziam informações geométricas:
- Nos papiros de Moscou e Rhind, vinte e seis problemas dos 110 contidos neles são geométricos.
Neles a problematização é feita para situações práticas do dia a dia, ou seja, a utilização da
geometria para solucionar necessidades cotidianas, já naquela época. A título de informação, é
notável já existir no papiro de Moscou um exemplo correto da fórmula do volume de um tronco
de pirâmide de base quadrada. (EVES,1997)
Outra civilização que deixou um grande legado geométrico foi a egípcia, onde todos os
estudos para construção das pirâmides e das divisões de terras, em função das enchentes do rio
Nilo, levaram a um grande desenvolvimento geométrico, colocando-a na posição de maior
potência geométrica da época e, transformando Alexandria num grande centro geômetra da
antiguidade.
Com o declínio do poder do Egito e da Babilônia nos últimos séculos do segundo milênio
a.C., começa a se destacar a Matemática Demonstrativa com Tales de Mileto e Pitágoras de
Samos, momento em que a geometria grega assume um destaque no cenário mundial da época,
apesar de que, a história dos 300 primeiros anos da matemática grega foi obscurecida pela
grandeza dos Elementos de Euclides, escritos por volta de 300 a.C.
As descobertas da matemática grega, evidenciada por Pitágoras e pelos pitagóricos, até
hoje são muito utilizadas em nossos estudos e desenvolvimentos geométricos. O período iniciado
por Tales e culminado com os Elementos de Euclides denota um período de realizações
extraordinárias, que gerou o início do que hoje chamamos de Geometria Euclidiana.
Continuando a história da Geometria encontramos Arquimedes, considerado o maior
matemático da antiguidade; Eratóstenes, matemático, astrônomo, geógrafo, historiador, filósofo,
poeta e atleta; Apolônio, conhecido como “ O Grande Geômetra”, principalmente pela sua obra
sobre seções cônicas e também Hiparco, Menelau, Ptolomeu que se destacaram na trigonometria
grega.
A tradição geométrica grega prolongou-SE por algum tempo, mas veio a declinar,
permanecendo apenas estudos relativos à astronomia, a trigonometria e a álgebra. Só próximo do
século III d.C. cerca de 500 anos depois de Apolônio, surgiria um outro grande geômetra, Papus
de Alexandria tentando resgatar e reacender o estudo de geometria, ele fez grandes descobertas e
notáveis estudos.
Três civilizações também desempenharam um papel importante na geometria antiga, a
chinesa, a indiana e a árabe. A chinesa que, após o declínio da matemática grega clássica se
tornou a mais criativa, deixou grandes contribuições na obtenção de valores precisos de π,
desenvolveu a geometria descritiva, entre outras; a indiana não era proficiente em geometria, mas
sua grande contribuição foi na parte algébrica da geometria e a árabe que se destacou mais em
conservar a geometria descoberta do que mesmo inovar em alguma coisa.
Depois disto a geometria entrou em uma fase estagnaria até meados do século XVI,
quando matemáticos como René Descartes, Pierre de Fermat, Evangelista Torricelli entre outros,
contestando alguns pontos da Geometria Euclidiana iniciaram estudos que resultaram numa
geometria que fosse além desses estudos, chamada Geometria não Euclidiana, onde podemos
perceber que as figuras podem ser vistas e estudadas com outro foco, porém sempre levando a
uma lógica matemática.
Este histórico nos leva hoje a perceber a trajetória e a importância da Geometria para os
povos antigos, portanto não deve ser diferente hoje, ela deve ter um lugar de destaque dentro da
Matemática para que possamos entender nossa posição no espaço.
2.1. GEOMETRIA PLANA
Nos últimos séculos do segundo milênio a.C. o homem começou a formular questões
sobre as figuras planas, devido a grandes mudanças econômicas e políticas.
Algumas questões fundamentais foram formuladas como “Por que o diâmetro de um
círculo divide esse círculo ao meio?” e “Por que os ângulos da base de um triângulo isósceles
são iguais?”. Nesse momento surge a mudança de perspectiva do como para o porquê.
Segundo a tradição a geometria demonstrativa começou com Tales de Mileto, um dos
“sete sábios” da Antiguidade, durante a primeira metade do sexto século a.C. (EVES, 1997).
Os fundamentos da Matemática, especialmente a geometria plana, nos retomam os gregos
da antiguidade. A famosa obra de Euclides, Os Elementos, é a primeira apresentação sistemática
dessa geometria que, posteriormente foi desenvolvida.
Temos muito pouca informação sobre Euclides, que teria vivido por volta do ano 300 a.C.
E o pouco que sabemos vem dos comentários de Proclus (410-485), mesmo tendo vivido,
aproximadamente 700 anos depois de Euclides, ele tem dificuldade em determinar a época exata
em que viveu Euclides. (ÁVILA, 2001).
É importante saber que nesse período a geometria plana não era expressa numericamente
e sim através de figuras planas e demonstrações de desenhos com régua e compasso. Por
exemplo, hoje determinamos a área de um triângulo como a metade do produto da medida da
base pela medida da altura, naquela época Euclides determinava a área de um triângulo através da
metade da área de um paralelogramo obtido da união de dois triângulos iguais ao triângulo dado.
Já a área de um paralelogramo é igual à área de um retângulo de mesma medida de base e de
mesma medida de altura. Outro exemplo interessante é a fórmula para o cálculo da área de um
círculo, para nós é A = r2, porém para Archimedes (287-212 a.C.), que viveu algumas décadas
depois de Euclides, a área do círculo é igual à área de um triângulo de medida de base igual a
medida do comprimento da circunferência e medida de altura igual a medida do raio do círculo.
Na época de Euclides surgiu a idéia, devido à dificuldade de que a palavra número era
usada só para números inteiros e uma fração era considerada apenas para razão entre números, de
associar as grandezas a segmentos de reta. Assim o conjunto das grandezas contínuas passou a
ser tratado por métodos geométricos. Nasce nesse período uma nova álgebra, completamente
geométrica onde a palavra resolver se torna sinônimo de construir. (WAGNER,1993)
Na Matemática Grega não havia fórmulas como as de hoje, todos os cálculos eram feitos
através de proporções, por isso a importância de Tales de Mileto, com seu Teorema de Tales,
esses métodos continuaram por mais de um milênio.
Tales deu um grande passo em prol da geometria e despertou uma grande admiração pelos
sábios da época, ao calcular a altura de uma pirâmide através da proporcionalidade com sua
sombra. Ele é o primeiro matemático reconhecido a quem são associadas algumas descobertas
matemáticas. Na geometria plana, devem-se a ele as seguintes proposições matemáticas:
1. Qualquer diâmetro efetua a bissecção do círculo em que é traçado.
2. Os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais.
3. Ângulos opostos pelo vértice são iguais.
4. Se dois triângulos têm dois ângulos iguais e um lado em cada um deles
respectivamente iguais, então esses dois triângulos são iguais.
5. Um ângulo inscrito num semicírculo é reto.
A grande importância desses resultados é que Tales os obteve por raciocínios lógicos e
não pela intuição ou experimentalmente.
Outro grande Matemático que foi fundamental para o desenvolvimento da Geometria
Plana foi Pitágoras de Samos, ao que parece ele nasceu por volta de 572 a.C.
Ele foi o fundador da escola pitagórica que teve um papel fundamental nas descobertas
geométricas como, por exemplo, o Teorema de Pitágoras. Porém como os ensinamentos da
escola eram inteiramente orais e como era de costume atribuir todas as descobertas ao fundador,
hoje é difícil saber quais descobertas matemáticas são realmente do próprio Pitágoras e quais são
de outros matemáticos da irmandade.
A Geometria Plana ou Geometria Euclidiana permaneceu nas escolas e universidades até
o final do século XVIII, período denominado Iluminismo, quando alguns matemáticos
contrariando alguns teoremas e postulados, desenvolveram um novo ramo na geometria
denominado Geometria não Euclidiana, onde o plano deixou de ser o universo único.
2.2 GEOMÉTRIA ESPACIAL OU SÓLIDA
A Geometria Sólida é também chamada de Geometria Espacial pois ela é estudada no
espaço, definido como o conjunto de todos os pontos.
No estudo de Geometria Sólida temos dois blocos de estudos: os poliedros e os sólidos de
revolução ou corpos redondos.
No caso dos poliedros, um exemplo importante ocorre com as pirâmides da civilização
egípcia, que datam de 2700 a.C., estruturas construídas com base quadrangular e faces
triangulares. Muito tempo depois, os matemáticos, decidiram teorizar matematicamente essas
formas geométricas, vindo a denominá-las poliedros, cujas propriedades sempre levaram os
matemáticos a discussões, inclusive nos dias atuais.
Coube ao matemático grego Euclides, no livro XIII de sua importantíssima obra Os
Elementos, sistematizar os poliedros regulares (poliedros cujas faces são polígonos regulares),
que foram por ele denominados sólidos de Platão. Depois, outros matemáticos gregos como
Arquimedes (287-212 a.C.) e Papus (290-350 d.C.) tiveram muito interesse pelos poliedros,
demonstrando e estabelecendo propriedades relativas a eles.
A partir do Renascimento, alguns teóricos, tais como Leonhard Euler, René Descartes e
Johannes Kepler, fizeram estudos com os poliedros. É importante destacar a contribuição de
Descartes e Euler no desenvolvimento do teorema de Euler, expressão que envolve todos os
elementos dos poliedros.
Já em relação aos corpos redondos, houve uma longa e árdua caminhada; por volta do ano
2000 a.C., os egípcios já calculavam o volume de um cilindro, multiplicando a área da base pela
medida da altura.
As inscrições egípcias demonstravam que eles se preocupavam apenas com o resultado,
buscando solucionar seu problema prático e imediato, não se atendo a como foi feita aquela
dedução, consequentemente não registravam como era feito o cálculo.
No século IV a.C. surge em Atenas, na Grécia, a Academia de Platão e, Eudoxo de Cnido
(480-355 a.C.) um de seus integrantes, demonstrou pela primeira vez de forma satisfatória que, o
volume de um cone é igual a terça parte do volume de um cilindro de mesma área de base e de
mesma medida de altura.
Arquimedes de Siracusa, aproveitando os estudos de Eudoxo, escreveu muitos estudos
sobre Matemática, porém os temas que ele mais gostava era sobre a Esfera e o Cilindro, ele
provou que o volume de uma esfera e de um cilindro estão para a razão de 2 para 3, se o raio da
base do cilindro tiver a mesma medida do raio da esfera e se a altura do cilindro tiver igual
medida à do diâmetro da esfera. Este estudo facilitou a dedução da fórmula do volume da esfera.
(ROSSO, 2011).
Hoje muitos estudos ainda são feitos no desenvolvimento da Geometria Sólida, com
investimentos em tecnologia e informática.
2.3 DESENHO GEOMÉTRICO
O desenho geométrico acompanha a geometria desde a sua concepção, vinda da
necessidade do homem de entender, interpretar e demonstrar o mundo em que vive.
Jorge (2002) introduz muito bem a idéia inicial do desenho geométrico afirmando que a
linguagem gráfica é universal, pois independe dos idiomas e proporciona compreensão imediata e
interpretação exata dos símbolos usados. Podemos perceber isso em situações cotidianas como
interpretar as placas de sinalização nas ruas de uma grande cidade ou mesmo na interpretação de
um projeto dentro de uma indústria feito por uma filial de um país europeu e interpretado e
construído no Brasil.
No caso específico da Geometria podemos perceber que o desenho geométrico é uma
linguagem que permeia os vários ramos: Geometria Plana, Geometria Sólida, Geometria não
Euclidiana, Trigonometria e outros.
Porém, a expressão desenho geométrico tem sido interpretada, historicamente, como a
ciência que objetiva a resolução gráfica dos problemas relacionados com a geometria plana.
As construções geométricas estão cada vez aparecendo menos nos currículos escolares,
deve-se ajudar a resgatar esse tema do abandono e demonstrar sua importância como instrumento
auxiliar no aprendizado da geometria, pois as construções com régua e compasso são encontradas
na época dos Pitagóricos, provavelmente no século V a.C. e tiveram grande importância no
desenvolvimento da matemática grega.(WAGNER,1993)
Os PCN’s apresentam o conteúdo de Geometria organizado em blocos e, em dois deles,
Espaço e Forma e Grandezas e Medidas, recomenda-se que o trabalho com espaço e forma
pressupões que o professor de Matemática envolva situações em que sejam necessárias
construções geométricas com régua e compasso, e também é indicado no trabalho com grandezas
e medidas a utilização de instrumentos de medida, como régua, escalímetro, transferidor,
esquadro, etc. em função de situações-problema.
Alguns matemáticos hoje, ainda desenvolvem trabalhos, com o tema Desenho
Geométrico, Figuras Geométricas e Construções Geométricas.
Em seu trabalho, Da régua e do compasso, Zuin (2001) faz uma investigação linear de
tempo da aplicação e presença do ensino de Desenho Geométrico nas escolas de todos os níveis
de ensino no Brasil, destacando e demonstrando sua importância para o estudo de Geometria. Ela
verifica que este tema foi priorizado apenas em escolas profissionalizantes e, nas escolas
regulares o Desenho Geométrico ficou em segundo plano.
Na sua dissertação de Mestrado, Construção de Conceitos Matemáticos: investigando a
importância do Desenho Geométrico, nos anos finais do ensino fundamental, Raymundo (2010),
faz um levantamento no nível do ensino fundamental da necessidade do Desenho Geométrico e
do descaso, pelas leis da utilização desse conteúdo nas escolas, o que segundo ela, daria um
suporte maio no conhecimento geral de Geometria.
Já no trabalho de Oliveira (2006), Importância do Desenho Geométrico, ele confirma o
descaso com o estudo de Desenho Geométrico, e demonstra as conseqüências graves do ponto de
vista da educação dos alunos, propondo assim, aos professores que retomem este conteúdo com
os alunos.
Wagner (2005), em seu livro Construções Geométricas, escrito para um curso de
aperfeiçoamento de professores secundários, mostra a importância do Desenho Geométrico
através de exemplos de construções motivadoras e intrigantes, levando os participantes do curso a
uma reflexão sobre o abandono desse tema nas escolas e de sua importância no estudo de
Geometria e em outros campos do conhecimento.
Alguns trabalhos foram feitos na linha do resgate da conexão do desenho geométrico e
geometria, mas o tema ainda carece de pesquisa e atenção.
3. O TRABALHO DE PESQUISA
Na prática docente do ensino médio trabalha-se muito a Geometria como instrumento de
visualização de figuras e sólidos, porém a preocupação em reconhecer neles os entes geométricos
através da construção geométrica está ficando esquecida.
Por isso este trabalho vem resgatar esta linha de raciocínio e prática, com as construções
geométricas planas, auxiliando o estudo da Geometria Sólida no conhecimento dos elementos
separadamente.
Este trabalho foi realizado nos meses de agosto a novembro de 2009, em duas escolas
particulares de Belo Horizonte, as quais chamaremos de escola Piloto e escola A. A escola Piloto
foi a primeira a realizar as atividades e, nela foram detectados alguns pequenos problemas de
redação e, após os devidos ajustes, foi feita a aplicação na escola A.
3.1 O MOMENTO DA SONDAGEM
Nesse primeiro momento foi feita uma sondagem, através de um questionário, com 8
questões (Apêndice.....), para obter algumas informações sobre os sujeitos envolvidos na
pesquisa. A sondagem tinha dois objetivos fundamentais: se o aluno conhece e já utilizou os
instrumentos geométricos e qual o seu interesse pela participação nas atividades a serem
propostas.
A Questão 2, que sintetiza o primeiro objetivo, perguntava:
Quetão 2 - Qual material você conhece e qual já utilizou?
a) COMPASSO
b) ESQUADRO 45
c) ESQUADRO 30/60
d) TRANSFERIDOR
e) RÉGUA 30 cm
f) GABARITO (formas)
g) GABARITO (números)
Pelas respostas desta questão, o pesquisador pode avaliar a falta de contato, por parte dos
alunos, com alguns instrumentos, mas também pode verificar que uma minoria teve contato com
todos os instrumentos listados. ( Tabela.... e Gráficos..........)
Escola Piloto
Escola A
SIM PARA TODOS - 11
SIM PARA TODOS - 8
SIM PARA ALGUNS - 34
SIM PARA ALGUNS - 19
NÃO PARA TODOS - 0
NÃO PARA TODOS - 0
0%
24%
Sim p/
todos
Sim p/
alguns
76%
Gráfico da pergunta 2 – Escola Piloto
0%
30%
Sim p/
todos
Sim p/
alguns
70%
Gráfico da pergunta 2 – Escola A
O pesquisador verificou que, entre os alunos que marcaram alguns instrumentos, três
foram os mais indicados: esquadros, transferidor e gabaritos; os outros dois instrumentos,
compasso e régua, os alunos foram unânimes em indicar que já utilizaram.
Complementarmente, obteve-se a informação de que estes instrumentos foram usados
com pouca freqüência na vida escolar deles e direcionados para alguma atividade específica de
uma disciplina.
A Questão 3 do questionário sintetiza o segundo objetivo, que tenta detectar o interesse
dos alunos pela participação na pesquisa. Pedia-se ao aluno que respondesse com sim, ou não, à
questão a seguir, e justificasse a resposta.
Questão 3 - Você acha que seria importante este tipo de aula?
Quase a totalidade dos alunos responderam sim nas duas escolas, apenas 1 aluno
respondeu não. As justificativas às respostas mostradas nos Protocolos, a seguir, foram dadas por
alunos da escola Piloto.
Aluna L. - SIM
Justificativa
Aluna A.M. – SIM
justificativa
Aluno L – SIM
Justificativa.
Aluno M.
Justificativa
Podemos verificar que os alunos da escola A, além de demonstrarem interesse em
aprender Desenho Geométrico, auxiliando a Geometria Sólida, demonstram também interesse no
conteúdo vislumbrando conhecimento prévio para o seu curso superior, já escolhido.
O pesquisador apresentou a resposta do aluno que respondeu NÃO ter interesse, para
comentar que obteve dele informações de que não havia tido aula de Desenho Geométrico em sua
vida acadêmica. Ele argumentou, num primeiro momento, que essas aulas poderiam
comprometer outros conteúdos matemáticos do 2º. Ano do Ensino Médio, o qual ele estava
cursando. O mais interessante é que, com o início da aplicação das Atividades de Desenho
Geométrico, este mesmo aluno foi um dos destaques em participação e resultados. Reconheceu
que, como não havia tido contato com Desenho, sua reação inicial foi de rejeição.
Na Questão 7 do questionário, o pesquisador desejava verificar a aceitação dos alunos
para a possibilidade de se executar o trabalho de pesquisa fora do horário de aula. O resultado
mostrou que um número razoável de alunos tinha interesse em participar como sujeitos da
pesquisa, mesmo tendo que retornar a escola fora do horário normal.
Questão 7 - Se utilizarmos algumas aulas extras, à tarde, qual seria seu grau de
interesse?
Escola Piloto
Escola A
100% a 80% – 23 alunos
100% a 80% – 12 alunos
80% a 50% – 15 alunos
80% a 50% – 11 alunos
50% a 30% – 4 alunos
50% a 30% – 4 alunos
Menos de 30% – 3 alunos
Menos de 30% – 0 alunos
Ele detectou também que os alunos que não se direcionavam para o Vestibular nas áreas
de exatas se apresentavam mais resistentes, demonstrando menor interesse pelas aulas extras e
tarefas constituintes do desenvolvimento do trabalho.
A Questão 8 se destina a ouvir os comentários livres de cada aluno.
Questão 8 – Faça um pequeno comentário sobre o assunto abordado neste
questionário.
São apresentados abaixo alguns relatos de alunos, demonstrando sua posição, em relação
ao questionário, ao conteúdo de Geometria e ao Desenho Geométrico.
Na escola Piloto os 45 alunos da turma demonstraram interesse em participar das
Atividades e, neste momento, os comentários de alguns deles são destacados.
“Meu pai trabalha muito com desenho geométrico e o estudou em cursos técnicos. Desde
pequena tive muito contato com os objetos da questão dois, e, gostando muito de desenho,
sempre apresentei grande interesse pelo desenho geométrico. Dentro das áreas exatas a que
mais me causa interesse é a geometria, pois através dela pode-se visualizar as questões e
relacionar valores sem necessidade de muita abstração”. (Aluna A.M.)
“Acho muito interessante fazer essas aulas de geometria porque podemos desenvolver
nossas habilidades em desenhos, aprendemos a utilizar os diversos materiais e ainda adiantamos
um pouco a matéria para o 3º. Ano. Para mim é mais importante ainda, pois pretendo fazer
Engenharia Civil, e sei que o domínio da área de Geometria é essencial”. (aluna B.)
“Acho que a complementação do estudo teórico com a prática de desenho geométrico
durante todo o período escolar (desde crianças até o ensino médio), provavelmente melhoraria o
desempenho dos alunos pois ajudaria o melhor entendimento a partir da vivência”. (aluna T.)
Na escola A, vinte e cinco alunos da turma demonstraram estar interessados e
consideravam importante participar das atividades, como registrado em alguns protocolos a
seguir.
“Gostaria muito de ter essas aulas pelo fato de não ter um conhecimento adequado da
Geometria, que é muito utilizada em vários cursos superiores. Penso que as escolas deveriam
adotar essas aulas para o bem dos alunos”. (aluno M.)
“O assunto abordado é interessante, esse assunto seria uma maneira de os jovens se
interessarem mais pela matemática, pois, essa matéria nós vamos utilizá-la até o fim da vida,
está no nosso dia a dia”. (aluno M.)
mas um aluno não demonstrou interesse
“A utilização de instrumentos não é necessariamente precisa para o ensinamento do tema
de Geometria, sendo mais própria para uso em estudos mais específicos, a nível universitário ou
profissional”. (aluno M.)
3.2 OBJETIVOS INERENTES E FUTUROS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS
Em seguida foram aplicadas quatro atividades, primeiramente em uma das escolas, a qual
foi considerada como piloto e, posteriormente, na segunda, denominada escola A, com as devidas
correções, quando isto se fez necessário.
QUADRO I – OBJETIVOS DAS ATIVIDADES DA PESQUISA
ATIVIDADE I – POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETAS
Material utilizado
- Compasso
Objetivo inerente à própria
Objetivo futuro, auxiliar a
atividade
Geometria Sólida
- Obter um contato inicial com
- Rever as posições relativas entre
- Esquadro de 30 e 60
o material de Desenho Geo-
- Esquadro de 45
metrico.
- Régua de 30 cm
- Conhecer e construir, com o
retas.
- Auxiliar na visualização de retas
como arestas de figuras sólidas.
- Transferidor
uso de instrumentos de dese-
- Entender que duas retas podem
- Papel quadriculado
nho, todas as posições relati-
estar no espaço, com posições
vas entre duas retas no plano
relativas de retas no plano.
( paralelas, concorrentes e
perpendiculares) .
ATIVIDADE II – AS CEVIANAS E OS PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO
Material utilizado
- Compasso
Objetivo inerente à própria
Objetivo futuro, auxiliar a
atividade
Geometria Sólida
- Aprofundar mais o contato
- Auxiliar a visualização e obten-
- Esquadro de 30 e 60
com os objetos de Desenho
ção de centros de bases de pris-
- Esquadro de 45
Geométrico.
mas e pirâmides.
- Régua de 30 cm
- Rever a definição e construir,
- Calcular medidas de apótemas
- Transferidor
com o auxílio de instrumen-
da base de pirâmides triangula-
- Papel quadriculado
tos, as cevianas (mediana,
res.
bissetriz e altura), a mediatriz
e os pontos notáveis de um
- Resolver questões de sólidos
envolvam triângulos.
triângulo ( baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro)
ATIVIDADE III – POLÍGONOS REGULARES INSCRITOS EM UMA CIRCUNFERÊNCIA
Material utilizado
- Compasso
- Esquadro de 30 e 60
Objetivo inerente à própria
Objetivo futuro, auxiliar a
atividade
Geometria Sólida
- Rever os tipos de polígonos,
nomenclaturas e formas.
- Auxiliar a visualização de bases
poligonais de sólidos, inscritas
- Esquadro de 45
- Traçar, com o auxílio de ins-
em circunferências.
- Régua de 30 cm
trumentos, polígonos inscri-
- Resolver problemas que envol-
- Transferidor
tos e circunscritos a uma cir-
vam prismas/pirâmides e cir-
- Papel quadriculado
cunferência.
ferência e, questões que envolvam cilindros/cones e polígonos
ATIVIDADE IV – ISOMETRIA E HOMOTETIA
Material utilizado
- Compasso
- Esquadro de 30 e 60
- Esquadro de 45
Objetivo inerente à própria
Objetivo futuro, auxiliar a G.
atividade
Sólida
- Rever as definições de isome- - Auxiliar a visualização de figutria e homotetia.
- Traçar figuras semelhantes a
ras obtidas de uma semelhante,
denotando uma visão espacial.
- Régua de 30 cm
uma figura dada, por rotação, - Construir, no aluno, a idéia de
- Transferidor
translação ou reflexão.
- Papel quadriculado
projeção ortogonal e oblíqua.
- Utilizar a homotetia para re-
- Fixar a definição de prismas e
duzir ou ampliar figuras.
cilindros por projeção entre
planos.
Na primeira atividade intitulada Posições Relativas entre Retas pretendia-se levar o aluno
a um contato com os instrumentos e a técnica do Desenho Geométrico. Foi uma atividade de grau
fácil, pois o objetivo inicial era introduzi-los no universo do Desenho Geométrico. Pode-se
verificar que na escola A, apesar de ser a primeira atividade, a aluna posiciona os instrumentos
corretamente e, verifica-se também a deficiência de uma mesa apropriada para execução da
atividade proposta.
Foto 1 – Execução da atividade 1 na escola A
Na segunda atividade As cevianas e os pontos notáveis de um triângulo pretendia-se levar
o aluno a fixar alguns elementos fundamentais do triângulo, mostrando sua importância dentro da
Geometria e, particularmente, a função desses elementos dentro da Geometria Sólida. Pode-se
verificar que na foto abaixo, com a aplicação da atividade 2 na escola piloto, além de uma
precariedade na mesa para execução da atividade, o aluno apresenta uma dificuldade em
posicionar os instrumentos e executar o que foi solicitado pelo problema em questão.
Foto 2 – Execução da atividade 2 na escola Piloto
Na terceira atividade Polígonos regulares inscritos em uma circunferência pretendia-se
levar o aluno a perceber a importância desses polígonos, mostrando sua importância dentro da
Geometria e, particularmente, a função desses elementos dentro da Geometria Sólida, onde os
poliedros tem como bases e laterais polígonos regulares e não-regulares. Podemos verificar, pela
foto 3 que, durante a execução da terceira atividade, na escola A, os alunos já apresentam uma
organização, um lê orientando a execução da atividade e o outro, com os instrumentos, executa a
tarefa solicitada.
Foto 3 – Execução da atividade 3 na escola A
Na quarta e última atividade Isometria e Homotetia pretendia-se levar o aluno a perceber
a idéia da perspectiva, mostrando sua importância dentro da Geometria e, particularmente, a
importância dessas visualizações na construção da Geometria Sólida, pois, a definição dos
sólidos geométricos pode ser dada pela projeção de um polígono contido em um plano num plano
paralelo a ele. Podemos verificar pela foto 4, feita na escola Piloto, que os alunos já apresentam
uma facilidade no manuseio dos instrumento e, apresentam um trabalho bem feito, com traços e
manuseio ótimos. Durante a execução das atividades, como as duas escolas não tinham sala de
Desenho, os alunos utilizaram as próprias carteiras escolares, o que no início prejudicou um
pouco, mas que, nas últimas atividades não foi um empecilho para as execuções das atividades.
Foto 4 – Execução da atividade 4 na escola A
Em todas as atividades, feitas em duplas, houve uma mobilização dos alunos em fazer as
atividades com muita concentração e esmero, principalmente no que se relaciona com o aspecto
visual das construções.
3.3 TEORIAS DE SUPORTE DAS ATIVIDADES DA PESQUISA
Desde o início desta pesquisa, foi dada atenção aos suportes teóricos, procurando
orientações educacionais e didático-metodológicas, de cujos princípios foram feitas
aproximações ao longo do seu desenvolvimento.
O
conjunto
de
Atividades
foi
organizado,
aplicado
e
observado
pelo
professor/pesquisador à luz das teorias de Zabala (1998), Ponte (2003) e Polya (1995).
Zaballa, (1998) define Sequências Didáticas como séries ordenadas e articuladas de
atividades que formam as unidades didáticas. Primeiramente devemos escolher qual o tipo de
tarefa, podendo ser a exposição de um tema, a observação, o debate, as provas, os exercícios, as
aplicações, etc., sendo assim o elemento diferenciador das diversas metodologias ou maneiras de
ensinar.
A seqüência didática apresenta um alto grau de complexidade diante daquele modelo de
aula tradicional que geralmente é expositivo, pois propicia uma diversidade de propostas, cuja
dificuldade não se encontra nas fases da realização das tarefas e sim na elaboração das atividades.
A seqüência do modelo tradicional tem a seguinte formatação:
a) composição da lição;
b) estudo individual sobre o livro didático;
c) repetição do conteúdo aprendido( numa espécie de ficção de ter se apropriado dele e o ter
compartilhado, embora não se esteja de acordo com ele), sem discussão ou ajuda
recíproca;
d) O julgamento ou sanção administrativa ( nota) do professor ou professora.
Esse modelo não é tão simples quanto parece e configura-se como um ponto de partida
com variações significativas das diversas maneiras de ensinar.
A proposta de Zaballa é de colocar sobre a mesa instrumentos que permitam ao professor
introduzir, nas variadas formas de intervenção, atividades que proporcionem uma melhora
substancial de sua atuação na sala de aula, como resultado de um conhecimento com
profundidade das variáveis e do papel que cada uma delas tem no processo de aprendizagem dos
alunos. Um dos modelos de seqüência didática proposto por ele é do “estudo do meio” que se
formata nas seguintes fases:
a) atividade motivadora relacionada com uma situação conflitante da realidade experiencial
dos alunos;
b) explicação das perguntas ou problemas que esta situação coloca;
c) respostas indutivas ou hipóteses;
d) seleção e esboço das fontes de informação e planejamento da investigação;
e) coleta, seleção e classificação dos dados;
f) generalização das conclusões tiradas;
g) expressão e comunicação.
O pesquisador procurou orientar-se por estes princípios ao propor e estabelecer as
atividades didáticas destinadas à experiência com o processo ensino-aprendizagem das EDL.
Às vezes, pretendemos inicialmente com determinada atividade, que os alunos trabalhem
certos conteúdos numa esfera mais conceitual. Mas, durante a aplicação da atividade, além das
observações do pesquisador nesta direção, observamos que os alunos também usam algumas
técnicas, algoritmos, diálogos, debates, fazem propostas, participam, respeitam a vez de o outro
falar, etc... que são classificados como elementos que se distribuem pelas áreas de formação
procedimental e/ou atitudinal, segundo Zabala (2007).
Ele define a aprendizagem de uma forma sintética:
A aprendizagem é uma construção pessoal que cada menino ou menina realiza graças à
ajuda que recebem de outras pessoas. Esta construção através da qual podem atribuir
significado a um objeto de ensino, implica a contribuição por parte da pessoa que
aprende, de seu interesse e disponibilidade, de seus conhecimentos prévios e de sua
experiência. (ZABALLA, 2007, p. 63).
Para visualizar as três categorias referidas acima pelo autor, o quadro abaixo apresenta
alguns tópicos de um possível caderno de campo em que a apresentação da situação problemática
visava o aspecto conceitual, mas, a troca ou comparação de pontos de vistas entre os alunos
permitiu observações de aspectos procedimentais e atitudinais, além do conceitual. (C =
Conceitual; P = Procedimental; A = atitudinal.)
1 – Apresentação situação problemática
C
2 – Diálogo professores/ alunos
C
P
A
3 – Comparações pontos de vista
C
P
A
4 – Conclusões
C
5 – Generalização
C
6 – Exercícios de memorização
C
7 – Avaliação
C
P
Nas aplicações das atividades de pesquisa da presente dissertação, foi possível observar
que o apego a uma destas categorias dificultava, em algumas ocasiões, que o aluno tirasse
conclusões ou alcançasse generalizações maiores. A intervenção do professor/pesquisador se
fez na tentativa de auxiliar o aluno a raciocinar e executar as atividades de forma abrangente e
mais completa.
A leitura de Ponte (2003) permitiu ajudar a conduzir, de forma especial, o processo de
aplicação das atividades desta pesquisa para uma linha investigativa.
Pela orientação deste autor, é importante que o professor esteja atento para promover a
investigação nas aulas de matemática e valorizar o papel dela no ensino e na aprendizagem dessa
disciplina. Cabe ao docente criar condições necessárias para que elas aconteçam. O processo de
investigação não consiste na exploração de problemas sofisticados e difíceis, mas implica na
formulação de questões interessantes, sem respostas prontas, cuja procura das mesmas depende
de uma fundamentação teórica e rigorosa. Ponte (2003) reflete da seguinte forma:
Desse modo, investigar não representa trabalhar em problemas mais difíceis. Significa,
pelo contrário, trabalhar com questões que nos interpelam e que se apresentam, no
início, de modo confuso, mas que procuramos clarificar e estudar de modo organizado.
(PONTE, 2003, p. 9).
Nesse tipo de investigação são envolvidos, de forma natural, conceitos, procedimentos e
representações matemáticas, onde se deve enfatizar as características da conjectura testedemonstração.
Uma atividade investigativa constitui-se numa poderosa forma de construção de
conhecimentos, mas o professor deve ficar atento neste tipo de tarefa em não promover uma
simples aplicação de procedimentos repetitivos, não só em construir tabelas e obter regularidades,
mas sim, dar condições ao aluno de desenvolver o seu lado cognitivo, criando um ambiente
harmônico e propício para a aprendizagem desse aluno.
Investigar significa procurar conhecer o que não se sabe. Consiste em “pesquisar e
inquirir”, é realizar atividades que envolvam uma busca de informação. “Investigar é descobrir
relações entre os objetos matemáticos conhecidos ou desconhecidos, procurando identificar as
respectivas propriedades.” (PONTE, 2003, p. 13).
Todo trabalho investigativo é pautado pela imprevisibilidade. Neste contexto, durante a
pesquisa, o professor/pesquisador, ao explorar a tarefa a ser executada, estava sempre consciente
de novas situações no decorrer da mesma, e quando isto ocorria, ele procurava imbuir-se de
maior sensibilidade para enfrentar os acontecimentos inesperados e despertar o espírito
investigativo do aluno.
Segundo Ponte (2003), durante a investigação, o professor deve adotar uma postura
interrogativa, cujas questões colocadas por ele devem visar a clarificação de idéias, promovendo
a compreensão do assunto. Quando um aluno apresentar uma indagação, gerando um impasse no
decorrer da tarefa, o professor deve saná-la com questionamentos abertos, inicialmente. Em
seguida, levar esse aluno a uma melhor reflexão do problema. Posteriormente, as questões
levantadas pelo professor devem ser transformadas em sugestões orientadoras das atividades dos
alunos.
A leitura de Polya (1995) orienta o professor a exercer o seu verdadeiro papel, ou seja, o
de auxiliar do aluno na compreensão de um problema, e não de se colocar como alguém com o
absoluto poder de validar ou não a resolução ou resposta. Ele faz a seguinte colocação sobre a
compreensão de um problema:
É uma tolice responder a uma pergunta que não tenha sido compreendida. É triste
trabalhar para um fim que não se deseja. Essas coisas tolas e tristes fazem-se muitas
vezes, mas cabe ao professor evitar que elas ocorram nas suas aulas. (POLYA, 1995,
p.4).
Polya (1995) considera que o aluno deve compreender o problema e ter algum interesse
na sua resolução. Não se pode culpá-lo, caso isto não aconteça, pois a escolha do problema
proposto deve ter um grau médio de dificuldade, de forma natural e interessante, com certa
disponibilidade de tempo para a sua apresentação. O aluno deve ser condicionado a identificar as
partes principais do problema que são: a incógnita, os dados e a condicionante que devem ser
encarados pelos alunos sob vários pontos de vista, como por exemplo, traçar uma figura
relacionada ao problema e nela indicar os dados e a incógnita. A compreensão do problema se
faz, muitas vezes, em dois estágios: da familiarização e do aperfeiçoamento da compreensão.
No decorrer da pesquisa, atentamos sempre para a observação de Polya (1995), quando
afirma que na resolução de um problema, a maior dificuldade está na sua compreensão e no
estabelecimento de um plano. Para vencer essas duas etapas, são necessários conhecimentos
anteriores, bons hábitos mentais, concentração nos objetivos e, além disso, boa sorte. A execução
do plano é menos tortuosa, requer maior paciência, pois os detalhes inseridos no roteiro geral
gerado pelo plano devem ser examinados, calmamente, para que não dêem margem à ocultação
de um erro.
Assim, nesta pesquisa, o professor/pesquisador enfatizava para que o aluno verificasse
cada passo, que não perdesse a sua idéia final concebida, analisando as possíveis restrições de
cada problema.
Para Polya, (1995), reexaminar a trajetória de resolução é muito importante. Depois de
consignada a solução do problema ou a sua demonstração, é necessário que o aluno faça uma
retrospectiva da resolução completa, fazendo reconsiderações, reexaminando o resultado final e o
caminho percorrido para atingir esse feito, consolidando o seu conhecimento e aprimorando sua
capacidade de resolver problemas.
3.4 ATIVIDADE 1: POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETAS
Nesse início os alunos tiveram dificuldade em interpretar as solicitações da atividade e
com o manuseio do material geométrico.
A atividade iniciou-se com um texto informativo sobre o tema, apresentando os elementos
a serem executados na atividade depois a descrição das atividades em forma de atividade
didática, a serem realizadas e, por fim uma questão dissertativa em que o aluno fez inferências
sobre o trabalho.
Abaixo temos a atividade e alguns casos interessantes de alunos:
ATIVIDADE No..1
TEMA: Posições Relativas entre Retas
TIPO: Sequência didática
OBJETIVO: Conhecer e construir co uso de instrumentos de desenho, todas as posições relativas entre
duas retas no plano, auxiliando as construções geométricas espaciais.
TEXTO INFORMATIVO: As preocupações mais fundamentais com o que se pode chamar hoje de
geometria de posição, como posições relativas entre retas, surgiram provavelmente de observações como a
percepção de caminhos ou de ruas paralelas ou perpendiculares, distância entre cidades, cruzamentos de
vigas, etc.
Os pitagóricos (séc. VI a.C.) foram os primeiros a desenvolver estudos teóricos sobre a geometria
de posição para organizar o que ocorria na prática, tanto na civilização grega quanto em outras
importantes, como a egípcia e a babilônica. Esses estudos foram sistematizados na obra Os elementos, do
matemático grego Euclides. Esses conhecimentos são importantes para a própria Matemática e também
para as demais áreas do conhecimento, onde retas e pontos tem papel importante na linguagem, realização
e execução de projetos.
Duas retas distintas irão assumir as seguintes posições relativas no espaço:
Retas paralelas: duas retas são paralelas se pertencerem ao mesmo plano (coplanares) e
não possuírem ponto de intersecção ou ponto em comum.
(r // s)
Retas coincidentes: pertencem ao mesmo plano e possuem todos os pontos em comum.
(r = s)
Retas concorrentes: duas retas concorrentes possuem apenas um ponto comum. Não é
necessário que pertençam ao mesmo plano.
(r X s)
Retas concorrentes: perpendiculares: são retas que possuem ponto em comum
formando um ângulo de 90º.
(r  s)
OBS: Se a perpendicular passar pelo ponto médio do segmento ela será uma mediatriz.
MATERIAL NECESSÁRIO: - Compasso
- Esquadro de 30 e 60
- Esquadro de 45
- Régua de 30 cm
- Transferidor
- Papel quadriculado
DESENVOLVIMENTO:




1) TRAÇADO DE PARALELAS COM ESQUADROS
Trace uma reta r em uma folha quadriculada.
Posicione o esquadro de 45 com o lado maior alinhado com a reta traçada.
Fixe o maior lado do esquadro de 60 em um dos lados do esquadro de 45.
Deslize o esquadro de 45 sobre o esquadro de 60, traçando retas paralelas à reta r
inicial.
2) TRAÇADO DE PARALELA COM COMPASSO



















Trace uma reta r e um ponto A fora dela em uma folha quadriculada.
Posicione a ponta fixa do compasso no ponto A e trace um arco que intercepte a reta
num ponto B pertencente à reta r.
Posicione, agora, a ponta fixa do compasso no ponto B e, com o mesmo raio inicial,
trace um arco que determine um ponto C na reta r.
Posicionando agora, a ponta fixa do compasso em C, trace um arco que intercepte o
arco inicial, obtendo o ponto D, interseção dos dois arcos ( o último e o primeiro).
Trace uma reta que passe por A e D, que chamaremos de reta AD, paralela a reta r
inicial.
3) TRAÇADO DE CONCORRENTES COM ESQUADRO
Trace uma reta r na folha quadriculada.
Posicionando um dos esquadros aleatoriamente, trace uma reta s que intercepte a reta
r inicial, obtendo assim duas retas concorrentes.
4) TRAÇADO DE PERPENDICULARES COM ESQUADROS
Trace uma reta r em uma folha quadriculada.
Posicione o esquadro de 45 com o lado maior alinhado com a reta traçada.
Fixe o maior lado do esquadro de 60 em um dos lados do esquadro de 45.
Gire o esquadro de 45, com o esquadro de 60 fixo, apoiando agora o outro lado
menor no esquadro de 60.
Deslize o esquadro de 45 sobre o esquadro de 60 e trace, pelo maior lado do
esquadro de 45, perpendiculares a reta r inicial.
5) TRAÇADO DE PERPENDICULAR COM COMPASSO
Trace uma reta r na folha quadriculada e marque um ponto A sobre ela.
Fixando a ponta fixa do compasso em A, trace dois arcos de mesmo raio,
determinando na reta r dois pontos, B e C equidistantes de A.
Fixando a ponta fixa do compasso em B e depois em C, trace dois arcos com raios
iguais, porém com medida maior que AB, marque o ponto D, na interseção desses
dois arcos.
Trace uma reta ligando os pontos A e D, que chamaremos de AD, perpendicular a
reta r inicial.
6) TRAÇADO DE UMA MEDIATRIZ
Trace um segmento de reta AB na folha quadriculada.
Posicione a ponta fixa do compasso nos pontos A e B, trace dois arcos (um acima e
outro abaixo da reta) com raio maior que a metade do segmento, e obtenha os pontos
C e D nas interseções desses arcos.
Trace uma reta ligando os pontos C e D, ligando os pontos e obtenha uma reta CD
perpendicular ao segmento AB inicial, que é a mediatriz do segmento.
CONCLUSÃO:
A partir do que foi estudado dê suas sugestões e/ou inferências sobre a atividade:
Vamos observar dois exemplos um da escola 1 e um da escola 2, com as suas respectivas
resoluções da atividade 1:
Figura 1 – Atividade 1 feita por alunos da escola 1
No final dessa atividade foi proposta uma questão em que o aluno pudesse expressar suas
conclusões a cerca do trabalho, vamos transcrever duas delas feitas por alunos da escola 1:
“Essa atividade foi importante para ter mais noção de utilização de materiais,
entendimento do espaço e percepção das possibilidades oferecidas pelo uso dos materiais
estudados. Percebemos os conceitos estudados com maior facilidade” (Ana Maria)
“Após a realização da atividade em questão, percebemos que o contato que tivemos com
esse material durante a nossa formação acadêmica é insuficiente, tendo em vista importância da
atividade”. (Letícia e Gabriella)
Figura 2 – Atividade 1 feita por alunos da escola 2
Podemos observar que os alunos da escola 2, trabalharam com mais desenvoltura devido
aos ajustes feitos, a conclusão feita pelo aluno será transcrita abaixo:
“É interessante ter conhecimento sobre os diversos meios de utilização dos instrumentos
matemáticos. Dependendo da necessidade, tais meios garantirão a resolução do problema, sem
dispor de um método sofisticado, o que traz praticidade e realização”. (Mateus e Pedro)
3.5 ATIVIDADE 2: AS CEVIANAS E OS PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO
Nessa segunda atividade, o objetivo era o de definir e reconhecer as cevianas (mediana,
bissetriz e altura) através do desenho geométrico, pois suas construções levam os alunos a
percebe-las com mais clareza dentro do estudo e importância do triângulo. Nessa atividade os
alunos, apesar do grau de dificuldade maior, já demonstraram uma facilidade de manuseio e de
interpretação das solicitações do problema.
A atividade iniciou-se com um pequeno texto informativo sobre o tema, depois a
descrição das atividades em forma de seqüência didática, a serem realizadas e, por fim uma
questão dissertativa em que o aluno fez inferências sobre o trabalho.
Abaixo temos a atividade e alguns casos interessantes de alunos:
ATIVIDADE No..2
TEMA: As cevianas e os pontos notáveis de um triângulo
TIPO: Sequência didática
OBJETIVO: Conhecer e construir com o uso de instrumentos de desenho, todas as cevianas (mediana,
bissetriz, altura e mediatriz) e os pontos notáveis de um triângulo (baricentro, incentro, ortocentro e
circuncentro), auxiliando as construções geométricas espaciais.
TEXTO INFORMATIVO: Ceviana é um segmento de reta que liga um vértice do triângulo ao lado
oposto correspondente ou ao do seu prolongamento. São exemplos de cevianas a Mediana, a Altura e a
Bissetriz. O nome vem do matemático italiano Giovanni Ceva, que formulou o Teorema de Ceva, que dá
condições para que três cevianas sejam concorrentes. O encontro de duas alturas no triangulo é o
ortocentro. o encontro de três medianas é o baricentro, o encontro das três bissetrizes é o incentro. É
importante destacar também a Mediatriz, que apesar de não ser um ceviana, tem como encontro das três
mediatrizes dos três lados do triângulo o circuncentro.
MEDIANA é o segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto (AM). (Fig. 9)
BISSETRIZ é o segmento da bissetriz de um ângulo interno que tem por extremidades o vértice desse
ângulo e o ponto de encontro com o lado oposto (B2). (Fig.10)
ALTURA é o segmento da perpendicular traçada de um vértice à reta suporte do lado oposto, cujos
extremos são esse vértice e o ponto de encontro com essa reta (A3). (Fig.11)
MEDIATRIZ é a mediatriz de um de seus lados (m). (Fig.12)
INCENTRO de um triângulo é o ponto de encontro das três bissetrizes do triângulo. É também o centro da
circunferência inscrita no triângulo.
BARICENTRO (do grego - baros "peso", do latim - centrum "centro de gravidade") de um triângulo é
também chamado de centro de gravidade ou centróide. É o ponto de encontro das três medianas de um
triângulo. É também o ponto que divide cada mediana do triângulo em duas partes: um terço a contar do
lado e dois terços a contar do vértice.
CIRCUNCENTRO de um triângulo é o ponto de encontro das mediatrizes dos lados do triângulo. O
circuncentro pode ser interno ou externo ao triângulo. É também o centro da circunferência circunscrita ao
triângulo.
ORTOCENTRO de um triângulo é o ponto de encontro das três alturas do triângulo. O ortocentro pode ser
interno ou externo ao triângulo.
OBS: Se os 4 pontos notáveis são colineares, o triângulo é isósceles.
Se os 4 pontos notáveis coincidem, o triângulo é eqüilátero.
MATERIAL NECESSÁRIO: - Compasso
- Esquadro de 30 e 60
- Esquadro de 45
- Régua de 30 cm
- Transferidor
- Papel quadriculado
DESENVOLVIMENTO:
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1) TRAÇADO DE MEDIANAS E DO BARICENTRO
Trace um triângulo qualquer na folha com a régua de 30cm.
Posicione a ponta fixa do compasso em um vértice e trace um arco com raio maior
que a metade do lado, repita a operação para um vértice adjacente e marque o ponto
de interseção dos dois arcos com o ponto A, ligue este ponto ao terceiro vértice e,
obtenha no interior do triângulo um segmento chamado MEDIANA.
Repita o procedimento para todos os vértices e encontre as três medianas, cada uma
relativa a um vértice.
Marque o ponto de interseção das três medianas com o ponto G, este é o baricentro.
2) TRAÇADO DE BISSETRIZES E DO INCENTRO
Trace um triângulo qualquer na folha com a régua de 30cm.
Posicione a ponta fixa do compasso em um dos três vértices e trace um arco que passe
pelos dois lados adjacentes. Marque os pontos A e B nas interseções e, fixando a
ponta fixa nesses pontos trace um arco por cada um deles e encontre o ponto de
interseção C. Ligue o ponto C ao vértice, prolongando até o lado oposto obtem-se no
interior do triângulo um segmento chamado BISSETRIZ.
Repita o procedimento para todos os vértices e encontre as três bissetrizes, cada uma
relativa a um vértice.
Marque o ponto de interseção das três bissetrizes com o ponto I, este é o incentro.
Trace a circunferência com centro em I e que tangencia um dos lados do triângulo.
3) TRAÇADO DE ALTURAS E DO ORTOCENTRO
Trace um triângulo qualquer na folha com a régua de 30cm.
Posicione o lado maior do esquadro de 45em um lado do triângulo, em seguida
posicione o esquadro de 60 em outro lado do esquadro de 45. Gire o esquadro de
45 no esquadro de 60 e trace uma perpendicular ao lado do triângulo passando pelo
vértice oposto, obtendo no interior do triângulo um segmento chamado ALTURA.
Repita o procedimento para todos os lados e encontre as três alturas, cada uma relativa
a um lado.
Marque o ponto de interseção das três alturas com o ponto O, este é o ortocentro.
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4) TRAÇADO DE MEDIATRIZES E DO CIRCUNCENTRO
Trace um triângulo qualquer na folha com a régua de 30cm.
Posicione a ponta fixa do compasso em um vértice e trace um arco com raio maior
que a metade do lado, repita a operação para um vértice adjacente e marque o ponto
de interseção dos dois arcos com o ponto A. Em seguida, posicione o lado maior do
esquadro de 45 nesse lado do triângulo, depois posicione o esquadro de 60 em outro
lado do esquadro de 45. Gire o esquadro de 45 no esquadro de 60 e trace uma
perpendicular ao lado do triângulo passando pelo ponto A e, obtenha assim, no
triângulo um segmento chamado MEDIATRIZ.
Repita o procedimento para todos os lados do triângulo e encontre as três mediatrizes,
cada uma relativa a um lado.
Marque o ponto de interseção das três mediatrizes com o ponto C, este é o
circuncentro.
Trace a circunferência com centro em C e que passa por um dos vértices do triângulo.
CONCLUSÃO:
A partir do que foi estudado dê suas sugestões e/ou inferências sobre a atividade:
Vamos observar dois exemplos um da escola 1 e um da escola 2, com as suas respectivas
resoluções da atividade 2:
Figura 3 – Atividade 2 feita por alunos da escola 1
No final dessa atividade foi proposta uma questão em que o aluno pudesse expressar suas
conclusões a cerca do trabalho, vamos transcrever a que foi feita por um aluno da escola 1:
“Com a atividade proposta, observamos como através de alguns materiais simples, é fácil
descobrir vários segmentos dentro de um triângulo, sendo estes pontos extremamente
importantes para a geometria”.(Marlon)
Figura 4 – Atividade 2 feita por alunos da escola 2
Podemos observar que o aluno da escola 2, trabalhou com mais detalhamento e
identificando os pontos notáveis do triângulo, a conclusão feita pelo aluno está transcrita abaixo:
“Achamos muito interessante, pois podemos traçar bissetrizes e medianas com outros
materiais. E achamos que esse trabalho deveria ser aplicado nas escolas”. (Aline e Lucas)
3.6 ATIVIDADE 3: POLÍGONOS
REGULARES
INSCRITOS EM UMA
CIRCUNFERÊNCIA
Nessa terceira atividade, o objetivo era o de traçar os polígonos regulares mais
utilizados (triângulo eqüilátero, quadrado, hexágono regular e octógono regular) dentro de uma
circunferência como apoio ao estudo de Geometria Sólida, especificamente de prisma e pirâmide.
Nessa atividade os alunos, apesar do grau de dificuldade, já demonstraram uma habilidade e
facilidade de manuseio e de interpretação das solicitações do problema.
A atividade iniciou-se com um pequeno texto informativo sobre o tema, depois a
descrição das atividades em forma de seqüência didática, a serem realizadas e, por fim uma
questão dissertativa em que o aluno fez inferências sobre o trabalho.
Abaixo temos a atividade e alguns casos interessantes de alunos:
ATIVIDADE No..3
TEMA: Polígonos regulares inscritos em uma circunferência
TIPO: Sequência didática
OBJETIVO: Conhecer e construir com o uso de instrumentos de desenho, todos os principais polígonos
inscritos em uma circunferência de raio r, auxiliando as construções geométricas espaciais.
TEXTO INFORMATIVO: Polígonos regulares inscritos na circunferência
Polígono regular é todo polígono que possui lados e ângulos congruentes entre si. O nome de um polígono
regular será dado de acordo com seu número de lados.
Nomenclatura
POLÍGONOS CIRCUNSCRITOS E INSCRITOS
Um polígono é dito circunscrito a uma circunferência, se os seus lados são tangentes à circunferência.
Um polígono é dito inscrito em uma circunferência, se todos os seus vértices estão na circunferência.
MATERIAL NECESSÁRIO: - Compasso
- Esquadro de 30 e 60
- Esquadro de 45
- Régua de 30 cm
- Transferidor
- Papel quadriculado
DESENVOLVIMENTO:
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1) TRAÇADO DE UM TRIÂNGULO EQUILÁTERO
Trace uma circunferência de raio r qualquer na folha com o compasso.
Determine um ponto A qualquer na circunferência e trace o diâmetro AB, passando
pelo centro O.
Trace um arco de centro A e raio r e determine os pontos C e D na circunferência.
Ligue com segmentos de reta os pontos B, C e D, obtendo o triângulo equilátero BCD.
2) TRAÇADO DE UM HEXÁGONO REGULAR
Trace uma circunferência de raio r qualquer na folha com o compasso.
Determine um ponto A qualquer na circunferência e trace o diâmetro AB, passando
pelo centro O.
Trace um arco de centro A e outro de centro B, ambos de raio r e determine os pontos
C, D, E e F na circunferência.
Ligue com segmentos de reta os pontos A, D, E, B, F e C, obtendo o hexágono regular
ADEBFC.
OBS: Os lados de um hexágono regular são iguais ao raio da circunferência
3) TRAÇADO DE UM QUADRADO
Trace uma circunferência de raio r qualquer na folha com o compasso.
Determine um ponto A qualquer na circunferência e trace o diâmetro AB, passando
pelo centro O.
Trace a mediatriz de AB e determine os pontos C e D na circunferência.
Ligue com segmentos de reta os pontos A, C, B e D, obtendo o quadrado ACBD.
4) TRAÇADO DE UM OCTOGONO REGULAR
Trace uma circunferência de raio r qualquer na folha com o compasso.
Determine um ponto A qualquer na circunferência e trace o diâmetro AB, passando
pelo centro O.
Trace a mediatriz de AB e determine os pontos C e D na circunferência.
Posicione a ponta fixa do compasso nos pontos A, C, D e B e, trace arcos de forma a
encontrar pontos de interseção externos, obtenha uma reta que passa pela interseção
dos arcos e pelo centro, chamado bissetriz do ângulo, marcando na circunferência os
pontos E, F, G e H.
Ligue com segmentos de reta os pontos A, E, C, F, B, G, D e H, obtendo o octógono
AECFBGDH.
CONCLUSÃO:
A partir do que foi estudado dê suas sugestões e/ou inferências sobre a atividade:
Vamos observar dois exemplos um da escola 1 e um da escola 2, com as suas respectivas
resoluções da atividade 3:
Figura 5 – Atividade 3 feita por alunos da escola 1
No final dessa atividade foi proposta uma questão em que o aluno pudesse expressar suas
conclusões a cerca do trabalho, vamos transcrever a que foi feita por um aluno da escola 1:
“Com este trabalho aprendemos que podemos formar polígonos perfeitos dentro de
circunferências, fazendo um novo raciocínio de como figuras geométricas que se combinam. A
atividade foi muito boa”. (Lucas e Mateus)
Figura 10 – Atividade 3 feita por alunos da escola 2
Podemos observar que tanto o aluno da escola 1 como o aluno da escola 2, já demonstram
trabalhar com mais esmero e atenção nas figuras, identificando a utilização e importância do
Desenho Geométrico na construção de polígonos regulares a partir da circunferência. A
conclusão feita pelo aluno da escola 2 está transcrita abaixo:
“Trabalhar apenas com circunferência é um modo eficaz para se obter polígonos
corretamente desenhados, com o conhecimento adequado. É interessante o desenvolvimento do
desenho geométrico a partir de tais conhecimentos”. (Pedro e Mateus)
3.7 ATIVIDADE 4: ISOMETRIA E HOMOTETIA
Nessa quarta atividade, o objetivo era o de despertar nos alunos a idéia de
congruência e semelhança de figuras, proporcionando um direcionamento para as construções
geométricas sólidas no espaço, onde os sólidos são visualizados através de desenhos com
inclinações, permitindo a percepção de perspectivas espaciais. Nessa atividade, como era a
última, os alunos, apesar do grau de dificuldade, já demonstraram uma satisfação e facilidade de
manuseio e de interpretação das solicitações do problema.
A atividade iniciou-se com um pequeno texto informativo sobre o tema, depois a
descrição das atividades em forma de seqüência didática, a serem realizadas e, por fim uma
questão dissertativa em que o aluno fez inferências sobre o trabalho.
Abaixo temos a atividade e alguns casos interessantes de alunos:
ATIVIDADE No..4
TEMA: Isometria e Homotetia
TIPO: Sequência didática
OBJETIVO: Traçar figuras semelhantes a uma figura dada através de rotação, translação ou relexão e,
conhecer a homotetia que é um processo de redução ou ampliação de figuras, auxiliando as construções
geométricas espaciais.
TEXTO INFORMATIVO: Isometria é uma transformação geométrica que, aplicada a uma figura
geométrica, mantém as distâncias entre pontos. Ou seja, os segmentos da figura transformada são
geometricamente iguais aos da figura original, podendo variar a direcção e o sentido. Os ângulos mantêm
também a sua amplitude. Existem isometrias simples e isometrias compostas. As isometrias simples
podem ser rotações, translações e reflexões.
O geómetra alemão Felix Klein no seu célebre programa de Erlangen (1872) sugeriu que a "simetria"
(conceito que, em português, poderia ser mais fielmente traduzido por "isometria") seria o princípio
organizador e unificador da geometria (na altura utilizava-se o termo "geometrias", no plural). Este é um
princípio mais abrangente que axiomático. Inicialmente abriu caminho a investigações sobre grupos
relacionados com as "geometrias"). Em consequência, estabeleceu-se o termo "transformação geométrica"
(aspecto da Nova Matemática, mas muito controverso na prática matemática actual). Este conceito é, hoje,
aplicado, sob várias formas, como um modelo aplicado na resolução de vários problemas.
Homotetia significa ampliação ou redução das distâncias dos pontos de um espaço em relação a um ponto
fixo. Uma homotetia é definida pelo seu centro O e pela razão k de homotetia e é a aplicação afim tal que
a cada ponto P faz corresponder o ponto P' tal que:
O termo é devido ao matemático francês Michel Chasles, em 1827, derivado do grego como composto de
homo (similar) e tetia (posição).
Uma homotetia preserva:



ângulos
razões entre segmentos de reta
segmentos e linhas são transformados em segmentos e linhas paralelos aos originais
MATERIAL NECESSÁRIO: - Compasso
- Esquadro de 30 e 60
- Esquadro de 45
- Régua de 30 cm
- Transferidor
- Papel quadriculado
DESENVOLVIMENTO:
1) CONSTRUÇÃO DO TRIÂNGULO A’B’C’ SIMÉTRICO AO TRIÂNGULO ABC
Trace um triângulo ABC qualquer e uma reta vertical r, a direita do triângulo.
Trace uma reta s perpendicular a r pelo ponto A. Com o compasso determine o ponto
A’ em s tal que, a distância de A até r seja igual a distância entre A’ e r.
 Repita o processo para os pontos B e C, determinando B’ e C’, nas retas t e u.
 Ligue os pontos A’B’, B’C’ e A’C’, obtendo o triângulo semelhante a ABC.


2) CONSTRUÇÃO DE UM QUADRILÁTERO SIMÉTRICO POR ROTAÇÃO



Trace um quadrilátero qualquer ABCD, por um dos vértices (por exemplo A) trace
uma reta AA’ (para isso marque um ponto A’ na reta) com uma inclinação qualquer e,
em seguida paralelas a ela pelos outros vértices.
Nas paralelas traçadas, marque os pontos B’, C’ e D’ com um compasso, tal que AA’
= BB’ = CC’ = DD’.
Trace A’B’, B’C’, C’D’ e D’A’ obtendo o quadrilátero A’B’C’D’, simétrico a ABCD.
3) CONSTRUÇÃO DE UM RETÂNGULO HOMOTÉTICO NA RAZÃO K =2
Trace um retângulo ABCD na folha, em seguida trace um ponto O à esquerda da
figura.
 Trace retas que passam por O e pelos vértices do retângulo ABCD, no sentido da
direita.
 Utilizando o compasso, determine A’ em AO de modo que OA’ = 2 . OA. Repita para
os outros vértices, obtendo B’, C’ e D’.
 Ligue os pontos A’, B’, C’ e D’, obtendo o retângulo homotético a ABCD.





4) CONSTRUÇÃO DE UM TRIÂNGULO HOMOTÉTICO NA RAZÃO K = -3
Trace um triângulo ABC na folha, em seguida trace um ponto O à esquerda da figura.
Trace retas que passam por O e pelos vértices do triângulo ABC, no sentido da
esquerda.
Utilizando o compasso, determine A’ em AO de modo que OA’ = 3 . OA. Repita para
os outros vértices, obtendo B’ e C’.
Ligue os pontos A’, B’ e C’, obtendo o triângulo homotético a ABC..
CONCLUSÃO:
A partir do que foi estudado dê suas sugestões e/ou inferências sobre a atividade:
Vamos observar dois exemplos um da escola 1 e um da escola 2, com as suas respectivas
resoluções da atividade 4:
Figura 6 – Atividade 4 feita por alunos da escola 1
No final dessa atividade foi proposta uma questão em que o aluno pudesse expressar suas
conclusões a cerca do trabalho, vamos transcrever a que foi feita por uma dupla de alunos da
escola 1:
“A atividade realizada foi muito enriquecedora, uma vez que se baseia em conceitos
importantes da Geometria e propicia uma maior interação com esta “área” específica da
Matemática. Tal fato por sua vez, nos auxilia em assimilações importantes do nosso dia-dia,
como as noções espaciais, por exemplo.”. (Ana e Letícia)
Figura 7 – Atividade 4 feita por alunos da escola 2
No final dessa atividade foi proposta uma questão em que o aluno pudesse expressar suas
conclusões a cerca do trabalho, vamos transcrever a que foi feita por uma dupla de alunos da
escola 2:
“A atividade permitiu um novo conceito geométrico sobre figuras homotéticas.A
utilização de ferramentas (compasso, esquadro)permite estabelecer novos modelos com as
relações desejadas, o que enriquece o estudo da Geometria.” (Kaíque e Mateus)
3.8 ANÁLISE DOS DADOS
A análise dos dados feita pelo pesquisador, apesar de em alguns momentos apresentar os
resultados das duas escolas pesquisadas, ambas têm o pesquisador como professor titular do
conteúdo didático, em nenhum instante pretende indicar uma comparação entre elas, pois na
primeira escola foram realizadas inicialmente as atividades, foi feito um pequeno ajuste, quando
necessário e, posteriormente, aplicadas as mesmas atividades, porém ajustadas, na segunda
escola.
Na primeira atividade os alunos tiveram muita dificuldade por não terem o hábito de
manusear os instrumentos de Desenho Geométrico, apesar da atividade ser simples, construção
de retas paralelas, concorrentes e perpendiculares. Na escola 1 vários alunos deixaram a atividade
incompleta e reclamaram de falta de orientação, por parte do professor, de como deveriam agir e
desenhar. Na escola 2 alguns alunos também deixaram partes incompletas, porém em relação a
autonomia no trabalho foi bem mais tranqüila. Nas duas escolas pude perceber uma enorme
heterogeneidade, alguns alunos gostam e por isso se dedicam, primeiro em relação à disciplina
Matemática e, segundo, em relação ao Desenho Geométrico. Alguns esqueceram o material, uma
vez que, mesmo o professor avisando com antecedência, quais materiais deveriam ser levados,
por ser primeira atividade a ser feita os alunos não tinham, ainda, o hábito desses instrumentos.
Podemos observar isso em algumas observações feitas pelos próprios alunos:
Figura 8 – Conclusão da atividade 1 de um aluno da Escola Piloto
Figura 9 – Conclusão da atividade 1 de aluno da Escola Piloto
Figura 10 – Conclusão da atividade 1 de aluno da Escola A
Figura 11 – Conclusão da atividade 1 de aluno da Escola A
Dos grupos que participaram na Escola Piloto, 50% deles conseguiram realizar a atividade
sem dificuldades e 50% tiveram dificuldade, nesses casos foram detectados dois problemas, erros
de interpretação e dificuldade em manusear os instrumentos, uma vez que, a maioria deles nunca
havia deito nenhuma atividade ou aula com os referidos instrumentos (compasso, esquadro e
transferidor).
Na Escola A, 86% dos alunos conseguiram realizar a atividade sem dificuldades e 14%
tiveram dificuldades, essas relativas a interpretação, ou seja, dificuldade em transferir da teoria
para a prática, consequência também, de uma falta de aplicação em anos anteriores dos materiais
utilizados na pesquisa.
Vejamos os gráficos relativos às escolas, com suas frequências relativas, utilizadas pelo
pesquisador por entender que dão uma visão melhor de relatividade com o universo pesquisado:
Realiz.
Total
50%
50%
Realiz.
Parcial
Gráfico da Atividade 1 na Escola Piloto
14%
Realiz.
Total
Realiz.
Parcial
86%
Gráfico da Atividade 1 na Escola A
Esta atividade de no. 1 auxiliou a execução de exercícios de Geometria Sólida como
podemos ver em alguns exemplos que foram aplicados em sala de aula, conforme abaixo:
- Na Geometria de Posição, item 1 do capítulo de Geometria do livro texto dos alunos
(GIOVANNI, 2000) no exercício número 10 os alunos puderam relembrar as idéias de retas
paralelas, concorrentes e coincidentes, em um exercício que exigia uma visão espacial do objeto,
que, segundo os próprios alunos foi facilitado pela 1ª. atividade executada no trabalho anterior ao
estudo da geometria de posição, obtendo um rendimento excelente:
Figura 12 – Exercício de Geometria Sólida
- Na Geometria Espacial, item 3 do capítulo de Geometria do livro texto dos alunos
(GIOVANNI, 2000) no exercício número 118 os alunos trabalharam a idéia de retas paralelas e
perpendiculares, em um exercício que envolve o sólido prisma, em sua forma planificada, onde
foi solicitado o volume do mesmo, os alunos obtiveram aí também excelentes resultados,
relacionando o exercício a 1ª. atividade feita previamente:
Figura 13 – Exercício de Geometria Sólida
Na segunda atividade a curiosidade já foi aguçada de início, pois, os alunos não
lembravam o que eram cevianas e os pontos notáveis de um triângulo. Após uma breve leitura do
texto informativo, os alunos já começaram a se ambientar com o assunto da atividade e, iniciaram
então uma grande expectativa em como, através de desenho geométrico obter tais segmentos e
pontos. Isso ocorreu tanto na escola 1 como na 2. Em seguida, com o início da atividade,
percebeu-se um grande interesse em executá-lo e os resultados foram muito bons.
Podemos observar isso em algumas observações feitas pelos próprios alunos:
Figura 14 – Conclusão da atividade 2 de aluno da Escola Piloto
Figura 15 – Conclusão da atividade 2 de aluno da Escola Piloto
Figura 16 – Conclusão da atividade 2 de aluno da Escola A
Figura 17 – Conclusão da atividade 2 de aluno da Escola A
Dos grupos que participaram na escola 1, 67% deles conseguiram realizar a atividade sem
dificuldades e 33% tiveram dificuldade, nesses casos foram detectados dois problemas, erros de
interpretação devido ao desconhecimento ou esquecimento inicial dos termos em estudo
(cevianas, circuncentro, incentro e ortocentro), dificuldade em manusear os instrumentos e na
construção dos objetos em estudo, em função das razões prepostas..
Na escola 2, 73% dos alunos conseguiram realizar a atividade sem dificuldades e 27%
tiveram dificuldades relativas aos mesmos motivos da outra escola, só que menor intensidade,
motivo pelo qual o desempenho foi um pouco melhor.
Vejamos os gráficos relativos às escolas:
33%
Realiz.
Total
Realiz.
Parcial
67%
Gráfico da Atividade 2 na Escola Piloto
27%
Realiz.
Total
Realiz.
Parcial
73%
Gráfico da Atividade 2 na Escola A
Esta atividade de no. 2 auxiliou a execução de exercícios de Geometria Sólida como
podemos ver em alguns exemplos abaixo:
- No estudo de Pirâmides, item 4 do capítulo de Geometria do livro texto dos alunos
(GIOVANNI, 2000) no exercício número 2 os alunos, para resolver o problema têm que
encontrar a medida da mediana da face, chamada de apótema da pirâmide (letra a) e encontrar a
distância entre o ponto O, centro do triângulo da base (baricentro) e o ponto M , ponto médio do
lado da base, essa distância é denominada apótema da base, no estudo de pirâmide.
Figura 18 – Exercício de Geometria Sólida
- Na Geometria Espacial, item 4, Tetraedros, do capítulo de Geometria do livro texto dos
alunos (GIOVANNI, 2000) no exercício número 145 os alunos trabalharam com a idéia de
projeção ortogonal do vértice de um tetraedro ser o centro da base, o baricentro do triângulo e
determinaram a ceviana mediana, para encontrar a área total do sólido em questão:
Figura 19 – Exercício de Geometria Sólida
Na terceira atividade os alunos já estavam habituados com o manuseio dos instrumentos e
por ser construção de polígonos regulares, ou seja, figuras que fazem parte do cotidiano deles, o
interesse foi geral e todos trocaram idéias, entre si e com o professor. Esta atividade foi, com
certeza, a mais satisfatória para os alunos e, aquela que eles tiraram maior proveito. Este interesse
ocorreu nas escolas Piloto e A da mesma forma..
Figura 20 – Conclusão da atividade 3 de aluno da Escola Piloto
Figura 21 – Conclusão da atividade 3 de aluno da Escola Piloto
Figura 22 – Conclusão da atividade 3 de aluno da Escola A
Figura 23 – Conclusão da atividade 3 de aluno da Escola A
Dos grupos que participaram na escola 1 e na escola 2 , 100% deles conseguiram realizar
a atividade sem dificuldades e nenhum teve dificuldade alguma em realiza-la.
Essa situação se deve ao conhecimento prévio que os alunos tinham de figuras
geométricas, triângulo, quadrado, hexágono e octógono, o que além de transmitir tranqüilidade,
gerou um interesse pela realização da atividade, até então na percebida em nenhuma das
atividades anteriores.
Vejamos os gráficos relativos às escolas que, na realidade poderia ser um só, pois todos
conseguiram realizar com total êxito a atividade:
0%
Realiz.
Total
Realiz.
Parcial
100%
Gráfico 1 – Atividade 1 na Escola 1
0%
Realiz.
Total
Realiz.
Parcial
100%
Gráfico 2 – Atividade 1 na Escola 2
Esta atividade de no. 3 auxiliou a execução de exercícios de Geometria Sólida como
podemos ver em alguns exemplos abaixo:
- Na Geometria Espacial, item 5, Cilindros, do capítulo de Geometria do livro texto dos
alunos (GIOVANNI, 2000) no exercício número 3 os alunos utilizaram o conteúdo de polígonos
inscritos em uma circunferência para resolver o problema, pois, na base do cilindro (círculo) está
inscrita a base do prisma (quadrado), o aluno trabalhou com generalização, uma vez que, o
problema não apresenta dados numéricos e sim, elementos comuns:
Figura 25 – Exercício de Geometria Sólida
- Na Geometria Espacial, item 3 do capítulo de Geometria do livro texto dos alunos
(GIOVANNI, 2000) no exercício número 118 os alunos trabalharam a idéia de retas paralelas e
perpendiculares, obtendo aí também excelentes resultados:
Na quarta e última atividade os alunos ficaram um pouco apreensivos porque não sabiam
ou lembravam o conteúdo sobre isometria e homotetia. Esse problema foi sanado após a leitura
do texto informativo. Na execução da atividade foi muito interessante porque vários pontuavam
sobre a visão espacial, ou seja, questionavam com o professor se não é devido a homotetia que
surgiram as figuras em perspectiva, inclusive um aluno perguntou se esse conteúdo seria
novamente trabalhado, pois ele pretendia prestar vestibular para Arquitetura e outra porque faria
vestibular para Engenharia Civil.
Podemos observar isso em algumas observações feitas pelos próprios alunos:
Dos grupos que participaram na escola 1, 94% deles conseguiram realizar a atividade sem
dificuldades e 6% tiveram dificuldade, nesses casos foram detectados problemas relativos ao
desconhecimento ou esquecimento do conteúdo tratado nessa atividade.
Na escola 2, 100% dos alunos conseguiram realizar a atividade sem dificuldades e
nenhum teve dificuldade, isso se deve a habilidade que se construir durante a realização das
atividades anteriores.
Vejamos os gráficos relativos às escolas:
6%
Realiz.
Total
Realiz.
Parcial
94%
Gráfico 1 – Atividade 1 na Escola 1
0%
Realiz.
Total
Realiz.
Parcial
100%
Gráfico 2 – Atividade 1 na Escola 2
Esta atividade de no. 4 auxiliou a execução de exercícios de Geometria Sólida como podemos ver
em alguns exemplos abaixo:
- Na Geometria Espacial, item 3, Tronco de Pirâmides, do capítulo de Geometria
do livro texto dos alunos (GIOVANNI, 2000) no exercício número 70, da página 421, os alunos
utilizaram o conteúdo de homotetia para resolver o problema, pois, será obtido um tronco de
pirâmide através da imagem do quadro retangular produzida no anteparo plano. Com a
construção da idéia pela atividade de Desenho Geométrico os alunos tiveram mais facilidade em
interpretar o enunciado e o desenho, tendo um desempenho tranqüilo na resolução do problema
em questão:
Figura 30 – Exercício de Geometria Sólida
- Na Geometria Espacial, item 1, Prismas, do capítulo de Geometria do livro texto dos
alunos (GIOVANNI, 2000) no exercício número 2, da página 274, os alunos utilizaram o
conteúdo de isometria para dar um giro no sólido da questão (piscina) e verificar que com o giro
de 90 a nova posição representa um prisma com bases formadas por um trapézio e um retângulo
e, então calcular o volume do sólido, resolvendo o problema proposto:
Figura 31 – Exercício de Geometria Sólida
Com isso verificamos que os resultados da aplicação das atividades foram muito
satisfatórios, no início houve um pequeno momento de apreensão, mas que foi diluído e
transformado em alegria e conhecimento com a execução de todas as atividades. As atividade s
foram executadas em aulas extras, onde os alunos vinham a escola fora de seu horário,
normalmente à tarde, e logo após a aplicação das atividades, tanto na Escola Piloto, como na
Escola A, estava previsto o início do estudo de Geometria Sólida pelo currículo escolar.
Ambiente desenvolvido com a pesquisa
O ambiente de trabalho, que foi criado com o manuseio de instrumentos de desenhos,
gerando construções geométricas em sala, deu uma nova dinâmica às tarefas
executadas pelos alunos. Muitos tiveram a oportunidade de mostrar suas habilidades
pessoais no manuseio dos instrumentos e de compartilhá-las com os colegas. Também
os conteúdos matemáticos eram relembrados e relacionados às construções
geométricas. Como conseqüência deste ambiente, destacam-se atitudes e reações do
grupo (interação, socialização, papel do professor) que podem ser comentadas a partir
de elementos categóricos fundamentais presentes nas teorias propostas por Piaget
(......) e Ponte(.....), entre outros teóricos.
Interacionismo e Socialização
A concepção interacionista do processo ensino-aprendizagem foi desenvolvida por
algumas teorias de aprendizagem, que surgiram a partir do início do século XX e que
buscaram superar as visões racionalistas e empiristas do conhecimento, explicando a
aprendizagem através das trocas que o indivíduo realiza com o meio. É mediante essas
trocas - e não a partir de um determinismo ambiental ou orgânico - que o indivíduo
organiza o seu conhecimento sobre o real, ao mesmo tempo em que desenvolve a sua
própria capacidade de conhecer, ou seja, ao mesmo tempo em que desenvolve as suas
estruturas de conhecimento.
Nessa pesquisa percebemos, explicitamente, a interação existente entre os sujeitos
durante a coleta dos dados. Os diálogos, as trocas de informações, de instrumentos de
desenho e as ajudas mútuas, em classe, ilustram, perfeitamente, a interação entre os
alunos. O ambiente criado permitiu que novas relações (amizade, reconhecimento)
fossem criadas entre alunos.
As aprendizagens realizadas com o auxílio de instrumentos, e em ambientes de
aprendizagem que tendem a ser colaborativos, reforçam a idéia de que o conhecimento
se constrói de forma compartilhada, e que isto tem forte efeito motivador nos alunos.
Durante a realização das atividades o professor também tem um papel importante no
processo de interação, pois, é questionado sobre as potencialidades e funcionalidades
dos instrumentos, bem como das justificativas matemáticas.
O papel do professor nesse momento foi de mediar o desenvolvimento da
aprendizagem dos alunos, incentivando-os a realizar investigações e a construir de
seus próprios processos cognitivos, criando um ambiente favorável a dúvidas,
questionamentos, acertos e erros.
Também, as pessoas não vivem sozinhas, são seres sociais, necessitam de sugestões
e aprovação de outros. Estas características fazem parte da essência do ser humano. O
ambiente em que se trabalha de forma mais coletiva contribui para o exercício da
convivência e o suprimento das necessidades individuais. Este ambiente propicia ao
aluno benefícios no seu processo de aprendizagem.
Para Piaget (1976):
Do ponto de vista das relações interindividuais, a criança depois dos sete anos
torna-se capaz de cooperar, porque não confunde mais seu próprio ponto de
vista com o dos outros, dissociando-os mesmo para coordená-los. Isto é visível
na linguagem entre crianças. As discussões tornam-se possíveis porque
comportam compreensão e respeito aos pontos de vista do adversário e
procuram justificação de provas para a afirmação própria.
Durante a realização das atividades percebemos que essa socialização proporcionou
interações, mas também algumas dificuldades ou desinteresses nos relacionamento
foram verificadas entre alunos. Observou-se, no entanto, que os impasses foram se
reduzindo, gradativamente, devido às necessidades de colaboração impostas pelo
processo.
Dessa forma, o desenvolvimento de pesquisa, que incentiva o trabalho nestes
ambientes, apresenta uma relevância metodológica, didática, social, pedagógica e
psicológica, na medida em que fornece uma proposta de utilização dos instrumentos
como ferramenta para oportunizar um contato que desenvolve as relações sociais e
afetivas, além de promover a análise de situações didáticas específicas de cada aluno.
Limitações Pedagógicas do processo
Apesar de todas as potencialidades apresentadas pelo ambiente colaborativo desta
pesquisa, em que se manipulam instrumentos físicos de desenho, destacam-se
algumas limitações técnicas e pedagógica.
 Atualmente, diante dos atrativos dos ambientes virtuais, professores, alunos e
mesmo as instituições dedicam pouca atenção às construções geométricas
manuais. A explicação deve-se a um deslumbramento com a automatização.
Traçar um quadrado com um Software é tido como moderno e avançado, com
régua e compasso é retrocesso.
 Alguns alunos sentiram-se cansados, fisicamente, ao manusear os instrumentos
de desenho por algum tempo, ou mesmo prejudicados no manuseio deles. Um
dos problemas encontra-se nos móveis de sala de aula. As carteiras e cadeiras
das salas não são mais pensadas para aulas com instrumentos de desenho.
 A velocidade com que tudo acontece no mundo, como característica da vida
moderna, desencoraja o professor a optar por trabalhar em um ambiente de
construções artesanais. Como complemento, as cargas horárias das disciplinas
são cada vez menores, justificadas, muitas vezes, pelo ritmo acelerado com que
a informação circula.
Realmente, são situações com as quais o professor de matemática se depara no
mundo atual e não possui elementos, e, às vezes, nem infra-estrutura para dar suporte
às suas escolhas didático-pedagógicas. Outra questão, mais séria, angustia o professor
e antecede a esta: qual escolha didático-pedagógica, no contexto atual, é correta e
adequada para o processo ensino aprendizagem da Matemática?
As necessidades da humanidade, as pesquisas e as atentas observações ao longo do
tempo estarão sempre indicando novos caminhos, então, a alternativa é estar bem
informado e convicto no ato de uma escolha. Esta atitude moveu este pesquisador a
propor a presente pesquisa.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Antes da experiência docente do professor pesquisador, através de sua vivência
como Engenheiro Mecânico, atuando como desenhista e projetista, já havia um grande interesse
no estudo da Geometria apoiada no Desenho Geométrico. Daí o interesse intrínseco de
desenvolver um trabalho nessa área, a Geometria.
Esse trabalho de pesquisa, voltado para o resgate do desenho com régua e compasso,
através do Desenho Geométrico, demonstra este interesse e foi desenvolvido no curso médio de
duas escolas particulares de Belo Horizonte (denominadas escolas Piloto e A), com o objetivo de
auxiliar a visualização, compreensão e resolução de exercícios de Geometria Espacial ou Sólida,
que é conteúdo obrigatório do 2º. Ano de Ensino Médio. O pesquisador buscava também
verificar o conhecimento, vivência e aplicabilidade dos alunos em relação aos instrumentos de
Desenho Geométrico, levando os alunos a uma aula “diferente”, lúdica que despertasse neles,
ainda mais, o interesse pelo conteúdo de Geometria, que o pesquisador e alguns matemáticos em
seus trabalhos acadêmicos consideram que este conteúdo está um pouco deixado de lados pelas
escolas e pelos professores. (ZUIN, 2001)
Antes de aplicação da seqüência de atividades, um questionário diagnóstico, com o
objetivo de verificar o interesse e o grau de conhecimento prévio dos alunos em relação ao
conteúdo, Desenho Geométrico, e em relação aos instrumentos, compasso, régua, esquadros,
transferidor e gabaritos. O pesquisador ficou apreensivo pois, alguns alunos demonstraram pouco
interesse em participar das atividades, porém, nas execuções, surpreendentemente, foram os que
expressaram as melhores conclusões e obtiveram melhores resultados.
Em seguida, foi aplicada nessas duas turmas do 2º. Ano do Ensino Médio, da escola
Piloto e da escola A, as quatro atividades seguindo, parcialmente, as idéias de seqüência didática
(ZABALLA, 1998). O pesquisador teve algumas dificuldades em relação a mesas para execução
das atividades e inexperiências dos alunos no manuseio do material, num primeiro momento, mas
a partir da segunda atividade os alunos começaram a desenvolver melhor o trabalho de pesquisa.
No estudo para a construção da fundamentação teórica, foram feitas pesquisas de
investigação em livros de visão geral da Geometria e, também, com livros didáticos de autores
reconhecidos, em nível de ensino médio. O pesquisador construiu as atividades com olhar nas
idéias investigativas de Polya, levando os alunos a resolver problemas e construir conhecimento.
Durante o trabalho percebeu-se a importância de aulas que levem o aluno a construir
elementos geométricos como uma forma de entendimento desse conteúdo, que é, definitivamente,
encarado como difícil pelos alunos do Ensino Médio. Houve durante o trabalho um crescimento
gradativo do interesse e do conhecimento, culminando numa melhora de rendimento no estudo
posterior de Geometria Espacial. Essa melhora foi observada pelo pesquisador tanto em relação
ao conteúdo de Geometria, quanto em relação ao manuseio dos instrumentos de Desenho
Geométrico, quanto a interpretação e análise das atividades.
Esse resgate do Desenho Geométrico através de construções com régua e compasso pode
parecer, num primeiro momento, um retorno em relação a todo um desenvolvimento tecnológico
e informatizado da educação e do ensino de Geometria e, esse pesquisador não quer contrariar
esta linha de pensamento, pelo contrário ele quer agregar valores mostrando que, a utilização
desses instrumentos e atividades pode levar nosso aluno a descobertas tão fascinantes quanto às
feitas diante de um computador. Durante a aplicação das atividades e no momento de fazer as
conclusões das mesmas, o professor aplicador pôde presenciar alunos escrevendo e manifestando
o contentamento pelas descobertas feitas. Estas atividades foram realizadas em duplas, gerando a
oportunidade de, em equipe, alcançar os resultados propostos e proporcionar uma troca de idéias
e experiências nas execuções das tarefas.
Muitos alunos associaram as execuções das atividades a um possível auxílio em sua vida
profissional futura, uma vez que, vários pretendiam fazer um curso superior na área de exatas, já
os outros alunos que pretendem fazer vestibular em outras áreas, biológicas e humanas, tasmbém
demonstraram grande interesse na execução das mesmas.
Desenvolver este projeto representou muito mais do que, simplesmente, obter novos
conhecimentos e executar tarefas orientadas. Foi um momento de perceber que o ensino de
Geometria pode ser feito de uma forma lúdica, interessante e, que podemos aprender esse
conteúdo, que para alguns é muito complexo, utilizando instrumentos de desenho. As duas
trajetórias, primeiramente na Escola Piloto e. em seguida na escola A, começaram cm muita
dificuldade, mas com o passar do tempo se tornou muito prazerosa.
Este pesquisador sabe que, ao encerrar este trabalho, ainda há muito a fazer e desenvolver
para a facilitação do estudo de Geometria, porém com muito estudo e dedicação levaremos
nossos alunos a atingir este grau de entendimento.
Como o pesquisador era professor efetivo das duas turmas, Piloto e A, a idéia que ele
deixou ao final do trabalho de pesquisa foi que todo conhecimento deve ser transmitido de forma
a levar as pessoas a gostarem do que estão aprendendo, pois, só se aprende aquilo que se gosta e,
só se gosta daquilo que se entende.
REFERÊNCIAS
ÁVILA, Geraldo. Revista do Professor de Matemática. Artigo. Editora da UFMG – Belo
Horizonte, 2001.
BOYER, C. B. História da matemática. Tradução de Elza F. Gomide. 2. ed. São Paulo: Edgard
Blücher, 1996.
BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais (Ensino Fundamental). Secretaria de Educação
Média e Tecnológica - Brasília: MEC/SEMT, 1999.
BRASIL. Orientações Curriculares para o Ensino Médio. Secretaria de Educação Básica –
Brasília: MEC/SEB, 2006
BRIGHENTI, Maria J.L. Representações gráficas: atividades para o ensino e a aprendizagem
de conceitos trigonométricos. Bauru, SP: EDUSC, 2003.
CARAÇA, Bento de Jesus. Conceitos fundamentais da Matemática. 5ª. ed. Lisboa: Gradiva,
2003
DAVIS, Philip J.; HERSH, Reuben. A experiência Matemática. Lisboa: Gradiva, 1995.
EVES, Howard. Introdução à história da Matemática. 2ª ed. Campinas: Editora da UNICAMP
– São Paulo, 1997.
FIORENTINI, Dario; LORENZATO, Sérgio. Investigação em educação matemática:
percursos teóricos e metodológicos. Campinas, SP: Autores Associados, 2006.
GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática:uma nova abordagem. Vol. 2
São Paulo: FTD, 2002.
GIOVANNI, José R.; FERNANDES, Tereza M.; OGASSAWARA, Elenice L. Desenho
Geométrico: novo. São Paulo: FTD, 2002.
JORGE, Sônia. Desenho Geométrico Idéias & Imagens. 2ª. ed., Saraiva, São Paulo, 2002.
LÁZARO, Coutinho. Convite às geometrias não-euclidianas. Rio de Janeiro: Interciência,
2001.
POLYA, G. A arte de resolver problemas. 2. ed. Rio de Janeiro: Interciência, 1995.
ROSSO Jr., Antônio Carlos; FURTADO, Patrícia. Matemática - uma ciência para a vida. Vol.
2 São Paulo: Harbra, 2011
WAGNER, Eduardo. Construções Geométricas. 5ª. Edição. Coleção do Professor de
Matemática – SBM – Rio de Janeiro, 1993.
ZABALLA, A. A prática educativa: como ensinar. reimpressão. São Paulo: Artmed, 2007.
.
.
APÊNDICE
CADERNO DE ATIVIDADES DE GEOMETRIA PLANA
DESENHO GEOMÉTRICO
Aluno: ________________________________________________ nº:_____ turma:__________
Disciplina:______________________ Profº:__________________ data:______________
Disciplina: Matemática – QUESTIONÁRIO
Logomarca
da escola
Aluno (a):
Série:
Nº.:
Turma:
1 - Você já teve aula utilizando material de desenho?
(
) SIM
(
) NÃO
2 - Qual material você conhece e qual já utilizou?
a)
Professor: Cláudio Antônio
COMPASSO
 Conheço ( ) SIM
 Já utilizei ( ) SIM
b) ESQUADRO 450
 Conheço ( ) SIM
 Já utilizei ( ) SIM
( ) NÃO
( ) NÃO
( ) NÃO
( ) NÃO
Data:
c)
ESQUADRO 300/600
 Conheço ( ) SIM
 Já utilizei ( ) SIM
d) TRANSFERIDOR
 Conheço ( ) SIM
 Já utilizei ( ) SIM
e)
f)
RÉGUA 30 cm
 Conheço ( ) SIM
 Já utilizei ( ) SIM
( ) NÃO
( ) NÃO
( ) NÃO
( ) NÃO
( ) NÃO
( ) NÃO
GABARITO (formas)
 Conheço ( ) SIM
 Já utilizei ( ) SIM
g) GABARITO (números)
 Conheço ( ) SIM
 Já utilizei ( ) SIM
3 - Você acha que seria importante este tipo de aula? (
( ) NÃO
( ) NÃO
( ) NÃO
( ) NÃO
) SIM
(
) NÃO
Por quê? _________________________________________________________________
________________________________________________________________________
4 – Você considera que traçar figuras poderia ter auxiliado no estudo de geometria?
(
) SIM
(
) NÃO
5 – Você conhece alguém que tem ou teve aula de desenho geométrico?
(
) SIM
(
) NÃO
6 – Você gostaria de ter aula de desenho geométrico, com construções utilizando os objetos
da questão 2?
(
) SIM
(
) NÃO
7 – Se utilizarmos algumas aulas de 4a. Feira à tarde, qual seria seu grau de interesse?
(
) 100% a 80%
(
) 80% a 50%
(
) 50% a 30%
(
) menos de 30%
8 – Faça um pequeno comentário sobre o assunto abordado neste questionário.
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
ATIVIDADE No..1
TEMA: Posições Relativas entre Retas
TIPO: Sequência didática
OBJETIVO: Conhecer e construir co uso de instrumentos de desenho, todas as posições relativas
entre duas retas no plano, auxiliando as construções geométricas espaciais.
TEXTO INFORMATIVO: As preocupações mais fundamentais com o que se pode chamar hoje
de geometria de posição, como posições relativas entre retas, surgiram provavelmente de
observações como a percepção de caminhos ou de ruas paralelas ou perpendiculares, distância
entre cidades, cruzamentos de vigas, etc.
Os pitagóricos (séc. VI a.C.) foram os primeiros a desenvolver estudos teóricos sobre a
geometria de posição para organizar o que ocorria na prática, tanto na civilização grega quanto
em outras importantes, como a egípcia e a babilônica. Esses estudos foram sistematizados na obra
Os elementos, do matemático grego Euclides. Esses conhecimentos são importantes para a
própria Matemática e também para as demais áreas do conhecimento, onde retas e pontos tem
papel importante na linguagem, realização e execução de projetos.
Duas retas distintas irão assumir as seguintes posições relativas no espaço:
Retas paralelas: duas retas são paralelas se pertencerem ao mesmo plano (coplanares) e
não possuírem ponto de intersecção ou ponto em comum.
(r // s)
Retas coincidentes: pertencem ao mesmo plano e possuem todos os pontos em comum.
(r = s)
Retas concorrentes: duas retas concorrentes possuem apenas um ponto comum. Não é
necessário que pertençam ao mesmo plano.
(r X s)
Retas concorrentes: perpendiculares: são retas que possuem ponto em comum
formando um ângulo de 90º.
(r  s)
OBS: Se a perpendicular passar pelo ponto médio do segmento ela será uma mediatriz.
MATERIAL NECESSÁRIO: - Compasso
- Esquadro de 30 e 60
- Esquadro de 45
- Régua de 30 cm
- Transferidor
- Papel quadriculado
DESENVOLVIMENTO:
5) TRAÇADO DE PARALELAS COM ESQUADROS
 Trace uma reta r em uma folha quadriculada.
 Posicione o esquadro de 45 com o lado maior alinhado com a reta traçada.
 Fixe o maior lado do esquadro de 60 em um dos lados do esquadro de 45.
 Deslize o esquadro de 45 sobre o esquadro de 60, traçando retas paralelas à
reta r inicial.
6) TRAÇADO DE PARALELA COM COMPASSO
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CONCLUSÃO:
Trace uma reta r e um ponto A fora dela em uma folha quadriculada.
Posicione a ponta fixa do compasso no ponto A e trace um arco que intercepte
a reta num ponto B pertencente à reta r.
Posicione, agora, a ponta fixa do compasso no ponto B e, com o mesmo raio
inicial, trace um arco que determine um ponto C na reta r.
Posicionando agora, a ponta fixa do compasso em C, trace um arco que
intercepte o arco inicial, obtendo o ponto D, interseção dos dois arcos ( o
último e o primeiro).
Trace uma reta que passe por A e D, que chamaremos de reta AD, paralela a
reta r inicial.
7) TRAÇADO DE CONCORRENTES COM ESQUADRO
Trace uma reta r na folha quadriculada.
Posicionando um dos esquadros aleatoriamente, trace uma reta s que intercepte
a reta r inicial, obtendo assim duas retas concorrentes.
8) TRAÇADO DE PERPENDICULARES COM ESQUADROS
Trace uma reta r em uma folha quadriculada.
Posicione o esquadro de 45 com o lado maior alinhado com a reta traçada.
Fixe o maior lado do esquadro de 60 em um dos lados do esquadro de 45.
Gire o esquadro de 45, com o esquadro de 60 fixo, apoiando agora o outro
lado menor no esquadro de 60.
Deslize o esquadro de 45 sobre o esquadro de 60 e trace, pelo maior lado do
esquadro de 45, perpendiculares a reta r inicial.
9) TRAÇADO DE PERPENDICULAR COM COMPASSO
Trace uma reta r na folha quadriculada e marque um ponto A sobre ela.
Fixando a ponta fixa do compasso em A, trace dois arcos de mesmo raio,
determinando na reta r dois pontos, B e C equidistantes de A.
Fixando a ponta fixa do compasso em B e depois em C, trace dois arcos com
raios iguais, porém com medida maior que AB, marque o ponto D, na
interseção desses dois arcos.
Trace uma reta ligando os pontos A e D, que chamaremos de AD,
perpendicular a reta r inicial.
10) TRAÇADO DE UMA MEDIATRIZ
Trace um segmento de reta AB na folha quadriculada.
Posicione a ponta fixa do compasso nos pontos A e B, trace dois arcos (um
acima e outro abaixo da reta) com raio maior que a metade do segmento, e
obtenha os pontos C e D nas interseções desses arcos.
Trace uma reta ligando os pontos C e D, ligando os pontos e obtenha uma reta
CD perpendicular ao segmento AB inicial, que é a mediatriz do segmento.
A partir do que foi estudado dê suas sugestões e/ou inferências sobre a atividade:
ATIVIDADE No..2
TEMA: As cevianas e os pontos notáveis de um triângulo
TIPO: Sequência didática
OBJETIVO: Conhecer e construir com o uso de instrumentos de desenho, todas as cevianas
(mediana, bissetriz, altura e mediatriz) e os pontos notáveis de um triângulo (baricentro, incentro,
ortocentro e circuncentro), auxiliando as construções geométricas espaciais.
TEXTO INFORMATIVO: Ceviana é um segmento de reta que liga um vértice do triângulo ao
lado oposto correspondente ou ao do seu prolongamento. São exemplos de cevianas a Mediana, a
Altura e a Bissetriz. O nome vem do matemático italiano Giovanni Ceva, que formulou o
Teorema de Ceva, que dá condições para que três cevianas sejam concorrentes. O encontro de
duas alturas no triangulo é o ortocentro. o encontro de três medianas é o baricentro, o encontro
das três bissetrizes é o incentro. É importante destacar também a Mediatriz, que apesar de não ser
um ceviana, tem como encontro das três mediatrizes dos três lados do triângulo o circuncentro.
MEDIANA é o segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto (AM). (Fig. 9)
BISSETRIZ é o segmento da bissetriz de um ângulo interno que tem por extremidades o vértice
desse ângulo e o ponto de encontro com o lado oposto (B2). (Fig.10)
ALTURA é o segmento da perpendicular traçada de um vértice à reta suporte do lado oposto,
cujos extremos são esse vértice e o ponto de encontro com essa reta (A3). (Fig.11)
MEDIATRIZ é a mediatriz de um de seus lados (m). (Fig.12)
INCENTRO de um triângulo é o ponto de encontro das três bissetrizes do triângulo. É também o
centro da circunferência inscrita no triângulo.
BARICENTRO (do grego - baros "peso", do latim - centrum "centro de gravidade") de um
triângulo é também chamado de centro de gravidade ou centróide. É o ponto de encontro das três
medianas de um triângulo. É também o ponto que divide cada mediana do triângulo em duas
partes: um terço a contar do lado e dois terços a contar do vértice.
CIRCUNCENTRO de um triângulo é o ponto de encontro das mediatrizes dos lados do triângulo.
O circuncentro pode ser interno ou externo ao triângulo. É também o centro da circunferência
circunscrita ao triângulo.
ORTOCENTRO de um triângulo é o ponto de encontro das três alturas do triângulo. O ortocentro
pode ser interno ou externo ao triângulo.
OBS: Se os 4 pontos notáveis são colineares, o triângulo é isósceles.
Se os 4 pontos notáveis coincidem, o triângulo é eqüilátero.
MATERIAL NECESSÁRIO: - Compasso
- Esquadro de 30 e 60
- Esquadro de 45
- Régua de 30 cm
- Transferidor
- Papel quadriculado
DESENVOLVIMENTO:
11) TRAÇADO DE MEDIANAS E DO BARICENTRO
 Trace um triângulo qualquer na folha com a régua de 30cm.
 Posicione a ponta fixa do compasso em um vértice e trace um arco com raio
maior que a metade do lado, repita a operação para um vértice adjacente e
marque o ponto de interseção dos dois arcos com o ponto A, ligue este ponto
ao terceiro vértice e, obtenha no interior do triângulo um segmento chamado
MEDIANA.
 Repita o procedimento para todos os vértices e encontre as três medianas, cada
uma relativa a um vértice.
 Marque o ponto de interseção das três medianas com o ponto G, este é o
baricentro.
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12) TRAÇADO DE BISSETRIZES E DO INCENTRO
Trace um triângulo qualquer na folha com a régua de 30cm.
Posicione a ponta fixa do compasso em um dos três vértices e trace um arco
que passe pelos dois lados adjacentes. Marque os pontos A e B nas interseções
e, fixando a ponta fixa nesses pontos trace um arco por cada um deles e
encontre o ponto de interseção C. Ligue o ponto C ao vértice, prolongando até
o lado oposto obtem-se no interior do triângulo um segmento chamado
BISSETRIZ.
Repita o procedimento para todos os vértices e encontre as três bissetrizes,
cada uma relativa a um vértice.
Marque o ponto de interseção das três bissetrizes com o ponto I, este é o
incentro.
Trace a circunferência com centro em I e que tangencia um dos lados do
triângulo.
13) TRAÇADO DE ALTURAS E DO ORTOCENTRO
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Trace um triângulo qualquer na folha com a régua de 30cm.
Posicione o lado maior do esquadro de 45em um lado do triângulo, em
seguida posicione o esquadro de 60 em outro lado do esquadro de 45. Gire o
esquadro de 45 no esquadro de 60 e trace uma perpendicular ao lado do
triângulo passando pelo vértice oposto, obtendo no interior do triângulo um
segmento chamado ALTURA.
Repita o procedimento para todos os lados e encontre as três alturas, cada uma
relativa a um lado.
Marque o ponto de interseção das três alturas com o ponto O, este é o
ortocentro.
14) TRAÇADO DE MEDIATRIZES E DO CIRCUNCENTRO
Trace um triângulo qualquer na folha com a régua de 30cm.
Posicione a ponta fixa do compasso em um vértice e trace um arco com raio
maior que a metade do lado, repita a operação para um vértice adjacente e
marque o ponto de interseção dos dois arcos com o ponto A. Em seguida,
posicione o lado maior do esquadro de 45 nesse lado do triângulo, depois
posicione o esquadro de 60 em outro lado do esquadro de 45. Gire o
esquadro de 45 no esquadro de 60 e trace uma perpendicular ao lado do
triângulo passando pelo ponto A e, obtenha assim, no triângulo um segmento
chamado MEDIATRIZ.
Repita o procedimento para todos os lados do triângulo e encontre as três
mediatrizes, cada uma relativa a um lado.
Marque o ponto de interseção das três mediatrizes com o ponto C, este é o
circuncentro.
Trace a circunferência com centro em C e que passa por um dos vértices do
triângulo.
CONCLUSÃO:
A partir do que foi estudado dê suas sugestões e/ou inferências sobre a atividade:
ATIVIDADE No..3
TEMA: Polígonos regulares inscritos em uma circunferência
TIPO: Sequência didática
OBJETIVO: Conhecer e construir com o uso de instrumentos de desenho, todos os principais
polígonos inscritos em uma circunferência de raio r, auxiliando as construções geométricas
espaciais.
TEXTO INFORMATIVO: Polígonos regulares inscritos na circunferência
Polígono regular é todo polígono que possui lados e ângulos congruentes entre si. O nome de um
polígono regular será dado de acordo com seu número de lados.
Nomenclatura
POLÍGONOS CIRCUNSCRITOS E INSCRITOS
Um polígono é dito circunscrito a uma circunferência, se os seus lados são tangentes à
circunferência. Um polígono é dito inscrito em uma circunferência, se todos os seus vértices
estão na circunferência.
MATERIAL NECESSÁRIO: - Compasso
- Esquadro de 30 e 60
- Esquadro de 45
- Régua de 30 cm
- Transferidor
- Papel quadriculado
DESENVOLVIMENTO:
5) TRAÇADO DE UM TRIÂNGULO EQUILÁTERO
 Trace uma circunferência de raio r qualquer na folha com o compasso.
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

Determine um ponto A qualquer na circunferência e trace o diâmetro AB,
passando pelo centro O.
Trace um arco de centro A e raio r e determine os pontos C e D na
circunferência.
Ligue com segmentos de reta os pontos B, C e D, obtendo o triângulo
equilátero BCD.
6) TRAÇADO DE UM HEXÁGONO REGULAR
Trace uma circunferência de raio r qualquer na folha com o compasso.
Determine um ponto A qualquer na circunferência e trace o diâmetro AB,
passando pelo centro O.
Trace um arco de centro A e outro de centro B, ambos de raio r e determine os
pontos C, D, E e F na circunferência.
Ligue com segmentos de reta os pontos A, D, E, B, F e C, obtendo o hexágono
regular ADEBFC.
OBS: Os lados de um hexágono regular são iguais ao raio da circunferência
7) TRAÇADO DE UM QUADRADO
Trace uma circunferência de raio r qualquer na folha com o compasso.
Determine um ponto A qualquer na circunferência e trace o diâmetro AB,
passando pelo centro O.
Trace a mediatriz de AB e determine os pontos C e D na circunferência.
Ligue com segmentos de reta os pontos A, C, B e D, obtendo o quadrado
ACBD.
8) TRAÇADO DE UM OCTOGONO REGULAR
Trace uma circunferência de raio r qualquer na folha com o compasso.
Determine um ponto A qualquer na circunferência e trace o diâmetro AB,
passando pelo centro O.
Trace a mediatriz de AB e determine os pontos C e D na circunferência.
Posicione a ponta fixa do compasso nos pontos A, C, D e B e, trace arcos de
forma a encontrar pontos de interseção externos, obtenha uma reta que passa
pela interseção dos arcos e pelo centro, chamado bissetriz do ângulo, marcando
na circunferência os pontos E, F, G e H.
Ligue com segmentos de reta os pontos A, E, C, F, B, G, D e H, obtendo o
octógono AECFBGDH.
CONCLUSÃO:
A partir do que foi estudado dê suas sugestões e/ou inferências sobre a atividade:
ATIVIDADE No..4
TEMA: Isometria e Homotetia
TIPO: Sequência didática
OBJETIVO: Traçar figuras semelhantes a uma figura dada através de rotação, translação ou
relexão e, conhecer a homotetia que é um processo de redução ou ampliação de figuras,
auxiliando as construções geométricas espaciais.
TEXTO INFORMATIVO: Isometria é uma transformação geométrica que, aplicada a uma
figura geométrica, mantém as distâncias entre pontos. Ou seja, os segmentos da figura
transformada são geometricamente iguais aos da figura original, podendo variar a direcção e o
sentido. Os ângulos mantêm também a sua amplitude. Existem isometrias simples e isometrias
compostas. As isometrias simples podem ser rotações, translações e reflexões.
O geómetra alemão Felix Klein no seu célebre programa de Erlangen (1872) sugeriu que a
"simetria" (conceito que, em português, poderia ser mais fielmente traduzido por "isometria")
seria o princípio organizador e unificador da geometria (na altura utilizava-se o termo
"geometrias", no plural). Este é um princípio mais abrangente que axiomático. Inicialmente abriu
caminho a investigações sobre grupos relacionados com as "geometrias"). Em consequência,
estabeleceu-se o termo "transformação geométrica" (aspecto da Nova Matemática, mas muito
controverso na prática matemática actual). Este conceito é, hoje, aplicado, sob várias formas,
como um modelo aplicado na resolução de vários problemas.
Homotetia significa ampliação ou redução das distâncias dos pontos de um espaço em relação a
um ponto fixo. Uma homotetia é definida pelo seu centro O e pela razão k de homotetia e é a
aplicação afim tal que a cada ponto P faz corresponder o ponto P' tal que:
O termo é devido ao matemático francês Michel Chasles, em 1827, derivado do grego como
composto de homo (similar) e tetia (posição).
Uma homotetia preserva:



ângulos
razões entre segmentos de reta
segmentos e linhas são transformados em segmentos e linhas paralelos aos originais
MATERIAL NECESSÁRIO: - Compasso
- Esquadro de 30 e 60
- Esquadro de 45
- Régua de 30 cm
- Transferidor
- Papel quadriculado
DESENVOLVIMENTO:
1) CONSTRUÇÃO DO TRIÂNGULO A’B’C’ SIMÉTRICO AO
TRIÂNGULO ABC
 Trace um triângulo ABC qualquer e uma reta vertical r, a direita do triângulo.
 Trace uma reta s perpendicular a r pelo ponto A. Com o compasso determine o
ponto A’ em s tal que, a distância de A até r seja igual a distância entre A’ e r.
 Repita o processo para os pontos B e C, determinando B’ e C’, nas retas t e u.
 Ligue os pontos A’B’, B’C’ e A’C’, obtendo o triângulo semelhante a ABC.
2) CONSTRUÇÃO DE UM QUADRILÁTERO SIMÉTRICO POR ROTAÇÃO
 Trace um quadrilátero qualquer ABCD, por um dos vértices (por exemplo A)
trace uma reta AA’ (para isso marque um ponto A’ na reta) com uma
inclinação qualquer e, em seguida paralelas a ela pelos outros vértices.
 Nas paralelas traçadas, marque os pontos B’, C’ e D’ com um compasso, tal
que AA’ = BB’ = CC’ = DD’.
 Trace A’B’, B’C’, C’D’ e D’A’ obtendo o quadrilátero A’B’C’D’, simétrico a
ABCD.








5) CONSTRUÇÃO DE UM RETÂNGULO HOMOTÉTICO NA RAZÃO K
=2
Trace um retângulo ABCD na folha, em seguida trace um ponto O à esquerda
da figura.
Trace retas que passam por O e pelos vértices do retângulo ABCD, no sentido
da direita.
Utilizando o compasso, determine A’ em AO de modo que OA’ = 2 . OA.
Repita para os outros vértices, obtendo B’, C’ e D’.
Ligue os pontos A’, B’, C’ e D’, obtendo o retângulo homotético a ABCD.
6) CONSTRUÇÃO DE UM TRIÂNGULO HOMOTÉTICO NA RAZÃO K = 3
Trace um triângulo ABC na folha, em seguida trace um ponto O à esquerda da
figura.
Trace retas que passam por O e pelos vértices do triângulo ABC, no sentido da
esquerda.
Utilizando o compasso, determine A’ em AO de modo que OA’ = 3 . OA.
Repita para os outros vértices, obtendo B’ e C’.
Ligue os pontos A’, B’ e C’, obtendo o triângulo homotético a ABC..
CONCLUSÃO:
A partir do que foi estudado dê suas sugestões e/ou inferências sobre a atividade:
ANEXOS
Algumas fotos foram tiradas nas execuções dos trabalhos dos alunos das escolas 1 e 2.
Fotos tiradas na Escola Piloto
Fotos tiradas na Escola A