FUNÇÃO AFIM
Função afim
Uma função f: ℝ  ℝ é função afim quando existem os números reais
a e b tais que f(x) = ax + b para todo x  ℝ.
Exemplos
 f(x) =
, em que: a =
eb=–6
 g(x) = –7x, em que: a = –7 e b = 0
 h(x) = –5, em que: a = 0 e b = –5
Os números reais a e b são os coeficientes da função afim
sendo a = taxa de variação da função
Casos particulares de função afim
A função afim pode ser:
constante
linear
 n(x) = –5
 h(x) = –7x
 g(x) =
 h(x) = 3x
 f(x) = –13
 g(x) = –6x
 f(x) =
 f(x) = x
Uma função f: ℝ  ℝ é função
Uma função f: ℝ  ℝ é função linear
constante se é definida por
quando existe número real a, com a ≠
f(x) = b, com b  ℝ, para todo
0, tal que f(x) = ax, para todo x  ℝ.
x do domínio.
Valor de uma função afim
Dada a função afim g(x) =
.
Nesse caso, temos x =
g
Logo: g
x – 1, vamos calcular g
; então:
Valor de uma função afim
Dada a função afim f(x) = ax + b e conhecendo f(–1) = 7 e f(4) = 2,
vamos determinar a lei de formação dessa função.
Se f(–1) = 7, então para x = –1 temos f(x) = 7, ou seja: 7 = a ∙ (–1) + b (I)
Se f(4) = 2, então para x = 4 temos f(x) = 2, ou seja: 2 = a ∙ 4 + b
(II)
Para determinar os valores de a e b, basta resolver o sistema formado pelas equações
(I) e (II):
Como –a + b = 7, temos:
–a + 6 = 7  –a = 1  a = –1
Assim, a lei de formação dessa função é: f(x) = –x + 6
EXEMPLO
1. Dada a função afim f(x) = 10x + 35, calcular x para f(x) = 5.
10x + 35 = 5 → 10x = – 30 → x = – 3
2. Sabendo que f(x – 1) = x + 5, calcular f(2) para todo x real.
Para calcular f(2), x – 1 tem que ser igual a 2, então x – 1 = 2 → x = 3.
Logo f(2) = 3 + 5 = 8
EXEMPLO
3. Um vendedor recebe mensalmente um salário composto de duas
partes: uma parte fixa, no valor de R$ 900,00, e uma variável que
corresponde a uma comissão de 8% do total de vendas que ele fez
durante o mês. Determine o lei que determina o salário desse vendedor
em função do total de vendas.
4. O custo de fabricação de x unidades de um produto é C = 100 + 2x.
Cada unidade é vendida pelo preço de R$ 3,00. Para haver um lucro de
R$ 1200,00 devem ser vendidas k unidades. Determine o valor de k.
Gráfico da função afim – Construção do gráfico
Como exemplo, vamos construir o gráfico da função f(x) = 3x – 2.
x
f(x)
–1
–5
0
–2
2
3
0
1
1
2
4
Exemplos de gráfico de função afim
 g(x) = –2x + 1
x
g(x)
–1
3
2
–3
Dois pontos distintos são suficientes para determinar uma reta.
Exemplos de gráfico de função afim
 f(x) = 3
x
1
f(x)
3
O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo x, por
isso podemos traçá-la conhecendo um único ponto.
Exemplos de gráfico de função afim
 h(x) = x
x
h(x)
–1
–1
1
1
O gráfico de uma função linear é uma reta que passa pela origem (0,0).
Determinação de uma função a partir do seu gráfico
Exemplo
1.
Dado o gráfico de uma função afim, vamos determinar a lei de
formação dessa função.
A(–2, 1)  x = –2 e y = 1  1 = a ∙ (–2) + b
B(1, 4)  x = 1 e y = 4  4 = a ∙ (1) + b
Então:
2a + b = 1
a+b=4
⇒a=1eb=3
Portanto: f(x) = x + 3
Exemplo
2. Determinar o ponto de intersecção das retas correspondentes aos
gráficos das funções afins f(x) = 4x + 11 e g(x) = –x + 1.
Para que as retas tenham um ponto em comum, deve existir um valor de x de
modo que as imagens desse valor pelas duas funções coincidam, ou seja,
f(x) = g(x).
4x + 11 = –x + 1
5x = –10
x = –2
Para x = –2, temos: f(–2) = g(–2) = 3
Logo, o ponto de intersecção é (–2, 3).
3.
Um arquiteto pretende construir duas casas com piscina, uma ao lado da outra. Ele
desenhou uma planta incluindo as duas casas vizinhas e está em dúvida sobre a
medida de um dos lados de cada piscina, pois precisa construir as casas de modo
que a área ocupada pela casa 2 e pela piscina 2 seja maior que a área ocupada
pela casa 1 e pela piscina 1. Nessas condições, qual deve ser o valor de x?
Vamos determinar as
leis das funções que
representam a área que
cada casa e sua piscina
ocupam em função da
medida x.
RESOLUÇÃO
Vamos determinar as leis das funções que representam a área que cada casa e sua
piscina ocupam em função da medida x.
Área ocupada pela casa 1 e pela piscina 1: A1 =
Área ocupada pela casa 2 e pela piscina 2: A2 =
Para A1 = A2, temos x = 11,
que é abscissa do ponto de
intersecção dos gráficos que
representam A1 e A2.
Pelo esboço dos gráficos, podemos
perceber que A2 é maior que A1 quando x
> 11, pois, nesse intervalo, o gráfico de
A2 está acima do gráfico de A1. Portanto,
x tem de ser maior que 11 m.
4. Física. O movimento uniforme é caracterizado pelo fato de a
velocidade do móvel ser constante. Por esse motivo, o espaço
percorrido em intervalos iguais é sempre o mesmo. Assim, a função
horária desse movimento é dada pela lei s(t) = s0 + v ∙ t, em que s é
a posição (em metro) do móvel no instante t (em segundo), s0, o
espaço inicial quando t = 0, e v, a velocidade constante (em m/s).
a) Qual é a função horária do movimento correspondente ao gráfico?
b) Quais são o domínio e o conjunto imagem dessa função?
c) Qual será a posição do móvel após 10 segundos?
d) Após quanto tempo o móvel estará na posição 120 metros?
a) Observando o gráfico, percebemos que s0 = 20; então: s(t) = 20 + vt
Como s(2) = 30, então: 20 + 2v = 30  v = 5. Portanto, a função horária do
movimento é: s(t) = 20 + 5t
b) Pelo gráfico, podemos observar que D(s) =
e Im(s) = {s  ℝ 𝖨 s ≥ 20}.
c) Para t = 10, temos: s(10) = 20 + 5 ∙ 10 = 70
Portanto, após 10 segundos, o móvel estará na
posição 70 metros.
d) Para s(t) = 120, temos: 20 + 5 = 120  t = 20
Portanto, após 20 segundos, o móvel estará na
posição 120 metros.
Análise do gráfico da função afim
Intersecção da reta...
... com o eixo y: coeficiente b
... com o eixo x: zero da função
Exemplo
Vamos determinar o zero da função f(x) = x –
o eixo x.
x–
=0x=
(zero da função)
e o ponto onde a reta intercepta
Crescimento e decrescimento de uma função afim
 f(x) = 2x – 1
f(x) é crescente
Quando aumentamos o valor x, os valores
correspondentes de f(x) também aumentam.
Crescimento e decrescimento de uma função afim
 g(x) = –3x + 1
g(x) é decrescente
Quando aumentamos o valor x, os valores
correspondentes de g(x) diminuem.
Crescimento e decrescimento de uma função afim
Função crescente (a > 0)
x2 > x1  ax2 + b > ax1 + b,
ou seja, f(x2) > f(x1)
Crescimento e decrescimento de uma função afim
Função decrescente (a < 0)
x2 > x1  ax2 + b < ax1 + b,
ou seja, f(x2) < f(x1)
Estudo do sinal da função afim
Função crescente (a > 0)
f(x) = 0 para x =
f(x) > 0 para x >
f(x) < 0 para x <
Estudo do sinal da função afim
Função decrescente (a < 0)
f(x) = 0 para x =
f(x) > 0 para x <
f(x) < 0 para x >
Exemplo
Determinar o valor de m para que o gráfico da função
j(x) = (–3 + 6m)x + 5 intercepte o eixo das abscissas no ponto (1, 0).
Resolução
Como o ponto (1, 0) pertence ao gráfico da função j, então
j(1) = 0.
Assim: 0 = (–3 + 6m) ∙ 1 + 5 ⇒ 6m = –2 ⇒ m = –
Logo, para m = –
, o gráfico da função interceptará o eixo
das abscissas no ponto (1, 0).
Exemplo
Dada a função afim f(x) = (–3 + m)x + 7, discutir para quais valores de
m a função é crescente, decrescente ou constante.
Resolução
A função é crescente se:
–3 + m > 0 ⇒ m > 3
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Observe que o coeficiente de x nessa função é (–3 + m).
A função é decrescente se:
–3 + m < 0 ⇒ m < 3
A função é constante se:
–3 + m = 0 ⇒ m = 3
Para esses casos temos uma
função do tipo ax + b, com a ≠ 0.
Exemplos:
Considere a função g(x) = (m – 2)x + 1, com m real.
a) Calcule m de modo que g seja crescente.
b) Determine m para que o ângulo entre o eixo x e a reta de g seja obtuso.
Resolução:
a) Para que f seja crescente, m – 2 > 0. Logo, m > 2.
b) Se o ângulo é obtuso, então o gráfico é decrescente. Logo, m – 2 < 0. Conclui-se que
m < 2.
Exemplo
O valor de uma máquina decresce linearmente com o tempo, devido ao
desgaste. Sabendo-se que hoje ela vale 10.000 unidades monetárias, e
daqui a 5 anos valerá 1.000 unidades monetárias, calcule seu valor
daqui a 3 anos.
Exemplo
1. Sabendo que a função y = mx + n admite 3 como raiz e f(1) = - 8,
calcule:
a) Os valores de m e n.
b) f(10)
b) f(x) = 4x – 12. Então f(10) = 4.10 – 12 = 40 – 12 = 28