Vetores
1. (Uece 2014) Duas únicas forças, uma de 3 N e outra de 4 N, atuam sobre uma massa
puntiforme. Sobre o módulo da aceleração dessa massa, é correto afirmar-se que
a) é o menor possível se os dois vetores força forem perpendiculares entre si.
b) é o maior possível se os dois vetores força tiverem mesma direção e mesmo sentido.
c) é o maior possível se os dois vetores força tiverem mesma direção e sentidos contrários.
d) é o menor possível se os dois vetores força tiverem mesma direção e mesmo sentido.



2. (G1 - ifpe 2012) Qual o cosseno do ângulo formado pelos vetores A  4. i  3. j e




B  1.i  1. j , em que i e j são vetores unitários?
a)
 2
10
 10
2
2
c)
10
b)
d)
10
2
e) 0
3. (Mackenzie 2012) Um avião, após deslocar-se 120 km para nordeste (NE), desloca-se 160
km para sudeste (SE). Sendo um quarto de hora, o tempo total dessa viagem, o módulo da
velocidade vetorial média do avião, nesse tempo, foi de
a) 320 km/h
b) 480 km/h
c) 540 km/h
d) 640 km/h
e) 800 km/h
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4. (Ufpb 2007) Considere os vetores A, B e F, nos diagramas numerados de I a IV.
Os diagramas que, corretamente, representam a relação vetorial F = A - B são apenas:
a) I e III
b) II e IV
c) II e III
d) III e IV
e) I e IV
5. (Ufmg 2007) Dois barcos - I e II - movem-se, em um lago, com velocidade constante, de
mesmo módulo, como representado na figura:
Em relação à água, a direção do movimento do barco I é perpendicular à do barco II e as linhas
tracejadas indicam o sentido do deslocamento dos barcos.
Considerando-se essas informações, é CORRETO afirmar que a velocidade do barco II,
medida por uma pessoa que está no barco I, é mais bem representada pelo vetor
a) P.
b) Q.
c) R.
d) S.
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6. (G1 - cftce 2007) Dados os vetores "a", "b", "c", "d" e "e" a seguir representados, obtenha o
módulo do vetor soma: R = a + b + c + d + e
a) zero
b) 20
c) 1
d) 2
e)
52
7. (Pucmg 2006) ASSINALE A OPÇÃO CORRETA.
a) Um escalar pode ser negativo.
b) A componente de um vetor não pode ser negativa.
c) O módulo de um vetor pode ser negativo.
d) A componente de um vetor é sempre diferente de zero.
8. (Ufc 2006) Analisando a disposição dos vetores BA, EA, CB, CD e DE, conforme figura a
seguir, assinale a alternativa que contém a relação vetorial correta.
a) CB + CD + DE = BA + EA
b) BA + EA + CB = DE + CD
c) EA - DE + CB = BA + CD
d) EA - CB + DE = BA - CD
e) BA - DE - CB = EA + CD
9. (Ufpb 2006) Um cidadão está à procura de uma festa. Ele parte de uma praça, com a
informação de que o endereço procurado estaria situado a 2km ao norte. Após chegar ao
referido local, ele recebe nova informação de que deveria se deslocar 4km para o leste. Não
encontrando ainda o endereço, o cidadão pede informação a outra pessoa, que diz estar a
festa acontecendo a 5km ao sul daquele ponto. Seguindo essa dica, ele finalmente chega ao
evento. Na situação descrita, o módulo do vetor deslocamento do cidadão, da praça até o
destino final, é:
a) 11km
b) 7km
c) 5km
d) 4km
e) 3km
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10. (Pucpr 2004) Um ônibus percorre em 30 minutos as ruas de um bairro, de A até B, como
mostra a figura:
Considerando a distância entre duas ruas paralelas consecutivas igual a 100 m, analise as
afirmações:
I. A velocidade vetorial média nesse percurso tem módulo 1 km/h.
II. O ônibus percorre 1500 m entre os pontos A e B.
III. O módulo do vetor deslocamento é 500 m.
IV. A velocidade vetorial média do ônibus entre A e B tem módulo 3 km/h.
Estão corretas:
a) I e III.
b) I e IV.
c) III e IV.
d) I e II.
e) II e III.
11. (G1 - cftce 2004) Uma partícula desloca-se sobre a trajetória formada pelas setas que
possuem o mesmo comprimento L. A razão entre a velocidade escalar média e a velocidade
vetorial média é:
1
3
2
b)
3
a)
c) 1
d)
3
2
e) 2
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12. (Unesp 2003) Um caminhoneiro efetuou duas entregas de mercadorias e, para isso, seguiu
o itinerário indicado pelos vetores deslocamentos d 1 e d2 ilustrados na figura.
Para a primeira entrega, ele deslocou-se 10 km e para a segunda entrega, percorreu uma
distância de 6 km. Ao final da segunda entrega, a distância a que o caminhoneiro se encontra
do ponto de partida é
a) 4 km.
b) 8 km.
19 km.
d) 8 3 km.
c) 2
e) 16 km.
13. (Unifesp 2002) Na figura, são dados os vetores
a, ω e v .
Sendo u a unidade de medida do módulo desses vetores, pode-se afirmar que o vetor g =
a-
ω + v tem módulo
a) 2u, e sua orientação é vertical, para cima.
b) 2u, e sua orientação é vertical, para baixo.
c) 4u, e sua orientação é horizontal, para a direita.
d) ( 2 )u, e sua orientação forma 45° com a horizontal, no sentido horário.
e) ( 2 )u, e sua orientação forma 45° com a horizontal, no sentido anti-horário.
14. (Ufc 1999) Na figura a seguir, onde o reticulado forma quadrados de lados ℓ=0,5cm, estão
desenhados 10 vetores contidos no plano xy. O módulo da soma de todos esses vetores é, em
centímetros:
a) 0,0.
b) 0,5.
c) 1,0.
d) 1,5.
e) 2,0.
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15. (Mackenzie 1998) Com seis vetores de módulo iguais a 8u, construiu-se o hexágono
regular a seguir. O módulo do vetor resultante desses 6 vetores é:
a) 40 u
b) 32 u
c) 24 u
d) 16 u
e) zero
16. (Puccamp 1998) Num bairro, onde todos os quarteirões são quadrados e as ruas paralelas
distam 100 m uma da outra, um transeunte faz o percurso de P a Q pela trajetória representada
no esquema a seguir.
O deslocamento vetorial desse transeunte tem módulo, em metros, igual a
a) 300
b) 350
c) 400
d) 500
e) 700
17. (Fatec 1996) Dados os vetores A, B e C, representados na figura em que cada quadrícula
apresenta lado correspondente a uma unidade de medida, é correto afirmar que a resultante
dos vetores tem módulo:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
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e) 6
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18. (G1 1996) Defina vetor.
19. (Uel 1994) Considere as seguintes grandezas físicas mecânicas: TEMPO, MASSA,
FORÇA, VELOCIDADE e TRABALHO. Dentre elas, têm caráter vetorial apenas
a) força e velocidade.
b) massa e força.
c) tempo e massa.
d) velocidade e trabalho.
e) tempo e trabalho.
20. (Upe 2013) Os vetores u e v, representados na figura a seguir, têm módulos,
respectivamente, iguais a 8 e 4, e o ângulo θ mede 120°.
O módulo do vetor | u  v |, é:
a) 3 3
b) 4 3
c) 5 3
d) 3 5
e) 4 5
21. (Ufpr 2011) Durante um passeio, uma pessoa fez o seguinte trajeto: partindo de um certo
ponto, caminhou 3 km no sentido norte, em seguida 4 km para o oeste, depois 1 km no sentido
norte novamente, e então caminhou 2 km no sentido oeste. Após esse percurso, a que
distância a pessoa se encontra do ponto de onde iniciou o trajeto?
22. (Unirio 2000)
Considere os vetores a, g e  anteriormente representados. O vetor v tal que v =
1
1
a+g- 
2
4
é:

a)  6,

7
4 
b) (-2, 3)
 7

, 6
4


c)  
7
7


,  6  e)  6,  
4
4



d) 
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23. (Uff 1999) Considere o retângulo ABCD de dimensões BC = 3 m e CD = 4 m.
Calcule | AB  BD  DC
24. (Cesgranrio 1994) ABCD é um quadrado. O vetor que indica a operação AB - BC é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
DB
CA
BD
BD
AC
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
[B]
A resultante de duas forças tem módulo máximo quando elas têm mesmo sentido; e módulo
mínimo quando elas têm sentidos opostos. Para esse caso.
Rmáx  3  4  Rmáx  7 N.

Rmín  4  3  Rmín  1 N.
De acordo com o Princípio Fundamental da Dinâmica:
R
Rm a  a .
m
A aceleração tem módulo máximo quando a resultante tem intensidade máxima, portanto,
quando as forças têm mesma direção e mesmo sentido.
Comentário: massa é uma grandeza física e não um objeto, como sugere o enunciado. Existe
um corpo puntiforme, um objeto puntiforme ou uma partícula. A massa é uma grandeza física
associada à quantidade de matéria existente no corpo, no objeto ou na partícula.
Resposta da questão 2:
[A]
1ª Solução:
Na figura acima:
 Ax = 4; Ay = 3; Bx = -1; By = 1.

2
2
2
2
 A  A x  A y   1  1
 
B  B2  B2  42  32 
x
y

Ay

1


senα  cos α 
A

2
 
By
B
4

senβ  x  ; cos β 


B
5
B

 A  2.
B  25
 B  5.
senα  cos α 
2
.
2
3
.
5
O ângulo entre os vetores A e B é θ. Mas:
θ  α β 
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3 2 4 2
3  2  4  2 
cosθ  cos  α  β   cosα  cosβ  senα  senβ     


     
  

10
10
5  2  5  2 
cos θ 
 2
.
10
2ª Solução:
Aplicando a regra do Paralelogramo:
Na figura acima:
 Ax = 4; Ay = 3; Bx = -1; By = 1; Rx = 3; Ry = 4.

2
2
2
2
 A  A x  A y   1  1  A  2.

 B  B2x  B2y  42  32  B  25  B  5.

R  R2  R2  32  42  B  25  R  5.
x
y

Da lei dos cossenos:
R2  A 2  B2  2 A Bcos θ 
0  2  10 2 cos θ 
cos θ 
cos θ  
2
52  2  52  2
2
10 2
 
2 2
10  2 
 2  5  cos θ


 2
.
10
Resposta da questão 3:
[E]
Dados: d1 = 120 km; d2 = 160 km; t =1/4 h.
A figura ilustra os dois deslocamentos e o deslocamento resultante.
Aplicando Pitágoras:
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d2  d12  d22  d2  1202  1602  14.400  25.600  40.000  d  40.000 
d  200 km.
O módulo da velocidade vetorial média é:
vm
d
200
 200  4  
1
4
 800 km / h.
vm 
t

Resposta da questão 4:
[B]
I - B  A F  0 F  A B
II - F  B  A  0  F  A  B
III – igual ao I
IV - A  F  B  0  F  A  B
Resposta da questão 5:
[C]
Resposta da questão 6:
[E]
Resposta da questão 7:
[A]
Resposta da questão 8:
[D]
Resposta da questão 9:
[C]
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Resposta da questão 10:
[A]
Resposta da questão 11:
[B]
Vm

Vm
6L
4L
T  Vm  3
2
Vm
T
Resposta da questão 12:
[C]
A figura mostra o deslocamento vetorial do caminhão.
Uma forma imediata de solucionar a questão é utilizar a Lei dos Cossenos.
2
r  102  62  2  10  6  cos 60  100  36  60  76
r  2 19km
Resposta da questão 13:
[B]
Resposta da questão 14:
[E]
Resposta da questão 15:
[B]
Resposta da questão 16:
[D]
Resposta da questão 17:
[A]
Resposta da questão 18:
Ente matemático que possui como elementos a direção, um sentido e um valor ou intensidade.
Resposta da questão 19:
[A]
Resposta da questão 20:
[B]
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Resposta da questão 21:
1ª Solução:
Adotando convenientemente como ponto de partida a origem do plano cartesiano, segue que a
distância pedida é o módulo do vetor cuja extremidade é o ponto P(6, 4), ou seja,
| OP |  ( 6)2  42  52  2 13 km.
2ª Solução:
Considerando arbitrariamente o ponto de partida como sendo a origem O do plano cartesiano,
queremos calcular a distância entre O e P  (6, 4). Portanto,
dOP  ( 6)2  42  52  2 13 km.
3ª Solução:
Supondo que o ponto onde a pessoa iniciou o trajeto seja a origem do plano de Argand-Gauss,
segue que a distância pedida é o módulo do número complexo cujo afixo é o ponto (6, 4), isto
é,
( 6)2  42  52  2 13 km.
Resposta da questão 22:
[C]
Resposta da questão 23:
|AC|= 5 m
Resposta da questão 24:
[A]
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