UNIVERSIDADE DE LISBOA
INSTITUTO DE EDUCAÇÃO
Práticas letivas promotoras da regulação da
aprendizagem matemática pelos alunos
Paulo Jorge Ribeiro Dias
DOUTORAMENTO EM EDUCAÇÃO
Didática da Matemática
2013
UNIVERSIDADE DE LISBOA
INSTITUTO DE EDUCAÇÃO
Práticas letivas promotoras da regulação da
aprendizagem matemática pelos alunos
Paulo Jorge Ribeiro Dias
DOUTORAMENTO EM EDUCAÇÃO
Didática da Matemática
Tese orientada
pela Professora Doutora Mª Leonor de Almeida Domingues dos Santos
2013
AGRADECIMENTOS
À Professora Doutora Leonor Santos, pela confiança, pela disponibilidade e pelo
interesse manifestados na orientação do estudo e pelo incentivo que me concedeu.
Aos professores e aos alunos participantes, pelo entusiasmo e disponibilidade
incondicional com que trabalharam.
À minha mulher e aos meus filhos, pelo estímulo e pela paciência com que
aceitaram a privação das nossas horas de convívio.
i
ii
RESUMO
O propósito deste estudo era compreender e aprofundar práticas avaliativas de
professores de Matemática do ensino secundário que contribuíssem para a promoção de
uma atitude autorreguladora do aluno, face à sua aprendizagem matemática. A atenção
dada à autorregulação da aprendizagem matemática justifica-se pela relevância que
apresenta na aprendizagem, em particular, no sucesso nas tarefas matemáticas que o
professor propõe. Para tal, foram formuladas as seguintes questões: Qual a natureza e as
características das práticas avaliativas de professores de Matemática, trabalhadas num
contexto de trabalho de natureza colaborativa, que procuram promover a autorregulação
da aprendizagem? De que forma os professores de Matemática procuram integrar as
práticas avaliativas para promover a autorregulação no quotidiano da sala de aula? De
que modo as práticas avaliativas desenvolvidas contribuem para promover a
autorregulação das aprendizagens matemáticas? Que constrangimentos encontram os
professores de Matemática para a promoção de atitudes autorreguladoras da
aprendizagem matemática? Como procuram ultrapassá-los? O contexto de trabalho de
natureza colaborativa, durante dois anos letivos, consistiu na planificação, concretização
e reflexão de duas práticas avaliativas: a interação professor – alunos na aula e o
relatório escrito em duas fases. Numa perspetiva interpretativa, a metodologia
qualitativa permitiu aceder à realidade observada, na qual participei. Foram estudados
dois professores de Matemática, como estudo de casos. A recolha de dados incluiu a
observação de sessões de trabalho e de aulas, a entrevista e a recolha documental. A
análise de dados decorreu de forma integrativa, analítica, criadora e intuitiva. Das
principais conclusões, destaco: nas práticas avaliativas verificam-se evoluções para uma
perspetiva de avaliação centrada no aluno, assumindo uma abrangência que ultrapassa a
autoavaliação; a autorregulação desenvolve-se ao longo do tempo através de práticas
avaliativas que privilegiam a avaliação formativa; não se identificam diferenças
significativas na promoção da autorregulação em Trigonometria, em Geometria ou em
Funções; os professores apresentam dificuldades na atribuição de feedback e na sua
diversificação; o recurso a uma tabela de descritores ajuda à responsabilização dos
alunos e favorece a atribuição de feedback.
Palavras-chave: práticas avaliativas; autorregulação; aprendizagem matemática; ensino
secundário e trabalho colaborativo.
iii
iv
ABSTRACT
The purpose of this study was to understand and deepen the assessment practices
of Mathematics teachers at a high school level that would contribute to the promotion of
an auto-regulatory attitude from students, when dealing with learning mathematics. The
focus on the development of self-regulation of learning mathematics is justified by the
relevance that has on learning, particularly in success in mathematical tasks that the
teacher proposes. This study was guided by questions: What is the nature and the
characteristics of the assessment practices of Mathematics teachers, crafted in a
collaborative nature project, seeking to promote self-regulated learning? In what way do
Mathematics teachers seek to integrate these assessment practices to promote selfregulation daily in classrooms? In what way do, those assessment practices, contribute
to promote self-regulation in the learning of Mathematics? What sort of constraints do
Mathematics teachers find in promoting self-regulatory attitudes of Mathematics
learning? How can these be overcome? In a work context of collaborative nature, over
two years of teaching and consisting of planning, execution and reflection of two
assessment practices: the teacher - student interaction in class and in the two phased
written report. In an interpretative perspective, the qualitative methodology allowed
access to the observed reality, in which I took part in. Two Mathematics teachers were
used as case studies. Data collecting included observation, work sessions and classes,
interview and document gathering. The data analysis was held in an integrative,
analytic, creative and intuitive way. The main findings, highlight: in assessment
practices there are developments for a prospective student-centered assessment,
assuming a scope that goes beyond the self-assessment; not identify significant
differences in the promotion of self-regulation in Trigonometry, Geometry or Functions;
self-regulation develops up over time through assessment practices that focus on
formative assessment; teachers have difficulties in assigning feedback and
diversification; the use of a table of descriptors aid accountability and fosters students'
assignment feedback.
Key words: assessment practices; self-regulation; mathematics learning; secondary
school; collaborative work.
v
vi
ÍNDICE
AGRADECIMENTOS................................................................................................... i
RESUMO .................................................................................................................... iii
ABSTRACT ................................................................................................................. v
ÍNDICE ...................................................................................................................... vii
ÍNDICE DE FIGURAS ................................................................................................ xi
ÍNDICE DE QUADROS............................................................................................ xiii
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO ................................................................................... 1
Motivações pessoais .................................................................................................. 1
Problema e questões do estudo .................................................................................. 4
Enquadramento do problema ..................................................................................... 5
Organização do estudo .............................................................................................. 8
CAPÍTULO 2 – PRÁTICA LETIVA NO ENSINO DA MATEMÁTICA ................... 11
Planificação ............................................................................................................ 11
Propósitos na construção e/ou seleção das tarefas ................................................ 11
Seleção de estratégias de avaliação ...................................................................... 16
Síntese ................................................................................................................ 19
Concretização na sala de aula .................................................................................. 20
Comunicação na aula de Matemática ................................................................... 20
Métodos de trabalho ............................................................................................ 24
Processos na atividade da aula de Matemática ..................................................... 27
Avaliação integrada no processo ensino aprendizagem ........................................ 30
Síntese ................................................................................................................ 32
Prática reflexiva e colaboração ................................................................................ 33
O professor como praticante reflexivo ................................................................. 33
O conceito de colaboração................................................................................... 36
Síntese ................................................................................................................ 39
CAPÍTULO 3 – A AVALIAÇÃO REGULADORA EM MATEMÁTICA .................. 41
O conceito de avaliação reguladora em Matemática ................................................ 41
Significado e adequação à aprendizagem ............................................................. 41
Natureza .............................................................................................................. 44
vii
Princípios e constrangimentos ............................................................................. 47
Funções ............................................................................................................... 51
Autorregulação.................................................................................................... 53
Avaliação, ensino e aprendizagem ....................................................................... 59
Síntese ................................................................................................................ 62
Práticas avaliativas na sala de aula .......................................................................... 63
A observação ...................................................................................................... 63
Explicitação/negociação dos critérios de avaliação .............................................. 64
Abordagem positiva do erro ................................................................................ 65
Interações professor – aluno ................................................................................ 66
Refletir antes de agir ........................................................................................... 68
Feedback ............................................................................................................. 69
Recurso a instrumentos alternativos para a avaliação ........................................... 72
Síntese ................................................................................................................ 73
CAPÍTULO 4 – METODOLOGIA ............................................................................. 77
Opções Metodológicas ............................................................................................ 78
Natureza do estudo .............................................................................................. 78
Design do estudo ................................................................................................. 79
Papel do investigador .......................................................................................... 79
Contexto de trabalho de natureza colaborativa ..................................................... 81
Participantes............................................................................................................ 84
A escola .............................................................................................................. 84
Os professores ..................................................................................................... 85
O professor José .............................................................................................. 86
A professora Maria .......................................................................................... 87
Os alunos ............................................................................................................ 88
Recolha de dados .................................................................................................... 90
Observação ......................................................................................................... 90
Entrevista ............................................................................................................ 94
Recolha documental ............................................................................................ 95
Análise de dados ..................................................................................................... 97
Procedimento ...................................................................................................... 97
Categorias ........................................................................................................... 98
viii
CAPÍTULO 5 – O TRABALHO DE NATUREZA COLABORATIVA ................... 105
O grupo ................................................................................................................. 105
Constituição ...................................................................................................... 105
Caracterização dos professores .......................................................................... 106
O trabalho do grupo .............................................................................................. 107
Motivação ......................................................................................................... 107
Organização e funcionamento ........................................................................... 108
Os temas tratados .............................................................................................. 111
O trabalho realizado .......................................................................................... 114
Reflexão do grupo sobre o projeto ..................................................................... 130
CAPÍTULO 6 – JOSÉ .............................................................................................. 135
Apresentação......................................................................................................... 135
Experiência profissional .................................................................................... 136
Práticas avaliativas ................................................................................................ 143
A interação professor - alunos na aula (IP-A) .................................................... 144
Antes da aula ................................................................................................. 144
Durante a aula ............................................................................................... 153
Depois da aula ............................................................................................... 176
O relatório escrito em duas fases (RE) ............................................................... 182
Antes da aula ................................................................................................. 182
Durante a aula ............................................................................................... 192
Depois da aula ............................................................................................... 214
Constrangimentos ................................................................................................. 219
Síntese .................................................................................................................. 222
CAPÍTULO 7 – MARIA .......................................................................................... 225
Apresentação......................................................................................................... 225
Experiência profissional .................................................................................... 226
Práticas avaliativas ................................................................................................ 233
A interação professor - alunos na aula (IP-A) .................................................... 234
Antes da aula ................................................................................................. 234
Durante a aula ............................................................................................... 242
Depois da aula ............................................................................................... 264
O relatório escrito em duas fases (RE) ............................................................... 271
Antes da aula ................................................................................................. 271
Durante a aula ............................................................................................... 278
ix
Depois da aula ............................................................................................... 291
Constrangimentos ................................................................................................. 294
Síntese .................................................................................................................. 297
CAPÍTULO 8 – CONCLUSÕES .............................................................................. 299
Síntese do estudo................................................................................................... 299
Conclusões do estudo ............................................................................................ 302
Natureza e características das práticas avaliativas promotoras da autorregulação da
aprendizagem Matemática ................................................................................. 302
Integração ensino, aprendizagem e avaliação na aula de Matemática ................. 310
Comportamento autorregulado dos alunos em Matemática ................................ 314
Constrangimentos à promoção da autorregulação e formas de os ultrapassar ..... 318
Considerações finais.............................................................................................. 322
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS....................................................................... 325
LEGISLAÇÃO REFERIDA ..................................................................................... 343
ANEXOS .................................................................................................................. 345
Anexo 01: Grelha de observação de aula ............................................................... 347
Anexo 02: Guião da primeira entrevista a professores ........................................... 350
Anexo 03: Guião da segunda entrevista a professores ............................................ 352
Anexo 04: Programação da 2.ª fase do trabalho de natureza colaborativa .............. 353
Anexo 05: Tarefa T1 – Triângulos......................................................................... 354
Anexo 06: Tarefa T2 – Eratóstenes........................................................................ 355
Anexo 07: Tarefa T3 – Periélio (Terra) ................................................................. 356
Anexo 08: Tarefa T4 – Círculo trigonométrico ...................................................... 357
Anexo 09: Tarefa T5 – Cone ................................................................................. 358
Anexo 10: Tarefa T6 – A Maria vai sempre de Carro ............................................ 359
Anexo 11: Tarefa T7 – Escrever no computador.................................................... 360
Anexo 12: Tarefa T8 – Nódoa circular .................................................................. 361
Anexo 13: Guião analisado pelo grupo de trabalho colaborativo............................ 362
x
ÍNDICE DE FIGURAS
FIGURA 1: JORNAL "PÚBLICO" DE 27/08/2001 .............................................................. 50
FIGURA 2: 1.ª FASE DO PRODUTO DE DAVIDE NA T2 ..................................................... 192
FIGURA 3: 2.ª FASE DO PRODUTO DE DAVIDE NA T2 ..................................................... 193
FIGURA 4: 1.ª FASE DO PRODUTO DE MAGDA NA T2 – ITEM 4. ...................................... 193
FIGURA 5: 2.ª FASE DO PRODUTO DE MAGDA NA T2 – ITEM 4. ...................................... 194
FIGURA 6: 1.ª FASE DO PRODUTO DE DAVIDE NA T4 – ITEM 1.1., COM FEEDBACK .......... 196
FIGURA 7: 1.ª FASE DO PRODUTO DE DAVIDE NA T4 – ITENS 2.1. E 2.2., COM FEEDBACK 197
FIGURA 8: 2.ª FASE DO PRODUTO DE DAVIDE NA T4 - ITENS 2.1. E 2.2........................... 197
FIGURA 9: 2.ª FASE DO PRODUTO DE DAVIDE NA T4 - ITEM 1.1. .................................... 198
FIGURA 10: 1.ª FASE DO PRODUTO DE MAGDA NA T7 ................................................... 198
FIGURA 11: 2.ª FASE DO PRODUTO DE MAGDA NA T7 ................................................... 199
FIGURA 12: 1.ª FASE DO PRODUTO DE RUTE NA T7....................................................... 200
FIGURA 13: 2.ª FASE DO PRODUTO DE RUTE NA T7....................................................... 200
FIGURA 14: 1.ª FASE DO PRODUTO DE MAGDA NA T2- ITEM 5. ...................................... 201
FIGURA 15: 2.ª FASE DO PRODUTO DE MAGDA NA T3 ................................................... 202
FIGURA 16: 1.ª FASE DO PRODUTO DE DAVIDE NA T4, COM FEEDBACK ......................... 203
FIGURA 17: 1.ª FASE DO PRODUTO DE RUTE NA T2- ITEM 4. ......................................... 204
FIGURA 18: 2.ª FASE DO PRODUTO DE RUTE NA T2- ITEM 4. ......................................... 204
FIGURA 19: 1.ª FASE DO PRODUTO DE ALEXANDRE NA T4 ............................................ 205
FIGURA 20: 2.ª FASE DO PRODUTO DE ALEXANDRE NA T4 ............................................ 206
FIGURA 21: 1.ª FASE DO PRODUTO DE DAVIDE NA T7, COM FEEDBACK ......................... 207
FIGURA 22: 2.ª FASE DO PRODUTO DE DAVIDE NA T7 ................................................... 207
FIGURA 23: 1.ª FASE DO PRODUTO DE CARLOS E JOANA NA T1 ..................................... 263
FIGURA 24: 1.ª FASE DO PRODUTO DE ANDREIA E PATRÍCIA NA T1 ............................... 263
FIGURA 25: 1.ª FASE DO PRODUTO DE CARLOS E JOANA NA T6 ..................................... 263
FIGURA 26: 1.ª FASE DO PRODUTO DE ANDREIA NA T2 ................................................. 279
FIGURA 27: 1.ª FASE DO PRODUTO DE CARLOS NA T2 .................................................. 280
FIGURA 28: 2.ª FASE DO PRODUTO DE CARLOS NA T2 .................................................. 280
FIGURA 29: 1.ª FASE DO PRODUTO DE JOANA NA T3 ..................................................... 281
FIGURA 30: 1.ª FASE DO PRODUTO DE PATRÍCIA NA T6................................................. 282
FIGURA 31: 2.ª FASE DO PRODUTO DE PATRÍCIA NA T6................................................. 282
xi
FIGURA 32: 1.ª FASE DO PRODUTO DE ANDREIA NA T6 ................................................. 284
FIGURA 33: 2.ª FASE DO PRODUTO DE ANDREIA NA T6 ................................................. 284
FIGURA 34: 2.ª FASE DO PRODUTO DE JOANA NA T2 ..................................................... 285
FIGURA 35: 1.ª FASE DO PRODUTO DE CARLOS NA T3 .................................................. 286
FIGURA 36: 1.ª FASE DO PRODUTO DE PATRÍCIA NA T3................................................. 286
FIGURA 37: 2.ª FASE DO PRODUTO DE PATRÍCIA NA T3................................................. 287
xii
ÍNDICE DE QUADROS
QUADRO 1: FUNÇÕES DA AVALIAÇÃO FORMATIVA ....................................................... 52
QUADRO 2: CARATERÍSTICAS DE UM MODELO AVALIATIVO CENTRADO NO ALUNO ......... 66
QUADRO 3: CRITÉRIOS DE SELEÇÃO DOS PROFESSORES - CASOS ..................................... 87
QUADRO 4: CRITÉRIOS DE SELEÇÃO DOS ALUNOS DO 10.º P ........................................... 89
QUADRO 5: CRITÉRIOS DE SELEÇÃO DOS ALUNOS DO 10.º A .......................................... 90
QUADRO 6: CALENDARIZAÇÃO DAS AULAS OBSERVADAS .............................................. 91
QUADRO 7: AULAS
ASSISTIDAS E ANALISADAS DE CADA PROFESSOR E RESPETIVAS
TAREFAS .............................................................................................................. 91
QUADRO 8: QUESTÕES DE INVESTIGAÇÃO E GRELHA DE OBSERVAÇÃO DE AULAS ........... 92
QUADRO 9: QUESTÕES
DE INVESTIGAÇÃO E ASPETOS OBSERVADOS NAS SESSÕES DE
TRABALHO ........................................................................................................... 94
QUADRO 10: CATEGORIAS DE ANÁLISE DO MOMENTO ANTES DA AULA ........................ 100
QUADRO 11: CATEGORIAS DE ANÁLISE DO MOMENTO DURANTE A AULA (IP-A) ........... 102
QUADRO 12: CATEGORIAS DE ANÁLISE DO MOMENTO DURANTE A AULA (RE) ............. 102
QUADRO 13: CATEGORIAS DE ANÁLISE DO MOMENTO DEPOIS DA AULA ....................... 103
QUADRO 14: TRABALHO
DESENVOLVIDO PARA A
1.ª
FASE DE TRABALHO DE NATUREZA
COLABORATIVA.................................................................................................. 110
QUADRO 15: TRABALHO
DESENVOLVIDO PARA AS
2.ª
E
3.ª
FASES DE TRABALHO DE
NATUREZA COLABORATIVA ................................................................................ 112
QUADRO 16: CARATERIZAÇÃO DAS TAREFAS - IMPROVE .......................................... 121
QUADRO 17: RESUMO DA APLICAÇÃO DO MÉTODO IMPROVE ÀS TAREFAS ................. 122
QUADRO 18: CLASSIFICAÇÃO DAS TAREFAS QUANTO À SUA NATUREZA ....................... 124
QUADRO 19: TAREFA/OBJETIVO GERAL/MÉTODO DE TRABALHO EM IP-A (JOSÉ) .......... 153
QUADRO 20: TIPO(S) DE INTERVENÇÃO DE JOSÉ PARA A AUTORREGULAÇÃO DA RESPOSTA
EM IP-A ............................................................................................................. 169
QUADRO 21: TIPO(S)
DE INTERVENÇÃO DE
JOSÉ
PARA A AUTORREGULAÇÃO DO
DESEMPENHO EM IP-A........................................................................................ 175
QUADRO 22: DIFICULDADES QUE AFETARAM A PRÁTICA IP-A (JOSÉ) .......................... 181
QUADRO 23: RUBRICA
PARA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE MATEMÁTICA NÃO
ESTRUTURADOS.................................................................................................. 185
QUADRO 24: TAREFA/OBJETIVO GERAL/MÉTODO DE TRABALHO EM RE (JOSÉ)............. 191
xiii
QUADRO 25: TIPO(S) DE INTERVENÇÃO DE JOSÉ PARA A AUTORREGULAÇÃO DA RESPOSTA
EM RE ............................................................................................................... 208
Q UADRO 26: TIPO(S)
DE INTERVENÇÃO DE
JOSÉ
PARA A AUTORREGULAÇÃO DO
DESEMPENHO EM RE ......................................................................................... 214
QUADRO 27: DIFICULDADES
QUE AFETARAM A PRÁTICA DE FEEDBACK ESCRITO DE JOSÉ
.......................................................................................................................... 218
QUADRO 28: TAREFA/OBJETIVO GERAL/MÉTODO DE TRABALHO EM IP-A (MARIA) ...... 242
QUADRO 29: TIPO(S)
DE INTERVENÇÃO DE
MARIA
PARA A AUTORREGULAÇÃO DA
RESPOSTA EM IP-A ............................................................................................. 256
QUADRO 30: TIPO(S)
DE INTERVENÇÃO DE
MARIA
PARA A AUTORREGULAÇÃO DO
DESEMPENHO EM IP-A........................................................................................ 264
QUADRO 31: DIFICULDADES QUE AFETARAM A PRÁTICA IP-A (MARIA) ....................... 270
QUADRO 32: TAREFA/OBJETIVO GERAL/MÉTODO DE TRABALHO EM RE (MARIA) ......... 278
QUADRO 33: TIPO(S)
DE INTERVENÇÃO DE
MARIA
PARA A AUTORREGULAÇÃO DA
RESPOSTA EM RE ............................................................................................... 287
QUADRO 34: TIPO(S)
DE INTERVENÇÃO DE
MARIA
PARA A AUTORREGULAÇÃO DO
DESEMPENHO EM RE .......................................................................................... 291
QUADRO 35: DIFICULDADES QUE AFETARAM A PRÁTICA DE FEEDBACK ESCRITO DE MARIA
.......................................................................................................................... 294
QUADRO 36: CARATERÍSTICAS DAS PRÁTICAS DE JOSÉ E MARIA EM IP-A (SÍNTESE)..... 305
QUADRO 37: CARATERÍSTICAS DAS PRÁTICAS DE JOSÉ E MARIA EM RE (SÍNTESE) ....... 308
xiv
CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO
Motivações pessoais
A minha inquietude acerca dos processos, recursos, erros e dificuldades com que
os alunos se confrontam no processo de aprendizagem e das consequências que as
mesmas têm para o seu percurso escolar, levaram-me a refletir sobre a avaliação no
ensino secundário, em Matemática, e a procurar aprofundar os meus conhecimentos
acerca desta problemática. Ao questionar a minha prática, como professor de
Matemática do ensino secundário, levou-me a procurar explicações e a refletir sobre a
natureza dos problemas para compreender e mudar. A minha necessidade de
conhecimento advém de procurar incluir na avaliação os progressos que verifico nos
alunos, ao nível das aprendizagens, a compreensão das dificuldades e dos raciocínios
erróneos com que os alunos se confrontam e a valorização dos conhecimentos,
capacidades e atitudes transversais que os alunos adquirem ao longo do seu percurso
escolar e de vida.
Enquadrando-me numa perspetiva de que o conhecimento sobre os diferentes
aspetos do processo de aprendizagem ajudam o aluno a tornar-se num elemento
autónomo e impulsionador do seu próprio conhecimento, procurei saber mais para
concretizar uma avaliação reguladora eficaz no favorecimento da aprendizagem. Mas,
para tal, era necessário investigar os processos e as interações que os alunos
desenvolvem quando se confrontam com as diferentes tarefas matemáticas. Reforçar o
papel do aluno na aula de Matemática passa, necessariamente, por ajustar as formas de
avaliação às experiências de aprendizagem.
Na investigação que realizei para obter o grau de mestre estudei os processos que
os alunos, do ensino secundário, usam como forma de dar resposta às dificuldades,
obstáculos e aos raciocínios erróneos com que se confrontam nas investigações
matemáticas. Nesse trabalho, relato os processos de interpretação, os processos de
desenvolvimento, os recursos, a função dos erros e a reflexão que os alunos do ensino
secundário desenvolvem quando se confrontam com investigações matemáticas, num
contexto de sala de aula. Esse estudo, proporcionou-me várias aprendizagens ao nível
do conhecimento das formas de enfrentar e analisar situações que se colocam na sala de
1
aula, dos contextos criados para a aprendizagem e avaliação, do caráter único, incerto e
de conflito do processo ensino aprendizagem e da necessidade de assumir valores,
opções e estratégias de ação com vista a resolver problemas. Ainda, considero que foi
uma oportunidade de contribuir para o conhecimento da problemática da avaliação e
para a compreensão de que os professores de Matemática, no desenvolvimento da sua
atividade, têm um papel determinante no seu próprio desenvolvimento profissional.
Na procura de um maior equilíbrio entre a avaliação com as funções de
certificação e de regulação, em 2005, preconizava o reforço do papel do aluno no
processo ensino aprendizagem e, necessariamente, o ajuste das formas de avaliação às
experiências de aprendizagem:
É sabido que o currículo português tem evoluído no sentido de valorizar
a integração da avaliação no processo ensino aprendizagem, em
particular da avaliação formativa, mas é necessário investigar para saber
até que ponto as orientações curriculares emanadas pelos programas de
Matemática A, Matemática B e Matemática Aplicada às Ciências Sociais,
que entraram em vigor em setembro de 2004, estão a ser concretizadas.
Sem compreender a forma como os professores percecionam as
orientações curriculares, como as colocam em prática e como
ultrapassam as dificuldades que surgem na concretização da avaliação
reguladora não é possível intervir no processo ensino aprendizagem.
(Dias, 2005, p. 225)
Partindo desse pressuposto, em que os alunos podem em qualquer momento
melhorar a sua eficácia matemática, e que esse processo passa por uma autoconsciência
de atuação do próprio aluno, preconizei a minha intervenção através do projeto AREA1,
que servisse a autorregulação das aprendizagens. Para capacitar os alunos é muito
importante a partilha de opiniões, e ouvir a opinião de professores exteriores mas no
mesmo contexto (Boavida, 2005; Stein & Smith, 1998). Essa foi uma das vantagens de
fazer parte da equipa do projeto AREA. Usufrui da possibilidade de contactar com
professores e investigadores dos vários níveis de ensino. Esse trabalho colaborativo
permitiu-me conhecer as dificuldades que os professores e os alunos sentem, numa faixa
etária diferente ou na mesma daquela em que leciono, e confrontar as dificuldades
desses professores com as que eu encontro. Também, procurei saber a opinião das
pessoas sobre as minhas dificuldades, o que me ajudou a renovar as metodologias que
podem contribuir para ajudar os alunos a ultrapassar dificuldades, obstáculos e
1
Avaliação Reguladora
PTDC/CED/64970/2006.
no
Ensino
e
Aprendizagem:
2
projeto
financiado
pela
FCT,
nº
raciocínios erróneos – a autorregularem-se. As opiniões diversificadas serviram para
aprofundar o meu conhecimento sobre os dilemas que enfrento e, também, para
compreender a natureza dos problemas dos professores e dos alunos na aula de
Matemática. Outras vertentes interessantes do projeto AREA foram a possibilidade que
os professores tinham de aceder a bibliografia sobre a temática da regulação da
aprendizagem e estudar a aplicação de práticas avaliativas. As atividades de reflexão e
investigação, em que me envolvi, podiam contemplar o saber teórico, mas para o
aprofundar e encontrar formas de o tornar operacional foi necessário equacionar o
retorno da sua aplicação no contexto da sala de aula.
Hoje, acredito de forma fundamentada que a avaliação reguladora fornece ao
professor e aos alunos o nível de concretização das aprendizagens e o que é necessário
fazer para corrigi-las ou melhorá-las. Permite conhecer os saberes, as capacidades e as
atitudes, fazendo o ponto da situação e tornando conscientes as diferenças entre os
desempenhos dos alunos e os critérios de avaliação, para que se possam aproximar
(Andrade & Valtcheva, 2009).
Levar à prática a concretização da avaliação reguladora, passa por ajustar de forma
mais sistemática e individualizada as intervenções do professor e as situações didáticas,
de forma a rentabilizar as aprendizagens. Isso exige que a avaliação usada durante o
processo ensino aprendizagem seja orientada para a regulação, na assunção de que todos
os alunos aprendem, embora de uma forma diferenciada. Privilegiando a vertente
formativa da avaliação, o conhecimento dos diversos processos que os alunos usam na
interpretação e desenvolvimento dos recursos que procuram quando sentem
dificuldades, a função que atribuem aos raciocínios erróneos e como refletem sobre a
aprendizagem matemática e reorientam o seu trabalho com vista ao sucesso,
autorregulando as aprendizagens, levou-me a procurar, nesta área, uma formação
aprofundada ao nível da investigação em educação.
Assim, tendo em conta as minhas reflexões, decidi, desenvolver em contexto de
trabalho colaborativo, este estudo para procurar compreender as práticas letivas dos
professores de Matemática e a forma como se relacionam com o desenvolvimento da
capacidade de autorregulação da aprendizagem da Matemática no 11.º ano, em
Trigonometria, Geometria e Funções. Um maior conhecimento nos modos de avaliação
autorreguladora das aprendizagens matemáticas contribui para um maior conhecimento
acerca da didática da Matemática, da prática letiva dos professores e da compreensão
das atitudes dos alunos.
3
Problema e questões do estudo
Com este estudo analiso para compreender práticas avaliativas de professores de
Matemática do ensino secundário que contribuam para a promoção de uma atitude
autorreguladora do aluno, face à sua aprendizagem Matemática. O enfoque no
desenvolvimento da autorregulação da aprendizagem matemática justifica-se pela
relevância que apresenta para a aprendizagem, em particular, no sucesso nas tarefas
matemáticas que o professor propõe (Santos, 2002; Schunk, 2005). Trata-se da
capacidade do aluno avaliar a execução de uma tarefa e fazer correções quando
necessário. É um conjunto de ações, que o aluno desenvolve, para efetuar a
monitorização do seu trabalho (Schunk & Zimmerman, 1998). Inclui a autoavaliação,
por ultrapassar uma apreciação realizada tendo em conta um conjunto de critérios
implícitos ou explícitos, e por dar atenção ao envolvimento do aluno nas tarefas, à
compreensão, à eficácia, e à busca de recursos para a melhoria das aprendizagens. Por
outras palavras, a autorregulação é todo o processo em que o aluno, após o
estabelecimento de metas que interagem com as suas expectativas, desenvolve as
estratégias necessárias para alcançá-las, criando condições para que a sua aprendizagem
se efetive (Bronson, 2000; Pintrich, 2000; Simão, 2002, 2005, 2006; Zimmerman,
2000).
Para essa promoção, dois professores (casos) e eu (investigador) envolvemo-nos
num contexto de trabalho de natureza colaborativa. A partir da seleção de tarefas e de
práticas avaliativas, que incluem a sua planificação, concretização e reflexão,
desenvolvi o estudo tendo em conta as seguintes questões orientadoras:
1.
Qual a natureza e as características das práticas avaliativas de professores de
Matemática, trabalhadas num contexto de trabalho de natureza colaborativa, que
procuram promover a autorregulação da aprendizagem?
2.
De que forma os professores de Matemática procuram integrar as práticas
avaliativas para promover a autorregulação no quotidiano da sala de aula?
3.
De que modo as práticas avaliativas desenvolvidas contribuem para promover a
autorregulação das aprendizagens matemáticas?
4.
Que constrangimentos encontram os professores de Matemática para a promoção de
atitudes autorreguladoras da aprendizagem matemática?
ultrapassá-los?
4
Como procuram
Enquadramento do problema
Segundo Ponte (2002a) o ensino da Matemática desenvolve-se em torno de um
triângulo cujos vértices são a Matemática, o aluno e o professor. Este triângulo não é
estático nem existe no vazio. Existe num dado contexto social e institucional (a
sociedade, a comunidade a que o aluno pertence com a sua cultura própria, a instituição
escolar…) e tem a sua dinâmica associada aos objetivos curriculares visados pelo
professor. Por estes e outros fatores, o ensino da Matemática depende muito da prática
letiva que o professor promove e, em consequência disso, da postura do aluno perante a
aprendizagem da matemática. O professor interpreta o currículo, planifica a sua
concretização, pesquisa e constrói tarefas, implementa-as e avalia, à luz das suas
convicções e daquilo que são os seus atributos profissionais. Mas, na dinâmica da aula,
há outros fatores a considerar, entre eles, os que estão relacionados com os alunos, as
atitudes em relação à Matemática, os conhecimentos, as capacidades, as experiências de
trabalho matemático e as vontades de aprender Matemática.
O estudo da prática de ensino do professor de Matemática ganha relevância na
procura de entendimento para a sua atuação na sala de aula (Ponte & Chapman, 2006).
Para além dos conhecimentos e crenças, o conhecimento do sentido dado às decisões
que toma contribui para aprofundar a compreensão sobre o modo como o professor de
Matemática atua na sala de aula. As práticas de ensino da Matemática são descritas à luz
da tentativa de conciliação das abordagens de cunho cognitivista e de cunho
sociocultural, tendo em conta os motivos do professor, o contexto social e o contexto
educativo, o contexto turma, o conhecimento profissional do professor, o saber-fazer do
professor e a capacidade reflexiva do professor (Ponte, Quaresma & Branco, 2012).
Na prática de ensino desenvolvida pelo professor, a prática avaliativa assume
especial relevância. É através da avaliação que o professor recolhe a informação que lhe
permite apreciar o progresso dos alunos na disciplina e, em particular, diagnosticar
problemas e insuficiências no desenvolvimento da aprendizagem e no seu trabalho,
verificando da necessidade (ou não) de alterar a sua planificação e a sua ação didática
(Pinto & Santos, 2006). A avaliação deve, por isso, fornecer informações relevantes e
substantivas sobre o estado das aprendizagens dos alunos, no sentido de ajudar o
professor a gerir o processo ensino aprendizagem (Stiggins, 2004). Trata-se de uma
perspetiva de avaliação ao serviço da aprendizagem (Keitel, 2005; Santos, 2008), isto é,
5
uma avaliação que não se identificando com uma medida, seja sobretudo encarada como
uma interação social (Pinto & Santos, 2006).
A avaliação faz parte dos processos de regulação do ensino e da aprendizagem e,
por isso, denominada por avaliação reguladora, por fornecer ao professor e aos alunos
informação relevante sobre o nível de concretização das aprendizagens. Assim, a prática
avaliativa deverá melhorar o ensino e a aprendizagem de diversas maneiras: as tarefas
utilizadas na avaliação poderão transmitir aos alunos algumas informações sobre que
tipo de conhecimento e desempenho matemático é valorizado (processo de regulação);
os comentários às tarefas de avaliação ajudarão os alunos na determinação dos
objetivos, assumindo a responsabilidade da sua própria aprendizagem e aprendendo de
forma mais independente (processo de feedback); as discussões de turma, onde os
alunos apresentam e avaliam diferentes tipos de resolução de problemas complexos,
poderão estimular a sua perceção da diferença entre uma resposta excelente e uma
medíocre (processo de regulação); e através de tarefas adequadas e da discussão de
critérios de avaliação poderá ser desenvolvida a autoavaliação (processo de feedback)
(Lew et al., 2010; Santos, 2002; Rust, Price & Donovan, 2003; NCTM, 2007),
considerando a autoavaliação como uma reflexão sobre o trabalho desenvolvido,
baseada em critérios implícitos ou explícitos, e que toma em linha de conta os
referenciais envolvidos para a concretização da tarefa.
Nesse sentido, o aluno deve ser envolvido na sua própria avaliação como sujeito
ativo de forma a tornar-se consciente e a gerir a representação que tem dos
conhecimentos e capacidades a desenvolver. Não é suficiente avaliar se os alunos
dominam factos e algoritmos ou a listagem de atitudes, capacidades e conhecimentos
preconizadas nos currículos e programas. É necessário que a avaliação reflita o ensino e,
nesse sentido, as questões têm de ser construídas para que, quando se analisam as
respostas dos alunos se tenha uma ideia de como eles organizam a informação (Price et
al., 2010). A atribuição de uma maior visibilidade ao papel que o aluno tem na
construção do próprio conhecimento passa por o professor dar uma atenção especial aos
processos de feedback, de regulação, de autoavaliação e de autorregulação das
aprendizagens (Lew et al., 2010; Santos, 2002).
A regulação da aprendizagem nas tarefas matemáticas, entendida como
autorregulação quando é efetuada pelo próprio, refere-se ao envolvimento do aluno nas
tarefas, promovendo a compreensão, a eficácia, e a busca dos recursos necessários à
construção de respostas adequadas. Essas aprendizagens podem ser influenciadas por
6
fatores externos ao processo ensino aprendizagem. Em determinados contextos de
trabalho, os professores podem promover o desenvolvimento de estratégias de resposta,
estimular as condições metacognitivas do aluno, as habilidades e as motivações. Tanto a
metacognição, referida por Santos (2002), como a autorregulação, destacada por
Zimmerman (2000) e Schunk (2005), são processos que promovem a aprendizagem
matemática. Abrangem uma ação do aluno suscitada a partir das intenções e dos
objetivos da prática letiva, dos meios usados e do seu alcance.
Uma forma rica de a desenvolver é permitir que o aluno aperfeiçoe uma primeira
versão de um trabalho realizado, permitindo-lhe assim repensar a situação. Para que
esse trabalho possa ser mais formativo, o professor deverá comentar uma primeira
versão – feedback. Assim, o feedback é uma componente central para essa avaliação e
para a promoção da autorregulação das aprendizagens (Wiliam, 1999; Hattie &
Timperley, 2007; Semana & Santos, 2008; Santos et al., 2010). Mas, importa saber o
que caracteriza esse processo.
O professor tem um papel na criação de contextos que facilitem, nos seus alunos,
o desenvolvimento de atitudes de autorregulação (Santos, 2002). Para além do incentivo
à autorregulação (Brookhart et al., 2004), existem outras práticas que podem contribuir
para a concretização destas intenções (processos de regulação e de feedback): a
abordagem positiva do erro (Hadji, 1994); o questionamento (Mason, 2000; Santos,
2002; Roullier, 2004); a explicitação/negociação de critérios de avaliação (Alves, 2004;
Bobb-Wolff, 2002); o recurso a instrumentos alternativos de avaliação (Santos, 2005;
Santos & Menino, 2004); o feedback e a escrita avaliativa (Wiliam, 1999; Hattie &
Timperley, 2007; Semana & Santos, 2007); e o refletir antes de agir (Dias & Santos,
2008a).
Em Portugal, não existe uma grande tradição no desenvolvimento de estudos da
autorregulação das aprendizagens. Mas, existe evidência da importância que o processo
tem para a prática de ensino e aprendizagem (Simão, 2002; 2005; Santos et al.; 2010;
Rosário, Núñez, & González-Pienda, 2006). A literatura, quer portuguesa (Santos,
2002), quer estrangeira (Schunk, 2005), sugere que o sucesso nas tarefas que o
professor propõe passa, assim, pela capacidade de, usando os espaços formais e
informais de aprendizagem, promover nos alunos a autonomia, a eficácia e a capacidade
de trabalharem por si mesmos, por outras palavras, promover a aquisição, a utilização e
o desenvolvimento de estratégias de autorregulação da aprendizagem. Black e Wiliam
(1998), Gardner (2006) e Fernandes (2006a) referem que a avaliação pedagógica, em
7
que se destaca a preocupação com o funcionamento e a regulação dos processos de
interação pedagógica e de comunicação que se estabelecem nas salas de aula, é
determinante na melhoria dos resultados dos alunos.
A prática avaliativa inclui a ação do professor para a recolha de informação para
apreciar o desenvolvimento da aprendizagem, e para averiguar da existência de
problemas e insuficiências no seu trabalho. Essa prática inclui planificação,
concretização e reflexão por ser necessário recolher informação útil para o professor, e
para o aluno, e ser necessário equacionar alterações e adequações na ação didática. É
uma avaliação reguladora do ensino e da aprendizagem. Os professores podem usar
processos de regulação e de feedback. Para os processos de regulação contribui, por
exemplo, a seleção das tarefas, a organização de formas de trabalhos, o estímulo às
estratégias individuais e o apelo à articulação de ideias próprias pelos alunos. Dos
processos de feedback fazem parte os critérios de avaliação, as tabelas de descritores, o
questionamento, e a escrita avaliativa, entre outros. Mas, quando essa monitorização da
aprendizagem é concretizada pelo próprio aluno – autorregulação – inclui-se a reflexão
sobre o trabalho desenvolvido e as expectativas e estratégias desenvolvidas para alterar
um determinado estádio.
Organização do estudo
Para compreender as práticas avaliativas dos professores de Matemática que
procuram promover a autorregulação da aprendizagem matemática, dos alunos,
apresenta-se este trabalho organizado em oito capítulos.
Para além do capítulo 1, que introduz o estudo, no Capítulo 2, destacam-se os
pressupostos teóricos que suportam as práticas de ensino do professor de Matemática,
em que se descrevem os motivos do professor contextualizados na planificação, o
contexto, o conhecimento profissional, e o saber-fazer na concretização na sala de aula,
e a capacidade reflexiva na prática reflexiva e na reflexão.
No Capítulo 3, sobressaem o conceito de avaliação reguladora em Matemática e
possíveis formas de operacionalização – práticas avaliativas.
No Capítulo 4, descrevem-se as opções metodológicas e caracterizam-se os
participantes, a recolha e a análise de dados.
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No Capítulo 5, contextualiza-se a dinâmica de trabalho de natureza colaborativa
que suportou este estudo. Em particular, caracterizam-se o grupo e o trabalho
desenvolvido.
Nos Capítulos 6 e 7, apresentam-se os professores casos. Depois da apresentação
de cada um dos casos, as duas práticas avaliativas concretizadas encontram-se descritas
tendo em conta os momentos antes da aula, durante a aula e depois da aula.
No capítulo 8, apresentam-se as conclusões do presente estudo.
9
10
CAPÍTULO 2 – PRÁTICA LETIVA NO ENSINO DA
MATEMÁTICA
Neste estudo, a prática de ensino de Matemática é descrita à luz da tentativa de
conciliação das abordagens de cunho cognitivista e de cunho sociocultural, tendo em
conta os motivos do professor, o contexto social e o contexto educativo, o contexto
turma, o conhecimento profissional do professor, o saber-fazer do professor e a
capacidade reflexiva do professor (Ponte, Quaresma & Branco, 2012). O estudo das
práticas do professor de Matemática ganha relevância na procura de entendimento para
a sua atuação na sala de aula (Ponte & Chapman, 2006). Para além dos conhecimentos e
crenças, este estudo contribui para aprofundar a compreensão sobre o modo como o
professor de Matemática atua na sala de aula. Os princípios e as normas para a
matemática escolar (NCTM, 2007) referem que o ambiente de aprendizagem da sala de
aula marca decisivamente a Matemática que os alunos aprendem, o que aprendem sobre
ela e a sua relação com a disciplina. A dinâmica da aula resulta de muitos fatores
(Giménez, Santos & Ponte, 2004). Depende, em primeiro lugar, das tarefas matemáticas
propostas pelo professor e dos materiais que o aluno utiliza para as resolver (Ponte,
Brocardo, & Oliveira, 2003). Outros fatores podem ainda ser acrescentados, o professor,
o seu conhecimento e competência profissional, e o modo como propõe as tarefas e
apoia os alunos (Scheerens, 2004). Também Even e Tirosh (2002) referem que a cultura
da sala de aula é inseparável da aprendizagem da Matemática, uma vez que a
aprendizagem ocorre sempre num contexto sociocultural específico.
Planificação
Propósitos na construção e/ou seleção das tarefas
Para o ensino secundário, o Decreto – Lei nº 74/2004, de 26 de março, com as
alterações introduzidas pelo Decreto – Lei nº 24/2006, de 6 de fevereiro e atualizado
pelo n.º 139/2012, de 5 de julho, estabelece os princípios orientadores da organização e
da gestão do currículo, bem como da avaliação das aprendizagens. A par do combate ao
insucesso e abandono escolares, o documento refere como opção estratégica nacional
11
promover o aumento da qualidade das aprendizagens, indispensável à melhoria dos
níveis de desempenho e qualificação dos alunos e ao favorecimento da aprendizagem ao
longo da vida.
Assim, sobressai a importância das atividades a selecionar, as quais deverão
contribuir para o desenvolvimento do pensamento científico, levando o aluno a intuir,
conjeturar, experimentar, provar, avaliar e ainda para o reforço das atitudes de
autonomia e de cooperação (Ministério da Educação, 2001). Cabe ao professor, de
acordo com o contexto da turma, encontrar o equilíbrio entre o número de trabalhos
individuais, trabalhos de grupo, trabalhos de projeto e atividades investigativas, a
realizar dentro e fora da aula, assim como o espaço para a sua própria intervenção:
dinamizando, questionando, fazendo sínteses, e facultando informação. Para a
valorização desta vertente formativa da disciplina, é destacado o fomento de uma
atitude positiva do aluno face à Matemática e a adoção de estratégias que impliquem o
aluno na aprendizagem e desenvolvam a iniciativa (Ryve, Nilsson, & Mason, 2012).
É fundamental compreender o modo como o professor se relaciona com estes
documentos oficiais (Ponte, Quaresma & Branco, 2012) mas, quando se quer ter a
compreensão global da educação, eles estão longe de representar toda a realidade
curricular (Canavarro & Ponte, 2005). O professor tem de interpretar, gerir, planear e
pôr em prática as suas opções curriculares. Ao fazê-lo, faz intervir as suas conceções, o
seu saber e o seu conhecimento didático. A planificação é esse conjunto de opções
(curriculares) influenciado por aspetos inerentes à escola e ao professor:
Francisca viu-se perante uma situação incómoda de lidar com o
desvirtuamento de uma sua ideia através da planificação coletiva
realizada pelo grupo de colegas com que trabalha. Por um lado, custa-lhe
não adotar a estratégia que acabaria por resultar do grupo, correspondente
a uma face do currículo moldado coletivamente. Mas por outro lado, não
consegue adaptá-la, pois a simples utilização do material elaborado por
um dos colegas faz com que se perca aquilo que considera essencial: a
possibilidade de os alunos descobrirem por eles próprios o conhecimento
em causa. (Canavarro & Ponte, 2005, p. 85)
Canavarro e Ponte (2005) afirmam que é necessário dar atenção a todo o trabalho
de construção curricular em que se envolve o professor, nomeadamente o currículo em
ação, aquele que põe em prática na sala de aula, em interação com os alunos, para
compreender as suas ações.
Ponte (2005a) distingue dois níveis principais de planificação: nível macro,
planificação da prática letiva por ano, por período ou por unidade didática; nível micro,
12
que corresponde à realização na unidade letiva básica, a aula. A gestão curricular inclui
finalidades, objetivos de conteúdos, objetivos transversais, alunos, materiais, condições
e recursos e fatores de contexto escolar e social e pode ser feita de modo determinante
para toda a unidade ou então semana a semana ou mesmo aula a aula. Cada professor
escolhe o estilo que melhor se lhe adapta, filtrado pelo seu conhecimento profissional,
sendo certo que um protagonismo curricular efetivo exige uma atenção tanto ao nível
macro como micro, bastante planeamento e reflexão e ajustamentos em função do
desenvolvimento do trabalho (Ponte, 2005a). Para cada aula, o professor estabelece, de
modo explícito ou implícito, um plano de trabalho que concretiza alguns dos aspetos
previstos para a unidade.
A gestão curricular feita aula-a-aula não é uma simples atividade de aplicação e
concretização do trabalho de acordo com o plano estabelecido. O trabalho do professor
na preparação de cada aula é um trabalho criativo e ainda de gestão curricular, onde
explora as situações e as experiências que se desenvolvem, e reformula os objetivos e as
estratégias, em função dos acontecimentos (Ryve, Nilsson, & Mason, 2012).
No processo ensino aprendizagem, geralmente, são utilizadas tarefas
matemáticas para introduzir conceitos matemáticos e para envolver e desafiar
intelectualmente os alunos (Brunheira & Fonseca, 1996). As tarefas são as situações que
o professor propõe na sala de aula, a partir das quais a atividade se realiza. As tarefas
Matemáticas podem ser problemas, investigações, exercícios, projetos, construções,
jogos, apresentações orais, relatórios, composições escritas, etc…Constituem o ponto de
partida para o desenvolvimento da atividade Matemática do aluno (Christiansen &
Walther, 1986). A atividade do aluno, tanto física, como mental, diz respeito àquilo que
ele faz num dado contexto (Christiansen, 1997). Qualquer atividade inclui a execução
de numerosas ações. O objetivo da atividade é precisamente a tarefa, algo exterior ao
aluno. Uma tarefa tem de ser interpretada pelo aluno e pode dar origem a atividades
muito diversas, ou a nenhuma atividade, conforme a sua disposição e o ambiente de
aprendizagem da sala de aula.
A seleção de tarefas adequadas poderá despertar curiosidade e envolver os alunos
na Matemática. Tarefas significativas, só por si, não são suficientes para um ensino
eficaz. Os professores devem, também, ser capazes de responder adequadamente a
questões, tais como: determinar quais os aspetos a realçar numa dada tarefa? Como
organizar e orientar o trabalho dos alunos? Que perguntas fazer para desafiar os
13
diversos níveis de competência dos alunos? Como apoiá-los, sem interferir no seu
processo de pensamento eliminando, desta forma, o desafio? (NCTM, 2007).
Em Portugal, vários estudos de natureza qualitativa dão indicações sobre as tarefas
e os materiais usados pelos professores de diversos níveis de ensino (Bandarra, 2006;
Dias, 2005; Pires, 2001; Rocha, 2002). Nos programas faz-se apelo às dimensões que
Ponte (2005a) sugere como características fundamentais nas tarefas, o grau de desafio e
o grau de estrutura. O grau de desafio matemático, que varia entre desafio reduzido e
elevado, relaciona-se com a perceção da dificuldade de uma questão e constitui uma
dimensão usada para graduar as questões que se propõem aos alunos, tanto na sala de
aula, como em momentos especiais de avaliação, como testes e exames. O grau de
estrutura, aberto ou fechado, é uma dimensão que comporta um grau de indeterminação
significativo no que é dado, no que é pedido, ou em ambas as coisas. Outras dimensões
a ter em conta, sugeridas pelo mesmo investigador, são a duração e o contexto.
Segundo Stein, Remillard, e Smith (2007), a seleção das tarefas é uma questão
central no ensino da Matemática. A aprendizagem da Matemática é sempre produto da
atividade, e se esta se reduz, por exemplo, à resolução repetitiva de exercícios para
aplicação de certas fórmulas, é exatamente isto que se aprende e vai perdurar, enquanto
ficar a memória das fórmulas. Do ponto de vista de Stein e Smith (1998), as tarefas que
envolvem os alunos na execução de um procedimento memorizado, de maneira
rotineira, representam um tipo de oportunidade para os alunos pensarem, tarefas que
exigem que os alunos pensem conceptualmente e os estimulem a estabelecer conexões
representam outro tipo diferente de oportunidade. O efeito cumulativo, dia após dia, de
exploração na sala de aula, de diferentes tipos de tarefas conduz ao desenvolvimento de
ideias implícitas nos alunos sobre a natureza da Matemática e sobre se a Matemática é
algo de que eles podem pessoalmente compreender o sentido e quão longa e arduamente
devem trabalhar para o conseguir.
Este é, por exemplo, o caso da resolução de problemas que desempenha um papel
essencial na aprendizagem dos conteúdos matemáticos em geral, e na Trigonometria, na
Geometria e nas Funções em particular, e ajuda os alunos a estabelecerem conexões
entre estes e os conteúdos das diversas disciplinas. Este tipo de abordagem aos
conteúdos revela a Matemática enquanto disciplina com sentido, pela via da
compreensão, em vez de uma disciplina composta por regras para exercícios, dadas pelo
professor, para serem memorizadas e usadas pelos alunos (Chapin, O'Connor &
Anderson, 2009; NCTM, 2007). Os problemas são geralmente apresentados na forma de
14
uma sentença linguística. O aluno, para além da capacidade de ler e interpretar o texto
do problema para o resolver, deve ser capaz de relacionar a linguagem materna e a
linguagem matemática, distinguir o essencial do acessório e mobilizar os recursos
apropriados à resolução do mesmo. Na aplicação de problemas, o professor deverá,
também, ser reflexivo de modo a criar um ambiente no qual os alunos se sintam com
disposição para refletirem sobre o seu trabalho à medida que se envolvem nele.
Assim, a natureza das atividades a propor aos alunos e o papel do professor são
elementos vitais na construção do ambiente de aprendizagem, mas a estratégia a adotar
na organização do trabalho com os alunos também é fundamental (Godino, Batanero &
Font, 2004). Sendo importante considerar a diversidade de experiências de
aprendizagem que podem ser facultadas aos alunos, é necessário, também, dar atenção à
reflexão sobre a atividade desenvolvida. Os alunos aprendem não tanto a partir das
atividades práticas, mas a partir da reflexão que realizam sobre o que fizeram durante
essas atividades práticas (Ponte, 2005a). Também, Ertmer e Newby (1996) entendem
que a reflexão, nos processos de aprendizagem, é o ingrediente essencial para o
desenvolvimento dos alunos. Estes autores estudaram como os sujeitos utilizam o
conhecimento que têm sobre si próprios enquanto alunos, sobre as exigências das
tarefas e sobre os métodos utilizados conscientemente para selecionar, controlar e
monitorar as estratégias necessárias para alcançar uma aprendizagem significativa.
Baseados nesses estudos, estes autores criaram um modelo de aprendizagem que mostra
como o conhecimento metacognitivo das estratégias, consideradas cognitivas,
motivacionais e ambientais, é traduzido em termos de controlo autorregulador dos
processos de aprendizagem, por meio do pensamento reflexivo. O modelo de Ertmer e
Newby (1996) inclui os processos de planear, controlar e refletir, destacando, sobretudo
o caráter consciente desses processos. Na aprendizagem, o aluno estaria consciente de
um conhecimento específico, dos objetivos a alcançar, das estratégias necessárias para
alcançá-los, assim como do próprio processo no momento de seu acontecimento. Essa
atividade online, como muitos autores a caracterizam utilizando a metáfora
computacional (Santos, 2003a), traz como consequência o processo autorregulador. Os
indivíduos, hábeis meta-cognitivamente, teriam a capacidade de incorporar e aplicar
vários conhecimentos para aperfeiçoar o desempenho académico, transformando-se em
“bons alunos”. Seriam, por exemplo, capazes de saber o que sabem (conhecimento
declarativo), como utilizar o que sabem (conhecimento processual) e por que, onde e
15
quando utilizar o que sabem (conhecimento condicional, contextual), aplicando as
estratégias relevantes ao objetivo da atividade cognitiva.
Seleção de estratégias de avaliação
É através da avaliação que o professor recolhe a informação que lhe permite
apreciar o progresso dos alunos na disciplina e, em particular, diagnosticar problemas e
insuficiências na sua aprendizagem e no seu trabalho, verificando da necessidade (ou
não) de alterar a planificação e a ação didática. A avaliação deve, por isso, fornecer
informações relevantes e substantivas sobre o estado das aprendizagens dos alunos, no
sentido de ajudar o professor a gerir o processo ensino aprendizagem. Nesta perspetiva
avaliativa, de avaliação formativa (Allal, 1986; Abrecht, 1994; Perrenoud, 2004;
Shepard, 2001; Pinto & Santos, 2006), de regulação do processo ensino aprendizagem,
o professor deve envolver os alunos, auxiliando-os na análise do trabalho que realizam e
na tomada de decisões para melhorarem a sua aprendizagem (Wiliam et al., 2004).
No ensino secundário, em particular nos programas, avaliar os conhecimentos
matemáticos dos alunos significa reunir e analisar dados sobre o que estes sabem a
respeito de conceitos e métodos matemáticos. Estes dados devem ser utilizados, tanto
pelos professores, como pelos alunos. Os professores deverão utilizá-los para ajudar os
alunos a adquirir conhecimentos profundos e ideias claras sobre os conteúdos
matemáticos. Uma vez que a avaliação não se deve restringir a avaliar o produto final,
mas também o processo de aprendizagem, deve permitir que os alunos sejam elementos
ativos, reflexivos e responsáveis pela sua aprendizagem. As formas de avaliação não se
devem reduzir aos testes escritos (ME, 2001), pelo contrário devem focar-se numa
grande variedade de tarefas matemáticas e adotar uma visão holística da matemática, em
vez de focar capacidades específicas, e isoladas, organizadas numa matriz de conteúdos
/ objetivos comportamentais; e recorrer a vários métodos de avaliação, incluindo formas
escritas, orais e de demonstração (e algumas vezes ao uso de calculadoras,
computadores e materiais manipuláveis). Esta perspetiva permite ao professor verificar
a situação de aprendizagem em que se encontra o aluno, de forma a adequar as
metodologias e as atividades apresentadas às suas características.
Coerente com o sustentado por Rosales (1992), a avaliação não deve ocorrer
apenas no final de uma tarefa de aprendizagem, mas também no seu início ou em etapas
intermédias. O principal objetivo será o de verificar o nível de preparação do aluno,
permitindo ao professor antever as dificuldades dos alunos e adequar o seu método de
16
ensino aos conhecimentos evidenciados, procurando a ligação entre os novos
conhecimentos e o que o aluno detém (Cobb & Bowers, 1999).
Internacionalmente, Black e Wiliam (1998) publicaram numa meta-análise em que
reviram cerca de 250 estudos e concluíram algumas vantagens para a adoção da
perspetiva formativa da avaliação. Segundo estes investigadores, a aprendizagem dos
alunos, incluindo a dos mais fracos, é geralmente melhor nas turmas em que os
professores dão atenção à avaliação formativa, fazendo juízos acerca do ensino e da
aprendizagem.
Segundo Santos (2005), respeitar o princípio da avaliação como parte integrante
do processo ensino aprendizagem, e simultaneamente desenvolver uma avaliação cujo
enfoque é o que hoje se entende por competência matemática, pode passar pela
aplicação de uma multiplicidade de processos avaliativos. Abrantes (2002), também,
destaca a necessidade de recurso a uma variedade de modos e instrumentos de
avaliação. Para estes investigadores, não há qualquer possibilidade de se progredir
significativamente numa perspetiva integrada de currículo e avaliação se os testes usuais
forem os instrumentos de avaliação usados em exclusivo ou considerados “os mais
importantes”. Nenhum instrumento isolado, só por si, poderá captar toda a informação
sobre as aprendizagens dos alunos. Será necessário recorrer a uma combinação de
práticas avaliativas, adequadas ao trabalho realizado e à natureza das diversas
aprendizagens (Santos, 2005). Só assim, poder-se-á caminhar para um processo de
integração entre o currículo e a avaliação:
Entender currículo e a avaliação como componentes integradas de um
mesmo sistema e não como sistemas separados e a considerar que a
avaliação envolve interpretação, reflexão, informação e decisão sobre os
processos de ensino e aprendizagem, tendo como principal função ajudar
a promover ou melhorar a formação dos alunos. (Abrantes, 2002, p. 10)
O recurso a diversos tipos de instrumentos é recorrente e transversal à perspetiva
de avaliação formativa (Pinto & Santos, 2006; Fernandes, 2005; Black et al., 2003).
Para Santos (2005), na seleção de um dado instrumento o professor deverá ter em conta
o que pretende saber (nomeadamente a adequabilidade para certos aspetos da
aprendizagem). O professor deverá garantir que todos os alunos terão oportunidade de
demonstrar clara e completamente o que sabem e o que são capazes de fazer:
Chama-se ainda a atenção para a necessidade de: (i) a avaliação ser um
processo contínuo, recorrente, público, participado e dinâmico; (ii) os
professores serem apoiados e ser reconhecida a sua competência
profissional enquanto principais responsáveis pela avaliação; (iii) serem
17
utilizados instrumentos de avaliação múltiplos e complexos, tais como,
tarefas de desempenho, projetos, trabalhos escritos, prestações orais e
portefólios e (iv) os desempenhos dos alunos não serem comparados
entre si, mas antes com critérios de avaliação pré-estabelecidos. (Santos,
2005, p. 171)
A diversificação e articulação de diversas estratégias de avaliação formativa
podem permitir a ultrapassagem das dificuldades, desde que os alunos se envolvam com
seriedade e responsabilidade (Buhagiar & Murphy, 2008). É uma tarefa exigente, para
professores e alunos, onde eles se têm de expor. Para tal, é preciso, por um lado, que lhe
reconheçam significado e, por outro, que haja um ambiente de confiança na interação
professor - aluno. O acréscimo de trabalho para o aluno e para o professor é enorme
(Santos & Pinto, 2010). É necessário dedicar aulas para esse trabalho, criar momentos
diversos de interação professor - aluno, de acompanhar e apoiar os alunos (Santos,
2005). É igualmente necessário, para o bom êxito dessa tarefa, uma certa predisposição
do professor, nomeadamente em aceitar que o aluno possa deter um elevado grau de
liberdade e decisão (Menino, 2004). Como Hadji (1994) e Santos & Pinto (2010)
referem, para realizar a sua função geral de ajudar a promover a aprendizagem, a
avaliação deve: envolver segurança, ajudar a consolidar a confiança do aluno em si
próprio; prestar assistência, marcar etapas, dar pontos de apoio para progredir através de
feedback, dar, o mais rapidamente possível, informação útil sobre as etapas vencidas e
as dificuldades encontradas; e promover um verdadeiro diálogo entre professor e aluno,
fundamentado em dados precisos.
Quando os professores usam práticas avaliativas como a observação, a interação e
o feedback aos relatórios escritos, os alunos tendem a aprender através do processo de
verbalização das suas ideias e de resposta às questões do professor (NCTM, 2007).
Nesse sentido, o aluno deve ser envolvido na sua própria avaliação como sujeito ativo
de forma a tornar-se consciente e a gerir a representação que tem dos conhecimentos e
capacidades a desenvolver. É necessário que a avaliação reflita o ensino e, nesse
sentido, as questões têm de ser construídas para que, quando se analisam as respostas
dos alunos, se tenha uma ideia de como eles organizam a informação (Price et al.,
2010). Só conhecendo os processos de pensamento do aluno é possível modificar o
ensino e criar novas situações didáticas com o fim de ajudar o aluno a aprender melhor.
18
Síntese
A partir dos documentos curriculares, os professores podem discernir a
valorização que fazem dos diferentes conteúdos, formas de abordagem e modos de
avaliação. Mas, a interpretação não é feita da mesma forma por todos os professores e,
também, o que é transposto para os alunos não é aprendido da mesma forma. Na fase de
planificação, o professor efetua uma seleção de tarefas, estratégias e modos de fazer em
função do contexto turma, do seu conhecimento profissional e do seu saber-fazer
(Ponte, Quaresma & Branco, 2012). Os programas preconizam as finalidades do ensino
da Matemática e os modos de avaliação das aprendizagens. Em qualquer um dos
documentos existem indicações inequívocas do pressuposto de que o aluno é um agente
da sua própria aprendizagem e de que o professor deve proporcionar uma multiplicidade
de tarefas de aprendizagem e modos de avaliação diversificados. Entre eles destaca-se a
necessidade de resolver problemas, realizar atividades de investigação, desenvolver
projetos, usar as tecnologias, efetuar redações e composições, testes em duas fases e
portefólios.
A avaliação deve fornecer informações relevantes e substantivas sobre o estado
das aprendizagens dos alunos, no sentido de ajudar o professor a gerir o processo de
ensino e aprendizagem (Santos & Pinto, 2010). Por ser necessária uma avaliação
continuada de caráter formativo e regulador, esta deve atender à diversidade de
objetivos curriculares, fazer parte do processo ensino aprendizagem, identificar o que os
alunos não sabem para melhorar a sua aprendizagem, decorrer em clima de confiança,
ser transparente e os erros e as dificuldades encarados como pontos de partida para
novas aprendizagens (Wiliam et al., 2004). Deste modo, são necessários modos de
avaliação adequados àquilo que efetivamente se pretende avaliar e que atendam à
natureza das tarefas propostas.
Para promover a autorregulação - monitorização da aprendizagem efetuada pelo
próprio - a aprendizagem depende de como o aluno aprende a lidar com os processos de
ensino e de aprendizagem ao se confrontar com a necessidade de construir novos
conhecimentos. Ao professor cabe o papel de possibilitar aos alunos esse confronto e
promover a coerência entre as orientações curriculares e as práticas avaliativas. Tal
permite considerar que a avaliação engloba interpretação, reflexão, informação e
decisão sobre o processo ensino aprendizagem. A informação recolhida deverá produzir
efeito na melhoria da aprendizagem. Mas, justifica-se a necessidade de aprofundar o
19
conhecimento dessas ações do professor, compreendendo os significados que os
intervenientes atribuem ao que fazem (Ponte & Chapman, 2006).
Concretização na sala de aula
Comunicação na aula de Matemática
A importância da comunicação, no contexto específico da sala de aula de
Matemática e nos vários níveis de ensino, tem sido amplamente reconhecida (NCTM,
2007; Brendefur & Frykholm, 2000; Guerreiro, 2011; Menezes, 2004; Ponte & Santos,
1998). A comunicação constitui um processo social onde os participantes interagem
trocando informações e influenciando-se mutuamente (Martinho & Ponte, 2005). De
facto, o fenómeno comunicação abrange o vasto conjunto de processos interativos
desencadeados na sala de aula, na diversidade dos contextos em que ocorrem, das
representações subjacentes e das formas de expressão. Esta perspetiva é suficientemente
abrangente para incluir no estudo da comunicação na aula de Matemática dois aspetos
essenciais claramente identificados na literatura: (i) a interação continuada entre os
intervenientes na sala de aula (Brendefur & Frykholm, 2000; Guerreiro, 2011); e (ii) a
negociação de significados enquanto modo como esses intervenientes partilham entre si
as formas como encaram os conceitos e processos matemáticos, os fazem evoluir e os
ajustam ao conhecimento configurado pelo currículo (Forman et al., 1998).
O professor enquanto facilitador de processos comunicativos na sala de aula tem
um papel fundamental, como é reconhecido na literatura (Menezes, 2004; Ponte et al.,
2007). Ferreira (2005), Menezes (2004) e Wood (1998) agrupam os padrões de
interação na sala de aula em categorias. Por exemplo, o modo tradicional de interação,
padrão de recitação, designado por iniciação-resposta-avaliação (IRA), em que o
professor dá início à interação através da colocação de uma questão, o aluno responde e,
de seguida, o professor avalia essa resposta, observando se está correta (Martinho &
Ponte, 2005); o padrão de discussão, em que os alunos resolvem a tarefa proposta pelo
professor, que solicita a apresentação e a justificação do processo utilizado e da solução
obtida (Lau, Singh & Hwa, 2009); e o padrão da matemática dirigida, em que o
professor apresenta aos alunos uma tarefa e pede para ser resolvida recorrendo a
diferentes abordagens ao nível da Matemática. Depois, reduz o número de
20
possibilidades para um determinado modo de abordar a tarefa, forçando os alunos a
seguir a sua própria estratégia de resolução.
Stein (2001) valoriza, também, a comunicação na sala de aula no sentido de que o
professor estimula o interesse dos alunos para enriquecer as interações estabelecidas. Na
verdade, um dos seus papéis enquanto elemento impulsionador da comunicação na sala
de aula é criar oportunidades para a atividade de cada aluno através da interação
(Brendefur & Frykholm, 2000; Menezes, 2004; Guerreiro, 2011), partindo do seu
trabalho, ajudando-o a empenhar-se na própria aprendizagem e a ganhar autoconfiança.
Nas aulas de Matemática, a comunicação desenvolve-se sobretudo pela linguagem
oral, naturalmente complementada pela linguagem gestual. A comunicação pela
linguagem oral serve para que os alunos ouçam o que o professor tem a dizer, exprimam
as suas ideias e confrontem-nas com as ideias dos seus colegas. Segundo Ponte et al.
(2007), a linguagem oral (complementada pela linguagem corporal) serve de suporte ao
pensamento, sendo através dela que se desenvolve o essencial do processo ensino
aprendizagem da Matemática. No entanto, a linguagem escrita (incluindo todo o tipo de
registos escritos, simbólicos e representações icónicas) é uma forma de comunicação
que tem um papel complementar fundamental no processo ensino aprendizagem. A
linguagem escrita serve para que os alunos tenham a oportunidade de expressão das
ideias matemáticas através de registos, no quadro ou no caderno diário.
Segundo Ponte et al. (2007) quer a comunicação em geral, quer a comunicação
matemática em particular, podem ser entendidas segundo diferentes pontos de vista.
Estes autores referem os seguintes: a comunicação como organização e transmissão de
informações; e a comunicação como um processo de interação social.
A comunicação na sala de aula, também, está associada a uma perspetiva sobre a
Matemática e sobre o ensino da Matemática. Como referem Godino e Llinares (2000),
ou se considera a Matemática como um conjunto de verdades objetivas, como algo
existente e documentado de modo independente dos indivíduos (predomina na
perspetiva cognitivista), ou se veem as práticas de sala de aula como um processo de
matematização partilhada, guiadas por regras e normas que emergem da própria prática
(predomina na perspetiva sociocultural). Do mesmo modo, a ênfase na transmissão de
mensagens do professor para os alunos e entre os alunos ou nos processos de interação
professor - aluno sustentam diferentes posicionamentos em relação à comunicação na
sala de aula de Matemática:
21
Se se considera que a Matemática é um conjunto de verdades objetivas, é
natural que se entenda a comunicação como a transmissão de mensagens
entre duas pessoas através de um processo linear e exterior aos
indivíduos. (Ponte et al., 2007, p. 42)
A aplicação deste modelo ao contexto educativo centra a comunicação no diálogo
entre o professor e os alunos. Assume-se, então, que a preocupação do professor é
tornar as mensagens emitidas compreensíveis aos alunos, eliminando eventuais
interferências. O professor deve utilizar no seu discurso constantes redundâncias, como
forma de reforçar o conteúdo da mensagem, e assegurar-se dos processos de
transferência da mensagem através de feedback ou através de perguntas cujas respostas
possam evidenciar a aquisição dos conhecimentos transmitidos (Henning et al., 2012).
Trata-se de procurar fechar o fosso entre o que expectável que o aluno faça e aquilo que
efetivamente concretiza (Sadler, 1989). Neste modelo, tudo é redutível à precisão com
que se processa a transmissão de informação entre o professor e os alunos, apenas
limitada pela existência exterior do ruído perturbador da receção.
A valorização dos aspetos de natureza semântica da mensagem pode salientar as
representações simbólicas e os aspetos característicos da linguagem Matemática, cuja
aprendizagem é então encarada como a aquisição de uma organização complexa de
símbolos, signos e representações Matemáticas (Ponte et al., 2007).
Se a Matemática é vista como uma construção cultural partilhada pelos
intervenientes e as aulas são caracterizadas pelos processos de interação social entre o
professor e os alunos, a comunicação pode passar a ser entendida como um processo de
interação social de contextos múltiplos:
Os novos significados e as novas formas de compreensão são construídos
e reconstruídos através de processos individuais de gerar sentido e
processos sociais de interação das mensagens, das pessoas e dos
contextos culturais da sala de aula. A aprendizagem converte-se, assim,
num processo de interação e reflexão, onde o professor não se limita à
transmissão de um conhecimento matemático estabelecido e
objetivamente codificado, mas empenha-se na organização de um
conjunto de tarefas diversificadas e não rotineiras que promovam uma
variedade de estratégias de resolução de problemas pelos alunos e os
levem a partilhar as suas ideias, com vista à negociação de conceitos
matemáticos e à construção de novos conhecimentos. Nesta perspetiva,
ganham grande importância as práticas discursivas que ocorrem na sala
de aula, tendo de se questionar se são de facto promotoras da
compreensão dos significados e da linguagem da Matemática (Ponte et
al., 2007, p. 42 - 43)
22
Finalmente, um último aspeto fundamental respeitante à comunicação, segundo
Ponte et al. (2007), é que esta tem um papel essencial para assistir os alunos no
desenvolvimento dos seus significados matemáticos e na sua compreensão dos
conceitos matemáticos. A construção de significados matemáticos evolui por etapas
sucessivas, através da sua publicitação de forma oral ou escrita por parte dos alunos,
regulados pelo professor. Porém, para que tal aconteça, é necessário que os alunos se
sintam à vontade para participar e também que saibam autorregular-se (Santos, 2002)
para intervir a propósito e de forma adequada.
Os significados matemáticos podem emergir das conexões entre as ideias
Matemáticas em discussão e os outros conhecimentos pessoais do aluno (Henning et al.,
2012). As novas ideias são significativas, na medida em que o aluno é capaz de fazer
conexões com outras ideias matemáticas e com outros aspetos do seu conhecimento
pessoal. Deste modo, é fundamental a exteriorização e a partilha dos pensamentos dos
alunos e do professor, a clarificação das ideias através da utilização de questões e
analogias, num diálogo simétrico, entre ambos, e a existência de estratégias deliberadas
e específicas do professor para desenvolver a negociação de significados matemáticos,
tais como a modificação e adequação matemática da linguagem dos alunos e o
encorajamento na procura de esquematizações e generalizações dos resultados:
Portanto, o professor e os alunos têm de negociar os diferentes
significados, justificando as suas ideias matemáticas com vista à
construção de um significado socialmente partilhado e compreendido por
todos. Neste sentido, os significados matemáticos não existem por si mas
são gerados durante o processo de comunicação e interação social. Neste
processo de construção do conhecimento matemático é também
fundamental que os alunos possam envolver-se em momentos efetivos de
discussão, regulada direta ou indiretamente pelo professor, em que
tenham oportunidade de argumentar, defendendo as suas posições, bem
como de questionar e apresentar argumentos contra as ideias dos outros
(e do próprio professor). A discussão, ao pressupor uma certa igualdade
de papéis, envolve os alunos (e o professor) numa partilha de
significados e ideias matemáticas construídos e partilhados oralmente na
sala de aula, valorizando a argumentação, quer na defesa das ideias
matemáticas quer na construção de exemplos ou contraexemplos, com o
objetivo de confirmar ou infirmar relações matemáticas, quer na
apresentação de conjeturas e de estratégias de resolução de problemas
quer na exploração de novos caminhos. (Ponte et al., 2007, p. 47)
A organização do processo comunicativo da sala de aula também envolve alguns
problemas. Um deles está relacionado com os objetivos da aprendizagem, que envolvem
duas dimensões (Christiansen & Walther, 1986), sempre presentes, de modo explícito
23
ou implícito. A primeira remete para o nível dos conteúdos matemáticos, cabendo ao
professor explicar um conceito, recordar uma noção, ou estabelecer relações diretas com
outras ideias ou representações matemáticas ou extra matemáticas (Ponte et al., 1999).
Reencontramos aqui um dos papéis “clássicos” do professor mas que, como indica
Lampert (1990), pode ser desempenhado de uma maneira substancialmente diferente,
contextualizado e integrado na realização de uma atividade significativa. Em vez de
assumir sozinho este trabalho, o professor pode tentar que os alunos participem
ativamente, ajudando a explicar o conceito aos seus colegas, recordando ideias,
representações e procedimentos já aprendidos. A segunda dimensão remete para o nível
das compreensões sobre o que é aprender, sobre o que é a matemática e o que é pensar
matematicamente. Na perspetiva de avaliação formativa o caráter chave desse papel
revela-se desde logo, por exemplo, na construção e seleção das tarefas, no
encorajamento dos alunos a tomar posições e a defendê-las com convicção (Guerreiro,
2011; Lampert & Cobb, 2003; Ponte & Santos, 1998; Stein, 2001). O professor deve
pedir aos alunos justificações sempre que considere oportuno, procurando que estes
assumam também o poder de decidir o que está certo ou errado (Alro & Skovsmose,
2002; Ponte & Santos, 1998). Isto pressupõe que a existência de ritmos e tempos
diferentes permite a todos os alunos pensar e repensar a sua atividade.
Métodos de trabalho
Para a realização do trabalho na sala de aula, o professor pode organizar os alunos
de diversas maneiras: em coletivo, em pequeno grupo (3 ou 4 alunos), aos pares ou
individualmente. Cada uma destas formas de trabalho está vocacionada para atingir
determinados objetivos e é mais adequada para a realização de certas tarefas em
detrimento de outras.
O trabalho em coletivo, que envolve toda a turma, tem um papel importante na
aula de Matemática. O trabalho em coletivo é decisivo na negociação de significados
matemáticos. Trata-se de um modo de trabalho adequado para fazer a introdução de
novos conteúdos ou para realizar a discussão das tarefas já concluídas:
Para o aluno, é essencial poder confrontar as suas opiniões com as de
outros, sentir a apreciação pública do seu trabalho e do dos outros,
apreciar a atitude de dúvida, de crítica e a necessidade de justificação
exemplificada pelo professor. O momento da reflexão final é também
particularmente adequado para estabelecer ligações entre este tipo de
24
trabalho matemático e outras ideias que os alunos têm resultantes da sua
aprendizagem nesta disciplina. (Ponte et al., 1999, p. 147)
Serve, também, para resolver um problema ou conduzir a realização, em
conjunto, de uma atividade de investigação. No entanto, se for usada de modo
exclusivo, ou durante muito tempo, pode levar os alunos a distraírem-se e a deixarem de
participar. Além disso, não permite o desenvolvimento de um determinado tipo de
competências e capacidades - aquelas que exigem um esforço individual por parte dos
alunos. O sistemático confronto de argumentos possibilita o desenvolvimento de
justificações matemáticas que conduzem a raciocínios válidos e o reconhecimento dos
modos de raciocínio inválidos. Nesse desafio, os alunos tendem a esforçar-se mais para
explicar o porquê da adequabilidade dos seus raciocínios matemáticos e a explicitar
princípios matemáticos que, geralmente, não invocam e que nesta situação servem para
contestar afirmações dos seus colegas (Weber et al., 2008).
O trabalho em pequeno grupo (3 ou 4 alunos) permite que os alunos exponham as
suas ideias, ouçam os colegas, coloquem questões, discutam estratégias e soluções,
argumentem e critiquem outros argumentos. Nesta modalidade de trabalho, torna-se
mais fácil aos alunos arriscar o seu ponto de vista, avançar com descobertas e exprimir o
pensamento:
O trabalho em pequeno grupo fomentou oportunidades de interação, de
diálogo, de colaboração que o [aluno] levou a perceber que, apesar da sua
grande inclinação para a Matemática, podia ganhar bastante no diálogo
com os seus colegas. (Segurado & Ponte, 1998, p. 22)
Segundo Francisco (2013), o trabalho em pequeno grupo permite que os alunos
resolvam problemas e construam justificações válidas para essas resoluções. Ainda
segundo esse autor, a realização de tarefas em pequeno grupo permite a oportunidade
dos alunos olharem criticamente para os seus trabalhos e elaborarem raciocínios
matemáticos mais complexos. Mas nem todas as tarefas se proporcionam a este tipo de
trabalho. A resolução de exercícios, por exemplo, não tira grande partido das interações
entre os alunos, por serem tarefas muito estruturadas. Também, para a realização de
composições não é um modo adequado de trabalho, porque exige-se ao aluno
concentração para escrever. A realização de atividades de investigação ou a realização
de projetos são as tarefas que podem rentabilizar a capacidade criativa de um grupo e
proporcionar a divisão de tarefas, usando da melhor forma as capacidades de cada
elemento:
25
O trabalho em pequeno grupo incentiva uma comunicação entre alunos e
promove uma melhor explicitação das conjeturas e testes a realizar. É
neste tipo de trabalho que a necessidade da justificação mais se revela.
Desta forma, tira-se o melhor partido do potencial da interação entre
pares (enfatizada por investigadores na tradição piagetiana) e da
colaboração com um parceiro mais competente (enfatizado por
investigadores na tradição de vygotskiana). (Ponte et al., 1999, p. 147)
O trabalho em pares (díades) possibilita uma interação significativa entre os
alunos, que trocam impressões entre si na realização da tarefa proposta. É muito simples
de organizar, uma vez que de um modo geral não implica a alteração do espaço físico da
sala de aula e proporciona aos alunos uma significativa autonomia. Por exemplo,
Branco, Angelino & César (1995) verificaram que quando os alunos trabalham em
díades são mais capazes de adotar e fazer evoluir as suas estratégias, o que os leva a ter
mais sucesso nos seus desempenhos. A interação entre pares é essencial para que haja
cooperação, capacidade de argumentação, espírito crítico (César et al., 2002). É
particularmente adequado quando a tarefa proposta é relativamente estruturada e não
exige um elevado nível de concentração individual:
Verifiquei que os grupos com três e quatro elementos, nas experiências
de aprendizagem em que estiveram envolvidos, tendem a explorar
individualmente e apenas confrontam as conclusões. A opção
metodológica de trabalho em díade na quarta tarefa permite evidenciar
que os alunos ao trabalharem em díade são mais capazes de
compreender, adotar estratégias e fazer evolui-las. (Dias, 2005, p. 223)
A interação entre dois alunos nem sempre os ajuda a construir uma aprendizagem
significativa. O trabalho conjunto é benéfico quando realizam determinadas tarefaschave, como é o caso de explicar, justificar e refletir. Os dois elementos do par podem
evoluir mas, segundo Pijls, Dekker & Hout-Wolters, (2007), o aluno que explica com
frequência e autocritica-se atinge um nível mais elevado nas aprendizagens matemáticas
do que o aluno que tem um papel mais passivo.
No trabalho individual, o aluno tem de ser capaz de assumir a sua própria
independência e responsabilidade pessoal. A realização de exercícios, problemas e
composições escritas são tarefas que se adequam muitas vezes a este modo de trabalho.
O professor tem, também, que ser capaz de encontrar momentos para dialogar
especificamente com cada aluno, aperceber-se das suas necessidades e interesses e darlhe o apoio direto de que necessita para que possa progredir:
Identificar as dificuldades logo que aparecem, diagnosticar os fatores que
estão na origem das dificuldades de cada aluno e formular, de forma
26
consequente, adaptações individualizadas das atividades pedagógicas.
(Allal, 1986, p. 191)
Cada uma das formas de trabalho tem o seu papel a desempenhar. No entanto, a
sua eficácia depende do modo como forem conduzidas pelo professor. Há trabalho
coletivo interessante e monótono, trabalho de grupo produtivo e improdutivo, assim
como trabalho em pares e individual bem e mal aproveitado. O sucesso da forma de
trabalho depende das tarefas propostas serem ou não adequadas ao modo de trabalho
estabelecido, do modo como professor acompanha a realização das tarefas e da gestão
do ambiente de aprendizagem. Tarim & Akdeniz (2008) mostraram que a combinação
entre o trabalho individual e o trabalho em pequenos grupos, ou em pares, pode
promover melhores resultados em Matemática, se os alunos resolverem primeiro os
problemas individualmente e depois os discutirem, validando trabalhos ou retificandoos, em grupo.
Para Ponte et al. (1997), o facto de não haver uma metodologia universalmente
aplicável não significa que não existam estratégias de ensino mais adequadas e outras
mais desaconselháveis para cada situação concreta. Cabe ao professor conhecer as
alternativas disponíveis e conhecer-se a si próprio, sabendo até que ponto é capaz de
usar com confiança e desembaraço cada uma delas.
Processos na atividade da aula de Matemática
A matemática caracteriza-se por lidar com certos tipos de objetos e conceitos, e
também por envolver processos de raciocínio, de comunicação e de trabalho. Quando se
procura aplicar tarefas, avaliar e organizar modos de trabalho para atingir os objetivos
de um currículo é necessário dar atenção aos processos que servem de articulação entre
a construção do conhecimento pelos alunos, nas diversas experiências de aprendizagem
(Alonso, 2002; Duval, 2006; Goldin, 2008).
São vários os processos que implicam relacionar e operar com conceitos e com as
suas representações matemáticas. Ponte e Serrazina (2000) destacam: i) classificar e
ordenar; ii) calcular; iii) estabelecer relações, por exemplo a generalização, a
particularização, a análise e a síntese; e iv) interpretar. Representar é um dos processos
fundamentais em matemática. Os símbolos, as convenções, os gráficos, entre outros,
permitem que os objetos matemáticos sejam difundidos, o que permite que possam ser
27
usados e compreendidos. A representação aparece muitas vezes como o caminho para a
compreensão de determinados conceitos, funcionando como recordação visual:
Para a Susana, a noção de sucessão aparece associada à existência de
uma representação gráfica ou de uma expressão que serve para
estabelecer uma determinada correspondência. Quando lhe é pedido para
explicar o que é uma sucessão ela diz que “numa reta são … pontos que
seguem uma determinada expressão, faz corresponder …”. A noção de
correspondência acaba no entanto por ser negligenciada, dando mais
destaque à representação dos pontos na reta. (Domingos, 2002, p. 302)
Ponte e Serrazina (2000) separam:
i) a representação das ideias matemáticas, por exemplo gráficos, pictogramas, figuras
geométricas, etc…
ii) o uso das representações na sala de aula, por exemplo uso da linguagem materna ou
de materiais manipuláveis, desenhos, diagramas, etc…
iii) a aprendizagem das representações, por exemplo as representações começam por ser
pouco precisas e muito particulares embora desempenhem um papel importante no
apoio à compreensão na resolução de problemas e forneçam formas significativas de
registo de um método ou de uma solução, e podem constituir-se como ponto de partida
para desencadear a apreciação de outras representações;
iv) diferentes representações de um mesmo conceito, por exemplo os alunos precisam
desenvolver o seu reportório de representações, que devem incluir as representações
convencionais da Matemática e outras com as quais eles próprios se sintam confiantes a
trabalhar.
A representação ajuda os alunos a compreenderem os conceitos e as relações
matemáticas, a comunicar as suas ideias aos outros e a aplicar as ideias matemáticas a
situações problemáticas dentro e fora da matemática. Os professores têm de estar
atentos ao facto que qualquer representação pode ser interpretada de diversas maneiras.
Não devem assumir que um aluno interpreta uma expressão do mesmo modo que ele.
Mas, Duval (2006) destaca as dificuldades de compreensão que surgem associadas
à representação dos objetos matemáticos. A utilização simultânea da linguagem
materna, ligada à explicação oral dos objetos matemáticos, e da linguagem matemática,
predominantemente constituída por símbolos e ícones gráficos, pode desencadear
interpretações erróneas e dificuldades de compreensão. A conversão entre essas duas
formas de expressão é muitas vezes motivo de conflito nas estruturas cognitivas do
aluno (Duval, 2006). Deste modo, é necessária uma atenção especial do professor para
28
esse conflito e a preparação do aluno para conhecer várias formas de representar o
mesmo objeto matemático (Goldin, 2008).
Goldin (2008) acrescenta ainda que, quando os alunos enfrentam dificuldades na
concretização de uma tarefa, tendem a utilizar representações informais (em que não é
usada a notação matemática usual). No entanto, este aspeto pode ser potencializado a
favor da aprendizagem matemática significativa. Ao trabalhar na sala de aula com
tarefas que envolvem contextos próximos da realidade dos alunos, o professor favorece
raciocínios intuitivos que, devidamente integrados, os ajudam a construir novos
conhecimentos (Semana & Santos, 2010). Deste modo, também, é possível que a
construção de novas representações por parte dos alunos seja feita a partir das suas
representações informais, proporcionando o desenvolvimento dos seus recursos para o
raciocínio matemático (Webb, Boswinkel & Dekker, 2008).
Na sala de aula de Matemática, a formulação e a resolução de problemas
constituem, também, aspetos fundamentais da atividade dos alunos. Pólya (1975)
descreve as etapas a percorrer para a aprendizagem da resolução de problemas: i)
compreender o problema; ii) conceber um plano de resolução; iii) executar o plano; e iv)
refletir sobre o trabalho realizado. No entanto, Lester et al. (1992) e Lester (1994)
chamam a atenção para a importância dos professores colocarem questões aos alunos
enquanto estes resolvem problemas para estimular o seu pensamento, para compreender
como um determinado aluno está a pensar, e ainda para os ajudar a avaliar os aspetos
que são o foco da observação. Estes aspetos revelam uma perspetiva centrada na
promoção de um processo ensino aprendizagem que valoriza a compreensão dos alunos
porque, contrariamente ao que se pensava, o ensino não pode ser baseado apenas nos
processos, mas deve incluir a compreensão de conceitos da Matemática (Webb,
Boswinkel & Dekker, 2008).
Raciocinar e demonstrar são as formas mais poderosas de desenvolver e expressar
intuições sobre uma vasta gama de fenómenos matemáticos (ou não):
As pessoas que raciocinam e pensam analiticamente tendem a detetar
padrões, estruturas ou regularidades, quer em situações da vida real, quer
em objetos simbólicos, perguntam se esses padrões são acidentais ou se
ocorrem por alguma razão específica e formulam conjeturas e efetuam
demonstrações (NCTM, 2007).
Raciocinar é essencial para a compreensão da matemática (Chapin, O'Connor &
Anderson, 2009). Segundo o NCTM (2007) em todos os níveis de escolaridade, os
alunos deverão perceber e acreditar que a matemática faz sentido, através do
29
desenvolvimento de ideias, da exploração de fenómenos, da justificação de resultados e
da utilização de conjeturas matemáticas em todas as áreas (com expectativas e níveis de
aprofundamento distintos).
Avaliação integrada no processo ensino aprendizagem
Para Fernandes (2005), uma adequada integração entre avaliação, ensino e
aprendizagem permite, ou deve permitir, regular o ensino e a aprendizagem, utilizar
tarefas que, simultaneamente são para ensinar, aprender e contextualizar a avaliação.
Também este autor considera que as tarefas são o eixo fundamental para a ação
educativa quando associam as três funções seguintes: integrar as estratégias de ensino
utilizadas pelo professor; ser meio privilegiado de aprendizagem; ter associado um
qualquer processo de avaliação. Esta visão foi recentemente reforçada (NCTM, 2007): a
avaliação não deve ser feita apenas sobre o aluno, mas também ser feita para o aluno, de
forma a orientar e aumentar a sua aprendizagem.
No caso do ensino secundário, pelas orientações do Ministério da Educação
(Ministério de Educação, 2004) para o ensino regular e o ensino profissional, a
avaliação formativa deve prevalecer em relação à avaliação sumativa e deve estar
integrada no processo ensino aprendizagem (Goos, Stillman & Vale, 2012). No entanto,
segundo Fernandes (2007), persistem dificuldades por parte dos professores e das
escolas em desenvolver práticas de avaliação formativa. Também Abrantes (2002)
afirma a necessidade de repensar as práticas uniformes e pobres de avaliação, que não
estavam de acordo com a formulação do currículo. A investigação nacional e
internacional também têm evidenciado que a correção e classificação de testes e fichas
dão, em geral, poucas ou nenhumas indicações aos alunos para melhorar, reforçando as
suas baixas expectativas em relação à aprendizagem da Matemática (Fernandes, 2006a;
Kraemer, 2005; Gipps & Stobart, 2003). A avaliação formativa depende, ao nível da
sala de aula, da observação e do questionamento oral, o que, geralmente, não se traduz
na avaliação final das aprendizagens do aluno à disciplina.
Santos (2003c), acerca do uso de vários instrumentos de recolha de dados para a
avaliação e Pinto e Santos (2006), a propósito da avaliação numa perspetiva formativa,
apontam as seguintes dificuldades no desenvolvimento de práticas de avaliação
formativa: a dificuldade de sistematizar a informação em situações mais informais de
avaliação; a sobrecarga de trabalho que a avaliação formativa acarreta porque aumenta
os momentos de avaliação; uma desconfiança nos instrumentos não tradicionais e nos
30
processos informais de avaliação. Mesmo nas situações em que se experimenta ou inova
em avaliação, avaliar e aprender aparecem como duas dimensões pedagógicas
relativamente distintas (Pinto & Santos, 2006).
Stobart (2006) aponta a dualidade de critérios de validade que se usam ao
apreciar a avaliação formativa e a avaliação sumativa como uma dificuldade para a
valorização da primeira. No caso da avaliação formativa, a sua validade encontra-se
relacionada com as consequências que tem no processo ensino aprendizagem. Na
avaliação sumativa, entendida como exames externos pelo autor, a validade relaciona-se
com a idoneidade e com as inferências que se fazem acerca dos resultados obtidos pelos
alunos. Santos (2011), por sua vez, aponta três critérios alternativos de qualidade para
os processos avaliativos colocados ao serviço da aprendizagem (avaliação reguladora
das aprendizagens): a compreensibilidade, a adequabilidade e a eficácia. A
compreensibilidade se acessíveis e claros a quem se dirigem e/ou a quem os usa, a
adequabilidade se concordantes com a especificidade dos alunos e das tarefas e a
eficácia como uma ação e seus efeitos. Os três critérios de qualidade apresentados por
Santos (2011) confrontam-se com os usualmente utilizados na avaliação sumativa, a
validade e a fiabilidade. No entanto, apesar de toda a avaliação prossupor um
julgamento e uma tomada de decisão sobre o que é relevante para determinado fim, uma
recolha de informação, a sua interpretação e o desenvolvimento de uma ação, aquilo que
permite diferenciar as modalidades de avaliação é a função (ou funções) para a qual é
pensada e executada.
Por definição, a avaliação formativa tem implicações nas aprendizagens futuras
(Stobart, 2006). Se este aspeto falhou, a intenção foi formativa, mas o processo não o
foi (Wiliam, 2000). A definição dada desta forma implica que a validade da avaliação
formativa seja fundamental para o seu desenvolvimento e inclusão no processo ensino
aprendizagem. A validade da avaliação formativa afeta a forma como a aprendizagem
se desenvolve. O aluno precisa saber o que precisa fazer para melhorar em
aprendizagens futuras (Wiliam et al., 2004), e para a concretização desta premissa é
fundamental que a avaliação formativa funcione na sua plenitude (Kane, 2004). Mas, se
melhorarmos, por exemplo, a compreensibilidade, cria-se um contexto favorável à
aprendizagem significativa e, consequentemente, aumenta a eficácia (Santos, 2011).
Sendo, neste contexto, a avaliação reguladora aquela que visa a melhoria da
aprendizagem matemática deve ser concebida tendo em conta o que há de específico e
particular em cada aluno.
31
Segundo Abrantes (2001) e Alonso (2002), a integração do currículo e da
avaliação é definida, nos princípios sobre currículo e avaliação, como a procura de
consistência entre os procedimentos de avaliação relativamente às orientações
curriculares e as formas de trabalho efetivamente desenvolvidas com os alunos. É esta
coerência o elemento regulador do ensino e da aprendizagem. Assim, fala-se de um
processo intencional e continuado, que vai acontecendo no dia-a-dia, na sala de aula, e
que é marcado por um conjunto de orientações, das quais Santos (2003a) destaca os
seguintes: desenvolver um ambiente de confiança, onde errar é visto como natural e não
penalizador, privilegiar uma observação formativa em situação, e no quotidiano, e
favorecer a metacognição como fonte de autorregulação.
Segundo a mesma investigadora (Santos, 2003a), essas práticas não acontecem
de um momento para o outro, como por magia, nem tão pouco por estar legislado.
Assim, perante a complexidade e dificuldade de tal empreendimento, Santos (2008c)
sugere como estratégia facilitadora o desenvolvimento de um trabalho colaborativo
entre professores, onde é possível um apoio mútuo e a construção de um sentido comum
partilhado de avaliação, de uma responsabilidade partilhada e emancipada, que permita
aos professores reelaborarem o currículo, e ainda de uma ética de responsabilidade
colegial, que passa pela definição conjunta de prioridades e objetivos comuns que
orientam as escolhas individuais.
Síntese
A dinâmica da aula resulta de muitos fatores, entre eles, os que estão
relacionados com os alunos, as suas conceções e atitudes em relação à Matemática, os
seus conhecimentos, a sua experiência de trabalho matemático e a comunicação que se
estabelece. O professor procura estabelecer um diálogo de confiança onde possa ter
lugar a diversidades de ritmos de aprendizagem e as afinidades de formas de trabalho.
Procura ir ao encontro dos interesses dos alunos para que se sintam incluídos e
participem ativamente nas tarefas escolares (Handley & Williams, 2011).
Para além do papel de meros recetores de informação, cabe aos alunos adotar
uma atitude crítica face à sua aprendizagem, assumir um papel ativo, e ao professor um
papel de organizador e dinamizador da aprendizagem, criando oportunidades para que a
atividade de cada aluno se realize através da interação, partindo do seu trabalho (Webb,
Boswinkel & Dekker, 2008), ajudando-o a empenhar-se na própria aprendizagem e a
ganhar autoconfiança.
32
Numa diversidade de tarefas, o aluno participa ativamente, explicando aos
colegas, recordando ideias, representações e procedimentos já aprendidos (Pijls, Dekker
& Hout-Wolters, 2007). A apreciação pública do trabalho do aluno ganha se passar a ser
para si um fator de desenvolvimento. Por exemplo, Lester et al. (1992) chamam a
atenção para a importância dos professores colocarem questões aos alunos enquanto
estes resolvem problemas para estimular o seu pensamento, para compreender como um
determinado aluno está a pensar, e ainda para os ajudar a avaliar os aspetos que são o
foco da observação. Esta perspetiva avaliativa promove a adequada integração entre a
avaliação, o ensino e a aprendizagem (Goos, Stillman & Vale, 2012). Desenvolve-se
uma abordagem integrada dos processos de ensino, de aprendizagem e de avaliação para
promover a responsabilização do aluno e a sua consciencialização enquanto aprendente.
Este último aspeto traz a necessidade de repensar as práticas uniformes e pobres de
avaliação (Abrantes, 2002), que não estão de acordo com os documentos curriculares
em vigor (Fernandes, 2005; Santos, 2004) e não respondem, atualmente, às diversidades
dos sistemas educativos.
A regulação das aprendizagens efetuada por professor e aluno desenvolve-se
pelas implicações que tem na aprendizagem (Santos, 2011; Stobart, 2006). A definição
dada desta forma implica alterações ao nível da aprendizagem. O aluno precisa saber o
que precisa fazer para melhorar aprendizagens – a compreensibilidade, a
adequabilidade, e a eficácia (Santos, 2011). O aluno procura mobilizar os recursos de
que dispõe, mas cabe ao professor favorecer o ambiente, tendo em vista a programação
e promoção da aprendizagem e as estratégias utilizadas para ajustar o ensino às
necessidades de aprendizagem.
Prática reflexiva e colaboração
O professor como praticante reflexivo
No seu quotidiano profissional, o professor depara-se com muitas situações de
conflito que exigirão tomadas de decisões na sua resolução. Para que estas não sejam
precipitadas é necessário refletir. Para Dewey (1997), a reflexão é uma atividade que
pode contribuir para o desenvolvimento profissional do professor, uma vez que ao
refletir sobre a sua atividade está a pensar sobre ela. Mas a capacidade para refletir
33
emerge quando há o reconhecimento de um problema, de um dilema, e a aceitação da
incerteza.
Há diversas formas de reflexão. Segundo Shulman (1987), a reflexão é um
processo a partir do qual o professor desenvolve uma nova compreensão dos objetivos,
das matérias de ensino, dos alunos e dos seus processos de aprendizagem – revê a sua
prática letiva desde a planificação. Quando este, retrospetivamente, reconstrói os
acontecimentos, relembra as emoções e confronta o que aconteceu com os seus
objetivos iniciais, desenvolve uma nova compreensão sobre o seu ensino. Se Shulman
(1987) atribui à reflexão um papel fundamental no desenvolvimento de uma nova
compreensão, Schön (1983) acentua a sua importância na mudança das práticas. Para
Schön (1983), a reflexão permite enriquecer o repertório do professor e melhorar a sua
capacidade de resolver problemas. Schön (1983) distingue em especial a reflexão-naação, a reflexão-sobre-a-ação e a reflexão-sobre-a-reflexão-na-ação
A reflexão-na-ação é um processo de diálogo com uma situação problemática
que exige uma intervenção concreta e que se processa de forma intuitiva (Schön, 1983).
Trata-se de realizar uma análise viva dos múltiplos fatores intervenientes, com a
possibilidade de mediação imediata. A reflexão na ação ocorre durante a prática:
Ele sabe fazer trocos mas não sabe somar os números [itálico no
original]. Se o professor quiser familiarizar-se com este tipo de saber,
tem de lhe prestar atenção, ser curioso, ouvi-lo, surpreender-se, e atuar
como uma espécie de detetive que procura descobrir as razões que levam
as crianças a dizer certas coisas. Este tipo de professor esforça-se por ir
ao encontro do aluno e entender o seu próprio processo de conhecimento,
ajudando-o a articular o seu conhecimento-na-ação que exige do
professor uma capacidade de individualizar, isto é, de prestar atenção a
um aluno, mesmo numa turma de trinta, tendo a noção do seu grau de
compreensão e das suas dificuldades. (Schön, 1992a, p. 82)
A reflexão-sobre-a-ação desenvolve-se num momento posterior à ação (Schön,
1983). Acontece quando reconstruímos mentalmente a ação e realizamos uma análise a
posteriori. Depois do acontecimento, este é revisto fora do seu cenário. Ao refletir sobre
a ação, o professor toma consciência do seu conhecimento tácito, procura crenças
erróneas e reformula o pensamento. Essa reflexão consiste numa reconstrução mental
retrospetiva da ação para tentar analisá-la, reconstruindo um ato natural quando
percecionamos diferentemente a ação (Alarcão, 1996).
Outro estádio é a reflexão-sobre-a-reflexão-na-ação. É uma reflexão que ajuda o
profissional a progredir no seu desenvolvimento e a construir a sua forma pessoal de
34
conhecer (Serrazina & Oliveira, 2002). Trata-se de olhar retrospetivamente para a ação
e refletir sobre o momento da reflexão na ação, isto é, sobre o que aconteceu, o que o
profissional observou, que significado atribuiu e que outros significados podiam ser
atribuídos ao que aconteceu (Schön, 1992a; 1992b). Esse processo auxilia o professor
na compreensão e no exercício da sua prática profissional: “este processo leva o
profissional a progredir no seu desenvolvimento e a construir a sua forma pessoal de
conhecer” (Alarcão, 1996, p. 17).
Nessas experiências adquire uma importância fundamental a conjugação da
reflexão e investigação de situações concretas da prática (Kilpatrick, 2008). Num
ambiente onde as relações colaborativas são perspetivadas como facilitadoras do
confronto de saberes, facilita-se a mudança/reestruturação do conhecimento profissional
do professor e a aquisição de identidade profissional (Oliveira & Hannula, 2008). Uma
verdadeira mudança na prática letiva dos professores terá de passar necessariamente
pela sua experiência enquanto formandos, em perspetivas que contestem as abordagens
tradicionais – defendendo assim a perspetiva de aprendizagem reflexiva (Fosnot, 1999).
Muitas vezes a perspetiva que o professor tem de como se deve ensinar é aquela que
experimentara enquanto aluno. Exemplo disso é o relato que Fosnot (1999) faz, quando,
num workshop, uma professora ficou indignada porque o formador não lhe deu a
resposta pronta a uma pergunta, antes a remeteu para futuras investigações. A esse
respeito a autora acrescenta:
O professor mostra aos alunos o processo de obterem as respostas certas
e depois orienta-os na reprodução desses processos. Fazer-se uma
pergunta sem se ter previamente mostrado como lhe responder é
considerado «injusto»! (Fosnot, 1999, p. 111)
Esta investigadora defende que se os professores passarem por uma experiência
de alunos, em que se valorize a aprendizagem pela descoberta, possibilita, muitas vezes
pela primeira vez, “olhar para a Matemática mais como uma atividade de construção, de
exploração e de debate, do que um conjunto finalizado de conhecimentos que deverão
ser aceites, acumulados e reproduzidos” (Fosnot, 1999, p. 120).
Em primeiro lugar, essa atitude tem reflexos no tipo de trabalho que desenvolve
com os alunos, estimulando-os também a refletir (Korthagen & Wubbels, 2001). A
realização de atividades de investigação, que envolvem uma certa estruturação pelos
próprios alunos, são exemplos de trabalho que esse professor valoriza. Em segundo
lugar, um professor com esta capacidade analisa as suas práticas, colocando a si próprio
35
questões como: o que aconteceu? Porque aconteceu? Que implicações teve a minha
atuação no que se passou? O que poderia ter feito de diferente? Esta postura está muitas
vezes relacionada com as experiências anteriores dos professores, nomeadamente, com
o confronto com situações que exigiram uma certa estruturação dos seus problemas.
Para estes autores, um professor reflexivo identifica os aspetos sobre os quais necessita
ou quer aprender, apresenta uma maior predisposição em escrever e em falar sobre as
suas próprias experiências e desenvolve mais facilmente um elevado grau de satisfação
profissional. Finalmente, um professor reflexivo consegue descrever e analisar
adequadamente a sua atuação nas relações interpessoais com os outros, aspeto que
assume particular importância na melhoria das relações que estabelece com os alunos e
na forma como lida com as suas necessidades individuais. Ora, a existência dessas
capacidades depende da formação que os professores receberam e do tipo de situações
com que se confrontaram ao longo da vida (Korthagen & Wubbels, 2001). Ponte
(2002b) reafirma esse posicionamento quando refere que a teoria é fundamental para um
alargamento de perspetivas e para indicar linhas condutoras da reflexão. A prática
permite o envolvimento do próprio professor, proporcionando uma experiência concreta
a partir da qual é possível refletir. A reflexão estimula novos interesses, chama a
atenção para novas questões e possibilita uma prática mais segura, mais consciente e
mais enriquecida.
Dada a complexidade cognitiva e didática dos conceitos e métodos matemáticos,
interessa então, antes de mais, melhorar a formação dos profissionais da Educação
Matemática. Oliveira e Hannula (2008) destacam a importância a dar à formação inicial
de professores, para atingir este fim, devendo esta incidir em três vertentes: i)
desenvolvimento de conhecimentos e valores profissionais; ii) desenvolvimento de
competências profissionais de observação e interpretação dos acontecimentos ocorridos
nas aulas, reflexão sobre eles e modos diversificados de interagir em aula; e iii) adoção
de uma identidade profissional, em que se inclua o praticante reflexivo e o trabalho
colaborativo. Esta integração de saberes faz sentido uma vez que para o professor de
Matemática são fundamentais duas competências, saber matemática e saber ensiná-la
(Oliveira & Hannula, 2008).
O conceito de colaboração
O trabalho colaborativo não se resume a colocarmos um grupo de pessoas
perante uma tarefa coletiva – não chega agrupar, nem é suficiente pedir resultados nem
36
cooperação. Para Day (2001), a colaboração distingue-se da cooperação porque a
primeira representa uma forma particular de cooperação que envolve trabalho conjunto
em que todos aprofundam o seu conhecimento da situação. A noção de cooperação é
usada para designar a investigação educacional realizada nas escolas, aquela em que os
investigadores se limitam a usar o conhecimento dos professores e alunos como fontes
de dados. Day (2001), na mesma linha de pensamento, refere que enquanto na
cooperação as relações de poder e os papéis dos participantes no trabalho cooperativo
não são questionados, a colaboração envolve negociação cuidadosa, tomada conjunta de
decisões, comunicação efetiva e aprendizagem mútua num empreendimento que se foca
na promoção do diálogo profissional.
A interdependência é um predicado comum à cooperação e à colaboração, mas
não possui o mesmo valor nas duas situações de aprendizagem. Ao diferenciar os dois
conceitos, verifica-se que, na cooperação, a interdependência tem necessariamente de
existir, uma vez que a contribuição de uns só está completa com a contribuição dos
outros. Por seu lado, a colaboração valoriza uma interdependência de caráter mais
associativo, visando um maior envolvimento, a partilha de ideias e recursos, a contribuir
individualmente para as realizações e o apoio mútuo. Aqui, a interdependência surge
num plano mais relacional, e num contexto mais social, visando também a criação de
uma identidade grupal. Tal perspetiva é coerente com a forma como Boavida (2005)
define a colaboração, entendendo-a como a realização de um trabalho em conjunto, que
requer uma maior dose de partilha e interação do que a simples realização conjunta de
diversas operações, a cooperação.
Para Hargreaves (1998), a colaboração entre professores permite que realizem
uma aprendizagem conjunta, uns com os outros, numa partilha de saberes e o ampliar
do conjunto das suas competências, fomentando o desenvolvimento profissional dos
mesmos e das escolas. Ainda segundo este autor, a colaboração entre professores deve
ser uma iniciativa dos próprios, geralmente, voluntária, uma vez que as relações de
trabalho não são de constrangimento, nem de coação, pois devem desenvolver-se de
forma agradável e produtiva. Geralmente são ações orientadas para o desenvolvimento,
em que os envolvidos definem as tarefas e as finalidades do seu trabalho conjunto e
procuram dar resposta a problemas que emergem das suas práticas. Enquanto trabalho
conjunto de um grupo, é importante que se defina um diagnóstico, a planificação, a
construção e a intervenção para a melhoria do desempenho dos alunos.
37
A colaboração, segundo Hargreaves (1998), pode ajudar a promover o
desenvolvimento profissional dos indivíduos envolvidos, podendo proporcionar
momentos de aprendizagem mútua e potenciar reflexões individuais. A possibilidade de
desenvolvimento profissional para os participantes é um dos benefícios do trabalho
colaborativo apontado por uma panóplia de autores entre os quais Day (2001),
Hargreaves (1998) e Lafleur e MacFadden (2001). Particularmente, quando o trabalho
do grupo se expande para além dos seus propósitos iniciais permite diferentes
possibilidades de desenvolvimento profissional individual. Salientam-se, em particular:
a possibilidade de partilha conhecendo outros olhares; a ajuda para ultrapassar
fracassos; o apoio para a inovação; o acréscimo de segurança para iniciar inovações e
mudanças; o aumento de oportunidades de aprendizagem mútua da capacidade de
reflexão, e de correr riscos; e o fortalecimento da autonomia e independência.
Enquanto forma de trabalho essencial em muitas áreas da educação é, cada vez
mais, um elemento importante de concretização de muitos projetos envolvendo
professores ou investigadores e professores (Boavida, 2005; GTI, 2002; 2005; 2008;
Jaworski, 2001, 2007; Martinho, 2007; Santos, 2000; Santos et al., 2010; Serrazina,
2008), e pode ser uma forma de implementar a reflexão:
O apelo à utilização das tecnologias e à diversificação das experiências
de aprendizagem, de ensino e de avaliação impelem os professores à
alteração de hábitos de trabalho e à necessidade constante de formação.
Assim, a reflexão conjunta e o lançamento de pequenos projetos, ou
simples tarefas em conjunto, pode gerar um maior conhecimento entre
professores e formas diversificadas de trabalhar. Este entendimento pode
tornar-se numa reviravolta relativamente ao que são as práticas letivas.
(Dias & Santos, 2008b, p. 249 - 250)
A existência de um campo de entendimento de igual para igual é essencial para
que os participantes se apoiem mutuamente para conseguirem atingir os objetivos a que
se propõem (Boavida & Ponte, 2002). Mas, esse acordo de equidade entre os
participantes reporta-se ao grau de importância do seu papel, não significando que todos
desempenhem as mesmas funções. Os papéis podem ser distintos mas todos são
igualmente relevantes. Cada elemento tem o seu percurso profissional, as suas
experiências, a sua leitura da realidade, e essa diversidade é uma mais-valia para o
trabalho colaborativo e deve ser assumido como tal pelo próprio grupo (John-Steiner,
Weber & Minnis, 1998). Logo, num trabalho colaborativo, cada participante
desempenha um papel específico que se diferencia dos demais nas suas características,
38
nas funções assumidas, bem como na sua intensidade. Cabe ao grupo gerir as
potencialidades de cada um dos seus elementos (Martinho, 2007).
Segundo Boavida e Ponte (2002), neste processo, é fundamental que os
participantes manifestem abertura no modo como se relacionam uns com os outros,
dispondo-se a um contínuo dar e receber, assumindo uma responsabilização conjunta
pela orientação do trabalho e sendo capazes de construir soluções para os problemas no
respeito pelas diferenças e particularidades individuais. A colaboração exige, antes de
mais, interação entre os membros, na medida em que é uma atividade coordenada e
sincronizada. Na colaboração, a realização da tarefa articula-se mais num envolvimento
pessoal, mas num ambiente de interação que possibilita a entreajuda e a pôr em comum
o fruto do seu trabalho. O grupo, sem ser o único local de aprendizagem, é um local
privilegiado de troca de informações e saberes.
Síntese
A planificação, a concretização e a reflexão fazem parte do ciclo da atividade do
professor de Matemática. A reflexão-na-ação é uma ação, no momento que surge a
identificação de constrangimentos na prática letiva e que engloba a sua modificação
imediata. A reflexão-sobre-a-ação consiste numa reconstrução mental retrospetiva da
ação para tentar analisá-la, reconstruindo um ato natural quando percecionado
diferentemente da ação (Alarcão, 1996). A reflexão-sobre-a-reflexão-na-ação, segundo
Schön (1983), é aquela que ajuda o profissional a progredir. O professor reconstrói a
ação e reflete sobre o que acontece para poder identificar os seus pontos críticos. A
reflexão é consequência de uma ordem de tal modo consecutiva que cada ideia gera a
seguinte com o seu efeito natural – em ação - e, ao mesmo tempo, apoia-se na
antecessora ou a esta se refere. Esta análise permite efetuar alterações no processo de
ensino e na atuação, enquanto profissional, para melhorar as experiências de
aprendizagem facultadas aos alunos. Este pode ser um aspeto fundamental, quando os
currículos procuram o desenvolvimento de alunos autónomos e responsáveis pelas suas
próprias aprendizagens.
Quando a atividade do professor se desenrola num ambiente verdadeiramente
colaborativo, se ocorrerem mudanças elas tendem a ser mais duradouras, dado que, os
professores estão implicados no trabalho e discutem as suas dificuldades e necessidades
de uma forma aberta e reflexiva (Boavida & Ponte, 2002). Essas mudanças são
necessariamente as que o próprio professor considera necessárias e não aquelas que os
39
restantes elementos da equipa elegem como relevantes. No entanto, as discussões do
grupo, os desafios colocados pelos pares, abrindo novas perspetivas, podem levar o
professor a identificar novas necessidades (Martinho, 2007). Em conjunto, os
professores planificam, concretizam e refletem na e sobre a ação, consciencializando-se
da forma como desenvolvem as suas práticas e dos recursos que mobilizam para as
ultrapassar.
40
CAPÍTULO 3 – A AVALIAÇÃO REGULADORA EM
MATEMÁTICA
O conceito de avaliação reguladora em Matemática
Significado e adequação à aprendizagem
A avaliação das aprendizagens é um aspeto central e integrante do processo
ensino aprendizagem. A relação entre as práticas avaliativas e a forma como os
processos e os resultados das aprendizagens dos alunos são entendidos, pelos diferentes
atores do processo educativo, têm implicações no currículo e no ensino (James, 2006).
Tem-se verificado grandes avanços na forma como se olha para avaliação,
apesar da avaliação, ainda, ser vista como um constrangimento à aprendizagem
(Stiggins, 2004). Segundo o autor, avaliar é um processo que já não é visto apenas como
um fator de verificação das aprendizagens, mas, também é olhado como uma forma de
promover as aprendizagens (avaliação formativa). No entanto, também, importa olhar
para o processo ensino aprendizagem associado à avaliação uma vez que o professor e
aluno procuram o desenvolvimento de conhecimentos, capacidades e atitudes e
executam o ponto da situação em que se encontram, isto é avaliam para a regulação da
aprendizagem (Santos, 2002; Santos et. al., 2010). A avaliação encontra a sua ligação na
aprendizagem quando se promove o pensamento sobre as atitudes próprias
(autoavaliação) ou quando o professor emite um juízo sobre um trabalho (feedback).
Hoje, a avaliação, é mais complexa e mais sofisticada do ponto de vista teórico
(Fernandes, 2007). A avaliação que promove a aprendizagem tem sido estudada por
vários investigadores (Black & Wiliam, 2006a; Fernandes, 2005; Menezes et al., 2008;
Pinto & Santos, 2006; Santos, 2008b; Santos et al., 2010), o que tem trazido grande
conhecimento ao nível dos processos cognitivos de pensamento dos alunos e dos
processos de aprendizagem. Trata-se de uma avaliação interativa, centrada nos
processos cognitivos dos alunos e associada aos processos de feedback, de regulação, de
autoavaliação e de autorregulação das aprendizagens (Price et al., 2010; Sadler, 1998;
Schunk & Zimmerman, 1998).
41
O currículo (português) possuía2 um sistema de avaliação das aprendizagens
que, a muitos títulos, foi considerado progressista, consistente com recomendações
decorrentes da literatura de investigação e até inovador (Fernandes, 2007). Mas, apenas
com a introdução dos programas de Matemática de 2003 as grandes linhas orientadoras
da avaliação formativa, em particular, na Matemática, ficaram expressas nos diversos
documentos curriculares portugueses (Santos, 2004):
No presente, com a recente reforma em curso, a avaliação toma, talvez
pela primeira vez a nível institucional, um destaque muito particular.
Falamos, por exemplo, na publicação de uma coletânea de textos sobre a
avaliação das aprendizagens que acompanha, juntamente com outras
publicações, as mudanças introduzidas no ensino básico obrigatório,
designadas de uma forma geral por “Gestão flexível do currículo”. Nela
são tratados temas como a avaliação de competências, os critérios de
avaliação, métodos de avaliação pedagógica e a autoavaliação regulada.
É também a primeira vez que a nível institucional são enunciados
princípios orientadores da avaliação: da consistência dos procedimentos
de avaliação relativamente aos objetivos curriculares e às formas de
trabalho efetivamente desenvolvidas pelos alunos; o caráter
essencialmente formativo da avaliação; a necessidade de promover a
confiança social na avaliação, envolvendo nos seus processos alunos e
encarregados de educação. (p. 129)
Para além de incluir os princípios referidos por Santos (2004), há um conjunto
de orientações relativas à consistência que deve existir entre a forma como se
desenvolve o currículo nas salas de aula e as estratégias, as técnicas e os instrumentos
de avaliação utilizados. Em particular, destacam-se os seguintes aspetos:
• a vertente reguladora da avaliação, que é referida por Jorro (2000), Santos (2002), na
vertente teórica, e encontra-se presente nas orientações dos programas de Matemática
– A (10ºano):
Entendemos por regulação da aprendizagem todo o ato intencional que,
agindo sobre os mecanismos de aprendizagem, contribua diretamente
para a progressão e/ou redireccionamento dessa aprendizagem. Ao
falarmos numa ação sobre os mecanismos de aprendizagem, estamos a
considerar o papel central do sujeito, daquele que aprende. Assim, todo e
qualquer ato de regulação tem necessariamente que passar por um papel
ativo do aluno. (Santos, 2002, p. 77)
Pretende-se que a avaliação em Matemática não se restrinja a avaliar o
produto final mas também o processo de aprendizagem e permita que o
2
Alterado a 5 de julho 2012.
42
estudante seja um elemento ativo, reflexivo e responsável da sua
aprendizagem. (Ministério de Educação, 2001, p. 13)
• o objeto de avaliação, como um processo interativo, de comunicação, orientado para
a melhoria das aprendizagens e para a aquisição de conhecimento profundos e claros
sobre os conteúdos matemáticos:
Avaliar os conhecimentos matemáticos dos estudantes significa reunir e
analisar dados sobre o que estes sabem a respeito de conceitos e métodos
matemáticos. Estes dados devem ser utilizados tanto pelos professores
como pelos estudantes; os professores deverão utilizá-los para ajudar os
estudantes a adquirir conhecimentos profundos e ideias claras sobre os
conteúdos matemáticos. (Ministério de Educação, 2001, p. 13)
• a diversidade de formas e instrumentos de avaliação, preconizando a avaliação
integrada no processo ensino aprendizagem, dando atenção à diversidade de alunos e
à multiplicidade de formas de fazer:
O uso variado de instrumentos de forma integrada no ensino permite, por
um lado, a existência de uma avaliação consistente com o ensino e
aprendizagem, contribuindo para o desenvolvimento de sua função
reguladora; e, por outro lado, permite reunir um conjunto significativo de
evidências daquilo que o aluno melhor consegue fazer em diferentes
tarefas e em diferentes contextos de trabalho. (Menino & Santos, 2004, p.
272)
Em particular, recomenda-se fortemente que, em cada período, mais do
que um dos elementos de avaliação seja obrigatoriamente uma redação
Matemática (sob a forma de resolução de problemas, demonstrações,
composições/reflexões, projetos, relatórios, notas e reflexões históricas
ou outras) que reforce a importante componente de comunicação
Matemática (o trabalho deve ser proveniente de um trabalho individual,
de grupo, de um trabalho de projeto ou de outro julgado adequado). (…)
Mas, é claro, os testes escritos, em si mesmos, têm aspetos muito
positivos e são muito importantes. Eles deverão aparecer em momentos
de síntese e cumprir uma função diferenciada da dos outros instrumentos.
(Ministério de Educação, 2001, p. 13)
Não há dúvida que existe um aspeto comum que atravessa todo o tipo de
documentos referentes à educação, em geral, e ao ensino e aprendizagem da
Matemática, em particular, que é a necessidade de desenvolver uma nova cultura de
avaliação que passe por atribuir-lhe um significado diferente e consequentemente um
uso e fins igualmente diversos. Falamos de uma perspetiva de avaliação ao serviço da
aprendizagem (Keitel, 2005; Stiggins, 2004; Santos, 2008c), isto é, uma avaliação que
não se identificando com uma medida, seja sobretudo encarada como uma interação
43
social, um processo desenvolvido por pessoas e ao serviço da aprendizagem, fim
primeiro de toda a educação (Santos, 2003b).
Natureza
A discussão acerca da adoção de um modelo de avaliação integrada na
aprendizagem pode ser mais eclético ou mais sintético e ganha mais pertinência quando
enquadrado pela conceção que o professor tem do processo ensino aprendizagem. Por
exemplo, numa conceção de ensino em que o professor tem de medir a diferença entre o
“modelo do professor” e a forma como o aluno reproduz os conceitos de avaliação e de
classificação, praticamente, não se distinguem (Graça, 1995). Não têm uma dimensão
pedagógica no sentido em que não incidem diretamente no processo ensino
aprendizagem.
Pinto e Santos (2006), também, consideram que não é possível falar-se do
sentido atribuído à avaliação sem o relacionar com o que se entende por ensino e
aprendizagem. Para estes autores, a avaliação está inter-relacionada com o modelo
pedagógico que assenta nas conceções entre ensinar e aprender e nas relações que estas
conceções determinam. As ideias e as práticas mudam, e não é possível estabelecer uma
barreira estanque entre a evolução dos diferentes modos de avaliação, por isso é fácil
encontrar hoje práticas que decorrem ainda das conceções iniciais de avaliação e
“existirem práticas em mosaico, isto é, decorrentes de várias conceptualizações, mas
racionalizadas pela ideia considerada como mais “moderna” e ou mais “adequada” ao
momento” (Pinto & Santos, 2006, p. 12).
James (2006) afirma que ao assumir o alinhamento entre a avaliação e o ensino é
necessário ter em conta as interações que se estabelecem no seio da sala de aula e as
estratégias implementadas para a aprendizagem. Ainda para esta investigadora, é
necessário que os professores adquiram conhecimentos das diferentes abordagens dadas
pelas teorias de aprendizagem para compreenderem as suas práticas pedagógicas, de
ensino e de avaliação. Por exemplo, avaliar para aprender requer que os professores
repensem o que se entende por aprendizagem significativa e que a apliquem. James
(2006) apresenta três exemplos de diferentes práticas de avaliação na sala de aula. Esta
investigadora pretende mostrar que modelos de ensino diferentes afetam os modelos de
avaliação.
Exemplo 1: identificar pontos fracos e respostas incorretas, sugerir exercícios de
treino e avançar à etapa seguinte, após o domínio da anterior. Apesar desta prática
44
implicar uma ação (sugerir exercícios de treino), os critérios da tarefa não têm em conta
o aluno e é orientada por objetivos iguais para todos. Exemplo 2: planificar o trabalho a
desenvolver e encontrar conexões, discuti-las com o professor e após feedback
estabelecer um caminho de reformulação e melhoria. Este procedimento permite dotar
os alunos de ferramentas de ação para ultrapassar a primeira dificuldade numa
atividade. Também serve a autoavaliação, pois é possível identificar as diferentes etapas
percorridas e os pontos onde foi dada a ajuda. Exemplo 3: estabelecer os critérios de
avaliação para um grupo de trabalho e desenvolver a atividade em parceria, observando
o que os outros fazem, melhorando e participando. A avaliação é partilhada com os
outros elementos do grupo, não é apenas uma tarefa do professor e o trabalho recebe o
feedback dos diferentes elementos.
Em qualquer destes exemplos, está implícita a conceção do professor acerca
dum subdomínio do conhecimento (a atividade), a visão da concretização da
aprendizagem em relação à prática letiva, e o processo de avaliação como uma
construção interativa ou como um produto final (Ryve, Nilsson, & Mason, 2012). Deste
modo, e continuando nessa linha de pensamento, importa referir três conceções de
aprendizagem que têm caracterizado a avaliação e que estão subjacentes às práticas dos
professores: a conceção behaviorista ou neo-behaviorista, conceção cognitivista e a
situada ou sociocultural. Seguindo cada uma das perspetivas, é possível identificar e
analisar as suas implicações na sala de aula e na avaliação.
Segundo os behavioristas, a prestação dos alunos é avaliada através da dicotomia
certo versus errado e uma baixa performance envolve a necessidade de uma maior
prática em itens de tipo básico para aquisição de competências básicas, o que pode ser
associado ao exemplo 1 apresentado anteriormente (James, 2006). Na lógica
behaviorista, o processo avaliativo operacionaliza-se da seguinte forma (Allal, 1986): a
recolha de informação incide, particularmente, nos resultados da aprendizagem, em
função dos objetivos observáveis, definidos em termos comportamentais. Essa recolha é
realizada através de instrumentos fiáveis, válidos e objetivos, tais como as grelhas de
observação, exercícios escritos ou testes; a interpretação da informação recolhida é feita
a partir da comparação entre as performances observadas e aquelas que foram
estabelecidas inicialmente; e a adaptação das atividades de ensino e aprendizagem é
feita tendo em conta o contexto educacional. Sabendo que as dificuldades do aluno
advêm de falta de pré-requisitos, aplicam-se atividades de remediação que lhe permitam
atingir com sucesso o que foi inicialmente pedido.
45
A meio caminho entre a perspetiva behaviorista e a sociocultural encontra-se a
cognitiva e construtivista. Aqui incluem-se as teorias de Chomsky, Simon e Bruner,
segundo James (2006). Nesse contexto, a aprendizagem requer um envolvimento ativo
do aluno que é determinada pelo sentido que este dá ao que faz. Os professores
valorizam atividades como a interação no grupo turma, a expressão de justificações em
voz alta e a elaboração de mapas de conceitos (Lau, Singh & Hwa, 2009). Por exemplo,
preconiza-se que o domínio e a compreensão de conceitos permitam a sua replicação em
novas situações. Para Allal (1986) corresponde às três etapas e respetivas
características: i) ao recolher informação, procura-se identificar os processos e as
estratégias utilizados pelo aluno para chegar ao resultado final. Os erros cometidos
assumem um “estatuto didático” dado que constituem a base para compreender as
dificuldades com que o aluno se deparou na realização de uma determinada tarefa; ii) ao
interpretar as informações recolhidas, interessa mais compreender os processos ou as
estratégias utilizados para solucionar o problema apresentado, do que corrigir o
resultado final; e iii) a adaptação das atividades, auxilia o aluno a identificar os erros
cometidos e procura uma estratégia que o ajude a resolver a tarefa proposta. Acredita-se
que modificando a tarefa proposta, é possível que o aluno tente desenvolver soluções
para a sua realização. Caberá ao professor elaborar uma estratégia de avaliação
formativa que seja aplicável à sua turma.
A perspetiva sociocultural ou situada é atribuída a Vygotsky (1978) e tem
sofrido desenvolvimentos nos últimos anos através das abordagens dadas por Rogoff
(1991) e Lave e Wenger (1991). Aprender envolve participação e não depende apenas
da atitude individual mas, também, é necessário dar atenção ao contexto social
envolvente (Cowie, 2005). O professor precisa criar um ambiente de envolvimento do
aluno, onde estimule o pensamento e promova questões pertinentes para a ação por
parte dos alunos. Na sala de aula, os alunos envolvem-se diferentemente nas tarefas,
atribuindo-lhes significado e a aprendizagem não atinge a mesma profundidade para
todos. Nesta perspetiva, a avaliação é um ato instantâneo, situado e holístico, sendo
necessário desenvolver modalidades avaliativas coerentes com esta perspetiva (James,
2006). O processo avaliativo, nesta perspetiva, implica o reconhecimento de que o
objeto a ser avaliado não é nem o que aluno aprendeu, nem o que o professor ensinou,
mas a produção de conhecimentos que esta relação proporcionou, bem como os seus
possíveis desenvolvimentos (as potencialidades) futuros, enquanto possibilidades
futuras. A recolha de informação faz-se de forma interativa e individualizada e tem
46
implicações imediatas na orientação das atividades escolares. A interpretação dos dados
permite a negociação e renegociação dos processos de ensino e de aprendizagem uma
vez que os envolvidos, professor e aluno, são ambos construtores do saber. A adaptação
das tarefas é feita de forma individualizada, interativa e negociada.
Ao mostrar a consistência entre a perspetiva de ensino e aprendizagem que
caracteriza o professor e a modalidade de avaliação adotada, James (2006) procura
alertar para a necessidade de adequar a abordagem dada à avaliação quando se
promovem novas metodologias de ensino e aprendizagem. A perspetiva behaviorista
poderá servir para desenvolver alguns conceitos básicos. A cognitiva será melhor para a
compreensão de conceitos e na ponderação da sua aplicação. A dimensão social da
aprendizagem poderá potencializar a aprendizagem em contextos sociais específicos
(Edwards, 2005). Ao nível da avaliação, as modalidades de avaliação, os instrumentos
de recolha de dados, as funções e os efeitos da avaliação podem ser equacionados em
coerência com uma das perspetivas de ensino e aprendizagem.
Na relação entre o papel do professor e a natureza da disciplina, as práticas de
avaliação não são indiferentes das conceções epistemológicas e ontológicas que os
professores têm da disciplina. Mas há, também, outros aspetos a considerar. Por
exemplo, Fernandes (2005), Harlen (2004) e Stiggins (2004) salientam a influência que
a avaliação externa tem nas práticas de avaliação dos professores na sala de aula. Para
Stiggins (2004), o futuro passa por procurar um maior equilíbrio entre a avaliação
externa e a valorização da avaliação realizada na sala de aula.
Princípios e constrangimentos
O National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) referiu, em 1991, que
a avaliação deve estar de acordo com três princípios gerais: (i) compatibilidade entre
formas e instrumentos de avaliação e as várias componentes do currículo – finalidades,
objetivos, conteúdos, processos matemáticos e experiências de aprendizagem; (ii) a
diversidade de modos e instrumentos, que permitam recolher dados convergentes a
partir de fontes diversas; e (iii) a adequação dos métodos e práticas de avaliação em
relação ao tipo de informação pretendido, ao fim a que se destina e ao nível de
desenvolvimento e maturidade do aluno.
Em Portugal, Leal (1992), que retoma as ideias principais apresentadas por De
Lange (1987), defende que a avaliação deve estar de acordo com seis princípios: a)
princípio da coerência, a avaliação deve estar em consonância com as três componentes
47
do currículo: objetivos, conteúdos e metodologias; b) princípio da integração, onde a
avaliação é vista como parte integrante da aprendizagem; c) princípio do caráter
positivo, a avaliação deve dirigir-se para aquilo que o aluno melhor sabe, ou melhor
sabe fazer; d) princípio da generalidade, por um lado, a avaliação deve dirigir-se a
objetivos gerais de ensino, ao mesmo tempo que o aluno deve ser visto como um todo e
não como um elemento dentro do coletivo, por outro, a escolha de uma forma ou
instrumento de avaliação não deve ser feita em função da sua adequabilidade a uma
classificação quantitativa, mas sim aos fins para os quais foi pensada; e) princípio da
diversidade, na avaliação o professor deve recorrer a múltiplas fontes de evidência do
desempenho do aluno, permitindo dar resposta às características pessoais dos alunos; f)
princípio da postura, a avaliação deve acontecer num ambiente em que a confiança e a
clareza imperem e em que as críticas e sugestões sejam entendidas como naturais.
Se o NCTM (1991) destaca a coerência, a generalidade e a diversidade, Leal
(1992) vai mais além e especifica outros princípios que visam a concretização da prática
avaliativa de cariz formativo nas práticas letivas dos professores de Matemática. A
integração, o caracter positivo e a postura apontam para modos de concretização na sala
de aula (Bennett, 2011). Mas, a perspetiva de Leal (1992) inclui a necessidade dos
princípios serem definidos através de um processo negociado e interativo com aqueles
que estão envolvidos na avaliação, um processo em que todos serão ouvidos. Fernandes
(2005), também, reafirma alguns dos princípios que considera mais relevantes para a
abordagem formativa da avaliação: os professores devem partilhar o poder de avaliar
com os alunos e outros intervenientes e devem utilizar uma variedade de estratégias,
técnicas e instrumentos de avaliação; a avaliação deve estar integrada no processo
ensino aprendizagem; a avaliação formativa deve ser a modalidade privilegiada de
avaliação, com a função principal de melhorar e de regular as aprendizagens; o
feedback, nas suas mais variadas formas, frequências e distribuições, é um processo
indispensável para que a avaliação se integre no processo ensino aprendizagem; a
avaliação deve servir mais para ajudar as pessoas a desenvolver as suas aprendizagens
do que para as julgar ou classificar numa escala; a avaliação é uma construção social em
que são tidos em conta os contextos, a negociação, o envolvimento dos participantes, a
construção social do conhecimento e os processos cognitivos, sociais e culturais na sala
de aula; e a avaliação deve usar métodos predominantemente qualitativos, não se pondo
de parte a utilização de métodos quantitativos.
48
O princípio da coerência, referido por Leal (1992), e a necessidade de integração
da avaliação no processo ensino aprendizagem, referido por Fernandes (2005), é um
aspeto transversal que atualmente está incluído nos programas das disciplinas
Matemática A e Matemática (para cursos profissionais). A avaliação faz parte da
aprendizagem (Leal, 1992) ou a avaliação formativa tem como função principal
melhorar e regular as aprendizagens (Fernandes, 2005), é um princípio que resiste à
generalização nas salas de aula de Matemática, porque os professores resistem à sua
inclusão na prática avaliativa ou interpretam-nos deficientemente. Em parte, este
princípio enfrenta obstáculos justificados por decisões políticas, nomeadamente a
influência de 30% do exame da disciplina de Matemática A na conclusão do ensino
secundário. Mas, existem evidências de práticas que compatibilizam a persistência dessa
influência, nomeadamente dadas por algumas investigações nacionais (Santos et al.,
2010) e internacionais (Black & Wiliam, 1998), e o favorecimento da aprendizagem
significativa através de práticas avaliativas com características reguladoras.
A generalidade e a diversidade são princípios claramente identificáveis no atual
sistema de ensino, quer pelos atores que participam na avaliação, quer pelos programas
e orientações legislativas em vigor (Fernandes, 2005). Também, a investigação em
didática da Matemática tem aprofundado as caraterísticas, as potencialidades e
constrangimentos de vários instrumentos de recolha de dados para a avaliação (Santos,
2005). No entanto, tem sido pouco aprofundado o uso dado à informação recolhida
(Santos et al., 2010), aspeto fundamental para Santos (2011), “o que permite diferenciar
as modalidades de avaliação é a função (ou funções) para a qual é pensada e executada”
(p. 155).
A coexistência da avaliação da aprendizagem e da avaliação para a
aprendizagem, sem a devida planificação e reflexão por parte dos professores leva a
constrangimentos no próprio sistema de ensino (Bennett, 2011). Por exemplo, refira-se
que no ano 1997, com a entrava em vigor do reajuste dos programas do ensino
secundário, a importância dos exames, traduzida nos seus resultados, era tão
socialmente significativa quanto hoje. Esse facto afetou e afeta as práticas avaliativas
dos professores de Matemática, principalmente pela valorização dada à Matemática no
acesso ao ensino superior. Alguns dos seus efeitos, ainda hoje, ao nível da escola,
impedem a concretização de alguns dos princípios elencados por Leal (1992) e por
Fernandes (2005). Destaco a seguir alguns exemplos de constrangimentos.
49
Rankings de escolas. Os diferentes objetivos educativos, expressos na Lei de Bases do
Sistema Educativo, passaram a ter diferentes níveis de importância, isto é, enfatiza-se os
relativos ao prosseguimento de estudos (Leal, 1997), desvalorizando-se os respeitantes
ao desenvolvimento pessoal e à preparação para a inserção na vida ativa.
Figura 1: Jornal "Público" de 27/08/2001
Sujeição das práticas letivas da sala de aula à lógica do exame. Segundo Fernandes
(2005) os exames não são percecionados como complementares da avaliação interna e,
por isso, do trabalho dos professores. Há uma clara sobrevalorização do peso e do papel
dos exames, que acabam por determinar muito do que se faz na escola, nomeadamente
ao nível das práticas de ensino e de avaliação.
A pressão de um exame no aluno. Neste contexto, os alunos desvalorizam tudo aquilo
que não se identifica com as características de um saber testável numa prova [teste
escrito ou exame]. A preparação para o exame traduz-se por aprendizagens intensivas
que apenas se dirigem à memorização a curto prazo, e que passado um curto espaço de
tempo a nada se reduzem (Leal, 1997).
Na verdade, tanto em Portugal como no estrangeiro, no seio dos
constrangimentos referidos, os professores tendem a orientar mais a avaliação para a
atribuição de classificações do que para a melhoria das aprendizagens dos alunos (Black
& Wiliam, 1998; Bennett, 2011; Graça, 1995; Rafael, 1998; Stiggins, 2001, 2004). Os
professores revelam uma preocupação primordial com a atribuição de classificações,
facto a que não será alheia a utilização privilegiada, ou quase exclusiva, de testes para
avaliar as aprendizagens (Fernandes, 2005).
50
Funções
As funções da avaliação [orientação, regulação e certificação] podem ser
equacionadas relativamente às estratégias de realização, precisando os objetivos
específicos (Fraser, 2012): orientação, abrange as condições de aprendizagem e as
estratégias passam por antecipar as dificuldades prováveis da aprendizagem [com vista
a] e escolher entre diversas vias de formação ou de aprendizagem; regulação, dos
processos de aprendizagem, passa por compreender o percurso do aluno, descobrir a
origem das dificuldades e pilotar e otimizar o processo de aquisição; e certificação,
apurar o resultado da aprendizagem, concretiza-se por se pretender verificar que os
objetivos estão atingidos e atestar esse resultado socialmente.
A avaliação tem, ao mesmo tempo, uma função pedagógica e uma função de
controlo e pressão sobre os alunos, os professores e a escola. Esta situação provoca
várias tensões que o professor tem de gerir, por vezes com grande dificuldade. A função
pedagógica, pelo enquadramento dado por Santos (2008a), que não se limita à
observação, mas ao desencadear de uma intervenção pedagógica (regulação) sobre o
ensino e/ou aprendizagem, destina-se a ajudar o aluno, e também o próprio professor,
dando pistas de retorno através de informações múltiplas. A função de controlo e
pressão, de motivação externa para manter na escola um ritmo de estudo e um padrão de
comportamento, serve-se prioritariamente de instrumentos, como os exames, com um
peso considerável na possibilidade do aluno não ser aprovado e/ou não ser admitido no
ensino superior, caso do ensino secundário.
Embora a avaliação continue a desempenhar uma função predominantemente de
classificação, seleção e certificação, que a própria estrutura do sistema educativo impõe,
existe atualmente um maior apelo à função reguladora, cujo peso se sobrepõe às já
existentes (Pinto & Santos, 2006).
A avaliação com a função reguladora ocorre, geralmente, no momento de
aprendizagem e pode incidir sobre diversos objetos: sobre a clarificação entre os
objetivos de aprendizagem e as tarefas a utilizar; sobre a explicitação/negociação de
critérios de avaliação para uma eficaz apropriação por parte dos alunos; ou ainda sobre a
sistematização, interpretação e tomada de consciência dos erros cometidos na realização
de uma dada tarefa (Santos, 2008b; 2008c). Esta perspetiva tende a dar maior
importância às funções de regulação, autorregulação, apoio à aprendizagem, orientação,
motivação e diagnóstico.
51
A avaliação formativa, sendo a principal modalidade de avaliação (prescrita) do
ensino secundário, tem um caráter contínuo e sistemático e visa a regulação do ensino e
da aprendizagem, recorrendo a uma variedade de instrumentos de recolha de
informação, de acordo com a natureza das aprendizagens e dos contextos em que
ocorrem. Na perspetiva de Abrecht (1994), a avaliação formativa “é o refazer do
caminho percorrido, para refletir sobre o processo de aprendizagem em si mesmo” (p.
18). A sua utilidade advém do facto de poder ajudar o aluno a detetar eventuais lacunas
no seu processo para, assim, ultrapassar as dificuldades sentidas.
Vários investigadores consideram que, além de uma função de recolha de dados,
as funções de informação e de emissão de um juízo de valor são inerentes ao ato de
avaliar (e.g. Rosales, 1992; Fernandes, 2005; Jorro, 2000; Suurtamm, Koch, & Arden,
2010). Tem como principal objetivo melhorar o ensino, destinando-se essencialmente
aos professores e aos alunos (Irons, 2007). Aos professores porque lhes permite
modificar ou ajustar as suas práticas, aos alunos porque os auxilia na consciencialização
das suas dificuldades e na correção de erros, ou seja obter feedback (Goos, Stillman &
Vale, 2012).
As principais funções da avaliação formativa, destacadas por vários autores,
encontram-se resumidas no quadro seguinte (Gardner, 2006; Gibbs, 2006; Hadji, 1994;
Irons, 2007; Pinto & Santos, 2006; Santos et al., 2010).
QUADRO 1: FUNÇÕES DA AVALIAÇÃO FORMATIVA
Objeto
Diagnóstico
Uso social
Situar um
nível
OU
Compreender
dificuldades
Função
principal
Tipo de avaliação
Regular
Formativa
Funções anexas
Inventariar
Harmonizar
Tranquilizar
Apoiar
Orientar
Reforçar
Corrigir
Estabelecer um
diálogo
Ora, da modalidade de avaliação formativa ressalta a ideia de aperfeiçoamento
de um processo, em que os alunos e os professores são colaboradores num objetivo
comum – alcançar o sucesso educativo. Está subjacente a esta avaliação uma conceção
do aluno como construtor da sua aprendizagem, onde o papel desempenhado pelo
professor é de facilitador no modo como esse a constrói e desenvolve. Através de uma
orientação individualizada, capaz de identificar os fatores que estão na origem das
52
dificuldades, adaptam-se métodos e faculta-se o tempo necessário para a realização das
tarefas propostas, com sucesso. Deste modo, para além de uma função formativa, já
muito explorada anteriormente, a avaliação assume uma função interativa, permitindo a
comunicação entre os sujeitos envolvidos no processo ensino aprendizagem, auxiliandoos a ultrapassar as dificuldades (Ryve, Nilsson, & Mason, 2012). O seu principal
objetivo é o de contribuir para melhorar a aprendizagem, instruindo o aluno sobre o seu
percurso e informando o professor sobre aquilo que não funcionou como era previsto,
ao recorrer a determinada estratégia (Ryve, Nilsson, & Mason, 2012).
Autorregulação
O conceito de autorregulação tornou-se popular nas décadas de 80 e 90, do
século passado, por enfatizar a emergência de atitudes de autonomia e responsabilidade
dos alunos acerca da sua própria aprendizagem. A expressão auto enfatiza o agente da
própria aprendizagem; regulação procura dar respostas aos objetivos, táticas e
perceções de cada aluno para atingir o seu objeto – a concretização de uma tarefa. A
monitorização da aprendizagem pelo próprio pretende incluir estratégias cognitivas,
metacognitivas e de motivação, para as quais contribui a interação (Lau, Singh & Hwa,
2009; Santos, 2002; Zimmerman, 2000). Vários investigadores (citados em Schunk &
Zimmerman, 1998) dedicaram-se ao estudo da autorregulação nas duas vertentes
principais: por um lado um objetivo de ensino, pela promoção da autonomia e da
motivação; por outro lado, a sua natureza integradora através das potencialidades que
cria para ajudar na resolução de problemas, no desenvolvimento de estratégias
investigativas, na interpretação de resultados, etc…
Uma primeira aproximação ao que se entende por autorregulação em
Matemática foi apresentada por Schoenfeld (1992): "compreensões e sentimentos
individuais que moldam a forma como cada um concetualiza e se envolve no
comportamento matemático" (p. 358). Associada à avaliação reguladora (que permite a
monitorização do processo ensino aprendizagem), podemos distinguir a avaliação
autorreguladora (monitorização do processo de aprendizagem pelo próprio) (Santos,
2002). A autorregulação da aprendizagem é definida por vários autores, como Simão
(2002; 2005; 2006), Zimmerman (2000), Bronson (2000), Pintrich (2000), Rosário
(2006) e Santos (2002), como o processo em que o aluno, após o estabelecimento de
objetivos que interagem com as suas expectativas, desenvolve as estratégias necessárias
para alcançá-los, criando condições para que a sua aprendizagem se efetive. Para o
53
desenvolvimento da autorregulação, as variáveis da tarefa podem afetar o trabalho entre
professor e alunos. Por isso, o professor tem o cuidado de procurar as que se adequam à
promoção da aprendizagem e ao desenvolvimento do conhecimento matemático. A
forma como cada aluno entende a tarefa, como recolhe a informação, as relações que
estabelece, etc., são variáveis a ter em conta (Handley & Williams, 2011). Outras
variáveis a dar atenção são as de estratégia. Flavell (1987) faz uma distinção entre
estratégias cognitivas e metacognitivas. As primeiras dizem respeito ao resultado de
uma tarefa e as segundas, à eficácia desse resultado. Por exemplo, para resolver uma
adição soma-se um número a outro. Essa é uma estratégia cognitiva. Repetir a operação
várias vezes para ter confiança de que a estratégia cognitiva utilizada levou ao sucesso é
uma estratégia metacognitiva. Numa especificação mais rigorosa, as atividades
metacognitivas incluem três estratégias metacognitivas básicas: i) saber relacionar
novas informações às já existentes; ii) saber selecionar estratégias de pensamento com
um propósito; e iii) saber planear, desenvolver e avaliar os processos de pensamento.
Do ponto de vista cognitivo, a aprendizagem envolve o conhecimento como uma
capacidade da mente para significar ou modelar uma informação ou um evento e utilizálos no momento oportuno (Schwarz, Dreyfus & Hershkowitz, 2009). A aprendizagem
reflete a habilidade intrínseca do sistema cognitivo de reorganizar-se para gerar novos
conhecimentos perante as novas necessidades impostas pelo meio. No dia-a-dia, os
alunos recebem enormes quantidades de informação, de várias formas e por vários
meios, captados pelos sentidos, mas que a mente descarta ou retém por um período de
tempo na memória. Como a aprendizagem depende do interesse que a pessoa tem por
alguma coisa, na prática haverá uma mobilização de habilidades para a execução das
tarefas se estas despertarem o interesse. Segundo Zimmerman e Martinez-Pons (1990)
para a aprendizagem autorregulada contribuem os antecedentes do aluno, os seus
conhecimentos prévios, as suas estratégias de aprendizagem, a auto-observação, o juízo,
a autocorreção, e os contextos – que poderão incluir o feedback que é proporcionado
para realinhar os processos de resposta (Hattie & Timperley, 2007).
Para que os alunos tenham um papel ativo na construção mental e tornem a
aprendizagem significativa, precisam estar motivados para colocar em ação as
estratégias adequadas, sejam elas metacognitivas, cognitivas ou motivacionais. A
variável motivacional é considerada, por vários investigadores (Bronson, 2000), como a
mais relevante para ser integrada na componente cognitiva. Estar motivado significa
estar com a intenção de alcançar algum resultado, o qual pode ser diferente de aluno
54
para aluno, assim como as razões pelas quais o procura. Um aluno motivado a realizar
algo vai empenhar-se mais na tarefa e, ao fazê-lo, vai dar mais atenção à escolha das
estratégias adequadas para melhor obter sucesso. A autorregulação estará ligada à
capacidade do aluno fazer ajustamentos no seu processo de aprendizagem em função do
feedback e da observação da sua progressão na aprendizagem (Schunk, 2005). Para
aprender eficazmente, o sujeito necessita de compreender que as estratégias estão
disponíveis, colocando-as ao seu serviço, assim como ser capaz de selecionar as mais
adequadas, monitorizando e avaliando o uso que delas faz.
A atitude do aluno face à Matemática manifesta-se no modo como aborda as
tarefas propostas pelo professor e, de um modo geral, como encara a aula de
Matemática. Chevallard, Bosch e Gascón (2001) sublinham que frequentemente os
alunos agem com uma certa irresponsabilidade matemática, como se não fizesse parte
do seu papel comprometerem-se com a coerência, avaliação ou justificação dos seus
raciocínios, nem com a análise crítica e fundamentada do que ouvem. Lidar com esta
situação de modo a alterá-la não é simples, tal como não é simples ensinar os alunos a
avaliar, reconhecer e produzir argumentos matematicamente válidos adaptados à sua
maturidade (Lau, Singh & Hwa, 2009). A complexidade desse processo coloca o
professor perante desafios que não existirão se a ênfase for meramente colocada na
aprendizagem de técnicas e procedimentos ou se o controle do discurso da aula e o
poder decisório sobre o valor matemático desse discurso estiverem inteiramente nas
suas mãos (Henning et al., 2012).
A autorregulação não é uma meta fácil. Mas pode ser ensinada (Boekaerts, 1997;
1999), na perspetiva que ao desenvolver nos alunos atitudes de autorregulação pode
trazer muitas vantagens para o processo ensino aprendizagem. Alguns dos argumentos
que funcionam a favor desta perspetiva estão descritos a seguir.
i) A autoavaliação leva a uma compreensão mais profunda do que é a aprendizagem. Ao
refletir sobre o processo ensino aprendizagem, os professores e os alunos fazem uma
análise metacognitiva sobre o contexto educativo. Por exemplo, a comparação entre
estilos e estratégias de aprendizagem facilita a consciencialização de que existem
diferentes formas de aprender (Buhagiar & Murphy, 2008). Existem alunos que usam
notas de leitura com resumos de conteúdos, outros que fazem uma reflexão antecipada
sobre o que lhes é solicitado (Dias & Santos, 2008a; Quinton & Smallbone, 2010) ou
ainda outros podem traduzir a questão por outras palavras para obter uma maior
compreensão do que lhes é solicitado (Dias, 2005). O confronto e o conhecimento
55
dessas diferentes formas de atuação pode levar o professor a avaliar a sua forma de
atuação e a procurar abarcar um maior número de alunos, se implementar estratégias
diversificadas (Ryve, Nilsson, & Mason, 2012). Para além disso, ao avaliar o que se
sabe e o que não se conhece, promove-se um maior investimento pessoal na procura de
entendimento: quando não se compreende um assunto não se investe nele. É um engano
o professor supor que o assunto continua a fazer sentido. A autoavaliação periódica
ajuda a ultrapassar esta dificuldade e as discussões com toda a turma ou o trabalho de
grupo também podem ajudar a ultrapassar as resistências dos alunos (Handley &
Williams, 2011). A execução dos trabalhos solicitados é feita pelo aluno, mas durante o
processo, o professor deve colocar “boas” perguntas, enquanto decorre a concretização
(Gipps & Stobart, 2003; Santos, 2002).
ii) A autogestão do pensamento e o esforço promovem abordagens flexíveis para a
resolução de problemas. Definir objetivos adequados e que sejam exequíveis reforça o
caráter desafiador dos problemas. Os professores podem compreender as dificuldades
encontradas no estabelecimento de objetivos quando se procuram incluir todos os
alunos. Podem ultrapassar-se as dificuldades através do estabelecimento de objetivos
pelos próprios alunos, por oposição às grandes concretizações destinadas a
impressionar. Assim, os objetivos devem ser diversificados e situarem-se ao nível
desafiador. Para além disso, o controlo do tempo e a mobilização de recursos é essencial
para o estabelecimento de prioridades, para a superação de frustrações e a persistência
na conclusão da tarefa. Os professores devem intervir de forma subtil na escolha dos
materiais quando estes têm um grau superficial de exigência e permitir as escolhas
pessoais, embora lançando algumas questões que mantenham o caráter desafiador, mas
aumentem o grau de complexidade. A gestão dos tempos escolares inclui a definição de
prioridades e a organização do professor também mobiliza os alunos para serem
organizados. Rever a própria aprendizagem, ou um tipo de abordagem, ou até mesmo
começar de novo, pode indicar autocontrolo e um compromisso pessoal para a
concretização eficaz da tarefa. Por oposição, o fracasso é um obstáculo à
autorregulação. Quando uma tarefa não é concluída, mas o aluno é capaz de avaliar o
que correu mal não é considerada uma situação de fracasso, porque mostra análise e
possibilidade de assumir de novo a tarefa. O insucesso não tem o mesmo efeito em
todos os alunos. Cabe ao professor identificar a perceção que o aluno faz das tarefas que
não correm como planeado, se estão dispostos ou não a começar de novo até que os
objetivos sejam atingidos.
56
iii) A autorregulação pode ser ensinada de diversas maneiras. Por um lado, o professor
pode identificar as estratégias metacognitivas necessárias para a compreensão e para a
monitorização do trabalho e encontrar formas de envolver os alunos na reflexão sobre a
própria aprendizagem periodicamente. Por outro, a autorregulação pode ser ensinada
indiretamente com atividades escolares que utilizem ferramentas metacognitivas,
fazendo apelo à reflexão e ao entendimento. Tarefas que envolvem comentários e
discussões são as mais indicadas. Por outro, ainda, a autorregulação pode ser promovida
por avaliação, pelo registo dos objetivos alcançados, registo de progressos realizados,
anotações de comportamentos e aprendizagens.
iv) A autorregulação faz parte do conjunto de experiências vividas por cada indivíduo.
Lave e Wenger (1991) discutem se a aprendizagem se situa no domínio cognitivo ou
nas interações sociais. Para estes autores, a aprendizagem constrói-se através de um
percurso de vida. Assim, a aprendizagem na escola depende das experiências
proporcionadas aos alunos e da adesão destes às solicitações vindas do grupo em que
estão integrados.
Se a autoavaliação é um processo essencial ao desenvolvimento da
autorregulação, também há outros aspetos que não podem ser descorados quando se
preconiza o sucesso do processo ensino aprendizagem (Schunk, 2005). Olhar para a
aprendizagem matemática e para a avaliação das aprendizagens na sala de aula exige
conhecer como é que se inter-relacionam estas duas componentes. Crooks (2001)
identificou quatro grupos de fatores que influenciam a avaliação das aprendizagens na
sala de aula: o afetivo, as tarefas, a organização e o processo. Para refletir sobre estes
temas Stobart (2006) organizou-os em termos de confiança e motivação, aprendizagem
explícita e relação entre avaliação formativa e sumativa. É usando estas três categorias
de análise que agora passo a descrever a autorregulação.
Aprender envolve confiança e motivação. É uma afirmação de Stobart (2006),
mas que implica a perceção que os professores têm dos alunos e das questões que estes
lhes colocam. A confiança implica que sejam ponderadas ações e atitudes na sala de
aula que permitam ao aluno admitir as suas dificuldades e os seus erros, por exemplo a
abordagem positiva do erro (Santos, 2002). A motivação envolve o par aluno-professor,
em que ambos assumem o compromisso de que o aluno é capaz de aprender. A
confiança e a motivação estão baseadas na assunção de que o professor está na aula para
ajudar os alunos a aprender. Para que esta interação reguladora seja eficaz passa muitas
vezes pela identificação e ajuda à interpretação dos erros cometidos. Por exemplo, os
57
alunos do ensino secundário, estudados por Dias (2005), ao trabalharem em
investigações matemáticas, encararam os erros como naturais no processo que
desenvolviam.
A explicitação das intenções da aprendizagem é importante para que os alunos
entendam o que lhes é pedido (Andrade & Valtcheva, 2009). A não compreensão, por
parte dos alunos, do que lhes é solicitado pode ser considerada uma ameaça ao
desenvolvimento de todo o processo ensino aprendizagem (Bishop & Clarke, 2005;
Stoll et al., 2003). Compreender o que é preciso fazer para aprender é um elemento
chave da definição de avaliação integrada no processo ensino aprendizagem
(Assessment Reform Group, 2002a; 2002b). Para Sadler (1989), também, a
compreensão é em si mesmo um ponto crítico para o sucesso do feedback dado pelo
professor. Como condições que afetam o impacto do feedback, Hattie e Timperley
(2007) e Price et al. (2010) referem, ainda, a necessidade do professor explicitar os
objetivos de aprendizagem e os passos a dar para atingir um trabalho de sucesso.
A relação entre a avaliação formativa e sumativa é um fator de perturbação do
processo ensino aprendizagem e pode afetar o trabalho que se desenvolve na sala de
aula (Stobart, 2006) e o desenvolvimento da autorregulação. O apuramento da avaliação
final, a sumativa, pode condicionar as práticas de aprendizagem. A valorização da
avaliação sumativa externa afeta o modo como se desenvolve a aprendizagem uma vez
que se verifica a tendência para valorização das técnicas de resposta a testes e atribui-se
pouco significado ao desenvolvimento de algumas competências essenciais. O elemento
formativo no processo de aprendizagem envolve feedback de acordo com critérios
explícitos, o que deve contribuir para a reorientação da atividade e para a sua
concretização ou a sua melhoria.
Neste contexto, a autorregulação da aprendizagem pode promover a
compreensão do significado do que se aprende, a perceção inovadora do conteúdo a ser
aprendido e os processos de mudança pessoal durante o ato de aprender (Schunk, 2005).
O grande desafio da educação hoje é desencadear e implementar ações para promover
os processos de aprendizagem. A aprendizagem adquire significado por resultar da
interação de um conhecimento anterior com novas experiências resultantes de interações
(Schwarz, Dreyfus & Hershkowitz, 2009). O envolvimento do aluno é fundamental. O
aluno estabelece objetivos e mobiliza estratégias, capacidades, competências e
conhecimentos para os atingir, se o professor o exigir.
58
Avaliação, ensino e aprendizagem
Ao falar de uma avaliação que auxilia professores e alunos a regular o processo
ensino aprendizagem, retira-se o aspeto de classificação intrínseco à avaliação sumativa
(Soares, 2007). Excluem-se práticas mais orientadas para a classificação e
hierarquização em contexto escolar, para se optar por uma prática de natureza
qualitativa e mais centrada no aluno. Assume-se a integração da avaliação, do ensino e
da aprendizagem, que permite ao professor acompanhar, a par e passo, as aprendizagens
realizadas pelos alunos. Sendo descritiva e qualitativa, visa informar o aluno sobre o
estado de cumprimento dos objetivos do currículo, indicando objetivos intermédios que
irão levar à adoção de novas metodologias. Baseada no diálogo, possibilita um
reajustamento contínuo das práticas, para que todos alcancem com sucesso os objetivos
definidos (Black & Wiliam, 2006b). Nesta perspetiva, avaliar não é um julgamento
sobre a aprendizagem do aluno, mas uma comunicação para dar informação ao aluno do
que já sabe e qual o caminho que deve percorrer para melhorar os seus conhecimentos.
Na perspetiva de regulação das aprendizagens, os professores de Matemática
criam ambientes quando selecionam situações (de entre as famílias de situações
inscritas no currículo) e/ou tarefas complexas, na abordagem das quais o aluno possa
demonstrar o estado de desenvolvimento da sua competência (Peralta, 2002). Esta ótica
é o que Black e Wiliam (2006c) chamam de colocar a perspetiva de ensino na
aprendizagem. Para integrar a avaliação, o ensino e a aprendizagem é necessário que os
alunos tenham um papel ativo (interventivo) na procura de compreensão. Geralmente,
os alunos valorizam apenas as tarefas de avaliação formais. No entanto, existem outros
trabalhos realizados pela turma que se revestem de grande significado para a
aprendizagem, como é o caso de uma discussão com toda a turma ou um trabalho em
pares (Noonan & Duncan, 2005; Henning et al., 2012).
Na planificação, os professores podem selecionar tarefas que promovam o
interesse dos alunos, que os ajudem a compreender diferentes formas de aprender
(Handley & Williams, 2011). Este é o espaço onde se ajusta a aquisição diferenciada
dos conhecimentos e onde entram em jogo modos variados de apropriação (Schwarz,
Dreyfus & Hershkowitz, 2009). A constituição de significado implica uma interação
constante do aluno com situações problemáticas, segundo Brousseau (1994) uma
interação dialética, porque o aluno antecipa e finaliza as suas ações, investindo
conhecimentos anteriores, submetendo-os a uma revisão, modificando-os, completandoos ou rejeitando-os para formar novas conceções ou reforçar as que possui.
59
Nos programas, relativamente à avaliação, fazem-se sugestões que envolvem a
recolha dos produtos dos alunos nas aulas, em trabalhos individuais e/ou de grupo e que
sobretudo traduzam aquilo que o aluno foi fazendo ao longo do ano, tais como
relatórios, projetos, notas, etc. Recomenda-se a avaliação do processo a fim de permitir,
por um lado, promover a consciência das falhas e, por outro, a certeza de que estas
podem ser ultrapassadas. Segundo Goldenberg (1999), existem tarefas que se podem
adequar ao desenvolvimento destes princípios. Os problemas “para reflexão”, ou seja,
que pedem ao aluno que repare em pequenas diferenças entre os diferentes problemas,
ou então que reflitam no que acabaram de fazer e infiram as ideias fundamentais de
casos particulares são um exemplo de tarefas deste tipo. Alguns problemas são tão
difíceis que não conseguimos resolvê-los, mas temos que arranjar maneiras de avaliar os
nossos progressos sem uma ideia do caminho para a sua resolução (Goldenberg, 1999).
É neste ato avaliativo que o questionamento e o feedback assumem um papel
fundamental, apoiando a aprendizagem matemática (Price et al., 2010; Quinton &
Smallbone, 2010). Existem outros elementos chave do processo de matematização que
assinalam em que nível os alunos praticam a sua matemática: a representação mental da
estrutura matemática; o raciocínio; o vocabulário e a estrutura da língua de
comunicação; as tentativas; as estratégias e os procedimentos para encontrar uma
solução; o nível de compreensão e de competência. Estes fatores permitem ver e
compreender as diferenças entre os alunos, mas também, como os alunos transformam
as suas ideias e o seu modo de pensar e de fazer quando passam de um nível de
desenvolvimento para outro (Buhagiar & Murphy, 2008).
A avaliação formativa atribui ao aluno um papel principal, uma vez que pretende
“desenvolver atitudes de autoavaliação, que o levem a ser capaz de se situar no seu
processo de formação” (Abrecht, 1994, p. 17). O professor deixa de ter o papel de único
avaliador, para permitir ao aluno assumir um papel mais interventivo. Face a esta
situação, “o grande desafio do professor será o de multiplicar as situações de avaliação,
jogando com as interações professor - alunos, aluno-aluno, mas também aluno-material
didático” (Alves, 2004, p. 61). Estando associada a um ensino diferenciado, esta
modalidade valoriza procedimentos de acompanhamento do trabalho dos alunos
(Handley & Williams, 2011). A sua finalidade é a de reconhecer onde e em quê o aluno
sente dificuldade, procurando informá-lo. Ela representa um feedback para o aluno
(Price et al., 2010) e para o professor (Day, 2001). A principal finalidade deste
procedimento, tem a ver com a tentativa de assegurar que um maior número de alunos
60
possa alcançar os objetivos determinados no início de uma formação e assim, mais do
que uma avaliação - sanção, esta avaliação tem uma função reguladora dupla (Alves,
2004; Santos & Pinto, 2010): i) regular o dispositivo pedagógico, o professor é
informado dos efeitos do seu trabalho, ajustando as suas intervenções em função das
situações; e ii) regular a atividade do aluno, ajudando-o a tomar consciência das suas
dificuldades, assim como a reconhecer e corrigir o erro.
Numa sociedade em que se pretende assegurar o sucesso escolar a todos os
alunos, traduzido pelo alargamento da escolaridade obrigatória a 12 anos em 2012/2013,
as práticas pedagógicas devem ser dinâmicas e proporcionar oportunidades de
aprendizagem a todos os alunos. A avaliação deve identificar dificuldades e sugerir
formas de ajudar os alunos, o que tem como principais funções a compreensão e o
melhoramento da prática educativa; deve enfatizar o controlo e o progresso individuais
(identificação dos pontos fortes e das necessidades dos alunos e consequente adaptação
do ensino, por parte do professor) constituindo o feedback constante fornecido aos
alunos, um dos seus fatores-chave (Price et al., 2010). Embora, seja sabido que o
impacto do feedback nem sempre é positivo, relaciona-se com variáveis como o estatuto
do aluno, as finalidades da tarefa ou os critérios de avaliação (Hattie & Timperley,
2007). A ênfase desta avaliação deverá colocar-se na melhoria das aprendizagens dos
alunos. É uma premissa que contém uma conceção alargada de avaliação, em que já não
basta aplicar testes e exames aos alunos; onde se tem de apreciar comportamentos,
conhecimentos, capacidades, atitudes, hábitos, interesses, de forma a assegurar
informação que permita o desenvolvimento de um conjunto alargado e integrado de
capacidades e competências (Perrenoud, 2004; Santos; 2003b; Scallon, 2004; Santos &
Pinto, 2010).
Black & Wiliam (2006a) discutem e sintetizam o que consideram ser os quatro
elementos mínimos numa prática de avaliação formativa:
• relações entre o papel dos professores e a natureza da disciplina, em que destacam a
relação entre natureza da disciplina e às conceções epistemológicas e ontológicas dos
professores acerca dela;
• papel dos professores na regulação das aprendizagens, distinguindo entre regulação
da atividade (o que vou ensinar ou o que é que os alunos vão fazer) e regulação da
aprendizagem (como vou ensinar ou o que é que os alunos vão aprender);
• interações professor-aluno, dando particular destaque ao papel do feedback;
61
• papel dos alunos na aprendizagem, em que destacam as dimensões metacognitiva,
afetiva e volitiva das aprendizagens e a relevância do feedback, da autoavaliação, das
discussões nas aulas e da avaliação e do apoio entre pares.
Síntese
Para abordar a construção do conceito de avaliação reguladora em Matemática,
há que perceber que a construção dos conceitos matemáticos se faz por compreensão e
que para que se verifique aprendizagem é necessário um envolvimento interventivo do
aluno (Keitel, 2005; Santos, 2008c). No entanto, a atenção não pode recair apenas nos
conteúdos individuais e disciplinares, o contexto de aprendizagem, o ambiente, o
processo e as interações são outros fatores a ter em conta.
A inclusão do desenvolvimento de processos avaliativos coerentes com as outras
componentes curriculares é um dos maiores desafios dos sistemas educativos desde o
final da década de oitenta do século passado (APM, 1998; NCTM; 2007). O
desenvolvimento da vertente reguladora da avaliação, contribui para a consistência que
deve existir entre a forma como se desenvolve o currículo na sala de aula e as
estratégias, as técnicas e os instrumentos de avaliação utilizados, promove a clarificação
entre
os
objetivos
de
aprendizagem
e
as
tarefas
a
utilizar;
procura
a
explicitação/negociação de critérios de avaliação para a sua apropriação por parte dos
alunos; intenta a sistematização, interpretação e tomada de consciência dos erros
cometidos na realização de uma dada tarefa (Santos, 2004; 2008a). Quando se preconiza
a integração da avaliação, do ensino e da aprendizagem deve ter-se em conta as
conceções do professor e dos alunos. A natureza da prática avaliativa diverge em
consonância com a perspetiva teórica que o professor tem do ensino e da aprendizagem
(James, 2006; Gardner, 2006).
Black e Wiliam (1998) assumem que quando se fala de avaliação formativa se
estão a incluir as atividades desenvolvidas pelos professores e/ou pelos alunos que
fornecem informação a ser usada como feedback para modificar as atividades de ensino
e de aprendizagem. É um modo de avaliação que tem o propósito de fazer pontos da
situação relativamente ao progresso dos alunos face a vários tipos de objetivos do
currículo, permitindo ao professor introduzir as necessárias correções ou inflexões na
sua estratégia de ensino e ao aluno consciencializar-se dos raciocínios erróneos e
dificuldades para ultrapassá-los (Santos & Pinto, 2010).
62
Numa perspetiva
mais centrada no aluno, atribuindo-lhe um maior
protagonismo, o professor deixa de ter a exclusividade da função avaliativa para
permitir ao aluno assumir um papel de inclusão e participação. Assim, nesta abordagem,
a avaliação não pode ser uma comunicação definitiva sobre a aprendizagem, mas um
ponto da situação com indicações para o professor e para o aluno. Nessa perspetiva de
integração da avaliação, ensino e aprendizagem, Pinto e Santos (2006) salientam que se
trata de um ato que incide sobre uma realidade em ação, colocando em destaque a
problemática da comunicação e a necessidade de partilha de códigos que assegurem o
seu funcionamento entre os vários atores, para a explicitação das intenções, dos
objetivos e dos meios a utilizar na recolha de informação.
Práticas avaliativas na sala de aula
Várias são as formas e os modos de operacionalizar as práticas de avaliação
reguladora na sala de aula, a vantagem advém quando o aluno procura interpretar e
compreender o que lhe é solicitado, mas em simultâneo tem de efetuar um processo de
revisita das suas estruturas de conhecimento de forma a poder dar a resposta adequada à
situação (metacognição), contribuindo deste modo para a sua autorregulação (Santos,
2002; Schunk, 2005). Têm existido algumas investigações sobre a procura de modos de
avaliação, contextualizados na sala de aula, promotores da monitorização da
aprendizagem matemática (Cambra-Fierro & Cambra-Berdún, 2007b; Projeto AREA
2006; 2008; Santos, 2002; Webb & Mastergeorge, 2003). Passo a destacar nas páginas
seguintes alguns exemplos. É no entanto de notar que, embora analisadas em separado,
por facilidade de caracterização, tal não significa que não possam ser usadas de forma
articulada entre si.
A observação
A observação do trabalho dos alunos nas aulas é uma prática com potencialidades
reguladoras, muito usada pelos professores (APM, 1998). Por vezes, na observação, a
recolha de informação não é acompanhada de registos escritos, nem sempre é feita de
forma sistemática e focada, por isso, segundo Santos (2005), é vista, por grande parte
dos professores, como impressionista e pouco fiável. Este caráter subjetivo pode
explicar a atribuição de pouca confiança na informação recolhida através da observação
(Graça, 1995; Martins, 1996; Rafael, 1998). Pode servir a regulação do ensino, dia-a63
dia, mas os professores não a valorizam tanto como aos dados recolhidos através, por
exemplo, dos testes escritos pelo que, embora influenciando a classificação de final de
período, não constitui o seu elemento base (APM, 1998; Graça, 1995; Martins, 1996).
Para Leal (1992), uma possível razão para explicar, que sendo reconhecida como uma
forma por excelência para recolher certo tipo de informação se faça sem registos e de
forma pouco sistemática, tem a ver com as dificuldades inerentes a esta tarefa por parte
do professor. As principais dificuldades apontadas nesse estudo foram: a solicitação por
parte dos alunos; a atenção dirigida à observação, que leva a uma desconcentração nas
respostas dadas às questões levantadas pelos alunos; o excesso de tempo para realizar a
tarefa; e o registo atempado da informação recolhida. Os professores parecem
privilegiar sobretudo aspetos relativos às atitudes dos alunos quando recorrem à
observação (Leal, 1992; Graça, 1995; Varandas, 2000). Menino (2004) destaca, ainda, a
observação como um meio para completar informação recolhida por outras vias. Mas a
observação pode ainda ter uma outra função, a de regular o próprio ensino, como
emergiu do estudo de Varandas (2000). Do que foram observando em diversos
momentos de trabalho na sala de aula levou as professoras a questionarem e/ou a
reformularem opções que, inicialmente, tinham tomado na sua planificação, como seja o
alargamento do tempo de realização da tarefa, ou a análise crítica mais fundamentada
sobre as tarefas que tinham proposto aos seus alunos.
Explicitação/negociação dos critérios de avaliação
Para Alves (2004) e Bobb-Wolff (2002) a autoavaliação aprende-se, mas para a
desenvolver é necessário, ter como base os critérios de avaliação, que constituirão um
trunfo determinante no êxito da ação. Dado que esse processo passa pela confrontação
entre as ações a desenvolver numa dada tarefa e os critérios de realização da mesma
(Jorro, 2000), a apropriação dos critérios de avaliação da tarefa também é condição
necessária para desenvolver a autorregulação. Todo o professor tem implicitamente um
conjunto de critérios de avaliação para ajuizar da qualidade de um produto realizado
pelo aluno (Cambra-Fierro & Cambra-Berdún, 2007b) mas, nem sempre os torna
explícitos. Deste modo, Santos (2002) refere que uma ação que por vezes pode ser
complexa para o professor, mas contudo indispensável, é a explicitação dos critérios de
avaliação de uma dada tarefa antes do seu início. Numa perspetiva de avaliação criterial,
os professores clarificam para si próprios, no momento da planificação, quais são os
critérios de avaliação, as referências a partir das quais irão apreciar os trabalhos e as
64
aprendizagens dos alunos (Handley & Williams, 2011). Mas para desenvolver a
competência de autoavaliação do aluno é necessário ir mais longe, dedicando algum
tempo à explicitação da representação desses critérios e procurando, ao longo do
processo ensino aprendizagem, aproximá-lo gradualmente daqueles que o professor
definiu para si mesmo.
Abordagem positiva do erro
Para que um qualquer processo de regulação seja eficaz, ter-se-á de passar, numa
primeira fase, pela compreensão da situação. Uma fonte rica de informação para a
compreensão da aprendizagem é o erro. Assim, de uma função contabilística a que o
erro tem sido associado tradicionalmente, quanto mais erros, maior a sanção (perspetiva
behaviorista), passa-se a atribuir-lhe uma função informativa. O erro, sendo um
fenómeno inerente à aprendizagem, representa uma coerência própria de uma dada
representação, isto é, revela uma conceção associada a uma dada representação que o
aluno formou (Santos, 2002). O objetivo é que o aluno seja ele próprio capaz de fazer a
sua autocorreção, sendo para isso necessário compreender o erro para criar condições
para o ultrapassar (Hadji, 1994; 1997). Segundo Santos (2002) quando o próprio
consegue identificar o erro e corrigi-lo, acontece aprendizagem:
Cabe ao professor interpretar o seu significado, formular hipóteses
explicativas do raciocínio do aluno, para o poder orientar. A orientação
por parte do professor deve atender a certos aspetos, como seja, não
identificar o erro, nem tão pouco corrigi-lo, mas sim questionar ou
apresentar pistas de orientação da ação a desenvolver pelo aluno que o
leve à identificação e correção do erro. (p. 80)
Também, cabe ao professor o papel de suscitar nos alunos as interrogações
necessárias à autoavaliação (Brookhart et al., 2004). No entanto, para Pinto e Santos
(2006), o facto de o professor aparecer com a função de avaliador em alguns momentos
mais formais da sua prática, não significa que não tenha outras funções ou não possa
avaliar noutros momentos. Diversificar e diferenciar nos processos de ensino e de
aprendizagem
(metodologias,
interação
pedagógica,
formas
de
agrupamento,
organização do espaço e do tempo, materiais,…) (Alonso, 2002) é um caminho para a
concretização de modalidades de avaliação centradas no aluno. A diferenciação
pedagógica e a adequação na gestão curricular estão ligadas à necessidade de se prestar
uma grande atenção ao percurso e evolução de cada aluno (Abrantes, 2002; Santos,
2009). Segundo Vieira et al. (2006), a implementação de um modelo deste tipo
65
apresenta algumas características específicas a que o professor deve dar atenção (ver
Quadro 2).
QUADRO 2: CARATERÍSTICAS DE UM MODELO AVALIATIVO CENTRADO NO ALUNO
Pressupostos principais
Finalidades prioritárias
Traços processuais
O aluno é um sujeito
consumidor crítico e
produtor criativo do saber
Aproximar o aluno do saber e
do processo de aprendizagem
Ajudá-lo a aprender a
aprender
Focalização nos processos de
aprendizagem e no aluno
Clima tendencialmente
democrático e informal
Participação do aluno na
tomada de decisões e
elaboração de projetos e
contratos
O professor é facilitador da
aprendizagem, mediador na
relação aluno/saber, parceiro
na negociação pedagógica
Encorajar a responsabilidade
e a assunção de uma postura
proactiva no processo de
aprendizagem
Tarefas do tipo reflexivo e
experimental
Gestão colaborativa da
informação e da palavra
Construção colaborativa de
saberes académicos, sociais e
de aprendizagem
O saber é dinâmico,
transitório e diferenciado de
sujeito para sujeito
Promover a relação entre a
escola e a vida
Valorização da função
formativa das práticas de
(auto) avaliação,
tendencialmente integradoras
(Adaptado de Vieira et al., 2006)
Interações professor – aluno
O contexto escolar é caracterizado por relações interpessoais (Santos, 2002) para
as quais contribui a compreensão que o professor tem do processo ensino aprendizagem.
Ao analisar o modo como os professores podem ajudar os alunos a tornarem-se
autorregulados, é preciso olhar para as práticas da sala de aula e caminhar no sentido de
desenvolver estratégias de ensino que motivem os alunos no desencadear de esforços
em diversos contextos, no seio da escola e fora desta (Buhagiar & Murphy, 2008; Ryve,
Nilsson, & Mason, 2012). Paris e Winograd (2001) defendem que em primeiro lugar é
preciso que os professores entendam o seu próprio pensamento. Quando estes adquirem
o domínio e a compreensão da natureza do que ensinam e do contexto social em que
ocorre e refletem sobre as suas próprias experiências, questionando-as, permitirá a
criação de climas de aprendizagem favoráveis, em que os alunos aprendem mais
significativamente. A interação professor - aluno, quer oral, através do questionamento,
quer escrita, através da escrita avaliativa, é uma prática avaliativa reguladora das
aprendizagens (Santos, 2002; Dias, 2005).
66
A interação contribui para a regulação das aprendizagens dos alunos,
permitindo-lhes também melhorar a sua compreensão dos assuntos, identificando o que
errou e porquê. Estas interações ocorrem, quer por escrito, quer oralmente, durante a
realização dos trabalhos. Ao acontecer de forma intencional no quotidiano do trabalho
da sala de aula integra a avaliação no currículo (Pinto, 2003; Santos, 2003a). Quando se
fala de interação oral numa perspetiva reguladora, em geral, associamo-la ao
questionamento ao longo do trabalho que o aluno está a desenvolver (Mason, 2000;
Santos, 2002). É sabido que para que este questionamento seja realmente regulador deve
respeitar algumas condições, como seja não corrigir os erros, mas antes dar pistas, e não
validar, mas antes questionar de forma a ser o próprio aluno a desenvolver um
argumento convincente sobre o seu raciocínio (Santos, 2003a; 2004).
O questionamento oral, caracterizado como um feedback interativo por Black e
Wiliam (2006b), é central na implementação de uma prática de avaliação formativa.
Este tipo de feedback resulta da necessidade do professor responder às dúvidas
colocadas pela turma quando se permite que os alunos discutam e procurem respostas
alternativas e diversificadas a uma questão. Este tipo de participação dos alunos requer
que o professor valorize da mesma forma as respostas certas e erradas. Uma
consequência desta alteração para a prática letiva é o trabalho que os professores têm de
realizar a priori para conhecer os alunos, as suas dificuldades e as suas necessidades.
Por esta via, os processos de ensino caminham no sentido de satisfazer aquilo que
realmente os alunos precisam. Na tentativa de desenvolvimento desta perspetiva, os
professores tendem a procurar prever as questões que lhes serão colocadas pelos alunos,
exploram-nas e estabelecem os indicadores que mostram o que os alunos
compreenderam. Eles levam os alunos a formular respostas corretas e a reformularemnas de forma a aproximarem-se do que se considera ser a compreensão. O
desenvolvimento deste estilo interativo, diálogo na sala de aula, requer uma alteração
radical no que se considera ser o ensino tradicional, uma vez que o professor perde o
papel principal de condução da aula e terá de responder aos estímulos que têm origem
nos alunos. O projeto KMOFAP3 (Black et al., 2003) evidenciou que esta prática pode
ser bem-sucedida, pois foi implementada em várias escolas com sucesso. Estas práticas
são exemplo de que a avaliação contribui para o envolvimento de toda a turma no
trabalho e na discussão, em trabalho de grupo ou não, e que é possível modificar a
3
King’s Medway Oxforshire Formative Assessment Project.
67
cultura de sala de aula quando se cria um ambiente de aprendizagem rico e eficaz
(Henning et al., 2012).
Refletir antes de agir
Num processo de avaliação reguladora, o aluno incorpora técnicas de
autorregulação do seu trabalho que o ajudam a avaliar os seus produtos (Jorro, 2000).
Esta ideia é comum a vários investigadores (Allal, 1986; De Ketele, 2001) e partilha a
premissa de que os processos cognitivos e metacognitivos dos alunos desempenham um
papel de destaque na monitorização das aprendizagens. Outros estudos (Santos, 2004)
apontam que na aprendizagem é necessário que o aluno reflita, identifique os desvios de
raciocínio, os seus erros e os ultrapasse (Pinto, 2003). Sabe-se que o refletir sobre o que
aprendeu e como o aprendeu, as interações, o feedback, a reflexão sobre o aprendido
(Quinton & Smallbone, 2010) e a autoavaliação são fatores que contribuem para que a
aprendizagem se torne significativa (Brendefur & Frykholm, 2000), e que a
autoavaliação proveniente da constatação de um erro ou dificuldade incentiva a procura
de novas interações (Santos, 2002), o que contribui para a autorregulação das
aprendizagens. Dias e Santos (2008a), no âmbito do projeto AREA, investigaram a
aplicação de uma estratégia em que se procurou que o processo de descrição da
resolução promovesse uma reflexão profunda que viesse a ser identificável na
resolução:
Partindo do princípio que o estudante, ao resolver, tem em conta a
reflexão que teve necessidade de fazer na fase de descrição seria
inevitável a alteração da resolução de acordo com a reflexão efetuada. No
pressuposto que a necessidade de refletir para descrever aquilo que se
procura transmitir na resolução da situação problemática elimina
possíveis erros durante a resolução e fecha caminhos, procurou-se
conduzir o estudante para a resolução correta. Partiu-se ainda da
convicção que a reflexão e a descrição tem a vantagem de possibilitar ao
estudante o pensar e o repensar a sua estratégia de resolução. (p.166)
O professor necessita de criar um ambiente de trabalho onde os alunos se sintam à
vontade a pensar, a argumentar e a expor as suas ideias sem medo, num clima de
confiança (Handley & Williams, 2011; Pinto & Santos, 2006), e serem de imediato
apreciados, pelos seus colegas ou pelo professor. Precisa também de encontrar o modo
certo de apoiar os alunos, procurando que não desistam perante as dificuldades, mas não
lhes dando indicações que esvaziem a tarefa de desafio. Tem igualmente de criar um
conjunto de normas e rotinas de trabalho que estimulem a capacidade dos alunos
68
cooperarem no seio do grupo — contribuindo e aproveitando as contribuições dos
outros — e participarem em discussões coletivas — argumentando e prestando atenção
aos comentários dos outros. Necessita, ainda, que os alunos compreendam que também
podem formular as suas próprias questões e conjeturas, testá-las e justificá-las.
Feedback
Toda a regulação pedagógica faz-se através de um processo de comunicação,
seja ele oral ou escrito. Segundo Santos e Dias (2007), o dizer avaliativo não é sinónimo
de regulação pedagógica. Para as autoras é apenas um primeiro passo. Corresponderá a
um processo de regulação apenas quando o feedback é usado pelo aluno para melhorar a
sua aprendizagem (Wiliam, 1999). Segundo Stobart (2006), o feedback é um meio de
eliminar o fosso entre o estado atual de um trabalho e o que era esperado fazer-se. Se o
feedback procura ajudar o aluno a encontrar a forma de fechar esse fosso, ele está
integrado no processo ensino aprendizagem e a questão da sua existência já não se
coloca. Um feedback que vá ao encontro desses objetivos, deve ser descritivo,
específico, relevante, periódico e encorajador, imediatamente utilizável, oral ou escrito,
privado ou público, dirigido a um indivíduo ou grupo de indivíduos (NCTM, 1999).
O feedback escrito ou escrita avaliativa, pode ser de diversos tipos e ser mais ou
menos adequada aos fins a que se destina (Bloxham & Campbell, 2010; Gipps, 1999;
Santos, 2003c; 2004; Santos & Dias, 2007; Hattie & Timperley, 2007). Esses
comentários, usualmente, feitos pelo professor sobre produções escritas dos alunos
tomam como referência os critérios de avaliação (implícitos ou explícitos) definidos
pelo professor para cada tarefa (Rust, Price & Donovan, 2003).
Uma escrita avaliativa conducente à regulação, por parte do aluno, da sua
aprendizagem, segundo Santos (2003c), deve ser clara, para que autonomamente possa
ser compreendida pelo aluno, apontar pistas de ação futura, de forma que a partir dela o
aluno saiba como prosseguir, incentivar o aluno a reanalisar a sua resposta, não incluir a
correção do erro, no sentido de dar ao próprio a possibilidade de ser ele mesmo a
identificar o erro e a alterá-lo de forma a permitir que aconteça uma aprendizagem mais
duradoura ao longo do tempo, identificar o que já está bem feito, no sentido de não só
dar autoconfiança como igualmente permitir que aquele saber seja conscientemente
reconhecido. Para além disso, deve incidir sobre situações em fase de desenvolvimento
e ainda não sujeitas a qualquer tipo de classificação, para que o feedback possa ser
69
considerado pelos alunos como útil (Price et al., 2010). Num trabalho já acabado, não
faz sentido qualquer reformulação (Bloxham & Campbell, 2010). Este aspeto é tanto
mais importante se atendermos a que dar feedback é muito exigente para o professor e é
consumidor de tempo (Leal, 1992; Menino & Santos, 2004).
Nesse contexto, uma forma rica de desenvolver uma avaliação reguladora da
aprendizagem é permitir que o aluno aperfeiçoe uma primeira versão de um trabalho
realizado, podendo assim repensar a situação. Para que esse trabalho possa ser mais
formativo, o professor deverá comentar uma primeira versão. Assim, considera-se que
um comentário que sirva a avaliação reguladora, quer escrito, quer oral, designa-se
habitualmente por feedback. O feedback é uma componente central da avaliação das
aprendizagens (Price et al., 2010) e para a promoção da autorregulação das
aprendizagens (Bloxham & Campbell, 2010; Hattie & Timperley, 2007; Santos, 2002;
Santos et al., 2010).
Várias investigações apontam que o feedback simbólico, geralmente, é ignorado
pelos alunos. Mas, os alunos não fazem o mesmo quando o feedback é dado através de
comentários. Este resultado, normalmente, surpreende os professores porque estes
consideram que o feedback através de símbolos - feedback simbólico – deverá ter
exatamente o mesmo entendimento que o feedback dado através de comentários. A
investigação realizada acerca deste tipo de feedback suscitou algumas dúvidas por parte
dos pais, uma vez que os comentários mostravam perante toda a turma, com maior
detalhe, a situação escolar em que o aluno se encontrava. Para além de abrir um novo
foco de investigação, para Black e Wiliam (2006b), este procedimento cria novas
oportunidades de aprendizagem para os alunos porque promove a revisão de todo o
processo, por parte dos alunos, que assim podem melhorar os seus trabalhos. Uma
consequência da promoção do feedback por comentários em detrimento do feedback
simbólico é que os professores ponderam, cautelosamente (Black & Wiliam, 2006b), os
comentários que escrevem para que estes se traduzam num verdadeiro impacto para a
melhoria do trabalho dos alunos (Handley & Williams, 2011).
Também o feedback proveniente da avaliação dos pares revela-se como uma
mais-valia para o processo ensino aprendizagem. Sadler (1989) foi o primeiro a
defender que a heteroavaliação e a autoavaliação são essenciais para a aprendizagem.
Do seu ponto de vista, o aluno aprende se compreender o que tem para fazer e conseguir
definir um plano de atuação para atingir os objetivos. A transparência e clareza dos
critérios de avaliação permitem a compreensão do que se tem para fazer e uma maior
70
credibilização e aceitação da heteroavaliação dos pares, promovendo uma maior
exigência na execução dos trabalhos e o desenvolvimento da prática de autoavaliação.
Para Noonan e Duncan (2005) a dimensão dos grupos pode ser um constrangimento à
concretização da heteroavaliação no entanto, também, afirmam que a heteroavaliação
entre pares estimula a autoavaliação.
No projeto KMOFAP, os professores desenvolveram três formas, que se
descrevem a seguir, de usar o feedback proveniente dos testes sumativos com função
formativa, no sentido de feedback para a aprendizagem.
i) Questionar os alunos, na preparação para o teste, através de uma lista de palavras ou
tópicos a contemplar no teste. Procuravam que esta modalidade estimulasse a reflexão
dos alunos sobre as áreas que dominavam e o que precisavam mobilizar para se
concentrarem nos domínios em que têm maiores dificuldades. Para Black e Wiliam
(2006b), uma razão para os professores o fazerem é que existiam muitos alunos que não
tinham uma estratégia de preparação do teste, nem de revisão dos conhecimentos e
capacidades adquiridas.
ii) Realizar uma preparação semelhante à descrita no ponto anterior, mas em grupo. O
propósito era que os alunos pensassem nas palavras orientadoras e nos tópicos e que os
discutissem para aumentar o seu entendimento dos assuntos. Esta prática suscitou
dificuldades de implementação porque necessitava que os professores dedicassem
algum tempo a responder aos alunos.
iii) Usar as questões de exames e testes anteriores para que os alunos verifiquem os seus
conhecimentos e capacidades. Para Black e Wiliam (2006b) a avaliação formativa e
sumativa são vistas como duas modalidades distintas e com funções distintas, mas
segundo os autores a avaliação sumativa pode ter um papel positivo no processo de
aprendizagem.
Para o feedback na sala de aula é fundamental estabelecer alguns critérios que
contribuem para a sua validade (Hattie & Timperley, 2007; Price et al., 2010). São
exemplos desses critérios: ser adequado e fornecer pistas para colmatar o “fosso” em
autorregulação/metacognição,
em
processo/processo
de
aprendizagem,
e
em
tarefa/aprendizagem superficial; centrar-se na tarefa e não no aluno; e ser um desafio,
exigir ação e ser alcançável (Sobart, 2006). Para Hattie e Timperley (2007), um
feedback eficaz deve responder a três questões: para onde vou? Como estou indo? Onde
chegar?
71
Recurso a instrumentos alternativos para a avaliação
Existem instrumentos de avaliação que poderão preferencialmente favorecer o
desenvolvimento da capacidade de autorregulação (Cambra-Fierro & Cambra-Berdún,
2007b; Santos, 2002). É, por exemplo, o caso do portefólio ou dossier do aluno, onde se
inclui não a totalidade dos produtos realizados pelo aluno durante um período de tempo,
ano letivo ou ciclo, mas sim uma seleção de produtos significativos para o aluno,
significativos do ponto de vista cognitivo ou afetivo, ilustrativos daquilo que num dado
momento já é capaz de fazer, e representativos da diversidade das tarefas desenvolvidas
(Santos, 2006). Ao ter de selecionar quais as produções a incluir no portefólio e ao
elaborar reflexões sobre os significados que estes materiais tiveram para si, o aluno é
confrontado com a necessidade de refletir sobre o que fez, o que aprendeu, como
progrediu e como perspetiva as suas necessidades futuras (Leal, 1997; Santos &
Menino, 2004).
Outro exemplo é o relatório escrito, usualmente proposto aos alunos em
Matemática. Acompanhando o surgimento de outro tipo de tarefas em Matemática,
como seja por exemplo as investigações matemáticas, várias modalidades de relatório
têm sido usadas: individual ou em grupo, feito na sala de aula ou fora desta (Santos et
al., 2002). Esta prática avaliativa pode incluir objetivos de um certo nível de
complexidade, como seja a criatividade, organização, comunicação e interpretação, para
além de outros de natureza afetiva e social (Pinto & Santos, 2006). A componente
escrita do relatório, embora possa constituir uma dificuldade adicional para os alunos, é,
em simultâneo, uma das suas grandes potencialidades, uma vez que, contribui para o
desenvolvimento da comunicação escrita tantas vezes deixada para segundo plano em
Matemática (Leal, 1992). Igualmente, privilegia aspetos que se relacionam com o
conhecimento e compreensão de conceitos e processos, e o desenvolvimento de
capacidades como a interpretação, a reflexão, a exploração de ideias matemáticas e o
espírito crítico, e o sentido da responsabilidade pessoal e de grupo, a perseverança e a
relação entre os alunos (Leal, 1992; Brookhart et al., 2004). O desenvolvimento de
competências reflexivas e de autoavaliação pode ser igualmente conseguido desde que
sejam dadas aos alunos indicações explícitas para a inclusão nos relatórios de elementos
acerca da forma como se desenvolveu o trabalho, das aprendizagens conseguidas e das
dificuldades sentidas (Menino, 2004; Scallon, 2004). Por outras palavras, a realização
de um relatório escrito sobre o trabalho desenvolvido funciona como um catalisador à
reflexão (Bloxham & Campbell, 2010), uma vez que faz apelo à articulação de ideias, à
72
explicação de procedimentos, à análise crítica dos processos utilizados e dos resultados
obtidos (Dias, 2005). É de destacar que quando é dada a oportunidade ao aluno de
melhorar o trabalho produzido numa segunda fase (caso do relatório escrito), a
componente reguladora da avaliação é potencializada. Uma vez mais, sendo a primeira
versão sujeita a apreciação e a comentários escritos do professor, feedback escrito, o seu
desenvolvimento poderá constituir um momento de novas aprendizagens (Bloxham &
Campbell, 2010; Leal, 1992; Santos, 2004), tendo em conta as características do
feedback e o uso que o aluno faz do mesmo (Price et al., 2010; Hattie & Timperley,
2007). No caso dos relatórios, num estudo realizado por Menino (2004), a redação de
comentários evidencia-se como uma tarefa difícil, sendo mesmo criadora de dilemas ao
próprio professor.
Síntese
Na prática letiva de sala de aula, o professor implementa e monitoriza uma
agenda de tarefas e modos de fazer por si construídos ou adaptados, a partir de
sucessivas avaliações (Ponte et al., 1999). Trata-se de um plano dinâmico, que vai
evoluindo a partir da fase de preparação da aula, e é reajustado aquando da sua
concretização. Reflexão após reflexão, o professor modifica o seu plano através das
sucessivas avaliações que faz das aprendizagens dos alunos. Essa avaliação, na maior
parte das vezes, é apenas uma recolha não estrutura de alguns indicadores que fornecem
evidência ao professor do impacto que a sua ação está a ter na consecução das
aprendizagens esperadas. Como resultado, o professor equaciona rapidamente
alternativas e produz constantemente decisões. Esta é a assunção de que a regulação das
aprendizagens é um processo de avaliação formativa, na medida que tem implicações
diretas no ajuste do processo ensino aprendizagem.
Algumas das estratégias referidas são específicas da tarefa proposta enquanto
outras são mais gerais (Buhagiar & Murphy, 2008). No entanto, apesar da variedade das
práticas avaliativas, estas partilham um conjunto de características: ações deliberadas
para atingir objetivos específicos; correspondem a uma resposta pessoal a um
determinado problema; aplicam-se com flexibilidade em função da tarefa e envolvem
skill & will, ou seja, recursos cognitivos e motivacionais; por último, treináveis em
diferentes tipos de tarefas escolares para facilitar a sua transferibilidade (Rorário, Trigo
& Guimarães, 2003).
73
Mas, a avaliação realizada pelo professor não é suficiente. É o aluno que decide
se vale a pena ou não o esforço para ter êxito, e essa decisão tem por base a perceção
das suas capacidades, para a qual pode contribuir a autoavaliação (Stiggins, 2005). No
entanto, a perspetiva de avaliação centrada no aluno assume uma abrangência que
ultrapassa a autoavaliação (Santos, 2002). Será necessário ter em conta, nas formas de
operacionalização da avaliação reguladora em Matemática, estratégias de motivação
(Hannula, 2006), de interação e de regulação (Schwarz, Dreyfus & Hershkowitz, 2009).
O professor pode ter um papel importante na iniciativa e possibilidade de
proporcionar contextos que facilitem o desenvolvimento de atitudes de autorregulação
(Santos, 2002). Incentivar a autoavaliação, a par de outras práticas, pode contribuir para
a concretização dessas intenções. Podem destacar-se, por exemplo: a observação; a
explicitação/negociação de critérios de avaliação (Alves, 2004; Bobb-Wolff, 2002); a
abordagem positiva do erro (Santos, 2002); a interação professor - aluno (Mason, 2000;
Roullier, 2004); o refletir antes de agir (Dias & Santos, 2008a; 2008b); o feedback
(Price et al., 2010; Santos & Dias, 2007; Wiliam, 1999; Black & Wiliam, 2006b; Black
et al., 2003); e o recurso a instrumentos alternativos de avaliação (Santos & Menino,
2004).
A renovação das práticas dos professores na sala de aula implica a rotura com
certas rotinas pedagógicas fechadas. Impõe-se uma nova perspetiva e a alteração de
conceções em que o professor deixe de ser visto como quem expõe conteúdos e avalia a
sua execução e o aluno ouve atentamente e responde (Handley & Williams, 2011). A
diferenciação pedagógica e a adequação na gestão curricular estão ligadas à necessidade
de prestar atenção ao percurso e evolução de cada aluno (Abrantes, 2002; Santos, 2009).
A metodologia de sala de aula para a melhoria do processo ensino aprendizagem
implica a constante interação professor-aluno e os desenvolvimentos de vários modos
de intervenção e de feedback.
A necessidade de atividade do aluno no processo de aprendizagem impõe a
autorregulação como um processo dinâmico e aberto, em que o aluno decide o que vai
fazer numa determinada situação de aprendizagem, põe em prática e auto reflete sobre o
que executa (Schunk, 2005; Zimmerman, 2000). Mas, os alunos não podem autorregular
a sua aprendizagem quando não lhes são proporcionadas oportunidades para tal, nem
tão pouco quando não possam controlar algumas dimensões essenciais da sua
aprendizagem. Ora, estas evidências, perspetivam que uma intervenção ao nível da
74
autorregulação da aprendizagem favorece a motivação do aluno para a aprendizagem da
Matemática e para o sucesso.
75
76
CAPÍTULO 4 – METODOLOGIA
No quadro do paradigma interpretativo (Bogdan & Biklen, 1994), este estudo
seguiu uma metodologia qualitativa. A metodologia qualitativa foi adequada por
permitir explicar a realidade em termos de ação, valorizando a compreensão da situação
no seu contexto, sem a necessidade de efetuar conjeturas ou de verificar hipóteses. Esta
opção esteve relacionada com a natureza das questões de investigação e com o design
de investigação. Ao procurar responder a questões de natureza aberta e exploratória
afirmava-se a escolha de uma perspetiva que admitisse o estudo de situações em
desenvolvimento, num dado contexto. Tinha, também, por base um trabalho de natureza
colaborativa com dois professores (participantes). Esse contexto surgiu por ser útil e
constituir-se como um aspeto enriquecedor na promoção de práticas avaliativas.
Relembro que analisei para compreender práticas de professores de Matemática do
ensino secundário que podem contribuir para a promoção de uma atitude
autorreguladora do aluno, face à sua aprendizagem Matemática e, para isso, defini as
seguintes questões de investigação:
1. Qual a natureza e as características das práticas avaliativas de professores de
Matemática, trabalhadas num contexto de trabalho de natureza colaborativa, que
procuram promover a autorregulação da aprendizagem?
2. De que forma os professores de Matemática procuram integrar as práticas avaliativas
para promover a autorregulação no quotidiano da sala de aula?
3. De que modo as práticas avaliativas desenvolvidas contribuem para promover a
autorregulação das aprendizagens matemáticas?
4. Que constrangimentos encontram os professores de Matemática para a promoção de
atitudes autorreguladoras da aprendizagem matemática? Como procuram ultrapassá-los?
Para explicar as minhas decisões e escolhas, organizei este capítulo em quatro
partes. Na primeira parte descrevo as opções metodológicas, na segunda parte os
participantes, na terceira parte a recolha de dados e na quarta parte a análise de dados.
77
Opções Metodológicas
Natureza do estudo
Uma perspetiva teórica é para mim um modelo de referência que guia os
procedimentos do estudo. Neste estudo, a perspetiva interpretativa permitiu-me definir
os métodos a usar. Contudo, essa perspetiva não se traduziu apenas pela definição
metodológica; afetou a forma como abordei o problema, recolhi e tratei os dados, e
redigi as conclusões. Esses aspetos estão de acordo com os referidos por Guba e Lincoln
(1998; 2005) quando afirmam que, para além das técnicas, a metodologia deve versar
sobre o modo de proceder do investigador para chegar aos conhecimentos que procura.
A escolha da perspetiva interpretativa consubstancia-se na natureza aberta das
questões de investigação e, também, na minha experiência profissional e pessoal,
enquanto professor e investigador. A natureza das questões de investigação requer a
metodologia qualitativa no seio da perspetiva interpretativa, por negar a existência de
uma realidade objetiva independente do observador. Também, como é referido por
Denzin e Lincoln (1994), “a palavra qualitativa implica uma ênfase em processos e
significados que não são examinados nem medidos (se chegarem a ser medidos)
rigorosamente, em termos de quantidade, volume, intensidade ou frequência” (p. 4).
Considero que este estudo foi um ato de interpretação a dois níveis. As
experiências dos participantes foram explicadas e interpretadas em termos das regras da
sua cultura e das suas relações sociais, e incluíram as minhas experiências, explicadas e
interpretadas nos termos e nas regras da comunidade intelectual a que pertenço. Procuro
descrever e compreender o sentido dado às vivências da realidade que aprofundo, e não
de as julgar, avaliar ou condenar (Ponte, 2005b). Mas, também, identifico-me com
Bogdan & Biklen (1994), quando aludem às múltiplas formas de interpretar as
experiências que estão ao alcance de um investigador, na interação com os outros, sem
deixarem de insistir na preocupação de descrição que é preciso ter ao buscar a
compreensão do pensamento subjetivo dos participantes. Por isso, enquanto
investigador, não podia prescindir de analisar os dados usando o meu próprio ponto de
vista.
Na concretização do estudo, estabeleci alguns princípios de forma a garantir a
sua qualidade. O estudo desenvolveu-se durante um longo período de tempo (2008 a
2013) de forma a permitir um conhecimento profundo da realidade que descrevo.
Durante esse período, os participantes construíram os seus próprios significados das
78
práticas estudadas, e com eles partilhei os significados que eu interpretava. Devolvi, aos
participantes no estudo, os resultados da minha análise à informação que me forneceram
(em entrevistas e observações), para que pudessem verificar, ou confirmar, se as minhas
interpretações refletiam as suas experiências.
Como a metodologia qualitativa é iterativa e não linear, neste estudo existiram
avanços e recuos, ajustes no planeamento e desenvolvimento, para assegurar a
congruência entre a formulação das questões de investigação, a revisão de literatura, e a
recolha e análise de dados. Os dados recolhidos foram sistematicamente verificados,
impunha-se a manutenção e o ajuste de cada fase a partir da anterior. Com isso penso ter
contribuído para a credibilidade, a transferibilidade, a triangulação e a consistência
deste trabalho (Stake, 2005).
Design do estudo
Nesta investigação usei um design de estudo de caso. Estudei o professor de
Matemática, no seu contexto (a escola e a sala de aula), tirando todo o partido possível
de fontes múltiplas de evidência como entrevistas, observações, documentos e artefactos
(Yin, 2003). Pois, segundo Guba & Lincoln (1994), o estudo de caso permite relatar os
acontecimentos como sucederam, descrever situações e factos, proporcionar
conhecimento acerca do fenómeno estudado e comprovar ou contrastar os efeitos e as
relações presentes em cada caso. Esta asserção é coerente com o meu objetivo de analisar
e compreender a prática avaliativa de professores de Matemática e, em paralelo, procurar
novas teorias e novas questões para futura investigação. Assim, o estudo de casos
constituiu um modo de compreender com profundidade as práticas avaliativas, em
Matemática, em Trigonometria, Geometria e Funções, que procuram promover a
autorregulação das aprendizagens matemáticas por parte dos alunos.
Papel do investigador
Num quadro de metodologia qualitativa, situei-me no âmago do processo onde a
investigação decorreu. Este estudo desenvolveu-se na dinâmica criada por um contexto
de trabalho de natureza colaborativa, em que eu interagi com dois professores (casos).
Os papéis dos casos e o meu acabaram por ser informados pela dinâmica dessas
interações. Considero-me observador participante, uma vez que fui o instrumento
principal de observação. A minha participação teve por objetivo recolher dados (sobre
ações, opiniões ou perspetivas) aos quais um observador exterior não teria acesso.
79
Assim, a observação participante foi a técnica de metodologia qualitativa adequada para
compreender o fenómeno que procurei aprofundar.
A credibilidade da investigação não foi colocada em causa pela proximidade
dessa relação. A credibilidade dos resultados desta investigação depende da validade
conceptual, da caracterização de conceitos chave e dos critérios de classificação de
dados (Ponte, 2006); da construção de explicações de caráter geral que emergem de
explicações particulares; da clarificação das minhas motivações e conceções e o modo
como enfermaram o estudo; do envolvimento dos participantes no processo
interpretativo (Goetz & Lecompte, 1984); e da comparação com outros estudos. Parto
da realidade empírica, que procuro compreender, e não de premissas a verificar (Goetz
& Lecompte, 1984).
Também, no desenvolvimento do estudo tive em atenção as questões de ordem
ética. Não são questões exclusivas deste tipo de estudos, mas são reforçadas pela minha
relação próxima com os participantes. No que diz respeito ao acesso ao conhecimento,
os participantes envolvidos no estudo permitiram-no após a explicação dos objetivos e
dos processos que pensei utilizar (Fontana & Frey, 1994; 2005; Punch, 1994). Desse
princípio decorre de imediato que só fez sentido usar processos de recolha de dados que
fossem do conhecimento dos participantes e que tivessem merecido o seu
consentimento prévio, por exemplo o recurso às gravações áudio de aulas e de sessões
de trabalho de natureza colaborativa.
Outro aspeto relaciona-se com os cuidados que tive no que respeita a possíveis
implicações para os participantes decorrentes da publicação do estudo, sejam elas
situações embaraçosas ou sanções de qualquer tipo. Esta questão esteve igualmente
associada à decisão de estabelecer até que ponto é legítimo entrar na vida privada dos
participantes. O facto de uma pessoa aceitar participar numa investigação não equivaleu
a autorizar a invasão da sua privacidade (Stake, 1994). Para minimizar esses riscos
recorri ao anonimato, feito através do uso de pseudónimos, quer para professores, quer
para alunos. Mas quando as sociedades onde esses participantes se movem são
pequenas, caso da comunidade dos educadores e de professores de Matemática em
Portugal, a possibilidade de identificação é muito grande. Assim, entendi, não bastar o
uso de designações artificiais, foi igualmente necessário garantir que aquilo que é
publicado é reconhecido pelo próprio como característico de si e não pertencente ao seu
foro íntimo. De forma a ser possível garantir este aspeto, foi imprescindível que as
80
pessoas envolvidas no estudo conhecessem, em primeira mão, o conteúdo final do
estudo, antes de ser publicado.
Por último, uma nova questão ética se podia levantar no que respeita aos estudos
sobre professores. Não me coube formar juízos de valor sobre o objeto de estudo. Não
foi esse o meu propósito. Houve, no entanto, um certo risco que isso acontecesse, tanto
porque tinha as minhas conceções sobre o que é ensinar e aprender, e existia o risco de
os professores, muitas vezes, me encararem como alguém que, por ter um conhecimento
mais sustentado na teoria, lhes pode vir a resolver os seus próprios problemas. Esta
questão foi, contudo, resolvida. Por um lado, os objetivos do estudo foram
antecipadamente apresentados aos professores (casos) e, por outro, estive atento a esse
risco, controlando as atitudes que poderiam levar a situações propiciadoras de juízos de
valor (Santos, 2000).
Contexto de trabalho de natureza colaborativa
O trabalho de natureza colaborativa entre mim e os dois professores, num
projeto comum, para planificar práticas avaliativas com o objetivo de promover a
autorregulação da aprendizagem matemática, durante um período de tempo mais ou
menos alargado, também, constituiu uma opção metodológica. Encontrei justificação
para esta abordagem em Hargreaves (1998), Boavida (2005), Jaworski (2001; 2007),
Martinho (2007), Marshall e Reason (2007) e Serrazina (2008), quando trabalharam
com projetos envolvendo professores. Outras perspetivas consonantes com esta prática,
são as ideias de Schön (1992b) acerca da reflexão-sobre-a-reflexão-na-ação e nas ideias
de Christiansen (1997) e Ponte (2004), quando referem que a colaboração é uma
estratégia fundamental para lidar com problemas ou dificuldades que não se podem
resolver a um nível puramente individual, como os que em cada momento surgem na
atividade profissional dos professores.
O resultado de uma investigação, realizada num contexto de colaboração,
refletirá simultaneamente as perspetivas do professor e do investigador (Erickson,
1989). Segundo Saraiva e Ponte (2003), o investigador terá o acesso facilitado à prática
orientada para a ação e à reflexão do próprio professor sobre essa mesma prática. Para
Martinho (2007), o facto de o investigador estabelecer um contacto próximo com o
professor, sem se limitar a ter acesso às suas aulas, mas realizando um trabalho de
proximidade com este, junto à realidade por ele vivida, perto das suas dificuldades e
dilemas, leva a que a investigação seja mais informada pela prática. Pode corresponder
81
às necessidades, quer da investigação, através da produção de conhecimento resultante
da análise da partilha de comentários e observações sobre a prática, quer do
desenvolvimento profissional do professor, graças à reflexão sobre a prática que lhe
permite iluminar e desenvolver elementos da sua prática de ensino. No entanto, o
sucesso desse processo está sempre dependente de cada participante. Depende do
envolvimento do professor nas atividades e da relação de confiança que se estabelece
entre ele e o investigador (Erickson, 1989).
Para Hargreaves (1998), a colaboração entre professores permite que realizem
uma aprendizagem conjunta, uns com os outros, através da partilha de saberes e da
ampliação do conjunto das suas competências, fomentando o desenvolvimento
profissional dos mesmos e das escolas. Ainda segundo o mesmo autor, a colaboração
entre professores deve ser uma iniciativa dos próprios, geralmente voluntária, uma vez
que as relações de trabalho não são de constrangimento, nem de coação, pois devem
desenvolver-se de forma agradável e produtiva. Geralmente, são ações orientadas para o
desenvolvimento, em que os envolvidos definem as tarefas e as finalidades do seu
trabalho conjunto e procuram dar resposta aos problemas que emergem da prática.
Enquanto trabalho conjunto de um grupo, foi importante que se definisse um
diagnóstico, a planificação, a construção e a intervenção. Ainda, segundo Hargreaves
(1998), a colaboração pode ajudar a promover o desenvolvimento profissional dos
professores quando envolvidos numa investigação, podendo proporcionar momentos de
aprendizagem mútua e potenciar reflexões individuais.
O resultado deste estudo, realizado num contexto de trabalho de natureza
colaborativa, reflete, simultaneamente, as perspetivas dos professores e as minhas,
enquanto investigador (Erickson, 1989). Tal como referido em Saraiva e Ponte (2003),
em colaboração, tive, enquanto investigador, o acesso facilitado à prática orientada para
a ação e à reflexão do próprio professor sobre essa mesma prática. E tal como Martinho
(2007), o facto de, enquanto investigador, estabelecer um contacto próximo com os
professores, sem me limitar a ter acesso às suas aulas, mas realizando um trabalho de
proximidade com estes, junto à realidade por eles vivida, perto das suas dificuldades e
dilemas, levou a que a investigação fosse mais informada pela prática. Este contexto
respondeu às necessidades, quer da investigação, através da produção de conhecimento
resultante da análise da partilha de comentários e de observações sobre a prática, quer
do desenvolvimento profissional do professor, graças à reflexão sobre a prática que lhe
permitiu iluminar e desenvolver elementos da sua prática de ensino. No entanto, o
82
sucesso desse processo esteve sempre dependente de cada participante, do seu
envolvimento nas tarefas e da relação de confiança que se estabeleceu entre mim e os
participantes (Erickson, 1989).
A dinâmica de concretizar um projeto de trabalho de natureza colaborativa, neste
estudo, procurou dar resposta à necessidade de planificar práticas avaliativas, que
impulsionem os alunos na autorregulação das aprendizagens matemáticas em
Trigonometria, Geometria e Funções. Nesse trabalho, os assuntos e os objetivos a
alcançar foram ajustados em função da sua ligação com a promoção da capacidade de
autorregulação e com a reflexão do professor sobre as suas práticas avaliativas. Após
uma fase inicial de conceção do estudo, o trabalho de natureza colaborativa do grupo
centrou-se no que se entende por avaliação e aprendizagem, práticas avaliativas com a
intencionalidade reguladora, autorregulação das aprendizagens matemáticas pelos
alunos, tarefas que apresentassem potencialidades para o desenvolvimento da
autorregulação da aprendizagem em Matemática.
Segundo Boavida e Ponte (2002), no trabalho de natureza colaborativa, é
fundamental que os participantes manifestem abertura no modo como se relacionam uns
com os outros, dispondo-se a um contínuo dar e receber, assumindo uma
responsabilização conjunta pela orientação do trabalho e sendo capazes de construir
soluções para os problemas no respeito pelas diferenças e particularidades individuais.
A existência de um campo de entendimento de igual para igual foi essencial para que os
participantes se apoiassem mutuamente para conseguirem atingir os objetivos a que se
propuseram (Boavida & Ponte, 2002). Mas, esse acordo de equidade entre professores e
investigador (eu), mesmo quando o investigador é um professor, reporta-se ao grau de
importância do seu papel, não significando que todos desempenhem as mesmas funções,
e tenham os mesmos propósitos. Os professores-casos preocuparam-se, essencialmente,
com as aulas, onde se incluem a planificação, a seleção de tarefas, a concretização em
sala de aula e a reflexão. Eu estive, particularmente, atendo à tomada de decisão, sobre
as ações a desenvolver para a concretização das práticas avaliativas promotoras da
autorregulação, e respetiva justificação. Cada elemento tinha, também, o seu percurso
profissional, as suas experiências, a sua leitura da realidade, e essa diversidade foi uma
mais-valia para o trabalho de natureza colaborativa, e foi assumida como tal (JohnSteiner, Weber & Minnis, 1998).
83
Participantes
A escola
A escola onde se desenvolveu este estudo insere-se num concelho do distrito de
Setúbal, numa zona urbana, embora uma parte dos alunos seja oriunda de algumas
freguesias consideradas rurais. O ambiente sociocultural tem características muito
próprias, com tradições, usos e costumes ligados à terra e ao rio Tejo.
Até ao final do ano letivo 2007/2008, o espaço físico da escola era composto por
pavilhões pré-fabricados, apresentando um acentuado desgaste, de aspeto pouco
motivador para quem pretendia ensinar e aprender. As salas de aula apresentavam um
desgaste interior, pelo que eram sujeitas a sucessivas remodelações para melhorar as
condições de ensino e de aprendizagem.
No final do ano letivo 2006/2007, iniciou-se a construção do novo edifício, no
mesmo terreno. Atualmente, a escola é um espaço amplo e agradável. Para além das
salas de aula e laboratórios, a escola possui grandes espaços exteriores que envolvem
todo o edifício, onde se integram os espaços exteriores para a prática da educação física,
e algumas zonas para jardim. No piso superior do edifício principal existem algumas
salas de aula, a biblioteca/centro de recursos e o auditório. A escola beneficiou do Plano
tecnológico da educação4 por via do qual foram equipadas todas as salas de aula,
espaços de trabalho de docentes e órgãos da escola com material informático. Com as
novas instalações assistiu-se a uma melhoria significativa do ponto de vista das
condições de ensino e aprendizagem, da funcionalidade dos serviços, da rentabilização
dos recursos humanos, da segurança dos bens e de toda a comunidade educativa.
Na escola, em 2009/2010, encontravam-se matriculados cerca de 800 alunos.
Devo referir que a população discente tem-se revelado como o grupo da comunidade
educativa que mais tem alterado a sua estrutura, quer etária, quer social. Com efeito, a
chegada à escola de novos públicos, decorrente da abertura de cursos no âmbito das
Novas Oportunidades, conduziu à presença de alunos com diferentes expectativas,
provenientes de meios socioculturais muito diferenciados. Por um lado, alunos com
expectativas de prosseguimento de estudos, para os quais a escola é um pilar
estruturante e, por outro lado, alunos com projetos de vida muito diferentes, onde a
4
http://www.pte.gov.pt/pte/PT/
84
escola nem sempre aparece como fundamental. Os resultados escolares são também
diferentes e refletem-se no desempenho da instituição: alunos com uma atitude mais
positiva perante a escola, com resultados escolares de nível muito bom e que
frequentam, normalmente, os cursos científico - humanísticos e alunos com uma atitude
menos positiva, com resultados escolares menos bons e muitos deles optando pelos
cursos profissionalizantes, procurando uma entrada mais rápida no mercado de trabalho.
Segundo dados de janeiro de 2010, exerciam funções docentes na escola pouco
mais de uma centena de professores, sendo aproximadamente 80% do quadro de
nomeação definitiva e os restantes eram professores contratados. Existiam, apenas,
cinco professores não profissionalizados. Dos professores, 83% tinham mais de dez
anos de serviço e 68% mais de quinze anos de serviço. A média de idade dos
professores da escola era de 44 anos. Quanto às habilitações académicas dos professores
em exercício, havia quatro professores detentores do grau de mestre e os restantes são
professores licenciados.
Os professores
Como procuro analisar e compreender práticas de professores de Matemática do
ensino secundário que contribuem para a promoção da autorregulação da aprendizagem
matemática, a partir da revisão teórica dos procedimentos metodológicos entendi que
dois professores seria o número ideal para garantir o rigor, a clareza e a concretização
da recolha de dados (na escola), relativamente aos objetivos do estudo, em dois anos
letivos. Também, apoiando-me em Stake (1994) e Reason (2003), com a quantidade de
casos procurei responder a fatores de diversidade em contextos escolares criados pelas
práticas letivas dos professores. Um maior número de professores podia tornar
impraticável a recolha de dados e as sessões de trabalho de natureza colaborativa, pela
dificuldade de observação de aulas e pela necessidade de encontrar tempos disponíveis
para reunir. Um número de participantes inferior a dois seria redutor, ao nível das
discussões sobre as práticas avaliativas, e na identificação de constrangimentos à
implementação de práticas avaliativas que procuram promover a autorregulação.
Na escolha dos casos não houve a procura de representatividade, por isso não foi
feita por amostragem. Com base na revisão de literatura, em que encontrei definidos
critérios que podiam ser usados para a seleção dos casos nos estudos de problemas da
educação, para atingir o objetivo deste estudo, entendi usar os seguintes critérios
aglutinadores:
85
•
reconhecida experiência profissional;
•
lecionar o ensino secundário;
•
manifestar capacidade de reflexão sobre a sua prática letiva;
•
manifestar intenção de desenvolver práticas de avaliação reguladora.
Os primeiros dois critérios procuraram responder, e assegurar, a participação no
trabalho de natureza colaborativa. Em virtude da minha experiência letiva no ensino
secundário procurei aprofundar esse nível de ensino. Por isso, eram necessários
professores que lecionassem o ensino secundário para interagir e cooperar no contexto
de trabalho de natureza colaborativa, e se reconhecessem profissionalmente no trabalho
que cada um deles desenvolve, para uma participação tendencialmente equitativa. Os
dois últimos critérios visavam a compreensão das questões de investigação deste estudo.
Precisava compreender em profundidade o que cada professor pensava e as premissas
que permitissem as suas tomadas de decisão, para isso tornou-se importante a sua
capacidade de reflexão sobre a sua própria prática avaliativa, para além do interesse que
apresentavam em desenvolver práticas que procurassem promover a autorregulação.
Não foram usados critérios diferenciadores porque, por um lado, a diversidade à
partida surgiu da experiência letiva e do percurso profissional de cada um dos
professores, e a prática letiva de cada um deles, as turmas e as disciplinas lecionadas se
constituem previamente como fatores distintos. Por outro lado, procuro analisar e
compreender as práticas avaliativas que têm o propósito de promover a autorregulação
da aprendizagem matemática e não, de forma aprofundada, a forma como essas práticas
avaliativas resultam das características dos professores.
Os professores escolhidos correspondem aos critérios definidos (reconhecida
experiência profissional, lecionar o ensino secundário, manifestar capacidade de
reflexão sobre a sua prática letiva e manifestar intenção de desenvolver práticas de
avaliação reguladora). Garantiram a continuidade de envolvimento no projeto durante
pelo menos dois anos letivos, e expressaram essa disponibilidade para se envolverem
neste estudo desde o início. Os dois professores, que designo por José e Maria para
salvaguardar o anonimato, pertencem, ambos, ao departamento 500 da escola onde se
concretizou este estudo.
O professor José, um dos casos, tinha 31 anos de serviço. A sua formação base é
a licenciatura em engenharia e gestão industrial, ramo mecânica térmica. Ao nível da
atividade letiva, já lecionou todos os níveis do 3.º ciclo e secundário, desde o 7.º ao 12.º
86
ano de escolaridade. Via-se como um profissional que cumpre todas as obrigações
inerentes à profissão, embora reconhecesse algumas dificuldades, “como tantos outros
professores”. Era visto, pelos seus pares, como um profissional empenhado e
competente, aberto à inovação e disponível para enfrentar desafios profissionais. No ano
letivo 2008/2009, lecionava uma turma de Matemática B, 12.º ano, uma turma de
Matemática A, 10.º ano, e uma turma de Matemática, 10.º ano, curso profissional de
técnico de informática. Em 2009/2010, lecionava três turmas do curso Profissional, 10.º,
11.º e 12.º ano. Não é sócio de associações profissionais e, normalmente, não participa
em encontros de professores.
A professora Maria tinha 25 anos de serviço. A sua formação inicial é o
bacharelato em engenharia civil do Instituto Superior de Engenharia de Lisboa, tendo
realizado a profissionalização em exercício em 2000. Na escola, assumiu o cargo de
diretora de turma, mais do que uma vez, e de representante do departamento curricular
de Matemática, elemento do conselho pedagógico, elemento do Conselho Diretivo e da
Assembleia de Escola. Nos últimos anos, tem integrado a equipa do secretariado de
exames e sido corretora de exames de Matemática A – 12.º ano. Em 2008/2009, fazia
parte da Assembleia Constituinte e era diretora, ao nível de escola, do curso profissional
de informática de gestão. Ao nível da atividade letiva, lecionou o 3.º ciclo nos primeiros
anos de profissão, mas, ultimamente, tem lecionado apenas no ensino secundário.
No quadro seguinte resumi os critérios usados para a escolha dos professorescasos. Ressalta a existência de um único critério diferenciador, a disciplina lecionada, e
três aglutinadores. O sexo não foi tido em conta como critério diferenciador.
QUADRO 3: CRITÉRIOS DE SELEÇÃO DOS PROFESSORES - CASOS
critérios
José
Maria
reconhecida experiência
profissional
lecionar o ensino
secundário
31 anos
25 anos
Matemática (curso
profissional de técnico de
informática)
sim
Matemática A (curso de
ciências e tecnologias)
sim
sim
manifestar capacidade de
reflexão sobre a sua
prática letiva
manifestar intenção de
desenvolver práticas de
avaliação reguladora
87
sim
Os alunos
Este estudo apoiou-se em estudos de caso, dois professores, acompanhados ao
longo de dois anos letivos. O trabalho de recolha de dados desenvolveu-se em
2008/2009 e 2009/2010, em duas turmas. As turmas envolvidas estavam atribuídas aos
professores, José e Maria, em 2008/2009 no 10.º ano. Os mesmos professores
prosseguiram para o 11.º ano, em 2009/2010, com as mesmas turmas, embora alguns
alunos tenham ficado retidos. A turma 10.º P era lecionada por José e a 10.º A por
Maria. A turma 10.º P, profissional de técnico de informática, e 10.º A, ciências e
tecnologias, no ano letivo 2009/2010 eram constituídas por 18 alunos e 25,
respetivamente. A turma 10.º P por 7 raparigas e 11 rapazes, e a 10.º A por 16 raparigas
e 9 rapazes.
Embora todos os alunos tenham realizado as atividades propostas no estudo,
apenas tive em conta os dados referentes a quatro alunos de cada um dos professores,
alunos acompanhados ao longo dos dois anos letivos. A escolha desses alunos foi feita,
respetivamente, por José e por Maria, tendo em conta os seguintes critérios:
•
progredir para o 11.º ano;
•
manifestar capacidade de relacionamento social;
•
revelar interesse pela Matemática;
•
demonstrar qualidade na apresentação dos produtos do seu trabalho.
A observação realizada em 2008/2009 permitiu definir estes critérios. Para
garantir a concretização do estudo, por um lado, os alunos envolvidos deviam continuar
com os mesmos professores o que implicava a progressão para o 11.º ano, por outro
lado, os alunos deviam mostrar facilidade de relacionamento social para a realização de
trabalhos de grupo, ou a pares, e mostrar interesse e afinco na concretização das tarefas
em que se envolviam, para que pudessem expor os seus sucessos, dificuldades, erros, e
entraves. Também, a qualidade da apresentação dos documentos escritos foi
considerado um aspeto importante, porque permitiria evidenciar o produto do trabalho
realizado pelo aluno durante a aula.
Breve caracterização dos alunos da turma 10.º P (2008/2009), 11.º P
(2009/2010). Alexandre, nome fictício, tinha 17 anos. Foi considerado distraído e
conversador pelo professor. Segundo me confidenciou Alexandre numa das aulas que
assisti, no seu percurso escolar e pessoal, foi orientado para a via profissional, mas
88
pretendia fazer exame de Matemática B no 12.º ano e prosseguir estudos. É o melhor
aluno da turma ao nível das classificações de final de período a Matemática.
Davide, nome fictício, tinha 18 anos. Foi pouco assíduo, participava pouco nas
tarefas propostas em aula, mas para José revelava apetência para a aprendizagem da
Matemática. Davide mostrava preocupação e perfecionismo na concretização das tarefas
de trabalho de grupo em que se envolvia, privilegiando a partilha e entreajuda.
Magda, nome fictício, tinha 17 anos e mostrava-se responsável relativamente ao
cumprimento das tarefas escolares. Apesar de evidenciar algumas dificuldades, Magda
revelava muito interesse em aprender.
Rute, nome fictício, tinha 19 anos. Era a delegada de turma e estava sempre
disponível para ajudar os outros alunos. Segundo o professor, foi muito esforçada e
participativa com rendimento médio a Matemática.
No quadro seguinte faço o resumo das caraterísticas dos alunos do 10.º P
incluídos neste estudo.
QUADRO 4: CRITÉRIOS DE SELEÇÃO DOS ALUNOS DO 10.º P
Alexandre
(17 anos)
sim
conversador
Davide
(18 anos)
sim
partilha e
entreajuda
Magda
(17 anos)
sim
responsável
revelar interesse pela
Matemática
pretende
prosseguir
estudos
apetência
para a
Matemática
demonstrar qualidade na
apresentação dos
produtos do seu trabalho
melhor aluno
da turma
perfecionista
interesse,
apesar de
algumas
dificuldades
cumpridora
progredir para o 11.º ano
manifestar capacidade de
relacionamento social
Rute
(19 anos)
sim
disponível
para ajudar os
colegas
participativa
esforçada
Breve caracterização dos alunos da turma 10.º A (2008/2009), 11.º A (2009/2010).
Carlos, nome fictício, tinha 17 anos. Aluno esforçado, mas apresentava algumas
dificuldades em Matemática. Era muito interessado e empenhado, o que lhe permitia,
quase sempre, ultrapassar algumas das suas dificuldades.
Joana, nome fictício, tinha 16 anos. Aluna muito organizada e estudiosa.
Apresentava todos os trabalhos nos prazos solicitados e empenhava-se nas aulas para
compreender os conteúdos que são tratados. Segundo a professora, apresentava sempre
muitas dúvidas.
89
Andreia, nome fictício, tinha 16 anos. Era trabalhadora e empenhada nas aulas,
mas, não apresentava um investimento em Matemática para além do que era solicitado
na aula. Não apresentava dificuldades e raramente cometia erros.
Patrícia, nome fictício, tinha 16 anos. Relacionava-se facilmente com os colegas
da turma e partilhava com eles as suas dúvidas e trabalhos. Solicitava a ajuda da
professora muitas vezes para progredir na concretização das tarefas que lhe eram
solicitadas, concretizando-as, quase sempre, com sucesso.
No quadro seguinte faço o resumo das caraterísticas dos alunos do 10.º A
incluídos neste estudo.
QUADRO 5: CRITÉRIOS DE SELEÇÃO DOS ALUNOS DO 10.º A
progredir para o 11.º ano
manifestar capacidade de
relacionamento social
revelar interesse pela
Matemática
demonstrar qualidade na
apresentação dos
produtos do seu trabalho
Carlos
(17 anos)
sim
apoiado pelos
colegas e
professora
esforçado e
empenhado
Joana
(16 anos)
sim
apresenta
muitas
dúvidas
estudiosa e
empenhada
ultrapassa as
dificuldades
muito
organizada e
cumpridora
Andreia
(16 anos)
sim
líder nas
aulas
Patrícia
(16 anos)
sim
relaciona-se
facilmente
trabalhadora
e empenhada
procura ajuda
para
progredir
concretiza
com sucesso
não gosta de
cometer erros
Recolha de dados
Por opção metodológica, a redação de cada caso é fértil em descrições
provenientes de intensivos registos. Neste estudo utilizei múltiplas fontes de evidência
para permitir, por um lado, assegurar as diferentes perspetivas dos participantes e por
outro, observar os fenómenos em causa de pontos de vista diversificados, e criar
condições para uma triangulação dos dados durante a fase de análise dos mesmos. No
processo de recolha de dados, recorri à observação, à entrevista e à recolha documental.
Observação
Sendo uma metodologia qualitativa, a observação permitiu estudar o ambiente
através de um esquema geral sobre o contexto que o envolveu e orientou o registo dessa
observação em notas de campo (Tuckman, 2000; Aires, 2011). Segundo Bogdan &
Biklen (1994), a observação participante é a melhor técnica de recolha de dados nos
90
estudos em educação. As observações feitas para este estudo, em aula e nas sessões de
trabalho de natureza colaborativa, decorreram em ambiente natural, quer dos alunos,
quer dos professores, permitindo contribuições espontâneas.
Observação em sala de aula. A minha atividade na sala de aula baseou-se
essencialmente na observação do professor, do aluno e das interações estabelecidas, no
registo (em notas de campo) das atitudes e reações ocorridas durante a realização das
tarefas. Em cada aula, interagi com os alunos, recolhi dados e observei a interação
professor - aluno e aluno - aluno. A observação de aulas ocorreu nas turmas de 11.º ano,
no ano letivo 2009/2010. As aulas observadas foram, para cada professor - caso, as
consideradas necessárias para a concretização de uma estratégia de promoção da
autorregulação da aprendizagem. O número de aulas observadas foi de dez para José e
onze para Maria, e realizaram-se segundo o calendário seguinte:
QUADRO 6: CALENDARIZAÇÃO DAS AULAS OBSERVADAS
2009/2010
Aulas observadas de José (A x J)
Aulas observadas de Maria (A x M)
A1J: 19/10/2009
A2J: 21/10/2009
A3J: 26/10/2009
A4J: 28/10/2009
A5J: 09/11/2009
A6J: 11/11/2009
A1M: 07/10/2009
A2M: 12/10/2009
A3M: 14/10/2009
A4M: 19/10/2009
A5M: 21/10/2009
A6M: 02/11/2009
A7M: 04/11/2009
A8M: 18/01/2010
A9M: 20/01/2010
A10M: 25/01/2010
A11M: 10/02/2010
1.º período
2.º período
A7J: 18/01/2010
A8J: 01/02/2010
A9J: 03/02/2010
A10J: 08/02/2010
Para cada uma das aulas observadas foi estabelecida uma codificação que
corresponde a:
A x J – aula observada de José, em que a variável x é sucessivamente substituída pelo
número da aula assistida, numa sequência de 1 a 10;
A x M – aula observada de Maria, em que a variável x é sucessivamente substituída
pelo número da aula assistida, numa sequência de 1 a 11.
Apresento no quadro seguinte a calendarização das aulas, e respetivas tarefas, a
que assisti e analisei em cada um dos professores.
QUADRO
TAREFAS
7: AULAS
Aulas de José
(A x J)
ASSISTIDAS E ANALISADAS DE CADA PROFESSOR E RESPETIVAS
Aulas de Maria (A x M)
Tarefa
(T x )
A1M: 07/10/2009
Triângulos (T1)
91
A1J: 19/10/2009
A2J: 21/10/2009
A3J: 26/10/2009
A4J: 28/10/2009
A2M: 12/10/2009
A3M: 14/10/2009
A4M: 19/10/2009
A5M: 21/10/2009
A6M: 02/11/2009
A7M: 04/11/2009
A5J: 9/11/2009
A6J: 11/11/2009
A7J: 18/01/2010
A8M: 18/01/2010
A9M: 20/01/2010
A10M: 25/01/2010
A8J: 01/02/2010
A9J: 03/02/2010
A10J: 08/02/2010
A11M: 10/02/2010
Triângulos
Triângulos
Eratóstenes (T2)
Eratóstenes
Periélio (Terra) (T3)
Periélio (Terra)
Periélio (Terra)
Periélio (Terra)
Círculo trigonométrico (T4)
Círculo trigonométrico
Cone (T5)
Cone
A Maria vai sempre de carro (T6)
Escrever no computador (T7)
Escrever no computador
Escrever no computador
Nódoa circular (T8)
No quadro anterior, T x designa a Tarefa x , em que a variável x é
sucessivamente substituída pelo número da tarefa, numa sequência de 1 a 8.
Por as situações que ocorreram na sala de aula serem complexas, a observação
foi acompanhada do registo áudio do que os professores diziam e do registo escrito,
numa grelha, das interpolações e interações professor - aluno por mim observadas. Os
registos em áudio, proporcionados por gravador de lapela, constituíram um auxiliar para
análise e reflexão, posterior, sobre o que se passou na aula. Nos momentos de interação
professor – aluno é audível o professor e o aluno. O registo escrito foi efetuado
seguindo um modelo de grelha de observação de aula (anexo 01), igual para todas as
aulas observadas. Na grelha, registei os aspetos das diferentes partes da aula,
introdução, atividade dos alunos e do professor e o balanço final, relacionados com as
questões de investigação. Como as aulas assistidas foram previamente planificadas em
sessões de trabalho de natureza colaborativa, foquei os meus registos nos aspetos que
constituíam interpretações, e afastamentos, que o professor efetuava na concretização.
No quadro seguinte (Quadro 8), estabeleço a relação entre as questões de
investigação deste estudo e os aspetos que procurei registar na grelha de observação de
aula.
QUADRO 8: QUESTÕES DE INVESTIGAÇÃO E GRELHA DE OBSERVAÇÃO DE AULAS
Qual a natureza e as características das práticas avaliativas de professores de
Matemática, trabalhadas num contexto de trabalho de natureza colaborativa, que
procuram promover a autorregulação da aprendizagem?
Qual a abordagem usada pelo professor para intervir junto dos alunos?
De que forma o professor orienta os alunos?
Como é que o professor e os alunos interagem?
92
Como é que o professor aproveita as intervenções do aluno?
Como é que o aluno aproveita as intervenções do professor?
Até que ponto estão implicados os alunos?
Que modos de interação são favorecidos pelo professor?
Qual é a frequência e a natureza do feedback dado pelo professor?
Qual é a frequência das interações professor - aluno e vice-versa?
Qual é a frequência das iniciativas dos alunos?
De que forma os professores de Matemática procuram integrar as práticas avaliativas
para promover a autorregulação no quotidiano da sala de aula?
Relativamente à planificação, quais são as adaptações?
Como é que os alunos são guiados na aprendizagem?
São referidas estratégias avaliativas? Indicações dadas pelo professor?
A participação/negociação com os alunos?
Existem evidências de autorregulação?
De que modo as práticas avaliativas desenvolvidas contribuem para promover a
autorregulação das aprendizagens matemáticas?
Que modos de avaliação usa o professor?
Qual é a natureza da colaboração entre alunos, no trabalho que desenvolvem? E professor aluno?
Quais são as contribuições dos alunos?
Os alunos autorregulam as aprendizagens? Como?
Que constrangimentos encontram os professores de Matemática para a promoção de
atitudes autorreguladoras da aprendizagem matemática?
Como procuram ultrapassá-los?
Verificam-se constrangimentos? Quais?
Até que ponto são atingidos os objetivos preconizados?
Observação em sessões de trabalho de natureza colaborativa. Nas sessões de
trabalho de natureza colaborativa procurei observar os aspetos que influenciavam a
tomada de decisão do professor – caso no que concerne aos modos de intervenção, às
formas de trabalho em sala de aula e à seleção das experiências de aprendizagem a
propor aos alunos. Com este tipo de observação procurei encontrar dados que
indiciassem a forma como os professores integram o ensino, a aprendizagem e a
avaliação, as características das práticas de sala de aula que promovem a autorregulação
das aprendizagens e os constrangimentos à sua concretização, caso existam. As sessões
de trabalho de natureza colaborativa iniciaram-se em março de 2009 e terminaram em
março de 2010, num total de 26 sessões. À semelhança do que sucedeu para as aulas
observadas, foi estabelecida uma codificação para cada sessão de trabalho que
corresponde a: STC x – sessão de trabalho de natureza colaborativa, em que a variável
x é sucessivamente substituída pelo número da sessão, numa sequência de 1 a 26.
Apesar de não efetuar o registo da observação das sessões de trabalho de
natureza colaborativa em grelha, todas as sessões foram áudio gravadas e,
posteriormente, transcritas de forma a analisar e compreender os aspetos identificados.
93
No quadro seguinte (Quadro 9), estabeleço a relação entre três das questões de
investigação do estudo e os aspetos que procurei observar na sessões de trabalho de
natureza colaborativa.
QUADRO 9: QUESTÕES
DE INVESTIGAÇÃO E ASPETOS OBSERVADOS NAS SESSÕES DE
TRABALHO
Qual a natureza e as características das práticas avaliativas de professores de
Matemática, trabalhadas num contexto de trabalho de natureza colaborativa, que
procuram promover a autorregulação da aprendizagem?
Modos de intervenção planificados?
Formas de trabalho selecionadas?
Tipos de experiências matemáticas discutidos?
De que forma os professores de Matemática procuram integrar as práticas avaliativas
para promover a autorregulação no quotidiano da sala de aula?
Relativamente à planificação?
Relativamente à aprendizagem?
A participação/negociação com os alunos?
As evidências de autorregulação?
Que constrangimentos encontram os professores de Matemática para a promoção de
atitudes autorreguladoras da aprendizagem matemática?
Como procuram ultrapassá-los?
Identificação de constrangimentos? Quais?
Que propostas surgem para os contornar?
Entrevista
Na metodologia qualitativa, a entrevista ganha um espaço legítimo na procura de
explicação para as ações e as decisões dos participantes. Para tal, foi necessário superar
a ideia de que a utilização da entrevista na prática de investigação representa um meio
para aceder aos conteúdos intrapsíquicos do sujeito investigado. Os momentos das
entrevistas consistiram em espaços de diálogo, atravessados pelos significados que
foram construídos pelos participantes, ou seja pelo entrevistado e por mim. Portanto, a
entrevista, enquanto instrumento metodológico, consistiu numa ferramenta interativa
(González Rey, 2000) que adquiriu sentido dentro de um espaço, em que o
estabelecimento do vínculo entre mim e os entrevistados cumpriu uma função essencial
na qualidade dos indicadores empíricos produzidos. Assim, o meu papel de investigador
não se restringiu à atividade de perguntar. Da mesma forma, o papel do professor - caso
não se restringiu a responder às questões por mim formuladas, pois as suas respostas
não estavam prontas antecipadamente, mas foram construções pessoais implicadas no
espaço dual da entrevista, e no tipo de vinculação estabelecido entre nós (González Rey,
2000).
94
Efetuei duas entrevistas a cada um dos professores – casos do estudo, (E x J e
E x M)5. Uma em fevereiro de 2009 e outra em maio de 2010. Usei entrevistas
semiestruturadas, dado que elaborei, previamente, guiões (anexo 02 e anexo 03). As
entrevistas semiestruturadas pareceram-me as mais adequadas por me permitirem
aceder de forma mais direta e informada àquilo que procurava analisar e compreender.
No entanto, embora orientadas pelas questões que constam do guião, as entrevistas
viveram sobretudo daquilo que os participantes disseram. Procurei, sempre, que os
entrevistados não sentissem qualquer tipo de constrangimento e referissem,
abertamente, os seus pontos de vista.
A primeira entrevista (anexo 02) teve por principal objetivo a caracterização do
professor, quer ao nível do percurso profissional, quer da atividade letiva de preparação
das aulas, interpretação de documentos curriculares, propósitos educativos, e a sua
concretização. A inclusão de um jogo de palavras teve por finalidade identificar o
significado de cada uma das palavras para o professor - caso, procurando compreender
as expectativas e as conceções que manifestavam. A partir do significado atribuído por
cada um dos professores foi possível negociar o sentido a dar às sessões de trabalho de
natureza colaborativa, e compreender as ações e decisões tomadas em contexto de sala
de aula.
A segunda entrevista (anexo 03) procurou, essencialmente, identificar o
entendimento, ou perceção, que o professor tem da integração da avaliação no processo
ensino aprendizagem e da promoção de atitudes autorreguladoras da aprendizagem
matemática. Nessa entrevista foram aprofundados os temas discutidos nas sessões de
trabalho de natureza colaborativa e os aspetos relativos à observação de aulas.
Tanto a primeira entrevista como a segunda realizaram-se no espaço físico da
escola em que ocorreu a recolha de dados. A primeira com uma duração aproximada de
90 minutos e a segunda de 60. Todas as entrevistas foram áudio - gravadas e
posteriormente integralmente transcritas por mim.
Recolha documental
Os documentos que os professores - caso e eu elaborámos constituem fontes de
informação para o estudo (Tuckman, 2002). Assim, classifiquei-os em dois tipos de
documentos: o diário de investigação e outros documentos. No diário de investigação,
E x J: entrevista x de José, em que a variável x assume os números 1 ou 2, consoante se trate da
entrevista 1 ou 2; E x M: entrevista x de Maria, em que a variável x assume os números 1 ou 2,
consoante se trate da entrevista 1 ou 2.
5
95
registei os aspetos que resultaram do meu testemunho enquanto observador atento aos
diferentes aspetos que, na minha opinião, afetaram, ou explicaram, o fenómeno em
causa. Dos outros documentos, fazem parte o material que se relaciona com a prática
letiva dos professores – caso e o produto do trabalho dos alunos.
Diário de investigação. Perante um estudo de metodologia qualitativa, surgiu a
necessidade de registar todos os aspetos relacionados com a atividade dos professores –
caso e meus, nomeadamente durante o percurso evolutivo dos professores nas diferentes
etapas, planificação, concretização e reflexão. Estes relatos descritivos constituem a
informação sobre a evolução dos atores, bem como a sua perceção da situação que
vivem, das suas expectativas e das suas necessidades (Lessard-Hébert, Goyette &
Boutin, 1994). Estas notas são o relato escrito daquilo que ouvi, vi, experienciei e
pensei no decurso do estudo, e refleti sobre o que observava (Bodgan & Biklen, 1994).
Esse registo é um diário e foi concretizado, também, sobre as sessões de trabalho
de natureza colaborativa. Nele registei intervenções, causas das mesmas e seus efeitos.
Também registei alterações à planificação estabelecida inicialmente, modificações
metodológicas à concretização da aula e opções tomadas no seu decurso, e estratégias,
reações e dificuldades ou episódios marcantes ocorridos no decurso do estudo. Anotei,
ainda, as minhas reflexões sobre o processo ensino aprendizagem e sobre a
concretização do estudo (Fonzi, 1999), assumindo assim a dualidade de tipos de notas
registadas em trabalho de campo, o observador reflexivo e descritivo (Bogdan &
Biklen, 1994). Esta forma de registo possibilitou-me, também, a construção de um
espaço autónomo de reflexão e distanciamento relativamente aos acontecimentos
observados.
Os dados registados no diário de investigação serviram para apoiar o
conhecimento que adquiri do desenvolvimento profissional dos professores – caso e da
forma como estes integraram, nas suas práticas letivas, os modos avaliativos promotores
da autorregulação da aprendizagem.
Outros documentos. Os documentos recolhidos e analisados dizem respeito à
planificação, a longo e a curto prazo, realizadas pelos professores – caso, usualmente,
no início do ano letivo, a programação das atividades, os textos de tarefas, e outros
documentos que foram produzidos pelos professores para as sessões de trabalho de
natureza colaborativa, disponibilizados ou não aos alunos. Também foram recolhidas
cópias dos produtos do trabalho dos alunos, aqueles que permitiram a obtenção de uma
noção do trabalho realizado e escolhidos por cada professor - caso. De facto, a análise
96
dos documentos reunidos permitiu-me completar as informações recolhidas em sala de
aula e nas sessões de trabalho de natureza colaborativa, uma vez que ocorreu uma
grande variedade de acontecimentos e pormenores que podiam ser úteis para o
confronto com a programação e os propósitos definidos.
Análise de dados
A análise dos dados permitiu interpretar e organizar as evidências que recolhi de
forma a torná-las claras para quem lê este estudo. A variedade de material obtido exigiu
a capacidade integrativa e analítica que, por sua vez, dependeu do desenvolvimento da
capacidade criadora e intuitiva. A intuição aqui mencionada não é um dom, mas
resultante da fundamentação teórica e do caminho que segui no estudo. A análise feita
ao longo do estudo resulta do confronto entre a fundamentação teórica e a realidade
empírica (Bogdan & Biklen, 1994; Denzin & Lincoln, 2005).
Procedimento
Seguindo a perspetiva de Ponte (2006), o que me serve para caracterizar os casos
são as determinantes internas, a sua história, a sua natureza, as suas propriedades
próprias, e as influências externas, próximas e distantes, diretas e indiretas, que recebem
do seu contexto. Por isso, em cada caso, dou atenção à sua história (e ao modo como se
desenvolve), e ao seu contexto (os elementos exteriores, quer da realidade local, quer de
natureza social e sistémica que mais o influenciam). Procurei identificar o essencial e o
mais característico de cada um deles, pelo que foi necessário identificar o seu caráter
único e delimitá-lo (Denzin & Lincoln, 2005; Goetz & Lecompte, 1984; Ponte, 2006).
A primeira entrevista possibilitou-me a informação necessária para a apresentação de
cada caso, o seu percurso profissional e as suas conceções. A observação de aulas e a
observação em sessões de trabalho de natureza colaborativa permitiu-me o acesso ao
conteúdo do estudo e às práticas avaliativas com o propósito de promover a
autorregulação da aprendizagem matemática, adaptadas pela recolha documental.
Procurei proceder às transcrições das gravações das entrevistas, das aulas e das
sessões de trabalho de natureza colaborativa o mais depressa possível para anotar os
episódios mais marcantes e não esquecê-los. Na transcrição da primeira entrevista de
cada um dos casos o processo foi rápido, porque a concretização do estudo ainda estava
na fase inicial. Na transcrição da segunda entrevista, das aulas e das sessões de trabalho
97
de natureza colaborativa o processo foi mais demorado, terminou em novembro de
2010, tendo em conta o número de aulas, o número de sessões, a sua frequência
temporal e a simultaneidade da assistência às aulas dos dois casos. Não dispensei a
transcrição da totalidade das gravações, porque, tanto no caso das sessões de trabalho
colaborativo, como das aulas, em algumas das gravações foi difícil a perceção das falas
dado o cruzamento de vozes e a coincidência do discurso. Nestas situações, foi
fundamental o diário de investigação e o meu conhecimento dos assuntos em causa para
o entendimento e a reconstrução do que se tinha passado.
Na redação de cada caso dou relevância ao que há de interessante, original e
surpreendente em si mesmo – salvaguardando a descrição metodológica e a
apresentação. Desenvolvo uma exploração, descrição e explicação com profundo
alcance analítico, interrogando o caso, confrontando-o com outros casos já conhecidos e
com as teorias existentes (Yin, 2002; Ponte, 1994). A análise do material recolhido
seguiu o sistema de categorias que descrevo a seguir.
Categorias
Para a organização e análise dos dados, os materiais recolhidos foram
compartimentados em duas estruturas denominadas práticas avaliativas, com o
propósito de promover a autorregulação da aprendizagem matemática: a interação
professor – alunos na aula (IP-A); e o relatório escrito em duas fases (RE). Em cada
uma destas duas estruturas, IP-A e RE, foram tidos em conta três momentos distintos:
antes da aula, durante a aula, e depois da aula.
O primeiro, antes da aula, diz respeito ao preconizado por Ponte et al. (1999),
Canavarro e Ponte (2005), Ponte, Quaresma e Branco (2012), quando salientam o papel
do professor na interpretação, gestão, planeamento e colocação em prática das suas
opções curriculares, em que faz intervir as suas conceções e o seu conhecimento
profissional, filtrados pelo trabalho colaborativo entre professores e pela avaliação dos
resultados obtidos. É a planificação como um conjunto de opções curriculares
influenciado por aspetos inerentes à escola, ao professor e aos alunos.
O segundo, durante a aula, mostra o ambiente de aprendizagem da sala de aula, o
que marca decisivamente a Matemática que os alunos aprendem, o que aprendem sobre
ela e a sua relação com a disciplina (NCTM, 2007). Segundo Ponte (2004), esse
momento, a concretização, pode ser de cunho essencialmente direto ou exploratório ou,
ainda, ser uma estratégia que combine em graus diversos, estas duas modalidades. Os
98
elementos que constituem os fatores decisivos dessa definição são (i) o modo como a
informação é introduzida e (ii) a natureza das tarefas propostas aos alunos e da atividade
que delas decorre. Mais recentemente, Ponte et al. (2012) apresentaram um modelo para
o estudo das práticas profissionais dos professores de Matemática, que combina a
abordagem cognitiva e a sociocultural. Segundo esse modelo, a nível intermédio,
procura-se compreender o sentido global do que faz o professor, tendo em atenção os
seus planos de ação e procurando caraterizar a sua atividade, bem como identificar o
modo específico como são postos em prática. Na perspetiva sociocultural, é preciso
considerar as tarefas propostas e o modo como o professor conduz a comunicação. Isto
poderá ser feito procurando identificar (i) a natureza da atividade, ou seja, os motivos do
professor, o modo como estes originam os objetivos que pretende alcançar e como são
concretizados através de diversas ações profissionais e (ii) a estrutura da atividade,
observando as ações e operações envolvidas. De um ponto de vista cognitivo, podemos
dar atenção igualmente às tarefas e comunicação nos planos de ação do professor,
decisões e técnicas usadas. Em qualquer dos casos é necessário ter em conta os recursos
e ferramentas usadas pelo professor e os modos de trabalho dos alunos.
Por último, o terceiro momento, a reflexão, depois da aula. Sendo uma reflexão
sobre a ação desenvolve-se num momento posterior à ação (Schön, 1983). É, também,
uma reflexão sobre a reflexão na ação (Serrazina & Oliveira, 2002) por ajudar o
professor a progredir no seu desenvolvimento profissional e a construir a sua própria
forma de conhecer. Trata-se de um olhar retrospetivo para a ação, sobre o que
aconteceu, o que o professor observou, que significado atribuiu e que outros
significados poderiam ser atribuídos ao que aconteceu.
Para um melhor entendimento da análise de cada uma das estruturas, IP-A e RE,
sintetizo a seguir cada um dos momentos e, nos respetivos quadros, explicito as
categorias de análise e as respetivas subcategorias.
Antes da aula. Para analisar cada uma das duas práticas avaliativas que
procuram promover a autorregulação da aprendizagem matemática, IP-A e RE, para o
momento antes da aula, defini três categorias: intervenção avaliativa do professor,
seleção da tarefa e método de trabalho. Numa perspetiva de que a avaliação não deverá
ser meramente feita aos alunos, pelo contrário, ela deverá ser feita para os alunos, para
os orientar e melhorar a sua aprendizagem (Black & Wiliam, 2006a; Irons, 2007;
NCTM, 2007; Perrenoud, 2004; Ryve, Nilsson, & Mason, 2012; Santos, 2005),
preconiza-se a atenção dada aos parâmetros participação do aluno, diversidade de
99
estratégias de resolução, gestão do tempo, critérios de realização, recursos e
comunicação, no momento em que o professor equaciona a seleção da tarefa. Há muito
tempo que se aceitam as tarefas como ponto de partida para o desenvolvimento da
atividade Matemática do aluno (Christiansen & Walther, 1986; Stein, Remillard, &
Smith, 2007). Elas fazem parte das situações que o professor cria na sala de aula, a
partir das quais a atividade se realiza, e podem revestir-se de alguma diversidade,
consoante o grau de desafio e o grau de estrutura (Ponte, 2005a). Relativamente ao
método de trabalho, o professor pode organizar os alunos de diversas maneiras: em
coletivo, em pequeno grupo (3 elementos ou mais), aos pares ou individualmente. Cada
uma dessas organizações está vocacionada para atingir determinados objetivos e é mais
adequada, ou não, para a realização de certas tarefas em detrimento de outras
(Francisco, 2013).
QUADRO 10: CATEGORIAS DE ANÁLISE DO MOMENTO ANTES DA AULA
Categorias
Antes
da
aula
Intervenção avaliativa do
professor
Seleção da Tarefa
Método de trabalho
Papel do professor
Subcategorias
Papel do professor
Papel do aluno
Participação do aluno
Diversidade de estratégias de resolução
Gestão do tempo
Critérios de realização
Recursos (materiais)
Comunicação (entre pares e aluno / professor)
Individual
Pares
Grupo (mais de dois alunos)
Turma
Durante a aula. Cada uma das duas práticas avaliativas que procuram promover
a autorregulação da aprendizagem matemática, IP-A e RE, divergem, à partida,
relativamente ao modo como são concretizadas na sala de aula. Se por um lado, a
prática de interação professor – alunos em aula se concretiza pelo questionamento
(Bloxham & Campbell, 2010; Hodgen, 2007; Mason, 2000; Santos, 2002), em que o
professor não corrige os erros, mas antes dá pistas, não valida mas questiona de forma
que seja o próprio aluno a desenvolver um argumento convincente sobre o seu
raciocínio (Lau, Singh & Hwa, 2009; Santos, 2003a; 2004; Weber et al., 2008), por
outro lado a prática relatório escrito em duas fases apela ao feedback escrito ou escrita
avaliativa, que pode ser de diversos tipos e, mais ou menos, adequada aos fins a que se
destina (Gipps, 1999; Price et al., 2010; Sadler, 1989; Santos, 2003c; 2004; Santos &
100
Dias, 2007; Wiliam, 1999). Mas, quer em IP-A, quer em RE, no que diz respeito ao
professor, o foco de análise recaiu sobre a autorregulação da resposta com os
parâmetros: compromisso com as tarefas matemáticas, em que o professor clarifica as
intenções de aprendizagem e partilha critérios de sucesso (NCTM, 1999; Jorro, 2000);
estímulo às estratégias individuais, em que o professor estimula os alunos a explicitarem
as suas dificuldades e os processos cognitivos utilizados nas tarefas, a avaliarem os
percursos realizados e a explicitarem as razões das suas dificuldades e/ou sucessos
(Santos, 2002); articulação de ideias próprias, em que o professor apoia a reflexão sobre
os processos de aprendizagem da matemática, isto é, explicita processos mentais na
estruturação da apresentação dos conteúdos, facultando aos alunos o conhecimento de
outros processos (que não os próprios) e a sua comparação com os do próprio (Black &
Wiliam, 2006c; Henning et al., 2012; Noonan & Duncan, 2005); e a autorregulação do
desempenho com os parâmetros: eficácia matemática, em que o professor pondera a
consecução da tarefa proposta; e a autoavaliação, em que o professor envolve o aluno
enquanto responsável pela sua aprendizagem (Lew et al., 2010; Santos, 2002; Stiggins,
2005).
A autorregulação da resposta engloba a ação do professor para a promoção da
capacidade do aluno monitorizar a obtenção do produto do seu trabalho, enquanto a
autorregulação do desempenho diz respeito à ação destinada à capacidade de
monitorizar os processos e saberes matemáticos que conduzem à solução.
Neste segundo momento, não me pareceu suficiente a análise do papel do
professor para compreender as práticas avaliativas com a intencionalidade de promover
a autorregulação. A autoavaliação realizada pelo aluno surgiu como uma categoria a ter
em conta, por permitir a regulação do processo de aprendizagem pelo sujeito dessa
aprendizagem, pois a autoavaliação é um processo de metacognição pelo qual o próprio
aluno toma consciência dos diferentes momentos e aspetos da sua atividade cognitiva
(Brookhart et al., 2004; Lew et al., 2010; Santos, 2002). Nessa categoria foram tidos em
conta as seguintes subcategorias: compara as intenções de aprendizagem, e os critérios
de sucesso, com o trabalho desenvolvido (Stiggins, 2005); escolhe percursos, métodos,
recursos, etc…(Quinton & Smallbone, 2010); e usa a avaliação para a melhoria dos
trabalhos (Cambra-Fierro & Cambra-Berdún, 2007b; Wiliam, 1999).
101
QUADRO 11: CATEGORIAS DE ANÁLISE DO MOMENTO DURANTE A AULA (IP-A)
Papel do professor
Categorias
Subcategorias
Questionamento
Durante
a
aula
Papel do aluno
Categorias
Subcategorias
Autoavaliação
Autorregulação da
resposta
Compromisso com as
tarefas matemáticas
Estímulo às
estratégias
individuais
Articulação de ideias
próprias
Autorregulação do
desempenho
Eficácia matemática
Autoavaliação
Compara as
intenções de
aprendizagem, e os
critérios de sucesso,
com o trabalho
desenvolvido
Escolhe percursos,
métodos, recursos,
etc…
Usa a avaliação
para a melhoria dos
trabalhos
QUADRO 12: CATEGORIAS DE ANÁLISE DO MOMENTO DURANTE A AULA (RE)
Papel do professor
Categorias
Subcategorias
Feedback
Durante
a
aula
Papel do aluno
Categorias
Subcategorias
Autorregulação da Autoavaliação
resposta
Compromisso com as
tarefas matemáticas
Estímulo às
estratégias
individuais
Articulação de ideias
próprias
Autorregulação do
desempenho
Eficácia matemática
Autoavaliação
Compara as
intenções de
aprendizagem, e os
critérios de sucesso,
com o trabalho
desenvolvido
Escolhe percursos,
métodos, recursos,
etc…
Usa a avaliação
para a melhoria dos
trabalhos
Depois da aula. Para este último momento foram definidas as mesmas
categorias para cada uma das duas práticas avaliativas que procuram promover a
autorregulação. Deci e Ryan (2000) apontam fatores contextuais como potenciais
inibidores ou estimulantes no desejo ou na motivação da pessoa para fazer alguma
coisa. Segundo estes autores, quando o comportamento é autodeterminado, o processo
regulador é a escolha, mas, quando é controlado, o processo regulador é a
condescendência ou, em alguns casos, a desobediência. Assim, faz sentido incluir o
balanço e as dificuldades como duas categorias de análise para o momento reflexão: o
balanço em que os professores avaliam os progressos conseguidos, que tem subjacente
102
uma avaliação contínua de crenças, de princípios e de hipóteses face a um conjunto de
dados e de possíveis interpretações desses dados (Serrazina & Oliveira, 2002); e as
dificuldades em que o professor perspetiva o que fez e acentua a sua importância nas
práticas (Schön, 1983).
QUADRO 13: CATEGORIAS DE ANÁLISE DO MOMENTO DEPOIS DA AULA
Categorias
Depois
da
aula
Balanço
Papel do professor
Subcategorias
Progressos conseguidos
Constrangimentos
Dificuldades
103
104
CAPÍTULO 5 – O TRABALHO DE NATUREZA
COLABORATIVA
Neste capítulo descrevo o trabalho de natureza colaborativa que serviu de
suporte ao desenvolvimento do estudo. Por mais de um ano, desde fevereiro de 2009 a
abril de 2010, um contexto de trabalho de natureza colaborativa fomentou e suportou o
estudo das práticas avaliativas e apoiou a recolha de dados. Destaco o grupo, a dinâmica
e as suas principais características, em que incluo a constituição, os propósitos, o
funcionamento e o trabalho desenvolvido.
O grupo
Nesta parte caracterizo o grupo de trabalho de natureza colaborativa, referindo a
forma como foi constituído, alguns aspetos dos professores envolvidos e as motivações
que impulsionaram os professores a envolverem-se neste estudo.
Constituição
O grupo foi constituído por convite, tendo por base critérios já enunciados
(reconhecida experiência profissional, lecionar o ensino secundário, manifestar
capacidade de reflexão sobre a sua prática letiva, manifestar intenção de desenvolver
práticas de avaliação reguladora).
Eu convidei dois professores, José e Maria, para participarem no estudo. Tanto
José, como Maria, evidenciavam preocupações com o desempenho dos alunos em sala
de aula e o reflexo disso na concretização das aprendizagens. A partilha de
preocupações nessa temática, e o meu investimento em formação académica,
despoletaram, frequentemente, conversas entre nós relacionadas com a problemática da
avaliação das aprendizagens.
José e Maria aceitaram o desafio sem hesitações. No entanto, os motivos
parecem ter sido diferentes. José aceitou porque mantém comigo, há vários anos,
hábitos de partilha de materiais de trabalho e reflexões sobre episódios ocorridos em
sala de aula. Maria porque está sempre disposta a aprender mais: “não sei tudo, e de
avaliação não sei nada, estou sempre disponível para aprender” (E1M).
O envolvimento de José e de Maria veio a revelar-se uma mais-valia para este
estudo pela sua situação profissional. Sendo professores com mais de vinte anos de
serviço letivo, e pertencentes ao quadro de escola, garantiam a continuidade pedagógica
105
das turmas envolvidas no projeto por dois anos letivos, acompanhando os mesmos
alunos no 10.º ano e no 11.º ano. No ano letivo 2008/2009, Maria e José lecionavam
turmas de 10.º ano e em 2009/2010 lecionaram as mesmas turmas, mas no 11.º ano.
Para além da atividade letiva, José e Maria já tinham trabalhado em conjunto
noutros contextos. Frequentaram várias ações de formação contínua em conjunto, e até
realizaram trabalhos em conjunto para essas formações. Em 2007, frequentaram uma
ação de formação em que fui formador, o que permitiu que aprofundasse o
conhecimento sobre o trabalho que desenvolvem com os alunos.
Caracterização dos professores
José era casado e tinha 31 anos de serviço. Professor de Matemática desde 1978,
segundo José, veio para a profissão por acaso, quando procurava emprego. Acabou por
gostar e o seu principal desafio é os alunos: “vê-los a raciocinar é uma maravilha, às
vezes fazem as coisas como eu nunca imaginei” (E1J). Licenciado em engenharia e
gestão industrial, afirma que na sua formação sempre escolheu a vertente do
conhecimento matemático em detrimento do conhecimento didático. No entanto,
preocupa-se em incluir na sua atividade letiva tarefas diversificadas, de investigação, de
exploração, resolução de problemas, e metodologias de ensino que incluem as
tecnologias. Está na atual escola há dezassete anos, desempenhou os cargos de diretor
de curso e de diretor de turma, mas José salienta: “prefiro as atividades de ensino aos
cargos!” (E1J). Relativamente à avaliação, no início deste trabalho, José dizia valorizar
as atitudes dos alunos no apuramento da classificação final, mas sem dispensar a
inclusão de avaliações sumativas obtidas através de fichas e testes escritos em tempo
limitado.
Maria era divorciada e tinha 25 anos de serviço. Apesar de ser bacharel em
engenharia civil, Maria completou o curso de estudos superiores em administração
escolar e referiu-se ao facto de ser professora como uma paixão: “para mim, ser
professora de Matemática é uma paixão, pelo que não me revejo noutra profissão, e um
dos meus objetivos é proporcionar aos meus alunos o gosto pela Matemática” (E1M).
Vê a aprendizagem da Matemática mais do que o treino repetitivo de exercícios, por
isso procura incluir tarefas diversificadas nas suas aulas. Está na atual escola há 24 anos
e desempenhou cargos de gestão, diretora de curso e diretora de turma. É vista como
uma professora acessível e compreensiva entre os alunos, e entre os seus colegas. No
106
que diz respeito à avaliação, Maria é lacónica a afirmar que não costuma pensar no
assunto: “é uma tarefa complicada, mas necessária” (E1M).
Enquanto investigador, partilhei com Maria e José a conceção do estudo, a
dinamização do projeto desde a sua organização até ao balanço final e, por isso, faço a
minha caracterização de forma a contribuir para o conhecimento do grupo como um
todo, através do conhecimento das características dos elementos que o constituem. Eu
sou casado e tenho 19 anos de serviço. Licenciado em ensino da Matemática e mestre
em Educação na área de especialização de didática da Matemática, sempre gostei de
Matemática. No ensino secundário, nas aulas de Matemática, estava sempre no quadro a
resolver os exercícios/problemas e a explicar aos meus colegas. Isso levou-me a decidir
desde muito cedo pela profissão que viria a ter. Estou na atual escola há quinze anos e já
fui vice-presidente do conselho executivo, de 1999 a 2005, e tenho dinamizado vários
projetos. A minha insatisfação com o investimento dos alunos na aprendizagem, e às
vezes a sua falta de empenho, impulsionou-me na procura de conhecimento e
explicações para alguns episódios de desinvestimento na aprendizagem que ocorrem na
sala de aula. Acreditando que a escola é um espaço de aprendizagem, para mim a
avaliação serve a aprendizagem e nunca o castigo ou a penalização.
O trabalho do grupo
Neste ponto descrevo as motivações, o funcionamento e organização, assim
como o conteúdo das sessões de trabalho de natureza colaborativa que contribuíram
para o estudo. Destaco os assuntos tratados nas sessões de grupo e a reflexão do grupo
sobre o trabalho desenvolvido.
Motivação
A construção do projeto de investigação nasceu da ideia comum aos dois
participantes e ao investigador, que é possível promover nos alunos a autorregulação da
aprendizagem matemática. Surgiu, assim, a necessidade de estudar práticas avaliativas,
em sala de aula, que contribuíssem para promover a autorregulação das aprendizagens
matemáticas, perspetivando algumas das vantagens que isso poderia trazer para a
responsabilização, o desempenho, o resultado escolar e a participação dos alunos nas
tarefas matemáticas, em particular em Trigonometria, Geometria e Funções do 11.º ano.
Depois de avanços e recuos, o grupo de trabalho de natureza colaborativa
estabeleceu alguns objetivos a atingir:
107
• construir um entendimento comum sobre o que se entende por autorregulação,
avaliação e aprendizagem;
• definir práticas avaliativas com intencionalidade reguladora;
• selecionar tarefas com potencialidades para promover a autorregulação da
aprendizagem matemática em Trigonometria, Geometria e Funções;
• monitorizar a evolução dos alunos na aprendizagem matemática.
Uma parte fundamental da construção do projeto foi o aprofundamento do
conhecimento mútuo, apesar de já nos conhecermos. Logo nas primeiras sessões de
trabalho, o grupo reconheceu algumas diferenças ao nível das conceções, no que diz
respeito, em particular, ao papel do professor e ao papel do aluno em sala de aula. Por
isso, foi necessário trabalhar e discutir esses aspetos, para construir um entendimento
comum. Inicialmente, o grupo analisou diferentes perspetivas e comparou formas de
estar de professores, e de alunos, em sala de aula, e a relação com o empenho na
concretização das tarefas escolares, a partir da leitura e discussão de textos de Educação
Matemática. Para isso, disponibilizei-me a pesquisar textos no domínio da Educação
Matemática que versassem essa temática. Os textos lidos e discutidos constituem um
repositório deste projeto, assim como todas as tarefas e materiais usados nas sessões de
trabalho de natureza colaborativa. Numa fase mais adiantada do desenvolvimento do
projeto, a planificação, a concretização, e a reflexão sobre a implementação com alunos
de tarefas, em sala de aula, foram as estratégias seguidas para abordar o papel do aluno
e o papel do professor.
Organização e funcionamento
As reuniões de trabalho de natureza colaborativa decorreram no espaço físico da
escola onde ocorreu a recolha de dados, a que pertencem os participantes, mas fora do
horário letivo dos professores envolvidos. Desse trabalho foi dado conhecimento à
direção da escola, em ambos os anos letivos, 2008/2009 e 2009/2010.
Em 2008/2009 tivemos reuniões de trabalho com a duração de 90 minutos (um
bloco letivo), à quarta-feira. As reuniões eram semanais porque os nossos horários
letivos permitiam a permanência na escola durante esse bloco. Nessa altura, o projeto de
investigação ainda estava pouco estruturado. Mas, as nossas reuniões informais serviam
para aprofundar o nosso entendimento sobre práticas avaliativas, práticas letivas, tarefas
e instrumentos de recolha de dados, permitindo a co construção deste projeto.
108
Em 2009/2010 mantivemos as reuniões semanais de quarta-feira, num bloco de
noventa minutos. Nesse ano letivo, planificámos, concretizamos e refletimos sobre as
práticas avaliativas com intencionalidade de promover a autorregulação, mas a estrutura
de cada sessão não foi sempre a mesma.
Entre fevereiro de 2009 e março de 2010, realizaram-se 26 sessões de trabalho
de natureza colaborativa. Apesar de se prever uma sessão semanal de trabalho de
natureza colaborativa, as tarefas que os professores realizavam na escola ou o próprio
calendário escolar impediram que tal se concretizasse. As primeiras 9 sessões ocorreram
em 2008/2009 e posso dizer que coincide com a fase de estruturação do projeto.
Após a estruturação do projeto, solicitei a ambos os professores, a sua
disponibilidade para assumir os seguintes compromissos: continuar a reunir
semanalmente em 2009/2010, à semelhança de 2008/2009; participar, ativamente, no
trabalho de natureza colaborativa em que nos tínhamos envolvido; permitir a minha
presença nas suas aulas; disponibilizar todos os documentos pessoais, e de alunos, que
estivessem relacionados com a prática letiva.
O trabalho desenvolvido em cada um dos dois anos letivos referidos, 2008/2009
e 2009/2010, não foi da mesma natureza. No primeiro ano letivo, procurámos identificar
áreas de intervenção e o trabalho esteve relacionado com o arranque do projeto, que
denomino por 1.ª fase. No segundo ano letivo, o grupo deu prioridade à concretização
em sala de aula, denominada 2.ª fase. No entanto, para além destas duas fases distintas,
considero que existiu uma 3.ª fase, em paralelo a ambas, a reflexão. O conteúdo de cada
uma destas fases não é completamente estanque, pois considero que existem
interligações entre as três fases. Algumas das opções tomadas durante a concretização
do projeto foram informadas pela prática letiva de cada um dos envolvidos e pelas
sessões de trabalho de natureza colaborativa. Como investigador, procurei integrar os
contributos dos participantes. Nas 17 sessões de 2009/2010, o trabalho de natureza
colaborativa teve uma forte componente prática. O trabalho desenvolveu-se tendo por
base as práticas avaliativas, a seleção e adaptação de tarefas para implementar em sala
de aula, e respetiva planificação, ou a reflexão sobre episódios de sala de aula.
1.ª fase. Essa fase concentrou-se entre fevereiro e maio de 2009 e compreendeu
o apuramento das necessidades de investimento dos elementos do grupo para a
construção conceptual de um entendimento comum em autorregulação, avaliação e
aprendizagem. Também, nessa fase, foi efetuado um levantamento de possíveis áreas de
intervenção, junto dos alunos, a partir da recolha de documentos de avaliação dos
109
alunos e, respetivos, resultados. Os três elementos do grupo procuraram identificar
aspetos das suas práticas letivas que poderiam contribuir para o desenvolvimento da
autorregulação das aprendizagens matemáticas nos temas a lecionar no 11.º ano.
No quadro seguinte resumo os temas trabalhados em cada uma das nove sessões
de 2008/2009.
QUADRO 14: TRABALHO
DESENVOLVIDO PARA A
1.ª
FASE DE TRABALHO DE NATUREZA
COLABORATIVA
Data
4 de março de 2009
Temas tratados
11 de março de 2009
As dificuldades detetadas nas aprendizagens dos alunos à entrada
do 10.º ano
O desempenho dos alunos do 10.º ano no 1.º teste intermédio6
18 de março de 2009
A capacidade de compreensão e de comunicação dos alunos
25 de março de 2009
As tarefas que permitem desenvolver a autorregulação da
aprendizagem
As atividades de investigação no manual dos alunos
Discussão sobre a recolha de dados
A construção de tarefas sobre as funções polinomiais
22 de abril de 2009
29 de abril de 2009
6 de maio de 2009
20 de maio de 2009
27 de maio de 2009
Discussão da tarefa sobre as funções polinomiais
A análise dos problemas dos testes intermédios de 10.º ano
O desempenho dos alunos no 2.º teste intermédio do 10.º ano
O balanço do trabalho realizado
Perspetivas para o próximo ano letivo (projeto de trabalho)
2.ª fase. De setembro de 2009 a março de 2010, as atividades desenvolvidas no
âmbito do projeto centraram-se, essencialmente, na prática letiva dos professores. Nessa
fase, foram definidas as práticas avaliativas a estudar, planificadas aulas, selecionadas e
adaptadas tarefas para propor aos alunos, analisados episódios de sala de aula, e feita a
reflexão sobre esse trabalho. Apesar de existir uma programação pré-estabelecida para
essa fase (anexo 04), imposta pela calendarização do estudo e pelo desenvolvimento dos
temas/conteúdos dos programas de Matemática das turmas envolvidas, surgiram
adaptações. Os materiais, textos e tarefas, discutidos em cada sessão, foram incluídos a
partir das progressivas necessidades do grupo, diagnosticadas pela reflexão sobre as
aulas e a partir da evolução do trabalho conjunto, e com o contributo de todos.
6
Os testes intermédios, realizados pela primeira vez no ano letivo de 2005/2006, são instrumentos de
avaliação disponibilizados pelo GAVE e têm como principais finalidades permitir a cada professor aferir
o desempenho dos seus alunos por referência a padrões de âmbito nacional, ajudar os alunos a uma
melhor consciencialização da progressão da sua aprendizagem e, complementarmente, contribuir para a
sua progressiva familiarização com instrumentos de avaliação externa. (http://www.gave.minedu.pt/np3/430.html)
110
Na definição do projeto ficou explícito que se procurava analisar as práticas
avaliativas dos professores de Matemática que tinham por intenção promover a
autorregulação da aprendizagem matemática. Assim, José e Maria acederam a que eu
estivesse presente e gravasse as aulas em que essas práticas fossem implementadas. O
percurso dos dois professores não foi o mesmo. No caso de José, estive presente em dez
aulas, correspondentes a cinco tarefas, e no caso de Maria em onze aulas e seis tarefas.
3.ª fase. Durante todo o estudo e em particular, a reflexão final, em abril de
2010, os professores envolvidos no projeto aproveitaram algumas das sessões de
trabalho de natureza colaborativa para realizarem uma reflexão sobre o trabalho
desenvolvido com os alunos.
Os temas tratados
Apesar de se tratar de um trabalho de natureza colaborativa, eu, enquanto
investigador, procurei organizar o trabalho do grupo. Respondi às solicitações do grupo,
embora qualquer um dos participantes pudesse dinamizar as sessões de trabalho com
propostas de trabalho semanal.
A seleção e adaptação de tarefas para aplicar em sala de aula, foi, quase sempre,
dos professores participantes. Mas, em paralelo com essa seleção foram definidas as
práticas avaliativas a estudar. As práticas avaliativas estudadas surgiram da necessidade
de aprofundamento de conhecimento dos próprios professores. Através da leitura dos
textos de Educação Matemática, sobre a temática da autorregulação, os professores
manifestaram o seu interesse em desenvolver o questionamento oral e o feedback
escrito.
O trabalho desenvolvido nas sessões conjuntas pode ser incluído numa das
seguintes categorias:
• definição e planificação de práticas avaliativas, com a intencionalidade de promover
a autorregulação da aprendizagem matemática;
• seleção e adaptação de tarefas a propor aos alunos em aula;
• análise e reflexão sobre episódios de sala de aula, tendo como suporte a experiência
do dia-a-dia de cada professor, ou as aulas observadas;
• análise do desenvolvimento da capacidade de autorregulação dos alunos.
Ainda em 2008/2009, no início do projeto, os professores exteriorizaram
preocupações com as dificuldades de compreensão e de comunicação matemática
manifestadas pelos alunos, principalmente quando as questões colocadas apelavam à
111
explicação de raciocínios. Em particular, o grupo de trabalho de natureza colaborativa
sentiu como sua primeira necessidade o aprofundar dos seus conhecimentos acerca do
desempenho dos alunos num teste intermédio nesse tipo de questões. Foi esse o ponto
de partida para a definição inicial do projeto, por um lado a perceção de que havia
dificuldades de compreensão e de comunicação e, por outro lado, como é que se poderia
intervir de modo a melhorar o desempenho dos alunos em Matemática no 11.º ano.
Começámos por procurar identificar as dificuldades dos alunos, na generalidade,
através da realização de uma avaliação diagnóstica e, posteriormente, do tratamento
estatístico dos resultados obtidos pelos alunos. Nessa fase que, anteriormente,
denominei de 1.ª fase, identificámos tarefas do manual do aluno e de testes intermédios
que poderiam ajudar a promover a autorregulação da aprendizagem matemática e,
consequentemente, a desenvolver, nos alunos, as suas capacidades de compreensão e de
comunicação matemática. Como forma de complemento dessas sessões, discutimos e
analisamos textos de Educação Matemática.
Nas 2.ª e 3.ª fases, nas sessões de trabalho de natureza colaborativa, predominou
a reflexão sobre o papel do professor na aula de Matemática e o impacto do projeto nos
alunos. No quadro seguinte, resumo os temas trabalhos em cada uma das 17 sessões de
trabalho de 2009/2010.
QUADRO 15: TRABALHO DESENVOLVIDO PARA AS
NATUREZA COLABORATIVA
Data
30 de setembro de 2009
7 de outubro de 2009
14 de outubro de 2009
21 de outubro de 2009
2.ª
E
3.ª
FASES DE TRABALHO DE
Temas tratados
Discussão do texto:
Dias, P. & Semana, S. (2009). Avaliar, ensinar e aprender:
dimensões pedagógicas distintas nas aulas de Matemática?
Atas do X Encontro Galaico-Português. Universidade do
Minho.
Definição e planificação de práticas avaliativas
Definição e planificação de práticas avaliativas
Seleção e adaptação de tarefas
Discussão do texto:
Hodgen, J. (2007) Formative assessment. Tools for transforming
school mathematics towards a dialogic practice? In D. PittaPantazi and G. Philippou (edss.), Proceedings of Fifth
Congress of the European Society for Research in
Mathematics Education (pp. 1886-1895). Larnaca, Cyprus:
University of Cyprus (tradução: Projeto AREA)
Definição e planificação de práticas avaliativas
Seleção e adaptação de tarefas
Reflexão sobre episódios de sala de aula
Seleção e adaptação de tarefas
Análise e reflexão sobre episódios de sala de aula
Avaliação do desempenho dos alunos
112
28 de outubro de 2009
Discussão do texto:
Pólya, G. (1945). How to solve it: A new aspect of mathematical
method. Princeton: Princeton University Press. Tradução
disponível em
http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/jponte/sd/textos/polya.pdf
4 de novembro de 2009
11 de novembro de 2009
Seleção e adaptação de tarefas
Análise e reflexão sobre episódios de sala de aula
Avaliação do desempenho dos alunos
Discussão do texto:
Stein, M. K. & Smith, M. S. (1998). Tarefas matemáticas como
quadro para a reflexão: Da investigação à prática. Acedido a
9 de junho, 2009, de http://www.educ.fc.ul.pt-docentesjponte-fdm-textos-stein-smith%2098.pdf
18 de novembro de 2009
Seleção e adaptação de tarefas
Análise e reflexão sobre episódios de sala de aula
Avaliação do desempenho dos alunos
25 de novembro de 2009
Discussão do texto:
Santos, L. (2004). O ensino e a aprendizagem da Matemática em
Portugal: Um olhar através da avaliação. Atas del octavo
simposio de la sociedad española de investigación en
educación Matemática (S.E.I.E.M.) (pp. 127-151). Coruña:
Universidade da Coruña.
13 de janeiro de 2010
Discussão do texto:
Martins, A.; Saporiti, C.; Neves, P.; Bastos, R. & Trindade, S.
(2003). Testes em duas fases: uma experiência. Educação e
Matemática, 74, 43-47.
Seleção e planificação de tarefas
20 de janeiro de 2010
Análise e reflexão sobre episódios de sala de aula
Avaliação do desempenho dos alunos
27 de janeiro de 2010
Discussão do texto:
Santos, L. (2002). Autoavaliação regulada. Porquê, o quê e
como?. In P. Abrantes e F. Araújo (Coord.), Reorganização
Curricular do Ensino Básico. Avaliação das Aprendizagens Das conceções às práticas. Lisboa: Ministério da Educação /
Departamento da Educação Básica.
Seleção e planificação de tarefas
3 de fevereiro de 2010
Seleção e adaptação de tarefas
Análise e reflexão sobre episódios de sala de aula
Avaliação do desempenho dos alunos
24 de fevereiro de 2010
Discussão do texto:
Santos, L. & Dias, S. (2007). Será que os alunos compreendem o
que lhes escrevem os professores? Educação e Matemática,
94, 11-16
3 de março de 2010
Análise e reflexão sobre episódios de sala de aula
Avaliação do desempenho dos alunos
113
10 de março de 2010
17 de março de 2010
Discussão do texto:
Noonan, Brian & C. Randy Duncan (2005). Peer and SelfAssessment in High Schools. Practical Assessment Research
& Evaluation, 10 (17). Tradução disponível em:
http://pareonline.net/getvn.asp?v=10&n=17
(tradução Projeto AREA).
Reflexão e balanço sobre o projeto
Em síntese, nas 26 sessões de trabalho de natureza colaborativa, os assuntos
predominantes estão ligados a quatro aspetos: definição e planificação de práticas
avaliativas, seleção e adaptação de tarefas, análise e reflexão sobre episódios de sala de
aula e análise do desenvolvimento da capacidade de autorregulação da aprendizagem
matemática pelos alunos. É de notar a evolução progressiva da discussão desses aspetos
ao longo do desenvolvimento do projeto. Com maior influência da definição e
planificação de práticas avaliativas e da seleção de tarefas nas primeiras sessões, por
necessidade de programar a concretização em sala de aula e de encontrar suporte teórico
suficiente sobre a temática da autorregulação, tornando-se soberanas, posteriormente, as
questões da prática avaliativa, nomeadamente o papel do professor e o papel do aluno,
através da reflexão sobre episódios de sala de aula e a análise do desenvolvimento da
capacidade de autorregulação dos alunos, a tomar mais expressão nas sessões seguintes.
O trabalho realizado
Apresento, em seguida, cada um dos temas tratados com maior detalhe.
Práticas avaliativas. Para a concretização deste estudo era necessária uma
definição de prática avaliativa que incluísse a intencionalidade de promover a
autorregulação da aprendizagem matemática. Daí que a inclusão da discussão de textos
nas sessões de trabalho colaborativo partisse da minha iniciativa, porque no primeiro
conjunto de sessões, março a maio de 2009, identifiquei que os significados de
avaliação e de autorregulação não eram suficientemente amplos para concretizar o
estudo. Em particular, José manifestava uma conceção de avaliação muito associada ao
apuramento de resultados do desempenho dos alunos e, consequentemente, à atribuição
de uma classificação:
A avaliação é uma tarefa do professor. O professor monta um esquema em
que tem em conta todos os trabalhos que o aluno realiza, os testes escritos
e as atitudes, organiza isso tudo para apurar a classificação final. Os
“pesos” são definidos pelo departamento e aprovados pelo conselho
pedagógico, mas depende do professor a recolha dos dados. (José, E1J)
114
Maria, também, se referia à avaliação como a verificação de conhecimentos.
Embora incluísse palavras como a “regulação”, não era completamente explicito que a
conceção de avaliação de Maria, incluísse implicações para a prática de ensino,
nomeadamente a sua adequação aos alunos:
Através da avaliação sei o que [os alunos] aprenderam, vejo os avanços
que fazem naquilo que eu tento ensinar-lhes. Às vezes, deteto alguns
problemas, e chamo a atenção a esses alunos. Digo-lhes sempre que nunca
é tarde, podem sempre melhorar os seus desempenhos, basta que me
mostrem aquilo que sabem e se já sabem mais, eu valorizo isso! (Maria,
E1M)
Relato, nesta parte, a discussão relativa aos dois textos que foram considerados,
pelos professores, como os mais determinantes no que ocorreu na 2.ª e na 3.ª fase do
desenvolvimento deste projeto (2009/2010). O primeiro texto a ser realçado diz respeito
a uma comunicação apresentada por mim e por Sílvia Semana ao X encontro Galaico –
Português na Universidade do Minho (setembro, 2009). Escolhi-o porque, por um lado,
o texto relata um estudo revelador de práticas avaliativas com a intencionalidade de
promover a autorregulação da aprendizagem. Nomeadamente, o investimento na
apropriação dos critérios de avaliação pelos alunos e o fornecimento de feedback escrito
e oral, através de um percurso dotado de dificuldades e não linear. Por outro lado,
procurava, como investigador, que o texto exemplificasse aos professores a aplicação de
algumas práticas avaliativas e a recolha de dados.
Na discussão do texto, Maria mostrou muita curiosidade sobre o processo
organizativo, desde a forma como estavam organizadas as tarefas de aprendizagem, aos
materiais que foram disponibilizados aos alunos e, até, à forma como a professora
combinou com os alunos o processo avaliativo:
A professora deu um guião, não foi? Um guião…do relatório. Está aqui
explicado que ela deu um guião que foi muito bom porque os alunos
começaram a olhar para o guião. Mas, na primeira vez nem quiseram
saber! Depois, o relatório tinha os erros escritos. Se houver erros escritos,
desconta quanto? Os alunos sabiam? Se não tiver essa clareza…era
complicado! (Maria, STC10)
Maria salientou, ainda, o facto de os relatórios se desenvolverem em duas fases
porque não estava habituada a realizar trabalhos desse modo. Acrescentou, também, a
gratificação para a professora, autora do texto, quando o aluno evolui e salienta que
sentiu dificuldades, mas foi capaz de concretizar a tarefa:
A comunicação é um problema em Matemática. Por isso, eles [os alunos]
não deram grande importância aos aspetos da escrita no primeiro relatório
115
realizado. Só depois, quando a professora fez a avaliação e… mostrou um
exemplo de relatório, é que os alunos começaram a preocupar-se com a
apresentação do trabalho, e o conteúdo! As duas fases foram importantes!
(…)
Eu nunca fiz. Eu achei “engraçado” as duas fases de produção de um
trabalho. Primeiro, a professora, implementou a tarefa com os alunos. Eles
fizeram desenvolveram-na. Depois, a professora, também, entregou os
critérios de avaliação do relatório. Saber os critérios de avaliação do
relatório, o que é que o relatório tinha que conter, é importante para os
alunos, mas eu nunca fiz nada parecido! Os critérios devem ser do tipo: o
que é valorizado e o que é desvalorizado. Depois, quando os alunos fazem
a comparação dos dois trabalhos, a primeira vez que diz: “o meu trabalho é
só satisfatório”. Depois da segunda vez já diz: “o meu trabalho foi bom.
Consegui resolver todos os exercícios, apesar de algumas dificuldades.
Consegui superá-las com sucesso. Participei! Ajudei!” Isso, para mim, foi
muito rico. (Maria, STC10)
José focou a sua atenção nos critérios de avaliação e no modo como tinham sido
trabalhados com os alunos, procurando compreender melhor esses aspetos:
Há aqui uma coisa que eu não percebi. Aqui quando falam: os alunos
passaram a consultar os critérios. Quando falam em critérios, são critérios
de avaliação da disciplina ou os critérios de avaliação do relatório? E isso
foi discutido com os alunos? E a organização, também? (José, STC10)
José também valorizou o facto da concretização do relatório estar dividida em
duas fases, para o bom desempenho dos alunos. Também, acrescentou que não basta
informar os alunos do tipo de documento que é exigido, nem dos critérios de avaliação,
é necessário que os alunos verifiquem a avaliação dos seus trabalhos para assimilarem
esses critérios. José deu como exemplo a transformação que se verificou ao nível do
trabalho dos alunos quando a professora deu feedback à primeira fase:
Então, eles [os alunos] tiveram que reformular o relatório, sempre, sobre a
mesma atividade. Acho uma coisa diferente, esta divisão do relatório estar
dividido em 2 partes. Parece-me complicado, não é?
(…)
Pareceu-me uma “gira”. A partir da altura em que esta colega entregou o
relatório aos alunos, eles cada vez mais consultavam o guião. E agarram-se
cada vez mais ao guião. Quer dizer, tipo tábua de salvação! Ao princípio,
andou tudo assim…assim… A partir de um dado momento, os alunos
começaram a usar guião, não foi? Pelo menos, a partir do momento em
que receberam o feedback da primeira fase. Ocorreu quando [a professora]
explicitou os critérios de avaliação. Logo, eles começaram a levar mais a
sério o guião e os critérios. E, finalmente, os alunos apresentaram
trabalhos com maior rigor e organização nas respostas. (José, STC10)
116
Este texto deu um significativo contributo para o trabalho colaborativo. A
discussão deste texto permitiu-nos, enquanto grupo, desenvolver uma perspetiva de
intervenção ao nível da avaliação através do feedback para promover a autorregulação
da aprendizagem matemática, em relatórios escritos em duas fases. O texto mostrou a
importância dos relatórios serem redigidos em duas fases, para que sejam apropriados
os critérios de avaliação, pela generalidade dos alunos, e para que os alunos tenham
oportunidade de melhorar os seus desempenhos em matemática, após a receção do
feedback escrito, dado pelo professor. A realização de um trabalho em duas fases
constituía uma novidade tanto para José como para Maria, e para os seus alunos.
Ao nível do trabalho matemático de sala de aula, foi unânime, por José e por
Maria, o realce da consideração de que os alunos menosprezam as tarefas de sala de
aula:
Este texto mostra isso, só com o trabalho em torno do relatório modelo, os
alunos passaram a usar os critérios de avaliação e passaram a empenhar-se
mais na realização das tarefas de sala de aula, porque sabiam que isso se
refletiria na avaliação. (José, STC10)
É uma forma de mostrar aos alunos que vale a pena investir no trabalho de
sala de aula, como está descrito nos critérios de avaliação da escola.
(Maria, STC10)
A experiência relatada, no texto, serviu de exemplo para o trabalho que
procurávamos concretizar, mas também motivou-nos para estudar a reação dos alunos
do ensino secundário a uma intervenção em duas fases, através de um relatório escrito,
no sentido de promover a autorregulação das aprendizagens.
O segundo texto, de Jeremy Hodgen (2007), foi escolhido por mim depois de ter
sido discutido no âmbito do projeto AREA7. Escolhi esse texto com o objetivo de
examinar o potencial da avaliação formativa, no sentido de transformar as práticas de
ensino e de aprendizagem em matemática na escola. O seu foco está num professor
dentro da sala de aula, escolhido como “um caso de narração”, embora os dados sejam
retirados de um estudo mais amplo. A professora estudada é identificada como um
"praticante" exemplar da avaliação formativa, embora, como é discutido, a prática real
de avaliação formativa na sua sala de aula fosse um pouco mista. O autor faz a
7
Projeto financiado pela FCT (nº PTDC/CED/64970/2006), http://area.fc.ul.pt/pt/. No projeto AREA,
investigadores e professores têm vindo a desenvolver, implementar e avaliar práticas avaliativas ao
serviço da aprendizagem, quer na Educação Pré-Escolar e no 1.º ciclo, em geral, quer nos restantes ciclos
do Ensino Básico e no Ensino Secundário, em Matemática.
117
descrição de algumas características da avaliação formativa, em que se inclui o uso de
tarefas ricas e desafiantes, a qualidade do discurso de sala de aula e do questionamento,
o feedback e o uso da autoavaliação e a avaliação entre pares. Outro aspeto importante,
do nosso (grupo de trabalho colaborativo) ponto de vista, é a abordagem dada, no texto,
à qualidade da interação entre aluno e professor. O autor sugere a necessidade dos
professores ouvirem interpretativamente, escutando as contribuições dos alunos para
perceberem o porquê de eles responderem de determinada forma. Daí, que, o autor
defenda o aumento das perguntas de nível mais elevado a colocar aos alunos, que,
geralmente, pode estar associado ao aumento do desempenho dos alunos. Também, a
necessidade de aumentar o “tempo de espera”. Relata-se, no texto, que o tempo que a
professora espera depois de fazer uma pergunta, em aulas de Matemática, é tipicamente
menos de um segundo. É um apelo à necessidade do professor escutar os alunos e
enquadrar as suas perguntas ou comentários, adequadamente.
Tanto José, como Maria, salientaram o prazer com que leram este texto e ambos
salientaram a contabilização dos tempos de intervenção da professora na aula e o baixo
tempo de espera:
É verdade, eu não me calo! Quase que os alunos são obrigados a ouvir,
ouvir e sua participação é ouvir. Assim que abrem a boca, já estou a dar a
resposta… nunca tinha pensado nisso! Mas, este texto fez-me refletir…
talvez vá mudar! (Maria, STC12)
José acrescenta a orientação dada nas tarefas de sala de aula como outro aspeto
sobre o qual não tinha refletido. Na opinião de José, o destaque vai para a interação
entre aluno e professor. Salientou, de uma forma mais ampla, a necessidade dos
professores ouvirem mais os alunos, analisando em pormenor os trabalhos dos alunos,
para questionar e inferir o porquê de eles responderem de determinada forma:
Uma boa comunicação entre professor e alunos é uma condição necessária
num ambiente em que se pretende que a avaliação seja efetivamente
formativa. Conduzir à regulação das práticas do professor e das
aprendizagens dos alunos. Em particular, tocou-me as perguntas que os
professores fazem aos alunos e permitirem ao aluno autocorrigir os seus
erros, melhorando as aprendizagens. (José, STC12)
José acrescenta que ficou, particularmente, sensibilizado para as consequências de
uma redução do número das contribuições da professora. A modificação no papel da
professora, no sentido de escutar os alunos, de lhes dar mais espaço e de usar o trabalho
de grupo, levou José a refletir sobre algumas das suas atitudes em sala de aula:
118
Os reflexos daquilo que se faz com os alunos, pode sentir-se na interação
entre professor/aluno. Dando-lhes mais espaço aumenta-se a autoconfiança
e dando-lhes estímulo para a partilha, e o trabalho de grupo, pode-se
permitir a ultrapassagem de “medos” e obstáculos. No que toca à minha
pessoa, este texto levou-me a ponderar estes aspetos e abriu-me horizontes
para um “novo” ensino, contribuindo para a atenção a dar a um apoio
diferenciado aos alunos, e quem sabe proporcionar oportunidades para
trabalhar em grupo. (José, STC12)
Maria, também, referiu a interação entre o professor e o aluno como um aspeto a
destacar no texto. Para ela, às vezes, na avaliação, o professor assume o papel de quem
valoriza apenas o resultado final e, na sua perspetiva, este texto permite mostrar que o
professor é corresponsável pelas produções do aluno:
Para que este tipo de avaliação [formativa] se concretize, é forçoso que o
professor assuma o papel de regulador das aprendizagens e não de
“carrasco”, que penaliza o aluno com uma classificação (qualitativa ou
quantitativa) atribuída a uma determinada tarefa, e volta a penalizá-lo
quando a adiciona com outra, posteriormente, fazendo a média das duas,
ainda que o aluno tenha progredido na aprendizagem. O professor tem de
dar mais atenção à evolução do aluno e assumir a responsabilidade de o
fazer evoluir. E valorizar isso! (Maria, STC12)
Além disso, Maria salientou a postura do professor quando evita corrigir as
respostas dos alunos e os incita a melhorar os seus trabalhos, dando-lhes espaço para
comentarem as ideias uns dos outros:
Utilizar sempre comentários que dão um reforço positivo ao trabalho já
anteriormente feito, incentivando os alunos a reanalisarem as suas
respostas, sem apontar os erros graves e indicar pistas para corrigir o erro,
mas sem incluir a correção do erro, são aspetos que me tocaram para a
melhoria dos desempenhos dos alunos no trabalho matemático, segundo o
autor, em especial se tiverem oportunidade de o fizerem em trabalho de
grupo. (Maria, STC12)
Deste modo, a discussão deste texto permitiu-nos acentuar mais explicitamente a
importância de escutar os alunos, em paralelo com o uso de estratégias de
questionamento, e de tempo de espera. O relato sobre a discussão ocorrida, entre alunos,
durante o trabalho de grupo, tornou-se relevante para nós porque foi considerada muito
diferente pelo autor do texto: os alunos falaram mais e as suas respostas sugeriram que
eles se escutaram mutuamente (Hodgen, 2007). Além disso, o texto relata o incitamento
de uma professora através do questionamento, em trabalho de grupo, dando espaço aos
alunos para comentarem as ideias uns dos outros. Estes aspetos contribuíram para que
119
tomássemos a decisão de colocar os alunos a trabalhar em grupo e a nossa intervenção,
em sala de aula, incluísse o questionamento, sem a indicação de correção ou indicações
de resolução:
Parece-me uma boa estratégia. O trabalho a pares pode trazer vantagens
para [os alunos] “melhores” e para os “piores”, têm uma espécie de amigo
a quem podem recorrer … os trabalhos resultam desse trabalho, como um
único e evitam-se os nossos comentários e interpretações. (Maria, STC12)
Desta forma, evoluíram as duas práticas avaliativas que procuram promover a
autorregulação da aprendizagem matemática: o relatório escrito em duas fases, com
feedback do professor entre as duas fases, e a interação professor – alunos, com
predomínio do questionamento do professor, em sala de aula, nos temas Trigonometria,
Geometria e Funções. Também, decidimos manter a nossa atenção no trabalho de
grupo, enquanto forma de ajudar os alunos a desenvolver a autorregulação.
Mais tarde, com a continuação do trabalho, José e Maria sentiram necessidade
de aprofundar os seus conhecimentos sobre a forma como os alunos podem interpretar e
responder a um problema e, também, sobre a natureza das tarefas propostas na sala de
aula, por isso discutimos os textos: Pólya, G. (1975); e Stein, M. K. e Smith, M. S.
(1998).
Com o desenvolvimento do projeto, as necessidades de conhecimento centraram-se
ao nível dos instrumentos de recolha de dados para a avaliação. Por isso, o grupo
discutiu os textos: Santos, L. (2004); e Martins, A.; Saporiti, C.; Neves, P.; Bastos, R. &
Trindade, S. (2003).
Seleção e adaptação de tarefas. A seleção e adaptação de tarefas esteve presente
em oito das dezassete sessões de trabalho que constituem as intituladas 2.ª e 3.ª fases
deste estudo. As discussões em relação às tarefas partiam da pré-seleção de tarefas que
José ou Maria traziam para cada sessão, embora eu também tenha feito algumas
propostas. Para planificar, cada uma das aulas, era necessário equacionar as vantagens e
desvantagens de uma dada tarefa, tendo como enquadramento os critérios de avaliação
da escola8. Procurávamos tarefas que envolvessem trabalho para a compreensão,
planeamento, definição de estratégias, focalizassem a atenção, permitissem a
8
Os critérios de avaliação da disciplina de Matemática, na escola, preveem uma percentagem de 25%
para os tópicos: explorar situações problemáticas; procurar regularidades; fazer e testar conjeturas;
formular generalizações; pensar de maneira lógica; comunicar ideias matemáticas através da linguagem
escrita e oral; analisar a razoabilidade de um resultado através do cálculo mental, do papel e lápis ou de
instrumentos tecnológicos; e usar procedimentos matemáticos na compreensão da vida real.
120
autoavaliação e a autossatisfação. Assim, foi usada uma adaptação do método
IMPROVE, Introducing new concepts, Metacognitive questioning, Practicing in small
groups, Reviewing, Obtaining mastery, Verification, Enrichment and remediation9
(Kramarski, B.; Mevarech, Z.; e Arami, M., 2002), como se fosse um filtro a que todas
as tarefas deveriam ser submetidas. O método baseia-se na resposta a quatro questões,
uma para cada domínio (domínios para a promoção da autorregulação):
• para a identificação: qual é o problema? Termos matemáticos? Dados?
• para o reconhecimento de saberes: qual é a semelhança ou a diferença entre este
problema e outros?
• para a estratégia: qual a estratégia a usar na resolução deste problema?
• para a reflexão: a solução encontrada faz sentido?
Para cada uma das tarefas foi construído um quadro, semelhante ao que se segue
(Quadro 16), que procurava responder a essas questões e orientava a seleção das tarefas
para promover a autorregulação da aprendizagem matemática.
QUADRO 16: CARATERIZAÇÃO DAS TAREFAS - IMPROVE
Tarefa
Identificar
problema
termos matemáticos
os dados
Reconhecer os saberes
o outro problema
o seu motivo
Estratégia
o quê?
como?
porquê?
Reflexão
dificuldades
resposta
são admissíveis outras
respostas?
Registo
Descreveram-se, aqui, o que era esperado que o aluno
identificasse, para compreender e planear a sua ação. Por
exemplo, identificar algumas palavras-chave.
Descreveram-se, aqui, as ligações que o aluno podia estabelecer
com os seus saberes, para focalizar a atenção. Por exemplo,
outros exercícios ou problemas semelhantes que tenha realizado
anteriormente.
Descreveram-se, aqui, as estratégias que podiam ser usadas. Por
exemplo, procurar informação no manual escolar ou no caderno,
ou estabelecer interações com professor/alunos.
Descreveram-se, aqui, possíveis pontos que podiam ser referidos,
para a autoavaliação e a autossatisfação. Por exemplo,
dificuldades, erros, processos de resolução inovadores.
José e Maria não implementaram exatamente as mesmas tarefas. Mas, ambos
estiveram presentes em todas as sessões de trabalho colaborativo em que houve a
discussão e planificação de tarefas, e participaram ativamente. Em comum, usaram em
sala de aula as tarefas: Eratóstenes (T2: anexo 06), Periélio (T3: anexo 07) e Cone (T5:
9
Introduzir novos conceitos, promover a Metacognição, Praticar em pequenos grupos, Rever, Obter
eficácia, Verificar, Enriquecer e remediar (IMPROVE, tradução do investigador).
121
anexo 09). A Maria usou, ainda, as tarefas Triângulos (T1: anexo 05), A Maria vai
sempre de carro (T6: anexo 10) e Nódoa circular (T8: anexo 12), já José usou, ainda,
Círculo trigonométrico (T4: anexo 08) e Escrever num computador (T7: anexo 11). A
variabilidade está associada às turmas em que foi efetuada a recolha de dados e ao
desenvolvimento curricular de cada uma dessas turmas.
O quadro seguinte apresenta um resumo dos aspetos que diferenciam as tarefas
propostas aos alunos.
QUADRO 17: RESUMO DA APLICAÇÃO DO MÉTODO IMPROVE ÀS TAREFAS
Identificar
Reconhecer
Estratégia
T1 Usar as fórmulas
trigonométricas;
Usar as razões
trigonométricas
Razões
trigonométricas
num triângulo
retângulo
Efetuar cálculos
auxiliares
Usar sistemas de
duas equações
T2 Mostrar uma
relação;
Usar uma igualdade
na previsão de
resultados
T3 Manipular variáveis
no contexto de um
problema de
trigonometria
Resolução de
equações
Usar as razões
trigonométricas
Resolução de
equações
Não usar a
calculadora gráfica
(versus)
Usar a calculadora
gráfica
Não usar a
calculadora gráfica
(versus)
Usar a calculadora
gráfica
Recorrer a
expressões
analíticas
T4 Mostrar uma
relação
Razões
trigonométricas
num triângulo
retângulo
T5 Geometria analítica
Determinação
analítica de
condições que
definem objetos
geométricos
Resolução gráfica
de inequações
T6 Manipular variáveis
no contexto de um
problema de
funções racionais
T7 Manipular variáveis
no contexto de um
problema que
envolve função
exponencial
T8 Manipular variáveis
no contexto de um
problema de
funções racionais
Resolução gráfica
de inequações
Resolução analítica
de inequações
Resolução gráfica
de inequações
122
Usar o sistema
sexagesimal
Usar a calculadora
gráfica
Usar a calculadora
gráfica.
Não usar a
calculadora gráfica
(versus)
Usar a calculadora
gráfica
Reflexão
Compreender que
o seno e o cosseno
variam entre -1 e 1
Confrontar com a
figura
Compreender a
relação entre α e
R
Confrontar com a
figura
Compreender o
significado das
variáveis
Confrontar com a
figura
Compreender que
o seno e o cosseno
variam entre -1 e 1
Verificar o
resultado
apresentado
Confrontar com a
figura
Verificar o
resultado
apresentado
Verificar o
resultado
apresentado
Verificar o
resultado
apresentado
A natureza das tarefas propostas aos alunos em sala de aula esteve presente,
declaradamente ou não, em quase todas as planificações. Quer pela via das discussões
sobre os textos, quer pelo diagnóstico, a natureza das tarefas foi, inicialmente,
considerada pelo grupo como um ponto fundamental para promover a autorregulação da
aprendizagem matemática. Inicialmente, o grupo pensou em selecionar tarefas de
natureza mais investigativa. No entanto, configurou-se, a partir da investigação sobre a
temática da autorregulação, que as tarefas de natureza mais aberta traziam variáveis
para o estudo que poderiam contaminar o foco a que nos queríamos dedicar. Por
exemplo, se a tarefa fosse verdadeiramente aberta e o aluno não conseguisse avançar,
poderia bloquear o desenvolvimento da autorregulação. Da mesma forma que, se a
tarefa fosse familiar aos alunos deixaria de ser uma verdadeira investigação para ele.
Assim, as tarefas propostas aos alunos variam entre a resolução de exercícios e a
resolução de problemas. A seleção e a adaptação das tarefas foram feitas pela
possibilidade de incluir a participação do aluno, diversidade de estratégias de resolução,
gestão do tempo, critérios de realização, recursos e comunicação.
Foi assumido por José que, no início do ano letivo, a resolução de um exercício,
mais ou menos complexo, sem orientação para o aluno, poderá constituir-se na
resolução de um problema e desmotivar o aluno. E, para José, também não seria
vantajoso o apoio constante pela inibição do que seria a progressão do aluno na sua
aprendizagem:
Na minha turma não posso fazer coisas muito complicadas, desmotivo os
moços já no início. Isso não pode ser. Também, para orientar muito e
andar constantemente a ajudar, não me parece que evoluam grande coisa,
sozinhos. Eu voto nas mais simples, uns exercícios não muito diferentes do
que faço no dia-a-dia, embora desta vez faça a recolha dos trabalhos. (José,
STC11).
Nessa fase, José já tinha aprofundado o seu conhecimento sobre a
autorregulação e defendia, argumentando, que teríamos de possibilitar ao aluno o
trabalho autónomo, mesmo sendo apoiado por trabalho a pares na sala de aula. Maria,
por sua vez, também, mostrava algumas reticências quanto a inovar a natureza das
tarefas a propor aos alunos:
Eles [os alunos] não estão habituados a isso, são tarefas demasiado abertas.
Têm pouca maturidade. Depois, não avançam, andam o tempo todo a
chamar-me ou ficam à espera. Penso que isso não é muito bom. Eu andei a
ver, e acho melhor escolher daqueles problemas que estão nos testes
123
intermédios, assim temos para todos os gostos. Uns vão mais à frente, e
outros só com a nossa ajuda. (Maria, STC11)
Por isso, o grupo optou por trabalhar apenas questões de resposta única, embora
o processo de resolução pudesse ser diversificado. Em algumas delas requer-se, ao
aluno, a escrita de uma composição com a explicação do raciocínio que conduz a uma
resposta. No quadro seguinte é apresentada a classificação das tarefas quanto à sua
natureza, efetuada pelo grupo nas sessões de trabalho.
QUADRO 18: CLASSIFICAÇÃO DAS TAREFAS QUANTO À SUA NATUREZA
T1: Triângulos
Exercício
Problema
T2: Eratóstenes
1.1, 1.2 e 1.3 Exercícios
1.4 Problema com composição
1.5 Problema
a), b) e c) Problemas
T3: Periélio
T4: Círculo trigonométrico
T6: A Maria vai sempre de carro
1. Problema
2.1 e 2.2 Exercícios
a) e c) Problemas
b) Exercício
1. e 2. Problemas
T7: Escrever no computador
Problema com composição
T8: Nódoa circular
1.1 e 1.2 Exercícios
1.3 Problema
T5: Cone
Classificámos os diferentes itens das tarefas a propor aos alunos, em sala de aula,
de acordo com a nossa perceção do que deveria ser o trabalho do aluno. A distinção
entre a classificação em exercício ou em problema, para o grupo de trabalho de natureza
colaborativa, foi a usada por Ponte (2005a). Os problemas, embora tenham também um
carácter estruturado, diferem dos exercícios pelo seu grau de desafio mais elevado e por
não ser indicado ao aluno um método que lhe permita a resolução imediata.
José referiu-se, também, à forma como o professor conduz o trabalho na sala de
aula como um elemento que pode alterar a classificação das tarefas. O professor
seleciona e propõe as tarefas, se indica os caminhos e os alunos obedecem, resolvem e
participam passivamente, não se desenvolvem o mesmo tipo de aprendizagens:
“Não vamos dar o peixe aos alunos, vamos antes ensiná-los a pescar!” é
um lema que procuro seguir. Mas, às vezes tenho problemas. Os alunos
não fazem o t.p.c., não se empenham nas tarefas, e eu vejo o tempo a
passar e a matéria acumula-se... afeta aquilo que eu faço, mas também
afeta aquilo que os alunos aprendem! (José, STC4)
124
Maria, num registo mais ativo, referiu-se ao questionamento na sala de aula, mas,
também, coloca o professor no lugar central para o desenvolvimento da aula:
Os alunos chamam-me e eu não digo nada. Isso é ajudar o aluno? Estou a
exagerar, mas também não conseguiria fazer isso. Eu tenho de ajudar,
sempre, tenho de lhes dar sempre um “empurrãozinho”. Agora, talvez,
nem sempre o faça da melhor forma … terei de transmitir o que sei e tenho
de dar respostas. (Maria, STC4)
José estava num registo muito ligado ao que, tradicionalmente, se afirma: o papel
do professor na sala de aula é “dar” a matéria. Maria procurava evidenciar que o seu
papel na sala de aula é o de explicar e esclarecer dúvidas. Ambos num registo em que o
aluno tem um papel passivo, na promoção da sua própria aprendizagem matemática.
Na concretização deste projeto foi necessário trabalhar essas conceções. Durante a
seleção das tarefas discutimos a importância do professor desempenhar uma atitude
interativa (Ryve, Nilsson, & Mason, 2012), em que o trabalho de sala de aula funciona
como um sistema dinâmico e inclui os alunos, onde se inclui o questionamento e o
feedback. É um registo associado à avaliação formativa, em que o professor pretende
ajustar os seus processos de ensino através da avaliação que faz da concretização das
aprendizagens. Os alunos tornar-se-ão cada vez mais autónomos e participativos,
professor e alunos trabalham num registo colaborativo, o aluno ouve o professor e o
professor ouve o aluno.
Episódios de sala de aula. Os episódios de sala de aula estiveram presentes em
quase todos os textos que foram lidos pelo grupo. Foram considerados, por mim, como
fundamentais para explicar o que os autores de cada texto pretendiam comunicar e,
também, como uma forma de suscitar discussões e comparações entre as práticas letivas
relatadas em cada texto e as práticas letivas de cada um dos professores - caso. Os
episódios de sala de aula vividos pelos professores – caso encontram-se descritos nos
capítulos 6 e 7.
Desenvolvimento da capacidade de autorregulação pelos alunos. As
dificuldades que os alunos demonstravam em sala de aula, em testes escritos de tempo
limitado, ou em outros instrumentos escritos de avaliação das aprendizagens, estiveram
presentes em todas as sessões. Desde o início do estudo que o grupo sentiu a
necessidade de auscultar os alunos, nomeadamente averiguar as suas dificuldades de
125
aprendizagem: “devo saber o que é que [o aluno] aprendeu e as dificuldades que teve,
sem esses aspetos não sei como definir uma estratégia de ação” (José, STC3). A
preocupação com o desenvolvimento incluía a definição de estratégias para o
prosseguimento, com consequências na ação educativa, ou seja uma assunção de
avaliação formativa. Outro aspeto com contributo para este desenvolvimento foi o erro.
Maria enfatizou os erros cometidos pelos alunos como uma forma de o professor e o
aluno construírem conhecimento sobre o apreendido pelos alunos: “aquilo do erro ...
abordagem positivo do erro, é isso. Serve aos alunos, ajuda-os a corrigir, mas também
serve ao professor. Eu fico a saber o que tenho de corrigir, os pontos a que devo voltar e
aqueles que já estão bem!” (Maria, STC3).
O grupo, também, discutiu a preocupação que sentia relativamente ao
desempenho dos alunos em avaliações provenientes dos testes escritos. A começar foi o
primeiro teste intermédio do 10.º ano (2008/2009). Nesse teste, o desempenho dos
alunos esteve abaixo das expectativas dos professores, e aparentemente, as causas eram
a falta de estudo e a falta de maturidade dos alunos para responder a um teste de caráter
nacional. Discutimos essas ideias, e acabámos, por refletir sobre as tarefas com que os
alunos eram confrontados e a forma como estas eram abordadas em aula. As
dificuldades de interpretação identificadas no desempenho dos alunos, nesse teste
escrito, foram associadas, por Maria, à forma como abordava as tarefas propostas em
sala de aula. Maria salientou o apoio dado na interpretação dos problemas e exercícios
de sala de aula como um inibidor do desenvolvimento da capacidade de interpretação
dos alunos:
[No teste intermédio] existiam 4 itens de escolha múltipla (primeira parte),
num total de 5, e 3 itens da segunda parte, num total de 7, que apelavam à
interpretação do aluno. Não era fácil, eu nas aulas dou os problemas e
ajudo-os a começar… eles [os alunos], depois, é só terminarem os
cálculos. Ajudo-os demasiado! (Maria, STC6)
O grupo conseguia, a partir dos resultados de avaliação de testes escritos,
identificar relações com a forma como geria as situações de sala de aula. Maria referiase ao papel do professor e ao papel do aluno, em aula, e o impacto desses dois aspetos, a
posteriori, nos resultados alcançados e nos progressos alcançados pelo aluno.
Para elucidar algumas das conceções dos participantes, experimentámos a
aplicação da tarefa seguinte, de funções quadráticas, ainda no 10.º ano (2008/2009):
Determina os zeros de cada uma das seguintes funções:
126
f ( x) = x 2 − 4 x + 3
g ( x) = −2 x 2 + 3 x
h( x) = 4 x 2 − 16
Identifica as semelhanças e as diferenças no processo de resolução…
Selecionámos a tarefa e planificámos a forma de a implementar. Ficou decidido
que os alunos realizariam a tarefa em aula, durante aproximadamente 50 minutos, e que
os últimos 30 minutos da aula seriam destinados a uma discussão global, sobre a
resolução da tarefa. Os alunos realizaram o trabalho a pares. Não assisti a estas aulas.
Após a concretização da tarefa, em trabalho de natureza colaborativa, fizemos a
avaliação do trabalho de sala de aula. Ambos os professores consideraram que os alunos
empenharam-se bastante na tarefa, embora tivessem mostrado alguma dificuldade em
registar “Identificar as semelhanças e as diferenças no processo de resolução…”:
Eles [os alunos] estiveram empenhadíssimos, diria mesmo que nunca os vi
assim! Alguns não sabiam como fazer a segunda, g (x) , estavam a fazer da
mesma forma que f (x) , mas o trabalho a pares ajudou e também o pedido
de escrita das diferenças … começaram a pensar…porquê pedir as
diferenças se estavam a fazer sempre da mesma forma? (Maria, STC7)
Os meus [os alunos] acharam estranho, mas resolveram bem a f (x) e
h(x) , a segunda é que foi pior. A parte da escrita demorou a sair, saiu a
conta-gotas, mas apesar de terem efetuado poucos registos, a minha
observação dos trabalhos deles despoletou-me algumas ideias. (José,
STC7)
A avaliação do grau de compreensão e de elaboração das respostas dos alunos
revelou-se um indicador da avaliação do desempenho, e do estado das aprendizagens
realizadas (Chapin, O'Connor & Anderson, 2009). Maria identificou erros de cálculo,
sistemáticos segundo esta professora, e associou-os aos resultados que os alunos
revelam em outras situações de avaliação escrita:
Vi tantos erros de cálculo, multiplicações mal feitas por causa dos
sinais…resultados que não faziam sentido. E eles [os alunos] continuaram
a fazer os mesmos erros de sempre, às vezes foi necessário eu perguntar se
(−4) 2 é o mesmo que − 4 2 . Não tinha a noção da permanência desses
erros…e da forma como influenciavam os resultados dos alunos…e eles
[os alunos] também não! (Maria, STC7)
José desvalorizou os erros de cálculo, e acrescentou o facto de alguns alunos
terem refeito a resolução das equações quando estavam a escrever a parte das
127
semelhanças e das diferenças entre as resoluções, optando por estratégias de resolução
diferentes e, como consequência, necessitaram de mais tempo para concluir a tarefa:
A maioria resolveu com a fórmula resolvente, com alguns erros de cálculo,
alguns graves, mas o que mais me tocou foram as estratégias
usadas…quase no final, alguns refizeram as resoluções da g ( x) e h( x)
porque, nessa altura, associaram cada função a um tipo de equação do 2.º
grau que eu tinha falado na aula [completas e incompletas]. (José, STC7)
Ambos os professores consideraram que tiveram um papel diferente nessa aula.
No entanto, também, referiram que não poderiam fazer todas as aulas deste tipo. Para
José, porque têm um programa para cumprir, e não considerou que os alunos tenham
evoluído na aprendizagem:
Eu quase não tive um papel nessa aula. Acompanhei os alunos e dinamizei
a discussão final. Eles leram as suas sínteses e eu confirmei ou corrigi. Foi
diferente, mas acho que foi uma tarefa de aplicação… e os alunos não
aprenderam nada de novo. Não posso fazer isto sempre! (José, STC7)
Maria porque, assim, não sabia muito bem o que tinha ensinado. Nas suas
palavras, Maria aprendeu sobre as dificuldades apresentadas pelos alunos, mas tem
dúvidas sobre as aprendizagens que eles realizaram:
Eu acho que foi importante. Eles fizeram e eu fui dando “dicas”. No final,
na discussão a maioria dos alunos queriam que eu ditasse a resposta
correta, não o fiz. Resisti. Aprendi muito sobre a forma como eles
respondem, trabalham em grupo, os erros que cometem e como os
corrigem, ou identificam. Mas, o que é que eles aprenderam? O que ficou?
Não sei, só o tempo o dirá. (Maria, STC7)
Esta experiência, na intitulada 1.ª fase do projeto (2008/2009), serviu para que os
professores compreendessem a necessidade de efetuarem algumas leituras no âmbito da
Educação Matemática e que, este estudo exigia uma atitude de reflexão sobre o papel do
professor e do seu trabalho na sala de aula. A tarefa e a sua concretização na sala de
aula, e a discussão que dela decorreu, serviram para que se afinassem arestas sobre o
desenvolvimento do estudo. Até então, havia uma tendência para considerar que o
insucesso era fruto da postura pouco empenhada do aluno. A principal alteração foi,
certamente, a reflexão sobre o papel do professor na aula de Matemática.
O aluno como agente da sua aprendizagem que tem a capacidade de decidir se
vale a pena efetuar um esforço, no sentido de promover a sua própria aprendizagem, foi
um assunto que passou a pertencer às sessões de trabalho colaborativo apenas nas
últimas duas fases do projeto. A conceção do papel de aluno que José e Maria
128
evidenciavam no início do projeto, revelava a coerência entre o papel do aluno e o papel
do professor:
Como é que eu posso avançar? Eles [os alunos] não fazem os trabalhos de
casa, empenham-se pouco, tenho de andar sempre a “puxar”. Por muitos
exercícios que proponha, se eles não se envolverem não entra “lá” nada.
(José, STC6)
Revela um professor preocupado, essencialmente, com a lecionação de conteúdos
e que o aluno deve repetir, exercitar, o que contribuirá para o seu bom desempenho. Um
modelo de ensino situado ao nível da introdução – resposta – avaliação (Tavares &
Alarcão, 2001). Maria valorizava a participação do aluno ao nível da “colocação de
dúvidas”. Para ela, o aluno deveria estar atento na aula e seguir aquilo que o professor
explicava, questionar, esclarecer, e a partir daí construir os seus próprios esquemas de
aprendizagem:
É um trabalho deles [dos alunos]. Ninguém pode fazer, se eles não o
fizerem. Devem envolver nas aulas e colocar dúvidas, mesmo que algumas
sejam disparates. Mas, esses esclarecimentos são fundamentais para cada
um encontrar o seu caminho e dar um sentido àquilo que vou explicando.
(Maria, STC5)
Apesar de mostrar abertura suficiente para incluir a participação dos alunos nas
suas aulas, Maria relata um contexto em que o aluno segue o percurso traçado pelo
professor sem inflexões nem desvios.
Nessa 1.ª fase, o trabalho colaborativo serviu para identificar possíveis
dificuldades e possíveis erros no trabalho dos alunos, para questionar os papéis do
professor e do aluno, e não teve apenas impacto nas práticas letivas, acompanhou a
concretização do estudo e permitiu, também, verificar o desenvolvimento da capacidade
de autorregulação de alguns alunos:
Hoje estava a observar o Carlos. Na primeira questão, ele não
questionou. Eu estava mesmo à espera que no “mostre que” ele me
chamasse. Mas, ele procurou no caderno e andou num vaivém de avanços
e recuos, experimentou as fórmulas e chegou lá… e no fim, estava mesmo
satisfeito. (Maria, A8M)
A continuidade do estudo no 11.º ano (2009/2010) trouxe o aumento da reflexão
dos professores sobre o seu papel na sala de aula. Por exemplo, José, gradualmente,
evoluiu no sentido de questionar até que ponto devia intervir junto dos alunos para os
ajudar a concluir uma tarefa ou devia, apenas, dar mais uma pista:
129
Olhem, vocês não sabem. Eu também não sei. Procurem. Sei lá. Não sei,
não faço a mínima ideia. Agora há uma coisa que eu sei: quanto aos
ângulos, ele é? E, talvez diga em que ponto. Bem, agora vejam o que é que
acontece. Reparem. (José, A1J)
Quando eu disse isso, hesitei muito! Mas, agora vejo que poderia ter morto
a questão se dissesse que o triângulo era retângulo e em que ponto. É
preciso dar-lhes tempo, têm de progredir … interpretar, compreender e
fazer sozinhos, nós temos de ter calma... e paciência. (José, STC15)
Reflexão do grupo sobre o projeto
As primeiras nove sessões de trabalho de natureza colaborativa, de março a maio
de 2009, serviram, principalmente, para definir o projeto de investigação que viria a ser
desenvolvido. O grupo definiu os aspetos a ter em conta na concretização através de
sucessivos avanços na negociação de significados. No final desta 1.ª fase, no final de
maio de 2009, o grupo fez o ponto de situação, refletiu sobre o trabalho desenvolvido e
perspetivou o trabalho a desenvolver no ano letivo seguinte (2009/2010).
A partir da implementação realizada, também, o trabalho em torno dos conceitos
autorregulação, avaliação e aprendizagem teve um avanço significativo. Os professores
- caso passaram a valorizar os aspetos relacionados com a interação e com a
comunicação:
Para que este tipo de avaliação [formativa] se concretize, é forçoso que o
professor assuma o papel de regulador das aprendizagens e não de
“carrasco”, que penaliza o aluno com uma classificação (qualitativa ou
quantitativa) atribuída a uma determinada tarefa, e volta a penalizá-lo
quando a adiciona com outra, posteriormente, fazendo a média das duas,
ainda que o aluno tenha progredido na aprendizagem. O professor tem de
dar mais atenção à evolução do aluno e assumir a responsabilidade de o
fazer evoluir. E valorizar isso! (Maria, STC9)
A reflexão ocorrida a propósito da tarefa, e acerca da interação entre alunos,
durante o trabalho de grupo, tornou-se relevante para o projeto porque foi considerada
muito diferente daquilo a que Maria e José estavam habituados: os alunos participaram
mais, discutiram e produziram trabalhos. Além disso, Maria evitou responder
diretamente às questões dos alunos, optou por incitá-los a ultrapassarem as dificuldades,
sem a ajuda da professora, o que provocou nos alunos as atitudes necessárias para
comentarem as ideias uns dos outros. O José acrescentou que ficou, particularmente,
sensibilizado para as consequências de uma redução do número das contribuições do
professor, o que também, o levou a refletir sobre as suas práticas.
130
Como já foi referido, este aspeto contribuiu para que tomássemos a decisão de
colocar os alunos a trabalhar a pares, na maioria das tarefas, e a nossa intervenção, em
sala de aula, fosse reduzida às orientações estritamente necessárias, tendo o caráter
pontual, sem a indicação de correção ou indicações de resolução.
Maria e José tinham frequentado uma ação de formação em que eu era o
formador. O trabalho feito em 2008/2009 facultou, também, que nos afastássemos dos
papéis assumidos na formação e que construíssemos um grupo de trabalho colaborativo,
em que os três (eu, Maria e José) deveriam participar com propostas. Durante os
primeiros meses, quer Maria, quer José, participaram ativamente na pesquisa de tarefas
para propor aos alunos e no levantamento de dificuldades dos alunos que impedissem o
desenvolvimento da autorregulação da aprendizagem matemática em Trigonometria,
Geometria e Funções. Esta ação favoreceu a autoconfiança de Maria e de José para se
envolverem no projeto de trabalho colaborativo e permitiu-me assumir o estatuto de par,
nesse trabalho.
A discussão de episódios provenientes da leitura dos textos permitiu-nos
desenvolver uma perspetiva de intervenção, ao nível da concretização do projeto. Por
exemplo, através dos episódios foi mais fácil exemplificar a aplicação de uma tarefa em
duas fases:
Só com o trabalho colaborativo, de partilha do que se passa na sala de aula,
em torno dos alunos, é possível modificar a minha atuação, apoiamo-nos
uns aos outros, e dar “espaço” aos alunos. (Maria, STC12)
Maria refere que a experiência relatada, no texto, lhe serviu de exemplo para a
discussão, e também a motivou para procurar verificar se os alunos do ensino
secundário reagiam da mesma forma que os do ensino básico, e se a intervenção em
duas fases, através de um relatório escrito, poderia modificar as suas atitudes, no sentido
da promoção da autorregulação das aprendizagens.
Ao analisar os resultados dos alunos em diferentes instrumentos de avaliação,
testes intermédios, fichas de trabalho na aula, e os desempenhos em sala de aula
registados numa grelha de observação, o grupo refletiu e identificou como focos de
intervenção:
• o trabalho da autorregulação ao nível da resolução de problemas, e de situações com
uma natureza exploratória, em que estivessem incluídas Trigonometria, Geometria e
Funções;
131
• o investimento em tarefas que servissem para desenvolver a capacidade de
comunicação matemática dos alunos;
• o conhecimento dos professores em termos de feedback a dar aos alunos.
No primeiro ponto, entendemos que a resolução de problemas proporcionava o
ambiente propício para o estabelecimento de interações professor - aluno e aluno –
aluno, para que os alunos desenvolvessem as suas estratégias de resposta a tarefas
matemáticas, sistemas de organização, avaliação de soluções (adaptação do método
IMPROVE). Os temas Trigonometria e Geometria apresentavam-se como temáticas
difíceis para alunos de 11.º ano e afiguravam-se, também, como conteúdos em que os
professores tinham vontade de investir.
Os itens que incluíam a avaliação simultânea de conteúdos específicos da
matemática e da língua materna revelaram-se como sendo os que mostraram os mais
baixos desempenhos dos alunos, em avaliações escritas. Na fase de diagnóstico,
2008/2009, os professores recolheram os resultados de avaliações dos alunos em testes e
fichas de avaliação “dita” sumativa e identificaram as debilidades da comunicação
matemática. Também, afigurou-se como pertinente e oportuno o fornecimento de
feedback às produções escritas dos alunos, uma oportunidade de desenvolvimento
profissional para os professores investirem numa área em que sentem dificuldades e, em
simultâneo, desenvolver a capacidade de comunicação matemática nos alunos através
da promoção das suas estruturas de autorregulação.
A partir do momento em que comecei a estar presente na sala de aula, os dois
professores expunham, frequentemente, episódios por si vividos nas suas aulas. A
discussão inicial poderia parecer que o professor, ao relatar esse episódio, procurava a
confirmação da correção da sua atuação em sala de aula, mas ao longo do
desenvolvimento do projeto, essa exposição, veio a revelar-se como uma forma de o
professor efetuar uma reflexão partilhada sobre a sua prática letiva. José atribui ao
espaço de trabalho de natureza colaborativa a oportunidade de experimentar, inovar e
refletir na e sobre a sua prática letiva:
Sem as sessões de trabalho colaborativo não tinha a oportunidade de expor
algumas das minhas dúvidas e dificuldades com os alunos. Estas questões
da avaliação não são fáceis, e tive muitos momentos que só me apetecia
dar a resposta aos alunos….mas, fazia um esforço e sabia que podia
discutir isso com os meus colegas. (José, E2M)
José salienta, também, o impacto que a reflexão sobre os episódios de sala de aula
teve na sua prática letiva. Segundo ele, a participação neste projeto possibilitou-lhe o
132
contacto com o que passa na sala de aula dos colegas e assim, poder ajudá-lo a
diversificar as propostas de trabalho que proporciona aos alunos:
A reflexão e o saber o que os meus colegas fazem nas suas aulas foi
importante, deu-me confiança. Os reflexos daquilo que se faz com os
alunos, pode sentir-se na interação entre professor/aluno. Dando-lhes mais
espaço aumenta-se a autoconfiança e dando-lhes estímulo para a partilha, e
o trabalho de grupo, pode-se permitir a ultrapassagem de “medos” e
obstáculos, os deles [dos alunos] e os nossos [dos professores]. No que
toca à minha pessoa, este projeto levou-me a ponderar estes aspetos e
abriu-me horizontes para um ensino, talvez, mais adequado, contribuindo
para a atenção a dar um apoio diferenciado aos alunos, e quem sabe
proporcionar mais oportunidades para trabalharem em grupo. (José, E2J)
Para Maria, a participação neste projeto constituiu um modo de experimentar
novas formas de organizar o trabalho na sala de aula. Segundo Maria, experimentar a
atribuição de feedback em relatórios de duas fases ou realizar trabalhos em aula sem a
atribuição de classificação, não teria sido possível sem a dinâmica de trabalho
colaborativo:
Há coisas que não tenho coragem de concretizar sozinha, o grupo apoiou
esse trabalho. Conseguir experimentar a atribuição de feedback ou a
realização de trabalhos em duas fases ou a realização de trabalhos sem a
atribuição de notas, não seria possível sem a dinâmica criada pelo grupo.
(Maria, E2M)
133
134
CAPÍTULO 6 – JOSÉ
Apresentação
José, professor há 32 anos, está na escola atual há dezassete anos. A sua formação
base é o bacharelato em engenharia mecânica do Instituto Superior de Engenharia de
Lisboa, tendo, em 2002, concluído a licenciatura em engenharia e gestão industrial pelo
Instituto Politécnico de Setúbal. Segundo ele, decidiu ser professor porque se defrontou
com a dificuldade de arranjar emprego na área da engenharia, e porque, enquanto
estudante, lecionou Matemática. Hoje em dia, José afirma que não mudará de profissão.
Gosta do que faz e dá-lhe “prazer contactar com os jovens e ensiná-los” (E1J). Mas,
também, declara que ao longo da sua formação preferiu a vertente do conhecimento
matemático em desfavor da vertente do conhecimento didático:
Confesso que sou dado a pesquisar problemas de Matemática e deixo para
segundo plano as pedagogias. Gosto de ver métodos diferentes de resolver
problemas, mas não me preocupo muito se isso é adequado para o aluno ou
não. São desafios matemáticos… é isso que tenho dado prioridade nas
inscrições em formações. Às vezes procuro saber mais sobre o cálculo
diferencial e nem por isso, em saber como ensinar cálculo diferencial.
(E1J)
Mais recentemente, na formação contínua, nos últimos anos, José tem dado
prioridade às novas tecnologias de informação e comunicação, em virtude da lecionação
a turmas de cursos profissionais e tecnológicos.
Na escola, José tem desempenhado vários cargos, por exemplo: diretor de turma,
delegado de grupo e diretor de instalações. Ao nível da atividade letiva, lecionou todos
os níveis desde o 7.º ao 12.º ano de escolaridade. É reconhecido, pelos seus pares, como
um profissional empenhado e competente. Envolve-se em diversas atividades da escola
e, frequentemente, é escolhido para organizar documentos do departamento de
Matemática, efetuar estatísticas de sucesso escolar, entre outros. Segundo o que apurei,
mostra-se disponível para lecionar qualquer nível de escolaridade e para desempenhar
qualquer cargo, embora refira dificuldade na gestão de algumas situações, e incómodo
com alguns cargos, como se pode ler das suas palavras:
Na escola há situações complicadas. É difícil para mim, como para tantos
outros colegas, mas eu tenho a frontalidade de o reconhecer. Prefiro as
atividades letivas, não fosse eu um professor de Matemática, uma ciência
135
sem fim à vista e um campo sempre infinito por explorar, tal como os
problemas que enfrentamos no dia-a-dia da nossa profissão. (E1J)
Experiência profissional
Planificação. José considera que a planificação de uma aula é importante por
permitir equacionar as estratégias de concretização do processo de ensino e
aprendizagem:
Quando eu penso numa aula defino várias coisas. Posso dizer os materiais,
as tarefas, os objetivos do programa, etc…, mas, na verdade, estou a
pensar num aspeto mais amplo e que não se pode escrever no momento.
Trata-se do caminho que traço para esses alunos…é o processo de ensino e
também de aprendizagem. (E1J)
Essa planificação é registada na forma escrita num caderno de capa preta. Nele,
encontram-se os problemas e exercícios com que José pretende propor aos alunos, e as
respetivas resoluções, para além das indicações que devem ser dadas em sala de aula:
sumário, objetivos a alcançar, recursos, destaques para a avaliação sumativa,
observações, propostas de trabalho extra-aula, notas e definições importantes. Segundo
José, a planificação de uma aula é desenvolvida a partir de um conteúdo matemático,
geralmente um tópico do programa da disciplina, e inclui objetivos (do programa), um
pouco de teoria, exercícios práticos e recursos inerentes ao desenvolvimento desse
conteúdo (GSP; Graphmática, calculadora, etc…). Refere, ainda, que procura incluir,
também, as conexões entre o que vai ser explorado numa dada aula e os conteúdos que
explorou em aulas anteriores, ou em anos anteriores quando se trata de uma turma de
sua continuidade pedagógica, numa perspetiva de definir um percurso de ensino e a
aprendizagem a longo prazo. José diz procurar, também, incluir a possibilidade do aluno
experimentar várias abordagens para o mesmo tema:
Por exemplo, na marcação de pontos num referencial e simetria em relação
aos eixos e às bissetrizes, liguei a Geometria e as Funções. Estas tarefas
são importantes para que os alunos desenvolvam a sua perceção visual, e a
utilização associada à aplicação das tecnologias, pode reforçar a ligação às
Funções, ou expressões algébricas. Ter vários pontos de vista sobre o
mesmo assunto. (E1J)
Segundo José, a escolha das tarefas é um aspeto a que José dedica especial
atenção no momento da planificação. José procura incluir problemas que se relacionem
com a vida real, ou que dela se aproximem:
136
Alguns problemas que simplifiquem situações da vida real são os meus
preferidos. Com eles, posso dar a visão de utilidade da matemática e da
importância que esta ciência tem para o futuro dos alunos. Não preciso ter
tarefas muito complicadas, basta que sirvam para mostrar a utilidade do
que estamos a estudar em dado momento. (E1J)
José remete as questões da comunicação matemática para segundo plano, e
algumas das adaptações que faz aos problemas selecionados são “limpezas” do contexto
da vida real, tornando a proposta mais direta, do seu ponto de vista, e acessível para os
alunos:
Por exemplo, para quê pedir ao aluno o volume de um depósito de
combustível com a forma de cilindro quando se pode pedir, simplesmente,
o volume do cilindro. Depois, posso relacionar isso com outras coisas,
funções e simular a variação do raio da base e estudar as implicações.
(E1J)
Por um lado, José aponta as tarefas como um pretexto para cativar o interesse dos
alunos, mas, por outro lado, a tarefa selecionada constitui um mote para a exploração
que faz na aula:
Raramente me fico pela exploração simples de uma dada tarefa. A tarefa é
um ponto de partida. Durante a correção da tarefa relaciono-a com outros
conhecimentos, mostro aos alunos várias resoluções possíveis e às vezes
uma simples tarefa… dá para duas ou três aulas. Uma tarefa pode ser
pequena e revelar-se muito longa, depende das ligações que estabeleço.
(E1J)
A natureza das tarefas a propor aos alunos é um aspeto a que José dedica algum
tempo aquando da planificação de uma aula. As suas preferências, segundo me contou,
vão para os problemas, mas nem sempre consegue arranjar um adequado ao que
pretende, o que o obriga a fazer adaptações a problemas que encontra na internet,
manuais escolares ou testes intermédios e exames nacionais:
Ao procurar [os problemas], nem sempre encontro o que quero. Alguns
são demasiado vagos, com muito texto e pouco conteúdo matemático…os
alunos perdem-se na compreensão, e fico sem saber se sabem ou não a
parte da matemática. Prefiro, os [problemas] que dizem respeito a
conteúdos matemáticos…podem ser de cálculo…a exploração, quer dizer,
a extensão, faço eu. (E1J)
Relativamente à forma de trabalho na aula, José afirma que os alunos estão
sempre organizados para trabalhar em grupo, a pares, mas salienta que na planificação
prevê que os alunos trabalhem de várias formas. Na exploração das tarefas que propõe,
137
os momentos de trabalho a pares são privilegiados, a discussão com toda a turma é um
momento de partilha, e quando se trata de registo de conclusões prefere o trabalho
individual:
Na aula trabalham a pares. Podem ajudar-se uns aos outros, mas isso faz
parte daqueles momentos em que exploram, compreendem, procuram o
caminho para encontrar as soluções, mas depois a correção, e as extensões
que proponho, geralmente são em grande grupo [turma]. A escrita peço
sempre individual. Quero perceber o que cada um percebeu do que foi
tratado e assim, também, pode dar um apoio mais individual e avaliar,
claro! (E1J)
A aula de Matemática. No que diz respeito à aula, José atribui ao professor o
papel de construtor de um ambiente favorável à aprendizagem, onde inclui o estímulo à
participação dos alunos, através de questões desafiantes, ou para reflexão, recorrendo
tanto a respostas na forma escrita, como na forma oral:
O papel do professor é envolver os alunos para que aprendam. Cada aula é
um desafio. Lanço as tarefas e peço sempre uma justificação! É raro
aceitar uma resposta sem que o aluno me tenha de explicar muito bem qual
foi o seu raciocínio, mas nem sempre consigo! Eles [os alunos]
respondem, e eu lanço uma nova questão, às vezes oral, mas se já estamos
no fim da aula, ficam com a procura de resposta como trabalho de
casa…questões mais ou menos complicadas, para eles pensarem! (E1J)
José retoma a importância das tarefas quando se refere ao trabalho desenvolvido
pelos alunos. José salienta o desenvolvimento de uma “flexibilidade intelectual” (E1J),
por parte dos alunos, para além da execução de algoritmos:
A matemática deve, contemplar a oportunidade de os alunos se
envolverem em momentos genuínos de atividade matemática, não é apenas
repetição. É de sublinhar a importância de aproximar a atividade do aluno
da atividade do matemático, como se fosse uma comunidade. Já ouvi isto
nalgum sítio! Ou vi no programa? Mas, é uma realidade para
mim…procuro sempre que o aluno aprofunde o porquê, e às vezes fico
irritado quando os alunos apenas querem saber para repetir os exercícios e
não ligam ao porquê. (E1J)
Na aula, também, é fundamental a construção de um contexto comunicacional no
par professor - aluno, favorável à aprendizagem, numa interação de cumplicidade, em
que o aluno deve ter um papel ativo:
A aprendizagem depende do professor e depende do aluno. Essa dualidade
deve ser equilibrada no binómio ensino/aprendizagem. Se o aluno não
estudar e o professor tiver dificuldades de interação com a turma, a
aprendizagem torna-se difícil. É necessário haver comunicação, estarmos
138
atentos ao que os alunos dizem, mas eles [os alunos] também têm de fazer
a parte deles: “pegar na cana e pescar”. (E1J)
Ainda acerca da aula, José destaca um exemplo de uma aula de 10.º ano
(2008/2009), em Geometria, sobre os referenciais cartesianos em que os alunos se
envolveram bastante. Nessa aula, usou as tecnologias (GSP – The Geometer´s
Sketchpad) como auxiliar para a representação de semiplanos em IR2 e os alunos
mostraram-se bastante participativos. Esse exemplo serviu para que José mostrasse a
importância do professor na criação de ambientes propícios à aprendizagem e à
motivação:
O papel do professor é ajudar os alunos, proporcionando-lhes tarefas e
materiais que permitam o seu envolvimento e a sua participação dependem
às vezes do fator novidade. Tudo bem! Dou-lhes, e também serve para
descobrirem e aprofundarem situações novas. Algumas inesperadas para o
professor e para o aluno. Mas se serviu para motivar, é mais fácil. (E1J)
Segundo José, os professores podem usar diversas estratégias: “as TIC, os
materiais manipuláveis, os problemas desafiantes, etc…” (E1J). Mas, na opinião de José
nada disso parece resultar se os alunos não forem envolvidos nas tarefas escolares com
os objetivos de aprender e obter bons resultados. Segundo ele, há em todas as turmas
um grupo de alunos que apresentam uma atitude de desinteresse em relação àquilo que a
escola tem para lhes oferecer. Esta situação verifica-se nos cursos de prosseguimento de
estudos, nos cursos profissionais e nos cursos de educação e formação. Esses alunos
perturbam o trabalho que o professor faz em aula e, por vezes, perturbam o empenho e a
participação dos restantes alunos da turma:
Até posso fazer o pino, se os alunos não quiserem aprender nada feito.
Tenho visto isso. Há desses [alunos] em todas as turmas e em todos os
agrupamentos, uns querem e outros não. Os [alunos] que não querem
[aprender] acabam por perturbar o nosso trabalho e afetar a aprendizagem
dos próprios colegas. (E1J)
Mas, José apresenta-se angustiado por ter de incluir na aula aspetos exteriores à
Matemática para que os alunos se envolvam e participem nas aulas com afinco. Se por
um lado se sente satisfeito pelos alunos participarem e realizarem o trabalho que
planificou, por outro lado considera que a motivação dos alunos através dos materiais
manipuláveis e das Tecnologias de Informação e Comunicação (TIC) desvia o aluno
daquilo que deve ser a sua aprendizagem da Matemática, em aula:
139
No meu tempo de aluno, aprendia matemática porque gostava,
experimentava a resolução de exercícios, e se algo corria mal…
experimentava outra forma de obter a solução… voltava a procurar, até
conseguir. Hoje, os alunos não apresentam essas características e são
precisos os manipuláveis ou as TIC para motivar. Não concordo, assim os
alunos aprendem a manipular os materiais mas desviam-se da
aprendizagem da Matemática. (E1J)
Revela que, às vezes, se sente um pouco frustrado com a reação dos alunos face
ao trabalho que lhes propõe, em função do tempo que demorou a preparar a aula.
Apresenta algumas razões que se prendem com a adequação da planificação às reações
dos alunos na exploração da tarefa, em sala de aula, e as adaptações que faz para que os
alunos se envolvam de forma mais eficaz:
Temos tanto trabalho para que as coisas saiam direitinhas, e depois de um
instante para o outro muda-se todo o percurso porque as expectativas de
trabalho que tínhamos para os alunos não se concretizaram. É preciso
reformular tudo, naquele instante… dá que pensar. (E1J)
Segundo José, uma aula resulta quando os alunos revelam estar atentos e
evidenciam uma ampliação de saberes. Consegue certificar-se disso quando os alunos
questionam com pertinência, interrogam, e tomam a iniciativa de querer aprofundar
mais os conhecimentos adquiridos:
Para mim a aula resultou, quando prendo a atenção dos alunos, mesmo
aquele aluno indisciplinado. Às vezes, o diálogo entre professor - aluno é
fundamental para despertar o interesse e a iniciativa do aluno. A ação do
aluno, auto questionar-se é até mais importante do que o aluno dominar os
exercícios, sem os saber aplicar a situações novas. As ideias e as dicas que
o professor fornece são fundamentais para esse progresso dos alunos.
Posteriormente, é o aluno que questiona e procura saber mais. Aí, sim, fico
satisfeito, a minha aula resultou. (E1J)
Avaliação. José afirma equacionar a avaliação em simultâneo com a planificação.
Refere a pretensão de incluir o trabalho dos alunos em aula, através da observação,
através da forma como os alunos exploram as tarefas, para além da avaliação final
realizada através dos testes e das fichas (designada, por ele, avaliação sumativa),
apresentando alguns dilemas a esse respeito:
Às vezes acho que da minha observação na aula consigo avaliar os alunos,
dizer quem sabe fazer o quê. É no dia-a-dia que procuro observar quem
sabe fazer ou não as equações, e os outros conhecimentos, vejo também o
envolvimento, etc… etc… e quem apresenta as atitudes, empenho,
participação, etc.. Mas, isso é que conta verdadeiramente? Umas vezes
140
sim, outras não. Nos testes de avaliação sumativa, que são apenas uma
súmula de conhecimentos, todos confiam. (E1J)
José distingue avaliação de classificação. Considera a avaliação como sendo a
observação realizada em sala de aula, com impacto nas decisões que toma na seleção
das tarefas que propõe, e a classificação como o resultado de uma súmula de várias
classificações, resultantes de recolha de informação obtida a partir dos instrumentos
definidos nos critérios de avaliação de escola:
Classificar, para mim, é uma tarefa um pouco trabalhosa e muito
complicada. Por mais criterioso que procure ser, tenho sempre a sensação
que nem sempre sou justo. Classificar é atribuir um nível tendo em conta
todos os pontos dos critérios de classificação definidos pela escola para a
Matemática, nem sempre é possível concretizar essa observação como
desejaria e atribuir os correspondentes níveis. (E1J)
José revela incómodo relativamente à atribuição de classificações de final de
período. Considera ser impossível classificar corretamente um aluno em todos os pontos
em que ele mostra desempenho, e isso causa-lhe algumas dificuldades no apuramento
da classificação do final de período:
A avaliação, pela observação nas aulas, ajuda-me a tomar decisões e a
organizar as tarefas que proponho mas não ajuda a apurar a classificação
do final de período. (E1J)
José acrescenta aspetos de justiça para justificar a sua angústia relativamente à
atribuição de classificações face aos dados que recolhe. Reconhece os testes escritos
como úteis, embora refira que há outra informação que deve ser recolhida e que não é
passível de apuramento através dos testes escritos. Termina a valorizar a vertente da
observação na aula, como um instrumento de recolha de informação para a avaliação:
Os testes apenas dão informação sobre os conhecimentos, mas os
critérios incluem outros aspetos. Nem sempre tenho informação
suficiente para classificar. A sensação de que o aluno sabe mais,
confirmo-a pelo que observo nas aulas, e na parte escrita às vezes não o
demonstra, é essa a minha angústia, por uma verdadeira avaliação, mas
nada disso é suficiente. (E1J)
José destacou, ainda, a avaliação das aprendizagens dos alunos como uma forma
de a escola garantir a qualidade do sistema educativo, mas não se referiu explicitamente
à inclusão da avaliação no dia-a-dia da sala de aula, nem aos instrumentos que
permitiriam a recolha dessa informação:
141
A avaliação pode, também, fornecer informação sobre o desempenho da
escola. É a avaliação dos rankings de escolas. Aí é de outra natureza.
(E1J)
Quando lhe foi solicitada a seleção de quatro palavras de um conjunto de dez
(anexo 02), José destaca aprendizagem, feedback, motivação e competência. A razão
apontada prende-se com a valorização da aprendizagem: “se um aluno for competente e
se tiver o feedback adequado, nas aulas, isso pode originar uma grande motivação e,
como consequência, torna-se num bom aluno a Matemática, isto é promove-se a
aprendizagem” (E1J).
Ao nível do significado atribuído a cada um dos conceitos (avaliação, ensino,
feedback, motivação e sucesso), José refere a importância da recolha de dados sobre a
participação e interesse do aluno, a transmissão do conhecimento e a orientação do
aluno na construção da sua própria aprendizagem como a harmonização da avaliação,
ensino e aprendizagem:
Avaliação, um processo complexo que pressupõe a necessidade de
recolher informação em diferentes momentos e suportes, tendo em vista a
melhoria das aprendizagens dos alunos; Ensino, a transmissão de
conhecimentos; Feedback, o reorientar ou estimular, em uma ou mais
ações; Motivação, a persistência do esforço para atingir um objetivo;
Sucesso, o número de alunos que atingem níveis positivos. (E1J)
Ao relacionar os significados de competência, interação e regulação, refere a
abrangência do termo competência, a negociação comunicacional que o professor deve
alimentar constantemente e o redireccionamento, ou adaptação, que o professor faz do
processo de ensino:
Competência, o conhecimento para além do baseado na memorização de
conteúdos abstratos e fora de contexto. É necessário que os alunos
aprendam para que serve o conhecimento, quando e como aplicá-lo;
Interação, a negociação de significados e expectativas para comunicar;
Regulação, o ato que contribui para o redireccionamento da aprendizagem
com o objetivo de atingir uma meta;
É possível identificar uma experiência de ensino ligada à transmissão de
conhecimento e a definição de sucesso como tendo um caráter estatístico,
eminentemente quantitativo. Se, por um lado, José perspetiva a competência como uma
demonstração em ação, ser competente implica saber-fazer, por outro lado, José
demonstra abertura para negociar com os alunos a concretização do processo de ensino
142
e apresenta-se disposto a redirecionar, ou redefinir, o processo ensino aprendizagem
assim que deteta dificuldades e/ou erros.
José acrescenta, ainda, as interações aluno-aluno e professor-aluno por serem uma
mais-valia para a avaliação, principalmente aquando da exploração de tarefas não
rotineiras. Num registo associado à avaliação formativa, refere que a resposta a cada
aluno, nessas tarefas, deve esclarecer as dúvidas e apoiar as descobertas:
Quando se fazem as aulas expositivas, as tradicionais, é desperdiçar a
importância do professor no colocar de questões, nas interações que pode
promover, encorajando os alunos a partilhar, no trabalho de grupo, a
discutir, entre eles ou com o professor, e a explicar a Matemática que
desenvolvem, dar a cada aluno o que ele precisa, às vezes no mínimo, e
incentivá-los é mais rico para cada aluno, per si. É uma avaliação
informal, mas igualmente importante para o aluno, esclarece dúvidas e
apoia a concretização do seu trabalho. (E1J)
Para finalizar, José retoma o balanço entre a planificação e a concretização como
um fator a ter em conta, uma vez que tem dificuldade em avaliar o estado das
aprendizagens dos alunos em alguns tópicos. Para ultrapassar esta dificuldade, propôs o
envolvimento dos alunos na avaliação das suas próprias aprendizagens e no
estabelecimento de comparações entre o planificado e o concretizado:
Cada um [aluno] diz o que fez, como fez, e o que concluiu, e para isso ser
concretizado é necessária a participação e envolvimento do aluno. Pode ser
uma forma de atingir dois objetivos: manter o aluno envolvido na
aprendizagem e avaliar o desenvolvimento do processo de ensino
planificado pelo professor e pelo aluno. Até que ponto o professor atinge
os seus objetivos? (E1J)
Práticas avaliativas
Nesta parte destaco as práticas avaliativas com o propósito de promover a
autorregulação da aprendizagem matemática desenvolvidas no âmbito deste estudo. José
esteve envolvido na conceção e definição das duas práticas aqui relatadas, interação
professor – alunos na aula (IP-A) e relatório escrito em duas fases (RE). A interação
professor – alunos diferencia-se pelo questionamento do professor em sala de aula,
enquanto o relatório escrito em duas fases distingue-se pelo feedback escrito dado ao
primeiro produto resultante do trabalho escrito dos alunos.
143
Cada uma das duas práticas avaliativas é apresentada tendo em conta três
momentos distintos: antes da aula, durante a aula e depois da aula. No primeiro
momento incluo o trabalho relativo à planificação, no segundo a concretização e no
terceiro, e último, a reflexão. O primeiro e terceiro momentos aconteceram nas sessões
de trabalho de natureza colaborativa, com a minha presença e a dos dois professores –
casos. O segundo ocorreu na sala de aula do professor – caso, José, com a minha
presença, e com o envolvimento da turma designada por turma P.
A interação professor - alunos na aula (IP-A)
A interação professor – alunos na aula (IP-A) de José foi observada em cinco
tarefas, o que corresponde a dez aulas.
Antes da aula
José mostrou-se sempre muito participativo e colaborante nas sessões de trabalho
de natureza colaborativa que incluíram a definição e planificação das práticas
avaliativas, com o propósito de promover a autorregulação da aprendizagem matemática
e a seleção e adaptação de tarefas a propor aos alunos, em aula.
Intervenção avaliativa do professor. A prática avaliativa foi definida e
planificada, no seio do grupo de trabalho colaborativo, para a promoção da
autorregulação da aprendizagem matemática, pelos alunos. Inicialmente, partimos das
dificuldades apresentadas pelos alunos em 2008/2009. Segundo José as mais relevantes
prendiam-se com a comunicação escrita e oral e a compreensão do conteúdo
matemático:
Apesar de dominarem algumas técnicas de resolução, não articulam o
conteúdo matemático para compreender o que têm para fazer. Os alunos
leem e não percebem. Vejo isso muitas vezes, não sei como fazer para os
ajudar. Treinar? É um problema de comunicação oral e escrita, mas na
forma escrita talvez seja mais difícil ajudá-los, talvez o possa fazer através
do questionamento. (José, STC8)
Apesar de José se referir ao questionamento na sala de aula, por decisão do grupo
a prática avaliativa foi denominada interação professor – alunos na aula (IP-A) por não
ser caracterizada simplesmente pelo colocar de questões. Embora o questionamento seja
predominante, por sugestão dos professores – casos, nem sempre essa ação se resume ao
ato de perguntar. Para incluir as diferentes ações, quer interrogativas, quer afirmativas,
de cada um dos professores na sala de aula, entendeu-se que a prática avaliativa seria
denominada por IP-A.
144
José, numa das sessões de trabalho colaborativo, teceu algumas considerações
sobre a sua interpretação do que seria essa prática. Segundo José, talvez influenciado
pelo texto de Hodgen (2007), as perguntas, os estímulos e as orientações dadas, podem
ser, a priori, as grandes virtudes de IP-A, se forem oportunas e aumentem a confiança
do aluno na construção do seu conhecimento matemático:
No meu relacionamento com eles [os alunos] sinto as dificuldades e os
obstáculos, mas como ajudá-los? A essa questão poderei responder,
através da interação. Perguntando, estimulando, dando pistas concretas e a
cada um individualmente. O que o texto [Hodgen (2007)] diz dar mais
espaço ao aluno. Para mim, é ajudar de forma subtil. Para que fique
confiante em si para concretizações futuras. (José, STC12)
Outro aspeto que caracteriza esta prática é a necessidade de evitar corrigir os
erros. Este aspeto foi associado a adaptação do método IMPROVE (Kramarski, B.;
Mevarech, Z.; e Arami, M., 2002), durante a preparação de cada uma das tarefas
implementadas. José refere, nesse enquadramento, a planificação, a seleção das tarefas e
o apoio a dar aos alunos em cada uma delas, evitando corrigir o erros e dar demasiadas
orientações para a concretização:
Na seleção das tarefas tive em conta o método IMPROVE, parece-me
muito interessante para planificar e definir claramente como ajudar os
alunos em cada uma das tarefas, sem corrigir os erros ou dar pistas
demasiado orientadoras. Sei que tenho de dar espaço aos alunos. Ver os
vários aspetos planificados, pode-se equacionar pistas a dar e caminhos a
seguir. (José, STC12)
Na procura de encontrar a atitude a adotar pelo professor na sala de aula foi
essencial o texto de Santos (2002), onde se relata uma contribuição para os alunos
passarem autonomamente a formular questões para si mesmos, enquanto desenvolvem
as tarefas. Algumas dessas questões foram adotadas pelo José e foram referidas como
exemplificadoras do que poderia ser a sua atitude em sala de aula:
Já me estou a ver. Digo: “O que fizeste?”, “Por que tomaste esta opção?”,
“Por que pensaste assim?”, “Donde te surgiu esta ideia?”, “Em que outras
situações é que este processo se poderia aplicar?” ou “Se quisesses
convencer alguém de que isto é verdade, o que dirias?”, e espero a reação.
(José, STC12)
Nesta perspetiva, José realça o predomínio do questionamento, em que se
remetem os alunos para as suas próprias produções ou para o texto das tarefas
145
propostas, sem corrigir os erros ou dar demasiadas orientações, não sendo excluídas
outras ações do professor, como o apelo à partilha e à discussão, em pares ou em grupo,
do trabalho realizado.
Seleção da tarefa. Apesar de nem todas as tarefas terem sido aplicadas por José,
em sala de aula, a seleção e definição do modo de aplicação foram definidos nas sessões
de trabalho de natureza colaborativa com a participação dos dois professores – casos.
José não aplicou em sala de aula a tarefa Triângulos (T1, anexo 05), a tarefa A Maria
vai sempre de carro (T6, anexo 10) e a tarefa Nódoa circular (T8, Anexo 12). A tarefa
T8 não foi aplicada por José porque é uma tarefa com conteúdos específicos de
Matemática A – foi uma proposta de Maria. Relativamente às tarefas T1 e T6, os
motivos prendem-se com o grau de dificuldade da tarefa ou com a desarticulação entre o
que era preconizado por José para o processo ensino aprendizagem e o conteúdo da
tarefa.
T1, a primeira tarefa a ser discutida nas sessões de trabalho de natureza
colaborativa, foi sugerida por mim e aparece na sequência do tema matemático que
estava a ser tratado no momento em que ocorreu a recolha de dados: trigonometria em
triângulos retângulos – 11.º ano. José considerou a tarefa demasiado complicada para
ser proposta aos alunos da turma P:
Os meus alunos têm muitas limitações ao nível do cálculo. Eles não vão
conseguir fazer a 1., isso pode comprometer o resto do seu percurso neste
módulo. É difícil, e não posso complicar muito, senão perco-os já.
(STC10)
José referiu a necessidade dos alunos conhecerem as fórmulas fundamentais da
trigonometria para conseguirem dar resposta às questões colocadas, à necessidade de as
aplicarem corretamente, e ao tempo que teria de despender para a sua concretização:
Têm de aplicar várias fórmulas, e isso, também, envolve muitos cálculos.
Acho que eles [os alunos] se vão perder. Não é por mim. É para os
próprios alunos, eles ficam desmotivados ao ver que aquele trabalho é
inglório. E o tempo. Sim, o tempo, é que … isto leva muito tempo!
(STC10)
Para além das questões de concretização, José referiu, ainda, que se um aluno não
conseguisse avançar na concretização da tarefa não saberia como o ajudar:
O que lhes faço quando se enganam nos cálculos? Corrijo? Não sei
mesmo! Ajudar numa estratégia, estou a ver como fazer, mas em erros de
cálculo não sei. (STC10)
146
No caso do item 2., José mostrava-se mais confiante quanto à sua execução,
explicando que sabe como fazer se os alunos errarem e enuncia os critérios que definira,
implicitamente, para a correção da tarefa:
A 2. eu sei como avaliar. Posso dar pistas. E corrigir. Escrevem as razões
trigonométricas e enganam-se, ou trocam o valor do cateto oposto com o
do cateto adjacente, isso não faz mal….chamo à atenção e as coisas entram
no trilho. Mas a 1., desconfio bastante…só vejo um caminho…as fórmulas
trigonométricas e isso complica-me a ajuda a dar a eles [os alunos]. E não
me parece que esteja a motivá-los para o nosso objetivo. (STC10)
Resultam, daqui, dois aspetos significativos para José, a preocupação em manter
os alunos motivados, foi referida mais de uma vez a ideia de não perder os alunos, e não
saber como agir face a alguns erros, em particular os erros de cálculo.
Na tarefa T6, tarefa proposta por Maria, procurava-se descrever o modelo
matemático da duração de uma viagem, no percurso de uma aluna até à escola, mas José
considera que seria difícil identificar a matemática relacionada com a tarefa (Funções),
não se enquadrava no âmbito da exploração que tinha por hábito realizar com a turma P,
em sala de aula, e os alunos poderiam não compreender o enunciado:
Nem parece Matemática! Eu nas aulas sou mais direto. Geralmente,
pergunto: determine, calcule, …, e não passo daí. Percebo que queiram ir
mais além, mas eu não posso. Não posso exigir muito deles [os alunos],
não lhes vou dar tudo, mas tenho de ser direto até os ganhar para o meu
lado. (STC20)
Para além disso, considerou ainda que seria difícil definir como avaliar os
produtos dos alunos, bem como ter uma intervenção avaliativa de natureza reguladora:
Vou avaliar o quê? A substituição dos valores de t? E quando ajudar os
alunos, digo os cálculos que têm de fazer. Se eu ajudar, a tarefa perde
sentido. (STC21)
No entanto, José salientou que o item 2. da tarefa T6 é um bom problema para
promover a utilização da calculadora gráfica associada à comunicação, em Funções,
uma vez que esse item apela à explicação da fórmula e à utilização da calculadora
gráfica:
Para recolher a forma como eles [os alunos] comunicam é a tarefa ideal.
Mas, poderei fazer uma deste tipo no final do 2.º período. Agora, eles
ainda não estão treinados, nem para escrever, nem para a calculadora.
Apenas comecei as funções há meia dúzia de dias. (STC21)
147
Considera que a T6 pode ser uma tarefa a propor, em particular o item 2., mas
ainda tem de desenvolver algumas capacidades nos alunos, “até os ganhar para o meu
lado”.
Relativamente às tarefas aplicadas em sala de aula por José, a tarefa Eratóstenes
(T2, anexo 06), a tarefa Circulo trigonométrico (T4, anexo 08) e a tarefa Escrever no
computador (T7, anexo 11) foram propostas por José, a tarefa Periélio (Terra) (T3,
anexo 07) foi sugerida por Maria e a tarefa Cone (T5, anexo 09) foi indicada por mim.
A T7 surgiu a partir da divergência entre os conteúdos a lecionar na turma P e na turma
A. José lecionava, nesse momento, o módulo de funções exponenciais e logaritmos
enquanto Maria lecionava funções racionais. A tarefa T7 foi realizada apenas na turma
P, demorou três aulas, onde se incluíram a discussão dos descritores de avaliação e a
redação de composições pelos alunos.
A T2, proposta por José, foi a primeira a ser realizada pelos alunos da turma P.
Segundo José, trata-se de um problema matemático que envolve trigonometria e é de
resolução acessível, onde os alunos podiam estabelecer ligações com os seus saberes
para focalizar a atenção. Mas, no seio do grupo de trabalho de natureza colaborativa, ao
usar a adaptação do método IMPROVE, esta tarefa foi considerada como contendo três
exercícios, itens 1., 2. e 3., uma composição, item 4., e um problema, o item 5.,
revelando, também, a preocupação de José com o processo e a estratégia para obter a
resposta:
Acho que concordo. O item 1. é um exercício porque já fizeram um
parecido em aula, o item 2. e o item 3. são semelhantes e são dois
“determine” acessíveis, é só substituir. Quanto ao item 4. e item 5. são de
natureza diferente, o 4. não fiz isso ainda este ano letivo, mas no passado
já foi feito, o 5. envolve uma boa compreensão do enunciado... espero que
o façam. (STC13)
No que diz respeito a T3, sugerida por Maria após a realização da tarefa T2, o
grupo de trabalho de natureza colaborativa considerou que apresentava em si três
problemas, correspondentes aos itens a), b1) e b2). Para José essa classificação não
suscitou objeção porque o que se pede em cada um dos itens está completamente
explícito:
Quer no a) e no b2) temos o “determine”, quer na b2) temos o “mostre
que”, estes são comandos que os alunos compreendem e para os quais
chamo a atenção diariamente. Parece-me que eles [os alunos] não terão
problemas em perceber o que é esperado que façam, mas tenho de ajudálos no mostre que…é difícil. (STC13)
148
Contudo, a classificação das tarefas nem sempre foi consensual. José apesar de
não valorizar os aspetos que se relacionam com a comunicação matemática, destacou,
em particular, os comandos a usar para efetuar as questões. Para ele, a não habituação
do aluno à forma de questionar pode inviabilizar o investimento que o aluno faz na
procura de solução para o problema. A existência de “determine”, familiar ao aluno, é
uma evidência, para José, de que se está perante um problema, para o qual é necessário
mobilizar algumas estratégias. Essa evidência, segundo José, deve ser discutida com os
alunos para que se apropriem dela:
Digo-lhes, “resolva” é diferente de “determine”. Apresento-lhes várias
questões, umas com “resolva” e outras com “determine” e analisamos
[professor e alunos] os processos usados para chegar aos resultados e a
partir daí cada um [o aluno] tira as suas conclusões. (STC13).
Outro aspeto referido foi a necessidade dos alunos poderem estabelecer relações
entre o trabalho que têm para realizar e outro trabalho com que anteriormente tenham
sido confrontados. José refere que se trata de uma mais-valia os alunos envolverem-se
na tarefa através do estabelecimento de analogias com o que já fizeram:
Eu posso ajudar, eles já fizeram problemas com triângulos retângulos, em
que usam as razões trigonométricas. Talvez, não tenham usado o cosseno,
mas nessa altura eu vou intervir e relembro-os sobre outro problema…mas
primeiro, eles [os alunos], claro! (STC13)
Esse objetivo, segundo José, também, poderia ser alcançado pela inclusão de
sugestões de trabalho, que o grupo de trabalho de natureza colaborativa decidiu manter
no enunciado da T2. Para José, a sugestão de trabalho e o facto dos itens 2. e 3. (da T2)
serem muito semelhantes, e relativamente fáceis, podia ser uma importante ajuda para
os alunos progredirem no trabalho:
Eles poderão sentir alguns problemas com a linguagem, em particular os
sete pontos com informação sobre a figura, ao incluirmos a sugestão, [os
alunos] poderão ver o caminho que devem seguir… assim, poderão ir até
ao item 3., é fácil! (STC13)
José explicou que, com o item 4., pretendia levar os alunos a efetuarem a
generalização da relação entre h e α , ou seja h aumenta quando α se aproxima de
90º. No entanto, o questionamento deveria ter em conta os trabalhos dos alunos, no
momento da execução da tarefa, uma vez que poderiam aparecer várias estratégias de
concretização, e a sua ação deveria ser adequada a cada grupo:
149
Não sei o que cada grupo vai fazer. Mas, aqueles que fizerem a
comparação a partir dos valores particulares, 0º, 30º, 45º e 60º vou dizer
para ordenarem. Talvez consigam identificar a relação. Nos grupos que
apenas calculam o que está no item 3. e 4., terei de incentivar a procurar
mais resultado. Direi: como podem generalizar com poucos valores?
(STC13)
Outro exemplo é a T4, proposta por José e aplicada aos alunos da sua turma.
Segundo ele, estruturou a tarefa de forma a orientar os alunos no trabalho a realizar na
componente analítica, e na vertente gráfica através da introdução da calculadora gráfica:
Comecei por pedir o mostre que…já o fizeram antes. Depois, introduzi a
calculadora gráfica para que possam sentir-se confiantes e entusiasmados a
procurar as soluções das questões colocados. Com a calculadora exploram
e sentem-se ocupados. (STC14)
Intencionalmente, a T4 conciliava o recurso a dois tipos de representações e ao
uso de um recurso tecnológico. Em particular, o trabalho analítico e o trabalho com a
calculadora gráfica permitiram-lhe apoiar os alunos em ambos os modos de trabalhar
em matemática. Esta opção procurava promover o envolvimento do aluno no trabalho
matemático, com e sem calculadora.
A tarefa T5, Cone, foi proposta por mim para efetuar a revisão dos conteúdos de
geometria dos alunos de Matemática A, na turma A. Mas, José considerou que a tarefa
era pertinente para que os alunos da turma P recordassem o estudo dos referenciais
cartesianos do espaço, estudados no 10.º ano, e permitiria, também, a conexão dos
conteúdos de geometria com os de trigonometria:
Penso ser particularmente interessante a alínea c). Os alunos podem ligar a
Geometria e a trigonometria, acho boa ideia. Eu vou fazer esta! Mas, tenho
150
de dar alguma ajuda aos alunos, nomeadamente nos conteúdos do 10.º ano,
vetores, que já estão esquecidos, com certeza. (STC19)
Apesar da opinião de José acerca da possibilidade dos alunos resolverem com
sucesso os primeiros itens da tarefa T5, ele salientou que os alunos precisavam de
assistência na resolução do item 4., a composição:
Quando lhes peço para comparar resultados, eles [os alunos] não sabem o
que devem fazer. Nesse momento terei de ajudar, talvez dizer que devem
comparar o aumento do valor do ângulo, com o valor do h. (STC13)
Método de trabalho. Para José os alunos encontravam-se normalmente
organizados para trabalhar em grupo, nomeadamente, em díade, dado que poderia
haver interação entre alunos, sem criar grande confusão na sala de aula:
Aos pares, é o melhor método para mim e para eles também. Estão assim
sentados na sala de aula, não implica alterações na sala e a ajuda do colega
é sempre bem-vinda. (E1J)
Esta forma de trabalho predominou nas tarefas propostas na turma P. Contudo,
nem sempre usa este método de trabalho. A natureza da tarefa a propor aos alunos
parece afetar a seleção do método de trabalho em sala de aula. É, por exemplo, o caso
da redação de composições, ou de relatórios, em que José prefere o trabalho individual:
Mas, quando têm de escrever quero um documento de cada aluno,
individual, o que um pensa não é o mesmo que aquilo que outro pensa… e
eu quero saber o que sabe cada um deles. (E1J)
Na T2, José salientou que os alunos deveriam partilhar as dificuldades na resposta
ao item 1, mas que os itens 2., 3. e 4. deveriam ser realizados individualmente:
Os “mostre que” exigem que os alunos tenham algum desembaraço no uso
das razões trigonométricas, e isso não é para todos… por isso, é bom que
se [os alunos] apoiem mutuamente. Para a parte da comparação, acho
melhor individual. Acho eu, pois cada um tem a sua forma de escrever e
essa pode ser melhorada. (STC 12)
Na planificação da T4, José repete o mesmo tipo de argumentos, embora se trate
de um item “mostre que” e outro com recurso à calculadora gráfica. Os argumentos de
José prendem-se com o facto de os alunos poderem melhorar as suas capacidades de
comunicação matemática e de manipulação da calculadora gráfica através da redação de
resposta individuais:
Na primeira, devem apoiar-se uns aos outros. É um “mostre que” e isso
pode inibir alguns alunos de continuarem. Mas, na segunda, a calculadora
151
gráfica deve ser manipulada por todos. Como saberei se a manipula
corretamente, ou não, se fizerem esse trabalho em grupo? (STC 15)
Os itens com calculadora gráfica, incluídos nas tarefas T3, T4 e T7, apelam a uma
continuidade desse tipo de itens, para que os alunos se familiarizem, desenvolvam
capacidades e regulem os seus desempenhos ao longo do tempo:
Eles [os alunos] podem ver que a resposta a estes problemas de
calculadora faz-se sempre da mesma forma. Penso que conseguem
distinguir isso, e depois de trabalhar uns quantos meses com este tipo de
questões não me parece que seja difícil responder. (STC 22)
A procura de semelhanças entre os diferentes itens aparece de novo, como já foi
referido ao nível da seleção. José refere que os alunos desenvolvem capacidades de
resposta a alguns itens porque procuram as semelhanças e as diferenças entre as
propostas com que são confrontados e as tarefas que desenvolveram, anteriormente:
Ao fim de algum tempo, estas questões de calculadora estão
completamente treinadas. Tornam-se vulgares, os alunos já sabem que têm
de fazer sempre a mesma coisa…basta ler “calculadora” e os próprios já
dizem interseção? Máximos? Zeros? (STC 21)
Os aspetos apontados reforçam a opinião de José. Alguns itens das tarefas devem
ser desenvolvidos individualmente porque é mais fácil ajudar o aluno a responder e
regular a forma como ele responde:
Uma composição em grupo é difícil de fazer, e o que fica escrito está na
forma e na linguagem de quem a escreve…assim não sei a opinião dos
outros elementos do grupo. Depois, que feedback posso eu dar? Se dou
feedback ao grupo, isso vai ser entendido de forma diferente pelos vários
elementos e há sempre um ou outro, a que aquilo que eu digo não serve de
nada. Por isto, prefiro individual. (STC12)
Esta afirmação foi feita a propósito da tarefa T2, mas a ajuda ao aluno pode vir do
professor ou de outro aluno, geralmente o par mais próximo, por isso José insistiu na
necessidade dos alunos trabalharem em grupo alguns itens de T3, T5 e T7:
Por exemplo, podem trocar impressões sobre o item 1. e o item 2., acho,
mas, mesmo com a minha ajuda os itens 2., 3. e 4. deviam ser feitos
individualmente, pela ajuda que posso dar e pela identificação de erros e
dificuldades que posso fazer a partir daí. (STC 12)
José evitou a constituição de grupos de dimensão superior a três. Na sua opinião,
relativamente à dimensão do grupo, quatro foi considerado demasiado grande, poderia
ser um fator inibidor para o trabalho do aluno e para a compreensão que o professor
152
adquire desse trabalho. Na planificação das aulas, José defendeu o trabalho individual
ou em díade, adiantando a possibilidade de constituir um ou outro grupo com três
elementos:
Gosto de chegar ao pé do grupo e perceber quem fez o quê. Com grupos
grandes isso não é possível. Dois é o ideal, três às vezes e quatro são de
mais. Nos grupos grandes há sempre uns que não fazem nada. (STC 10)
Síntese. Para além da ancoragem das tarefas selecionadas a outras com que os
alunos já se tivessem confrontado, José na fase de seleção de tarefas, referiu-se,
também, à ajuda a dar ao aluno durante a concretização das tarefas. Para IP-A, José
evidenciou, através da discussão acerca da aplicação das tarefas, a preocupação em
manter os alunos motivados e acrescentou a necessidade de adequar as tarefas ao
trabalho que desenvolve em sala de aula. O desenvolvimento de alguns itens
individualmente foi referido como vantajoso para que os alunos aumentassem os seus
níveis de sucesso em determinadas capacidades, nomeadamente a interpretação, a
compreensão e a manipulação da calculadora gráfica.
No quadro seguinte, encontram-se sintetizadas as tarefas, os principais objetivos
de aprendizagem e os respetivos métodos de trabalho.
QUADRO 19: TAREFA/OBJETIVO GERAL/MÉTODO DE TRABALHO EM IP-A (JOSÉ)
Tarefa
Objetivo geral
Método de trabalho
T2
Aplicar as razões trigonométricas
Díade
T3
Resolver problemas
Misto: individual e díade
T4
Distinguir o procedimento analítico e o
procedimento gráfico em Trigonometria
Relacionar a Geometria e a Trigonometria
Individual
T5
T7
Desenvolver a capacidade de compreensão e
interpretação
Misto: individual e díade
Misto: individual e díade
Durante a aula
A análise da interação professor - alunos na aula (IP-A) é feita a partir dos
momentos em que José interagiu com os alunos, onde se inclui o questionamento.
Incluo episódios da interação de José com um aluno, ou um grupo de alunos, ou toda a
turma, consoante o momento da aula em que ocorreram.
Autorregulação da resposta
Compromisso com as tarefas matemáticas. A tarefa Eratóstenes (T2) foi
desenvolvida em duas aulas. Na primeira aula, a exploração da tarefa pelos alunos e, na
153
segunda, a discussão em grande grupo/turma do trabalho realizado. Na exploração, a
pares, os alunos registaram as conclusões obtidas no caderno diário, com o objetivo de
no final terem dados para partilhar e discutir com toda a turma, e por ser fácil consultar
se fosse necessário usar os resultados obtidos noutras tarefas. Após a entrega da
proposta de trabalho em fotocópia, José circulou pela sala de aula, e interagiu com os
alunos. Nesse momento inicial, José remeteu os alunos para o texto da tarefa (fala 1),
valorizando o que estava escrito na proposta de trabalho para a compreensão do que é
solicitado (fala 3):
1. José: Lê de novo. Deves avançar depois de compreender muito bem a
figura e o que é dito sobre ela.
2. Davide: Mas, basta olhar para a figura e compreende-se.
3. José: A informação é importante, pode fazer falta na resolução. (A1J)
Na tarefa T3, inicialmente, quase todos os alunos compreenderam o enunciado e
também não tiveram dificuldade em compreender a relação entre a distância d, da Terra
ao Sol, e o ângulo x . Na concretização do item a), o par Alexandre e Davide questionou
José sobre a indicação “Sem recorrer à calculadora” (falas 1 e 2) e José remete,
novamente, os alunos para o texto da proposta de trabalho (fala 3):
1. Davide: Professor? Como podemos saber o valor do cosseno, sem
recorrer à calculadora?
2. Alexandre: E o resto das contas 149,6 a multiplicar…
3. José: Calma! Leiam até ao fim…vejam “a não ser para efetuar…”,
veem?
4. Davide: Ok! Professor. (A3J)
Mas, enquanto circulava pela sala, apoiando os alunos, José detetou que o par
Magda e Rute não estava a interpretar corretamente o valor de x . As duas alunas não
reparavam que o ângulo x começa a contar a partir da linha do Periélio e substituíam o
x por π para obter o valor mínimo de d, trocando o x por 2π para obter o valor
máximo de d. José interferiu (fala 1) de forma que as alunas não se afastassem do
solicitado na proposta de trabalho e interpelou-as, respondendo à questão colocada (fala
5), para encaminhá-las (fala 8) de novo para o problema, de modo a ultrapassarem a
dificuldade:
1. José: Algum problema?
2. Magda: Não!
3. Rute: A distância máxima é menor do que a distância mínima, mas em
Matemática tudo é possível!
4. Magda: Isto está certo? Não está, stor?
5. José: Não me parece que a Rute tenha razão!
154
6. Magda: Mas, eu já verifiquei as contas e estão todas bem!
7. Rute: Já sei. Tens a calculadora em radian e deveria estar em degre.
8. José: Isso tem de fazer sentido. Vejam o problema de novo. (A3J)
José remeteu as alunas para a (re)leitura do enunciado, assumindo o compromisso
de as (re)colocar em confronto com a tarefa proposta, mas a dificuldade delas estava na
origem do referencial cartesiano, no Periélio o ângulo era π . O impasse manteve-se e
José teve de reforçar o seu apoio para que as alunas progredissem, assinalando o erro
que estavam a cometer (fala 3). Essa intervenção foi no sentido de orientar as alunas
para a proposta de trabalho (fala 7):
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
José: Já repararam na figura?
Rute: Sim.
José: O ângulo x começa no Periélio!
Magda: Logo, aí é zero…ok, já percebi.
Rute: Espera, espera….deste lado é o π .
Magda: Não temos referencial e vê a abertura, começa no Periélio!
José: Agora vejam de novo o máximo e o mínimo. (A3J)
A tarefa Cone (T5) de Geometria foi efetuada a pares. Os conteúdos tratados na
tarefa não fazem parte do módulo Trigonometria da turma P, mas José entendeu que a
mesma seria pertinente por permitir recordar conteúdos do 10.º ano e por permitir
aplicar a trigonometria, estabelecendo a conexão entre os temas Geometria e
Trigonometria. T5 foi entregue em papel e alguns alunos ao verem a figura do cone,
num referencial tridimensional, ficaram um pouco assustados e comentaram a
dificuldade da tarefa antes da leitura do enunciado (fala 1). José reagiu e remeteu-os
para a leitura do enunciado, desdramatizando as primeiras impressões (fala2):
1. Alexandre: Professor? Esta é muito difícil…
2. José: Nada disso, lê e falamos depois…
3. Alexandre: Estas figuras do ano passado são complicadas! (A7J)
Alexandre referia-se aos referenciais tridimensionais e à utilização de coordenadas
de pontos no espaço para situar um objeto e para o caracterizar do ponto de vista
matemático (fala 4). O aluno invocou a não lembrança de matérias relacionadas com a
temática da Geometria (fala 4) e José, não valoriza esse facto, remete-o para a proposta
de trabalho (fala 5), no entanto responde à dúvida com a resposta correta (fala 7),
recordando o significado de um conceito matemático:
4. Alexandre: São aquelas equações com os pontos no espaço. Já não me
recordo.
5. José: Vamos ler e depois eu ajudo.
155
6. Alexandre: O que é um cone de revolução?
7. José: É um cone. (A7J)
A resolução do item c) da T5 revelou-se muito complicada para os alunos. José
começou por dar aos alunos a fórmula para determinar o ângulo entre dois vetores,
cos α =
u•v
u × v
, e para a concretizar pediu-lhes para determinarem os vetores VB e
VD , e as respetivas normas. No começo, os alunos não perceberam a relação da fórmula
do ângulo de dois vetores com o valor de sen α pedido no enunciado da tarefa (fala 1).
Como a primeira se apresenta com o cosseno e a segunda com o seno, José não dá
importância à interjeição da aluna, dando orientações concretas sobre o que devem fazer
para responder ao item (fala 4). Depois desta confusão, José acabou por resolver a
questão e explicar a relação entre as duas razões trigonométricas (fala 7). Os alunos
manifestaram a preocupação de as fórmulas apresentadas virem a ser exigidas em outras
tarefas (fala 9), no futuro. Apesar das dificuldades na concretização da tarefa, José leva-a até ao fim através da ligação entre o que é perguntado, em compromisso com a tarefa
matemática proposta, e o trabalho que os alunos praticavam:
1. Magda: O stor enganou-se! Ali é cos e o prof pede seno.
2. José: Não é engano, é mesmo assim.
3. Magda: Mas, como podemos chegar ao seno se aquela dá-nos o cos.
4. José: Calculem lá o cosseno de α , depois vamos ver!
(…)
5. Magda: Já está!
6. Rute: As contas estão bem, prof?
7. José: Acho que sim. Já têm o valor de cosseno de α , podem calcular o
seno de α com a fórmula fundamental da trigonometria que vos dei.
8. Rute: Temos de saber estas fórmulas?
9. Magda: Quando precisarmos, o prof dá-nos?
10. José: Têm de saber usá-las, mas não decorá-las.
11. Magda: É sen 2α + cos 2 α = 1 ?
12. José: Sim. (A7J)
A tarefa Escrever no computador (T7) faz parte do módulo Funções exponenciais
e logarítmicas. Quando José propôs esta tarefa, os alunos já haviam contactado com a
revisão das propriedades das potências, do produto e do quociente, conhecimentos
suficientes para responder ao solicitado. José entregou a tarefa em papel e indicou aos
alunos que trabalhassem a pares. A primeira reação dos alunos à T7 foi muito favorável.
Os alunos leram o enunciado e manifestaram uma reação positiva (fala 1), evidenciando
156
confiança em serem capazes de responder à tarefa sem ajuda (fala 2). Mas, José
manteve-se descomprometido com a reação dos alunos e remeteu-os para a proposta de
trabalho (fala 3):
1. Alexandre: Professor! Esta tá fácil!
2. Davide: É uma de calculadora, e simples. Eu já sei como se faz!
3. José: É? Então comecem. (A8J)
As alunas evidenciaram também expectativas idênticas para a concretização da
tarefa (fala 1). T7 era a primeira tarefa do módulo Funções exponenciais e logarítmicas
a realizar com calculadora gráfica. Este aspeto pode ajudar a explicar a questão de José
relativamente às expectativas de concretização da tarefa pelos alunos (fala 2):
1.
2.
3.
4.
5.
Rute: É para fazer como as outras da calculadora, não é? Stor?
José: Porque perguntas?
Rute: Eu sei que é, mas só queria confirmar.
Magda: Eu também li, é do mesmo tipo e sei fazer. Podemos fazer?
José: Podem. (A8J)
Ao lerem a T7, para a resolverem, surgiram complicações com a interpretação da
expressão “… que, em média, conseguia escrever por minuto, …” (falas 1 e 2). José
apela à articulação de ideias próprias por parte dos alunos (fala 3) e, como as dúvidas
persistem (falas 4, 5 e 6), sugere a releitura da proposta de trabalho (fala 7):
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Magda: Stor? diz palavras por minuto, em média?
Rute: Mas as 800 são 20 minutos, é colocar no t o 800 ou o 20?
José: Essa é a parte que vocês devem fazer.
Rute: Eu sei que devemos substituir o t, mas por 800 ou por 20?
Magda: Só pode ser 20, é tempo!
Rute: Acho que não. Quantos dias é o t e é isso que perguntam.
José: Voltem a ler. (A8J)
O facto de José remeter as alunas para o enunciado da tarefa, impulsionou-as
numa nova tentativa de resolver a questão (fala 1) e proporcionou, de novo, a discussão
entre as duas alunas acerca da expressão “… que, em média, conseguia escrever por
minuto, …”:
1. Magda: Na calculadora temos de colocar duas coisas, o Y1 e o Y2, e
uma delas é a expressão.
2. Rute: Pois, mas aqui, a pergunta, é quantos dias. Acho que queremos
saber o t.
3. Magda: Então o Y2 é n palavras.
4. Rute: Há duas coisas a fazer confusão, em média? E 800 palavras em
20 minutos?
5. Magda: Sei como se faz, mas não sei que valores pôr. Mas, vamos
conseguir. (A8J)
157
Estímulo às estratégias individuais. Na T2, os alunos tiveram dificuldades em
selecionar os dados para resolver o exercício. José apoiou essa seleção e ajudou-os na
concretização de uma estratégia de resolução, mas apenas confirmando as afirmações
corretas dos alunos (falas 4 e 19) ou orientando-os para a análise da figura da proposta e
encaminhando-os a partir das estratégias entretanto definidas por cada par de alunos
(falas 8 e 13):
1. Davide: Professor? A altitude é em quilómetros e o R em metros, é
mesmo assim?
2. José: Porque fazes essa pergunta?
3. Davide: Porque deveriam estar na mesma unidade, para somar.
Precisamos do BC, não?
4. José: O que dizes é verdade, mas também deves pensar para que faz
falta o comprimento [BC]?
5. Alexandre: Estou a pensar no que temos feito nas últimas aulas e só me
ocorre a trigonometria. Desenhamos um triângulo e depois…
6. José: Trigonometria, é muito vago.
7. Alexandre [enquanto pesquisa no caderno]: Tenho aqui os triângulos e
esta figura também tem um triângulo.
8. José: Isso é pouco. Leiam o problema novamente, façam uma figura e
depois… pensem e relacionem os comprimentos! (A1J)
(…)
9. Davide: Professor? Já sabemos, são as razões trigonométricas, seno,
coseno e tangente.
10. José: E vão usar as três?
11. Alexandre: Não, não! Vamos ver… aqui o triângulo precisa do cateto
oposto, AB.
12. Davide: Nada disso! O AB são serve de nada, a pergunta é o h.
13. José: Analisem melhor. Onde está o h?
14. Alexandre: Na hipotenusa … mas, também, temos o R na hipotenusa.
15. Davide: Podemos escrever uma equação e depois é fácil.
16. José: Escrevam, e depois discutimos.
(…)
17. Davide: Professor? Vamos fazer com o cosseno!
18. Alexandre: Temos o cateto adjacente e temos a hipotenusa, isso dá
para o cosseno. E depois encontramos o valor de h, pode ser?
19. José: Pode ser, há vários caminhos… esse é o vosso. Prossigam. (A1J)
Ainda na T2, depois de os alunos encontrarem os resultados pedidos, houve
dificuldades na sua comparação. Os alunos apresentaram alguma hesitação na forma e
no sentido dado à expressão “compara os resultados obtidos” (falas 1, 7 e 15). José deu
pistas aos alunos para progredirem no processo de comparação que tinham traçado
(falas 2, 4, 6, 8 e 14), colocando questões (falas 2, 10, 12 e 16):
158
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Davide: Professor? Comparar os resultados como?
José: Já efetuaram os cálculos? Que podem concluir?
Davide: Este é maior que aquele!
José: Sim, claro que o valor é maior, mas relacione isso com a figura.
Alexandre: A altitude é maior aqui. Mas, não sei que dizer mais…
José: Devem tentar escrever uma conclusão geral… uma informação
que sirva para um ângulo qualquer.
7. Davide: Ângulo qualquer? Devemos calcular para outros valores?
8. José: Se precisarem, sim…devem é olhar também para os resultados.
9. Alexandre: Eu sei que o h de 60º é maior que o h de 45º, e daí?
10. José: E se fosse 30º?
11. Alexandre: Pois…temos de fazer?
12. José: E se fosse 20º?
13. Davide: Isso deve ter uma propriedade, senão o professor não dizia
isso!
14. José: Vejam…calculem…
(…)
15. Davide: Professor? Ao diminuir o ângulo, a altitude também diminui.
16. José: Isso é verdade para todos? Como justificam?
17. Alexandre: Podemos calcular mais alguns…mas não é isso que o prof
quer.
18. José: Pois não!
19. Alexandre: Já sei, vamos escrever e depois o professor vê! (A1J)
A tarefa Periélio (Terra) (T3) foi desenvolvida em duas aulas e José apenas pediu
que os alunos efetuassem o item b2) individualmente. Esta intervenção de José foi
justificada pela sua necessidade de verificar o desempenho dos alunos em itens com
calculadora gráfica:
Quero saber se já dominam as resoluções gráficas com a calculadora
gráfica. É importante para as funções [módulo seguinte]. As perguntas
com calculadora, também, as fazem sempre individualmente. Geralmente,
não envolvem discussão, e individualmente, sei que todos fizeram. (José,
STC14)
À semelhança do que sucedeu nos outros itens, José apoio os alunos na
concretização da tarefa, circulando pela sala e questionando para os ajudar na procura
de resposta. No item b2) da T3, os alunos identificaram que tinham de efetuar a
contagem do número de dias que decorre desde a passagem da Terra pelo Periélio até
ao dia 14 de fevereiro, mas essa contagem não foi fácil. Depois de identificar esta
dificuldade dos alunos, José questionou-os (fala 1) e, em alguns casos, identificou o erro
cometido pelos alunos na contagem através de uma questão fechada (fala 6):
1. Davide: Professor? são 40 dias!
2. José: Contaste bem?
3. Davide: De 4 a 14, são 30 mais 10.
159
4.
5.
6.
7.
José: Mas, o dia 4 é de janeiro!
Davide: janeiro.
José: E o mês de janeiro tem 30 dias?
Davide: Ah. Pois…então t=41 dias. (A3J)
As raparigas tiveram exatamente a mesma dificuldade. Segundo o registo em
áudio, deveu-se apenas a distrações relacionadas com pouca atenção na leitura de
enunciados longos. José manteve o apoio à estratégia seguida pelas alunas, embora
tenha orientado no sentido de lerem de novo a proposta de trabalho (fala 2). Mas,
perante a persistência do erro das alunas no cálculo, José sugeriu uma forma muito
concreta de contagem (fala 5 e fala 7):
1. Rute: Então professor, um mês tem 30 dias mais 10 de 4 a 14, são um
total de 40 dias.
2. José: Vocês têm de ler as perguntas….veja novamente!
3. Rute: Desculpe, stor. Vou ver de novo.
(…)
4. Rute: Stor, estou mesmo convencida que fazendo o t=40 vai dar, não é
stor?
5. José: Conta os dias de 4 janeiro a 14 de fevereiro.
6. Rute: Sim t=40 e T=365,24, e calcula-se o x , na calculadora.
7. José: Conta: 1, 2, 3, etc…
8. Rute: Vou ver.
(…)
9. Rute: Stor? 31 de janeiro, tinha esquecido de contá-lo também. Pronto,
t=41. (A3J)
O item b2), do qual José pretendia verificar o desempenho dos alunos, foi
concretizado com a calculadora sem sobressaltos, depois de ultrapassada a dificuldade
da contagem dos dias, embora tenha sido necessária a intervenção de José. Nesse item,
José alertou para a necessidade de mudar a janela de visualização da calculadora e para
a verificação do modo de medida da amplitude de um ângulo a usar na calculadora
(radian ou degre). Foi uma ação de José para aumentar a capacidade de autorregulação
dos alunos, em tarefas com calculadora gráfica, noutras ocasiões.
A tarefa Círculo Trigonométrico (T4) foi desenvolvida em duas aulas e os alunos,
também, trabalharam individualmente. No início da T4 houve alguma dificuldade em
compreender o que era solicitado no item 1. A expressão “em função de α ” causou
confusão em alguns alunos da turma. Em particular, os alunos observados também
apresentaram as mesmas dificuldades de compreensão (fala 1). José estimulou os
alunos, alertando para a diferença entre a verificação de alguns casos particulares e a
160
generalização de uma propriedade (fala 2) e dando-lhes uma pista para prosseguirem
(fala 4):
1.
2.
3.
4.
Alexandre: Mostre que, em função de α ? Isto é dar valores a α ?
José: Assim, não. Assim, calculas alguns valores para a área.
Alexandre: Vou precisar de ajuda. Não tou mesmo a ver!
José: Escreve primeiro a fórmula da área da figura que pretendes
calcular.
5. Alexandre: A área do triângulo?
6. José: Sim, e agora continua. (A5J)
O Alexandre e outros alunos não conseguiram progredir. Com alguma dificuldade
em apoiar todos os alunos, José decidiu responder, oralmente, através de uma
explicação para toda a turma. Apesar de ser uma explicação geral, a opção de José
resultava como consequência da diversidade de estratégias individuais, dos alunos. No
quadro, José representou a figura, acompanhando-a com a seguinte explicação:
José: Bem, vejam o que é que acontece. Se
eventualmente, eu diminuir a amplitude do
ângulo α . Reparem. Ora, eu tenho aqui o
ponto A, o que é que vai acontecer?
Quando eu diminuo, ou aumento, o ângulo?
Estão a ver a ideia? Ou não? (A5J)
José, sem orientar a resposta, com esta explicação ajudou os alunos a refletirem
sobre a ineficácia das estratégias de substituição pontual. Para alguns alunos a
explicação ao nível do levantamento de questões foi suficiente, mas para outros a
dúvida manteve-se:
Alexandre: Este é o ângulo alfa, que é igual a 60º, 30º e a 45º? [valores
exatos usuais no 11.º ano] (A5J)
Para esses alunos, José apoiando-os individualmente, acabou por explicar que
para cada valor de α poderiam encontrar uma área diferente, mas o que deveriam
procurar era a fórmula e não o valor, propriamente dito, da área do triângulo. De forma
indireta, os alunos são orientados para a resposta. Mas a explicação de José não foi
muito eficaz para alguns alunos. Também no item 2.1 da T4 os alunos solicitaram a José
o esclarecimento de questões relacionadas com a forma de obtenção da resposta (com
ou sem calculadora), e volta a responder de uma forma subtil sem que sejam dadas
pistas para a resolução, mantendo em aberto as opções estratégicas dos alunos:
161
José: O que é que diz o enunciado? O que é que diz o enunciado?
Reparem: recorra à calculadora …. Para α = a? Para α = b? E classifique
o triângulo? (A5J)
Magda apresentou dificuldades por entender que deveria desenhar um triângulo
com α = 60º e a partir desse triângulo calcular a área (fala 1). Sem negar a estratégia da
aluna, José desvalorizou o erro e questiona (fala 2) de modo a que encontre uma
contradição nas suas estratégias individuais:
1. Magda: Já desenhei, mas não sei a altura nem a base!
2. José: Usa f( α )?
3. Magda: Fico na mesma, isso dá a área, não dá a base e a altura! (A5J)
Esta aluna não associou de imediato a área a f( α ) e isso impedia-a de continuar
uma vez que ela procurava calcular a área da mesma forma que tinha feito no item 1.:
Magda: Na 1. fizemos com a trigonometria, no mostre que.
José: Mas, isso já está feito não vale a pena repetir a mesma coisa.
Magda: Mas, assim, não tenho a base e a altura.
José: Não precisas da base e da altura para determinar a área, se tiveres
outro método. O que significa o f( α )? (A5J)
Perante a dificuldade de Magda, José teve uma ação orientadora de forma que a
aluna pudesse progredir na resolução da tarefa, e ao mesmo tempo sugeriu que a aluna
refletisse sobre o significado de f( α ). Sem guiar demasiado, José conduziu a aluna no
sentido de encontrar uma estratégia para responder e, ao mesmo tempo, compreender a
razão da ineficácia da sua estratégia inicial:
Magda: Ah! Sempre com a calculadora, fazendo α =60º.
José: É melhor pensares um pouco como foi obtido o f( α ). E depois
escreveres isso. (A5J)
A mesma atitude manteve José nas tarefas T5 e T7. Ele não valorizou algumas das
dúvidas dos alunos tentando mesmo, na T5, desdramatizar a perceção dos alunos de que
a tarefa era difícil, e de que iriam sentir muitas dificuldades na sua concretização. Na
sessão de trabalho de natureza colaborativa para preparar a aplicação da tarefa, José já
havia salientado que teria de dar muito apoio aos alunos na realização da tarefa T5, mais
do que é habitual. O item a) dessa tarefa revelou-se fácil após a indicação dada,
oralmente, de que deveriam recordar a interseção com os eixos coordenados, apoiando
as estratégias iniciadas pelos alunos:
José: Interseção com eixo 0x: y=0 e z=0; interseção com eixo 0y: x=0 e
z=0; interseção com eixo 0z: x=0 e y=0.
162
Davide: Assim, o raio é [OB] e a altura é [OV].
José: Mas, deves calcular os respetivos comprimentos.
Davide: Ok, ok (A7J)
Articulação de ideias próprias. Muitas vezes, José optou por não validar a
resposta dos alunos como uma forma de promover a articulação de ideias próprias dos
alunos. No item 4. da T2, a propósito da comparação dos dois resultados obtidos, José
apresentou a mesma atitude relativamente ao par Magda e Rute. Estas alunas
resolveram o item 1. recorrendo às igualdades cos 60º =
1000
1000
e cos 45º =
.
1000 + h
1000 + h
E, a partir dessas igualdades, para o item 4. afirmaram que à medida que o valor do h
aumenta, o valor do ângulo teria de aumentar, apenas por observação da figura. José
ficou um pouco confuso com a resposta das alunas (fala 3), mas não validou de
imediato esse trabalho e solicitou que as alunas articulassem as suas ideias de forma a
provar o pedido (falas 6 e 8):
1. Rute: Isto é verdade stor?
2. Magda: Cateto adjacente sobre a hipotenusa!
3. José: Sim, sim, é verdade. Mas…, não usaram
h cos α
a igualdades R =
?
1 − cos α
4. Magda: Mas, é o cateto adjacente sobre a
hipotenusa, ou não?
5. Rute: É o cosseno!
6. José: Sim, mas como justificam a
comparação?
7. Magda: Quando h aumenta, o valor da fração diminui, e o ângulo
obtido aumenta.
8. José: Mas, mas têm de me convencer que isso é mesmo verdade! (A1J)
O uso pelas alunas de um processo de resolução diferente daquele que José tinha
previsto, deixa-o hesitante relativamente à confirmação do resultado a que as alunas
chegaram. Mas, mesmo nessa circunstância, José não confirmou nem desmentiu a
afirmação desse grupo e incitou-as a encontrar argumentos irrefutáveis (fala 1), dandolhes algumas pistas (falas 3 e 5), remetendo o processo de validação no trabalho do
próprio grupo:
1. José: Já está? O que escreveram?
2. Magda: Stor, veja se temos razão: quando h aumenta o comprimento
CB é maior e por isso o ponto B sobe na vertical.
3. José: Pois, mas não esqueçam que há o outro R.
4. Rute: Stor, stor, deixe-nos acabar: O ponto A tem de descer, sempre
por cima da circunferência.
163
5. José: Efetivamente, o ângulo aumenta. Mas, relacionem isso com o
cosseno. (A1J)
As alunas exploravam corretamente o problema e José manteve uma postura de
não validação dos raciocínios apresentados, procurando que as duas alunas construíssem
uma argumentação correta e completa sobre o trabalho realizado. Quer para o par dos
rapazes, Alexandre e Davide, quer para o par das raparigas, Magda e Rute, José insistiu
na necessidade dos alunos desenvolverem argumentos que servissem para justificar as
resoluções apresentadas, e que facilmente fossem recordadas (fala 1), valorizando,
assim, a comunicação matemática (fala 3), contrariamente ao que tinha referido na
entrevista inicial:
1. José: Meninos, meninos! Lembrem-se que a trigonometria não acaba
hoje. Brevemente, pode ser necessário consultar as conclusões
registadas no caderno.
2. Magda: Stor? Eu escrevi no caderno as fórmulas que usei, chegam?
3. José: Têm de explicar tudo. O vosso raciocínio, as vossas opções,
etc…para eu perceber e, daqui a uns tempos, vocês também!
Na segunda aula de trabalho na tarefa T2, José, efetivamente, centrou a discussão,
com toda a turma, na forma como os alunos chegaram às conclusões. José referiu uma
afirmação das alunas para pedir a sua justificação (fala 1) e, a partir daí, articular as
ideias dos alunos para compreender a profundidade com que as tinham tratado (falas 3,
5 e 7):
1. José: Diz que h aumenta quando α aumenta, e consegues justificar?
2. Magda: Pela figura.
3. José: Não quero isso, têm de mostrar-me com cálculos que isso é
verdade.
4. Rute: Nós fizemos para 60º, 45º e 30º e vê-se que é verdade.
5. José: E quanto dá para 60º, 45º e 30º?
6. Rute: Para 60º dá 0, e para 45º dá negativo, -0,414.
7. José: Um comprimento negativo?
8. Rute: [silêncio] (A2J)
José detetou que, apesar que terem as conclusões corretas, as alunas tinham
cometido erros de cálculo e obtinham valores que não faziam sentido no contexto do
problema. José pediu à aluna para transcrever no quadro os seus cálculos e incentivou
os outros alunos a ajudarem a identificar o erro. Esta prática era habitual e aceite pelos
alunos como positiva “para ter mais atenção”:
Quando eu dei conta, ele tinha feito
164
h cos 60º
⇔ 1 − cos 60º = h cos 60º ⇔ 1 − cos 60º − cos 60º = h .
1 − cos 60º
Este erro, não afetava as conclusões mas é um erro grave. Aproveitei para
reforçar a necessidade deles questionarem o trabalho que fazem. (José,
STC14)
1=
Na resolução do problema proposto na T4, os alunos evidenciam algumas
estratégias de articulação das suas ideias, talvez, porque já trabalhavam esses processos
há algum tempo. O apelo ao registo das tentativas realizadas (fala 1), tanto as corretas,
como as erradas, foi apenas um reforço dessa necessidade:
1. José: Depois quando resolverem, aquilo que fizerem, bem ou mal, deve
estar registado, eu só... dou pequenas orientações!
2. Alexandre: Oh s’tor, aqui temos de saber a hipotenusa. Certo?
3. José: Exatamente.
4. Davide: Então, isto é para os 2 triângulos. Vá, precisamos de ligar isto
a alguma coisa (o Alexandre lê o exercício). (A5J)
A pesquisa no caderno foi outra estratégia dos alunos para avançar na resolução.
Esta revelou-se como uma mais-valia para Davide e Alexandre ao encontrarem a
solução e conseguirem mostrar o pretendido:
1. Alexandre: Isto é da trigonometria.
2. Davide: Sim.
3. Alexandre: (o aluno continua a ler o exercício) Temos de ir ver…o
prof já explicou isto…consulta o caderno…temos de descobrir.
4. Davide: Ângulo de?
1. Alexandre: (o aluno continua a ler o exercício e consulta o caderno)
Está aqui! O círculo trigonométrico tem raio 1. Vamos fazer a
área…agora é fácil. (A5J)
Mas, para além da necessidade de mostrar a expressão que dá a área, o facto de os
alunos trabalharem individualmente, neste item, revelou-se uma dificuldade acrescida
para o apoio que José deu e para a concretização da tarefa. Numa primeira fase de
reflexão sobre a T4, José atribuiu as dificuldades dos alunos à desatenção demonstrada.
No entanto, em parte devido à ajuda que deu na concretização, reconhece que os alunos
progrediram e aplicaram as suas próprias ideias matemáticas:
A primeira apreciação é a atitude dos miúdos, desatenção, não leram
corretamente o enunciado. Estão a perceber? Principalmente a parte inicial.
Em segundo lugar, acho que um problema dos meus alunos foi em relação
ao mostre que? Como foi com os vossos? Se fosse apresentado, por
exemplo, no item 1., algo semelhante ao item 2., provavelmente, sendo
atribuídos valores, será que eles tinham mais facilidade em encontrar o
valor, e deduzir a expressão, da Área? Sendo só com letras? Como eles
165
costumam dizer! Foi logo um obstáculo! (…) Eu continuo a dizer, eles não
leram atentamente o enunciado. Mas, fizeram a tarefa com ajuda e estavam
empenhados. Perguntaram montes de vezes esta história, por causa do α :
Oh professor, o que é um α ? Nesta tarefa, ao trabalharem
individualmente, nem se ajudaram mutuamente. (José, STC17)
Na T5, dos quatro alunos, alvo de recolha de dados, apenas Rute necessitou da
ajuda de José para relacionar a equação do plano ABV com o comprimento da base e a
altura. Os restantes alunos mobilizaram conhecimentos anteriores para o fazerem.
Mesmo assim, o apoio de José passou pelo apelo à articulação de conhecimentos de
Rute com a ajuda de Magda (falas 1, 3 e 5):
1.
2.
3.
4.
5.
6.
José: Para que serve a equação 4x+4y+3z=12?
Rute: Não sei!
José: Pense um pouco. A equação do plano dá o quê?
Rute: Dá o plano, ou seja o conjunto dos pontos do plano.
José: E a partir da equação, como pode obter o ponto B? e o V?
Magda: Vê-la, na equação se trocares x por 0 e z por 0 dá o ponto B? (A7J)
No item b) da T5, o Alexandre afirmava que a solução era 5, mas José sentiu
alguma dificuldade em compreender e aceitar os argumentos do aluno (fala 2). O aluno
organizara as suas ideias através dos ternos pitagóricos e respondera de imediato, mas
José não compreendera de imediato essa articulação (fala 4). Depois de alguma
insistência (fala 6), o entendimento acabou por acontecer (fala 8):
1.
2.
3.
4.
5.
Alexandre: Falta o raio, e ele é 5.
José: Porquê?
Alexandre: Um é 3 e o outro 4, logo só pode dar 5.
José: O que é o 3, o 4 e o 5?
Alexandre: O lado [OB] é 3, o lado [CV] é 4 logo o raio é 5, que faz
falta para escrever a esfera.
6. José: Isso é verdade, mas como chegas ao 5?
7. Alexandre: Num triângulo retângulo se os lados são 3 e 4 a hipotenusa
é 5.
8. José: Tens razão! (A7J)
A outra aluna, a Magda, apresentou-se confiante nas suas ideias para responder à
tarefa T7, embora tivesse dificuldade na seleção dos dados a partir do enunciado. Os
dois rapazes, na T7, também apresentavam a mesma reação relativamente às
expectativas de concretização da tarefa (falas 1 e 2) e resistiam a solicitar o apoio do
professor, apoiando-se mutuamente:
1. Davide: Sei que vou conseguir! O Y1 é a expressão n(t).
166
2. Alexandre: Isso também eu sei, mas o nosso problema é o que colocar
no Y2. Eu sei como se faz, mas esta está difícil…
3. Davide: A solução tá em 800 palavras por minuto!
4. Alexandre: Não, não, 800 palavras em 20 minutos.
5. Davide: Pois, mas o n é o número de palavras por minutos.
6. Alexandre: Ok. Vamos experimentar com o 800?
7. Davide: Acho que não dá, mas serve para começar. (A8J)
Davide e Alexandre estavam próximos de encontrar a resposta ao problema e
estavam convictos de que iam encontrá-la. Nesta interação, eles apresentaram
dificuldade em interpretar o enunciado, embora manipulassem os dados de forma
correta. Nos momentos em que José deu apoio, procurou não validar o que
concretizavam (fala 3) e ajudou na interpretação do enunciado, salientando os aspetos
da tarefa que maior dificuldade apresentava aos alunos (falas 1 e 5):
1.
2.
3.
4.
José: Concentrem-se nas variáveis n e t.
Davide: Eu já descobri, mas estou à espera do Alexandre.
José: Sim?
Alexandre: Eu é que disse, são 800 palavras em 20 minutos e não por
minutos. O Davide experimentou na calculadora 800 e 800/20, mas
quem deu a dica fui eu.
5. José: Mas a resposta não está feita! Ou está? (A8J)
Os alunos apresentaram convicção nas suas capacidades para encontrar a resposta,
nomeadamente na forma como estavam a organizar a resposta. No entanto, na T7, as
raparigas precisaram de uma orientação mais precisa por parte de José (fala 6 e 8).
Apesar disso não foi dispensada a articulação de ideias próprias para responder ao
problema (falas 3, 7 e 9):
1. Rute: A minha confusão mantém-se, stor.
2. José: Qual?
3. Rute: 800 por minuto e 800 em 20 minutos, acho que é por aí. Não sei
como desvendar o assunto.
4. José: E tu Magda?
5. Magda: Acho que o valor de n é 800 ou 800/20, mas falta o t. Porque a
expressão é n(t).
6. José: Não. Experimentem os dois valores e vejam aquele que é
possível.
7. Magda: E o t?
8. José: Não precisas. Vais calcular o t e dás o n.
9. Magda: Assim já sabemos. É o 800/20, já experimentámos. É o único
que é possível.
10. José: Ah, já fizeram?
11. Rute: Agora, vamos terminar e escrever a composição. (A8J)
167
Quer os rapazes, quer as raparigas, na T7, não manifestaram dúvidas em relação à
escrita da resposta. Os alunos começaram pelo processo gráfico, manifestando
preferência por esse método para resolver este tipo de problemas. Nesta tarefa,
colocaram a função n(t) na calculadora e o valor de 800/20, e através da ferramenta
gráfica de interseção determinaram o pretendido. Nessa concretização houve a
preocupação de responder à questão por via da redação de uma composição, dando
atenção ao enunciado da tarefa de modo a elaborar uma resposta completa. Verifica-se
que alguns alunos apresentam apetência para articular as ideias na forma escrita:
Rute: Isto não chega, os valores numéricos não chegam, nem os gráficos…
precisamos escrever. Eu gosto de escrever!
Magda: Sim, temos de descrever tudo o que fizemos e o que pensámos.
Rute: Fazemos primeiro o gráfico, no fim faz-se o analítico.
Magda: Escreves? (A8J)
Síntese. Do exposto, pode-se afirmar que na forma oral, através da interação que
estabelece com os alunos, José remeteu-os para as diversas propostas de trabalho na
busca de construir um maior entendimento entre o que solicitava e o trabalho
matemático realizado pelos alunos. Uma vez por outra, confirma a resposta ou ajuda
através do fornecimento de uma resposta correta. Assim, em todas as tarefas, José
orientou os alunos para a execução do trabalho matemático proposto. José promove as
capacidades de compreensão e interpretação associadas à aprendizagem da Matemática,
ao mesmo tempo, que procura desenvolver a capacidade de autorregulação da
aprendizagem, apelando aos recursos dos próprios para resolver o exercício ou o
problema proposto em qualquer um dos temas, Trigonometria, Geometria ou Funções.
O estímulo às estratégias individuais foi uma constante no questionamento de
José, aquando da implementação das estratégias de resolução dos alunos. Esse estímulo
serviu para reforçar a capacidade de regulação através da avaliação da eficácia, ou não,
das estratégias inicialmente escolhidas pelos alunos, também, foi importante por
permitir aprender as condições que permitem a aplicabilidade, com sucesso, de uma
determinada estratégia. Um aspeto significativo no desenvolvimento da capacidade de
autorregulação foi o apoio às estratégias individuais de abordagem de problemas. Outro
aspeto a ressalvar foi a autoavaliação suscitada pelo questionamento enquanto estímulo,
principalmente nas tarefas de Trigonometria. Ainda posso acrescentar outros contributos
para promover a autorregulação, como seja a desvalorização dos erros, ou a abordagem
positiva, tomando-os como naturais no processo de aprendizagem, e a identificação de
168
erros e dificuldades através da reflexão sobre a exequibilidade de uma estratégia
individual.
A articulação de ideias próprias surgiu em primeiro lugar a partir de uma
necessidade que advém da não validação de José, principalmente na primeira tarefa de
Trigonometria. Esta circunstância impeliu os alunos na procura de argumentos
irrefutáveis que permitam justificar ou argumentar acerca da validade de um raciocínio.
Nessa articulação, outros aspetos serviram para reforçar a capacidade de autorregulação
dos alunos, entre eles a identificação de erros no processo de resolução que não afetam
o resultado final, a clarificação de entendimento entre professor e aluno, a interação
entre alunos, e a comparação de estratégias de resolução no seio do trabalho de grupo.
Este compromisso com as tarefas matemáticas trouxe vantagens para a promoção da
autorregulação da organização da resposta destes alunos uma vez que permitiu a
valorização do que estava escrito nas propostas de trabalho, a aproximação entre a
interpretação do professor e a interpretação do aluno, a interpretação de dados e figuras
incluídas nos problemas, ultrapassagem de dificuldades, o estabelecimento da
plausibilidade de uma resposta, a desdramatização das primeiras impressões sobre a
tarefa, a resposta às primeiras dúvidas, a manutenção da ligação entre o trabalho
proposto e o executado e a motivação para novas abordagens ao problema.
No quadro seguinte, encontram-se sintetizados os tipos de intervenção de José nos
três tópicos para promover a autorregulação da resposta à tarefa, através da interação
com os alunos.
QUADRO 20: TIPO(S) DE INTERVENÇÃO DE JOSÉ PARA A AUTORREGULAÇÃO DA RESPOSTA
EM IP-A
Tópicos para a autorregulação
da resposta
Compromisso com a tarefa
matemática
Estímulo às estratégias
individuais
Articulação de ideias próprias
Tipo(s) de intervenção (Tarefa)
remete para o que está escrito na proposta de trabalho (T2;
T5; T7)
estimula a discutirem entre si (T7)
identifica erros de interpretação ou de compreensão (T2)
ajuda na seleção dos dados necessários para resolver um
problema (T3; T5)
encaminha a partir das estratégias definidas (T2)
fornece pistas para a progressão (T4)
questiona para a identificação de erros e dificuldades (T2;
T3; T4)
não valida, imediatamente, a resposta (T2)
reforça a necessidade de argumentação, de uma resposta
(T2)
apela ao registo das tentativas bem, ou mal, sucedidas na
resolução de um problema (T4)
ajuda individualmente (T4; T5; T7)
169
Autorregulação do desempenho
Eficácia Matemática. Na T2, José comparou os registos no caderno diário, feitos
pelos alunos, e concluiu que não eram coerentes no que escreviam. Para ultrapassar essa
situação, no apoio à concretização da tarefa, José solicitou a explicação oral da resposta
e observou que os alunos iam reformulando as suas respostas à medida que as
explicavam, oralmente, caminhando no sentido de alcançar o resultado, com avanços e
recuos:
Quando me chamavam, aquilo que eles escreviam e o que me
apresentavam não era exatamente o mesmo. Por exemplo, os rapazes
h cos 60º
h cos 45º
escreveram 1 =
e 1=
, mas quando me chamaram o
1 − cos 60º
1 − cos 45º
Alexandre disse “h de 60º é maior que o h de 45º”. A afirmação dele não
correspondia ao que estava escrito. A afirmação oral estava certa. (STC13)
Outras vezes, aconteceu o contrário. A interação oral deixou-o apreensivo
relativamente à posterior redação de conclusões. O plano que os alunos definiram para
desenvolver a tarefa mostrava-se frutuoso, embora ao nível da concretização não fossem
capazes de o terminar com sucesso, em grande parte devido a erros de cálculo. José,
junto dos alunos, procurava averiguar se as conclusões eram obtidas a partir de cálculos
efetuados corretamente (trabalho algébrico), ou se seriam simples intuições apoiadas
pela figura que estava desenhada na folha da proposta de trabalho. Desta forma, José
valorizava o domínio das ferramentas matemáticas e apoiava os alunos na concretização
da tarefa. Nas suas palavras, José questionava para distinguir concluir de concluir com
fundamentação:
Eu tenho de ter a certeza que os alunos distinguem a conclusão da
conclusão fundamentada. Se eles cometem erros nos cálculos apresentam a
comparação, mas não sabem fazer a resolução do problema. Tenho de
alertar para esse aspeto. (STC13)
Na intervenção oral, depois de colocar em causa a eficácia matemática dos alunos
em algumas das produções, José pretendeu promover uma maior participação e o
recurso à comunicação matemática para descortinar a origem da apresentação de
algumas propriedades. José aprofundava se o encadeamento dado pelos alunos à
construção de uma dada resposta se encontrava fundamentada em conhecimentos
matemáticos ou pura intuição:
170
Não é possível passar de A para C sem passar por B, eu sei. Mas tenho de
ver isso, os alunos devem explicar-me todos os passos, quer oralmente
quer por escrito. (STC13)
O confronto entre o que alunos escreviam e o que explicavam oralmente tornavase numa técnica a que José recorria para promover a eficácia matemática. José
procurava que os alunos identificassem erros através da explicação oral de resoluções.
José acreditava que ao promover a eficácia matemática contribuía para o
desenvolvimento, nos alunos, da capacidade de auto questionarem-se acerca de alguns
pormenores importantes para algumas respostas, por exemplo o modo como se trabalha
na calculadora gráfica:
2,35 cos1,5564º
, logo R ≈ 0,034 ,
1 − cos1,5564º
e outro aluno que responde R ≈ 1,35 . Eu consigo identificar que o
primeiro trocou na calculadora “Rad” por “Deg”. Aceitava-a como correta
e alertava o aluno para o lapso. Mas, dificilmente, consideraria a 2.ª
resposta como certa. Depois de algumas experiências consegui identificar
que o 2.º aluno escreveu, na calculadora, 2,35 × cos1,5564 ÷ 1 − cos1,5564 .
Nem num caso, nem no outro, são erros graves. (STC13)
Reparem, um aluno que responde R =
Segundo José, por exemplo, o item b1) da T3 não suscitou problemas, porque
substituindo o x por π e resolvendo em ordem a t, ficava demonstrada a igualdade
pretendida. Nesse item, foi evidente que os alunos colocaram em prática procedimentos
que já tinham usado anteriormente, mobilizando-os corretamente (falas 1, 2 e 4).
1.
2.
3.
4.
Magda: Aqui x = π , trocamos o x por π e vamos ver o que dá.
Rute: Senπ faz-se na calculadora!
Magda: Isso é zero, é fácil.
Rute: Então tá resolvido! Agora resolves para t ficar sozinho como
fizemos com aquele do R [tarefa T2]. (A3J)
Esta atitude, do ponto de vista de José, atestava a demonstração de eficácia
matemática:
Afinal eles sabiam de que falam, explicavam o procedimento para resolver
o problema e isso é ser matematicamente eficaz. (STC13)
Para além das raparigas também, para José, os rapazes mostraram que conseguiam
mobilizar eficazmente aprendizagens adquiridas anteriormente (falas 1, 3 e 5). No
entanto, no exemplo da tarefa b2) da T3, José questionou os alunos para compreender o
que dominavam das estratégias a aplicar. José interrogava para aprofundar até que ponto
171
o aluno dominava aquilo que afirmava (fala 2) e repostava com o seu entendimento do
que deveria ser a resposta (fala 4):
1. Alexandre: Na resposta incluímos aquelas coisas todas, as
obrigatórias?
2. José: Quais?
3. Alexandre: Aquelas que são habituais nas resoluções gráficas!
4. José: Se queres dar uma resposta completa, deves incluir tudo.
5. Alexandre: Só mais uma coisa, eu já tenho a solução e já verifiquei que
pertence a [0,2π [ , e agora vou verificar se é solução da equação, tenho
de incluir isso na minha resposta? (A3J)
O par Alexandre e Davide comentaram, algumas vezes, que já tinham realizado
itens semelhantes aos apresentados e por isso tornava-os de resolução mais acessível.
Estas evidências não eram suficientes para José. Para além das afirmações dos alunos,
José procurava saber como concretizavam os seus planos de resolução do problema.
Mas, a confiança dos alunos nas suas próprias capacidades sugere que a eficácia
matemática e o desenvolvimento da capacidade de autorregulação da aprendizagem
matemática estão associados:
Davide: Vamos a este, parece aquele do outro dia para s!
Alexandre: Sim, recordo-me. Fizemos θ =
π
e deixou-se s = 1 − cos
3
Davide: Claro! Destes podem vir muitos, já não falho!
José: Vá, quero ver como fazem. (A3J)
π
3
.
Este episódio, no final do módulo de trigonometria, mostrou a José a confiança
nas competências matemáticas próprias que os alunos foram ganhando ao longo do
tema. José referiu-o fazendo o paralelo com a avaliação do comportamento dos alunos e
da postura relativamente à Matemática:
Estes alunos têm vindo a interessar-se mais pela Matemática, e estas
questões que dominam dão-lhes confiança para participarem nas aulas e
efetuarem as atividades. No ano passado, era mais difícil. (STC15)
Autoavaliação. O questionamento, para incentivar a autoavaliação do trabalho
realizado na tarefa T2 foi identificado na ação de José, em particular quando deu pistas
para identificarem os erros:
Davide: São os cálculos, professor?
José: Como é que efetuaram a passagem de membros?
Alexandre: Eu acho que foi muito rápido, mas deu certo!
José: Recordem a passagem de membro.
Davide: Vamos ver…mas, este caminho leva-nos onde queríamos chegar!
(A2J)
172
No momento em que José percebeu que os erros de cálculo, cometidos pelo
Davide e Alexandre, também ocorriam com outros alunos, apelou à verificação dos
cálculos: “Agora, 10 minutos para toda a gente verificar as contas e corrigir!” (A2J).
A generalidade dos alunos da turma P acedeu ao pedido de José, começando a
fazer a verificação solicitada. José apoiou os alunos nessa verificação, questionando,
dando pistas, para verificarem os sinais dos termos que tinham mudado de membro,
averiguar da razoabilidade das soluções encontradas, etc. Posteriormente, José
identificou este episódio como sendo um exemplo de dar a oportunidade ao aluno de
corrigir o próprio trabalho, procurando promover a autoavaliação:
Quando lhes pedi para verificarem as contas, compreenderam que o teriam
de fazer para continuar a discutir a resolução da tarefa. Mas, na minha
opinião foi muito mais do que isso. Eu acho que, da próxima vez, meia
dúzia de alunos vai verificar tudo antes da discussão, e para mim isto foi
uma forma de promover a autoavaliação. (José, STC14)
No item b2) da T3, ficaram registados momentos que mostram a planificação,
seguida de controlo e verificação que os alunos fazem dos seus próprios trabalhos. O
Alexandre, a dado momento questionou José acerca da necessidade de incluir na
resposta a janela de visualização, as ferramentas da calculadora utilizadas, e as
expressões introduzidas no modo gráfico da calculadora, e da validade da solução
encontrada:
Alexandre: Deve ser o procedimento gráfico para esta tarefa?
José: Porquê?
Alexandre: Diz, através das capacidades gráficas!
José: Como o resolverias sem a calculadora gráfica?
Alexandre: Pois…tenho de seguir o meu plano inicial, a calculadora!
José: Pode ser, mas que plano é esse?
Alexandre: Pensar, concretizar e avaliar: introduzir as expressões na
calculadora, usar as ferramentas, encontrar a solução e ver se está tudo
bem e se responde ao problema! (A3J)
Através desta solicitação, Alexandre mostrou dominar alguns aspetos que
permitem fazer a triangulação de resultados. E, ao colocar em causa a aceitação de uma
solução sem a referida triangulação, mostrou maturidade ao nível do desenvolvimento
da capacidade de autoavaliação para a aprendizagem matemática.
Quando os alunos fazem ajustes ao desenvolvimento dos seus trabalhos, também,
se identificam estratégias de autoavaliação. Na tarefa T4, item 2.1, Rute desenvolveu o
173
seu trabalho a partir de casos particulares e a dado momento, reajustou esse plano,
passando a consultar o caderno e concretizando uma resolução semelhante à que se
encontrava escrita no caderno:
Rute: Temos de fazer algumas tentativas, com valores concretos e ver o
que dá.
Magda: Será isso que o professor quer?
Rute (enquanto consulta o caderno): São tentativas.
(…)
Rute: Encontrei. Eu sabia que já tinha feito. Era este caminho que eu
queria encontrar.
Magda: Acho que vou chamar o professor e desenhar o triângulo com 60º
para calcular a área.
Rute: Ok. Eu faço por aqui. Vou usar aquilo que mostrámos em 1. (A5J)
Quando comparado com o questionamento levado a cabo por José, este
autoquestionamento do aluno refletiu-se na execução das tarefas matemáticas e
contribui para que o aluno valorize o trabalho realizado no dia-a-dia:
Lembro-me do episódio da Magda e da Rute. Seguiram processos
diferentes, embora naquele momento me parecesse que a Rute já tinha um
plano definido à partida e a procura no caderno apenas a ajudou a seguir
esse caminho, reajustando o processo de resolução. (STC 17)
José considerou, também, que as questões mostre que favoreceram o
envolvimento dos alunos para o uso de estratégias próprias e para a autoavaliação do
trabalho que vão realizando. Efetivamente verificou-se que nesse tipo de itens os alunos
definiram planos de resolução com maior acuidade, procurando estratégias no caderno e
ligando-os com itens feitos anteriormente, e reajustaram a sua execução em função do
resultado a que pretendiam chegar. Mas, José referiu-se, também, à utilidade destes
itens pela informação que forneciam para a implementação de estratégias de avaliação
formativa:
Os alunos nestes itens fazem e controlam o que fazem. Têm lá o resultado
a que se pretende chegar, e por isso vivem a ilusão de que é fácil lá chegar.
Mas, estes itens servem-me, essencialmente, para identificar os erros e as
dificuldades dos alunos para os ajudar. (STC 17)
Síntese. A eficácia matemática caracteriza as práticas avaliativas que procuram
promover a autorregulação e é visível pelo desempenho dos alunos nas tarefas
matemáticas com que são confrontados. Na promoção da capacidade de autorregulação
da aprendizagem matemática houve um compromisso assumido por José com a
promoção da eficácia nas tarefas matemáticas dos três temas (Trigonometria, Geometria
174
e Funções). Na procura do domínio de uma dada situação ou de alcançar um dado
resultado, predomina em Trigonometria a promoção feita por José para o empenho
através da valorização da eficácia matemática, procurando que os alunos confrontassem
os registos escritos com as explicações orais, questionando o domínio dos
conhecimentos registados, e ligando o trabalho realizado com outros trabalhos
anteriores. Os alunos, frequentemente, reconstruiram as suas respostas para corrigir
erros e dificuldades em Geometria e Funções, mas inicialmente a intervenção de José
foi mais visível. Foi, igualmente, frequente a ultrapassagem de dificuldades ou a
primeira abordagem a um problema através da ancoragem desse problema como outro
anteriormente realizado. A demonstração de uma crescente eficácia dos alunos,
comprovada pela abordagem feita às tarefas e pela opinião de José durante o
questionamento em sala de aula, permitiu também uma maior motivação dos alunos
para a completude das tarefas. Para a valorização destes aspetos, contribuiu o apelo de
José, verificado nas tarefas iniciais, ao confronto entre os registos escritos e as
explicações orais, o questionamento sobre conhecimentos, propriedades e outros
conteúdos matemáticos e o estabelecimento de âncoras com trabalhos anteriores. Por
isso, o questionamento foi menos frequente a partir da tarefa T4 o que evidência a
assunção da capacidade de autorregulação nas tarefas.
No quadro seguinte, encontram-se sintetizados os tipos de intervenção de José nos
dois tópicos para promover a autorregulação do desempenho, através da interação com
os alunos.
QUADRO 21: TIPO(S) DE INTERVENÇÃO DE
DESEMPENHO EM IP-A
Tópicos para a autorregulação
do desempenho
Eficácia Matemática
Autoavaliação
JOSÉ
PARA A AUTORREGULAÇÃO DO
Tipo(s) de intervenção (Tarefa)
solicita o confronto dos registos escritos com a
explicação oral (T2)
questiona para averiguar do nível de domínio
matemático (T2)
valoriza a comunicação matemática, oral (T2)
recorda trabalhos anteriores, âncoras (T3)
promove a completude das respostas (T2; T3)
dá pistas para a identificação de erros (T2)
apela à verificação de cálculos ou da razoabilidade de
um resultado (T2; T3)
aceita a reformulação do trabalho (T4)
seleciona
tarefas
suscetíveis
de
abordagens
diversificadas (T2; T3; T4)
175
Depois da aula
Na sessão de trabalho de natureza colaborativa imediatamente após cada uma das
tarefas propostas, o grupo refletiu em conjunto sobre alguns aspetos que haviam
caracterizado a aula ou as aulas.
Balanço. José destacou os progressos conseguidos pelos alunos e a promoção da
autoavaliação como dois aspetos caracterizadores da sua ação. A propósito da tarefa T2,
José realçou a evolução dos alunos a partir da ajuda dada na seleção da informação
contida no enunciado. Esse impulso, segundo José, foi fundamental para dar resposta
aos primeiros itens da tarefa e serviu, também, de motivação para a concretização da
tarefa na sua totalidade:
Tive de ajudá-los logo no início. Mas, acho que fiz bem! Com aquela
ajuda, eles progrediram e concretizaram as primeiras questões. Também,
lhes serviu de motivação. Não foi uma ajuda muito grande, mas orientouos para irem até ao fim. (STC13)
José, também, referiu que os alunos apresentam estratégias de resolução que
resultam de conhecimentos adquiridos anteriormente. Na sua opinião, essas estratégias
não são previsíveis, mas os alunos aplicam-nas com confiança revelando domínio
desses conhecimentos:
A Magda e a Rute responderam ao item 3. por um processo que eu não
esperava, mas correto. É assim! Os alunos aplicam métodos não esperados
e temos de validá-los. Estas alunas sabiam o que faziam e tinham muita
confiança nisso. (STC13)
José relembrou o episódio em que constatou uma estratégia seguida pelas alunas
que não tinha sido por si prevista, não a validou e demorou algum tempo a fazê-lo.
Procurei aprofundar o motivo que levou José a não validar imediatamente o processo
usado pelas alunas, ao que me referiu a necessidade de verificar até que ponto as alunas
conseguiam manter a convicção na resolução apresentada e compreender os
conhecimentos que dominavam:
Eu: Não confirmaste a resolução da Magda e da Rute?
José: Não! Elas estavam confiantes de que tinham feito bem…mas, até que
ponto não iriam desistir?
Maria: Mas, estava correta?
José: Sim, estava. Mas, deixei incógnito durante algum tempo para que
elas refletissem mais um pouco sobre a validade da resolução. Isso
surpreendeu-me. Elas sabiam o que faziam e sabiam fazer bem. (STC13)
176
O desenvolvimento da discussão em torno da não validação da estratégia das
alunas, permitiu compreender que José, intencionalmente, verificava a capacidade de
autoavaliação das alunas, relativamente à resolução daquele item:
Maria: Mas elas explicaram-te como tinham feito?
José: Sim. E eu queria ver até que ponto conseguiam ir.
Eu: Mas, que querias ver concretamente? Quando é que ficaste satisfeito?
José: Queria ver se tinham confiança suficiente para não abandonarem
aquela resolução. Saber que apresentavam estratégias de verificação de
que a resolução estava correta e apresentavam uma argumentação
suficiente para me convencer. (STC13)
Na tarefa T3 não apareceram dificuldades de maior, segundo José. Mas, refletiu
sobre o questionamento dos alunos acerca da expressão “Sem recorrer à calculadora”.
Para José, os alunos revelaram uma maior atenção aquando da leitura da proposta de
trabalho embora tenham solicitado a confirmação do professor em alguns aspetos:
Eles estão mais atentos, acharam estranha a referência ao não uso da
calculadora. Mas, chamam-me constantemente. Desta vez, nesta tarefa,
talvez menos do que na anterior. (STC15)
Relativamente à confusão feita por Magda e Rute acerca da medição do ângulo x,
José salientou o encaminhamento que fez para as alunas relerem o enunciado da tarefa e
considerou que essa orientação foi crucial para a concretização dessa tarefa e
provavelmente para as seguintes:
Disse-lhes para lerem de novo, e fizeram-no! Essa ajuda foi importante
para tomarem atenção ao texto das propostas, mas o alerta de visualização
da imagem também ajudou, igualmente. Para elas, foi mais do que uma
simples ajuda. Alunas atentas como elas, de certeza, ou quase de certeza,
que em situações futuras terão mais cuidado com o enunciado e as figuras
associadas. (STC15)
Na tarefa T3 foi, também, referida por José a valorização da capacidade de
autoavaliação por parte dos alunos, durante a concretização. José considerou que os
alunos apresentaram mecanismos de autocontrolo na resolução do item b1):
Usaram processos que tinham, anteriormente, usado, com avanços e recuos
é certo! Mas fizeram-no com sucesso, e com isso mostraram o domínio da
trigonometria e uma postura de confiança em relação à resposta dada.
(STC15)
Para a tarefa T4, José, posteriormente, referiu-se à necessidade de dar uma
explicação global, para todos os alunos da turma, para que estes pudessem compreender
177
a variação do ângulo e iniciar a exploração da tarefa. A não compreensão do enunciado
da tarefa por parte da quase totalidade da turma perturbou-o e levou-o a agir:
A minha explicação foi inevitável. Havia muitos alunos a não perceberem
o que acontecia à medida que o ângulo se alterava. Isso estava a perturbarme, e via o tempo a passar, sem que os alunos avançassem na tarefa. Tive
mesmo de dar aquela explicação. (ST17)
José refere-se à necessidade dos alunos avançarem na tarefa e de não perderem
muito tempo à procura de um caminho ou de uma estratégia para o resolverem. Este
autocontrolo da execução da tarefa foi salientado quando José se referiu, também, à
pesquisa que o par Davide e Alexandre efetuaram no caderno diário para encontrarem a
solução ao problema proposto na tarefa T4:
Eles (Davide e Alexandre) não sabiam o que fazer mas sabiam onde
podiam encontrar o caminho para resolver o problema. Começaram a
procurar no caderno diário para não perderem tempo e avançarem porque
tinha resolvido um exercício parecido umas aulas antes. (STC17)
Este episódio serviu para introduzir, novamente, o tema da autoavaliação. José
considerou que os referidos alunos, para além de gerirem a própria aprendizagem,
sabiam onde encontrar o processo de resolução adequado ao problema e executaram-no
com sucesso. Assim, a discussão do grupo de trabalho passou por um aprofundamento
acerca da ação daquele par de alunos:
José: Eles sabiam onde encontrar o processo de resolução e isso mostra a
regulação da própria aprendizagem.
Eu: Mas essas eram atitudes habituais?
José: Não. Pelo menos eu nunca tinha reparado que eles [os alunos]
levavam tão a sério o apresamento que lhes dava.
Maria: O item que tinha feito antes, que estava no caderno, era igual?
José: Não, não. Mas, o processo era parecido.
Eu: Achas que identificaram o processo e por isso usaram o caderno.
Maria: Também pode ser uma prática habitual, mas já disseste que não era.
José: Acho que eles sabiam como fazer, principalmente o Alexandre. O
caderno foi apenas a confirmação de que o processo seguido era correto.
(STC17)
No caso da tarefa T7, José referiu a reação dos alunos relativamente às
expectativas de concretização da tarefa. Num primeiro olhar, os alunos consideraram a
tarefa acessível mas, depois de lerem e começarem a trabalhar na resolução do problema
que era proposto, sentiram dificuldades de seleção e tratamento dos dados apresentados:
Eu estava admirado. Sim, admirado é a palavra exata. Os alunos
apresentavam-se muito confiantes para resolvem este problema. Mas,
178
comecei a ver que não conseguiam selecionar e tratar os dados fornecidos.
(STC23)
José ajudou os alunos salientando os aspetos em que apresentavam dificuldades,
articulando esses dados e procurando a interpretação dos mesmos. Essa ajuda foi
determinante para o prosseguimento, principalmente a organização dos dados a usar no
processo de resolução:
Eles sabiam o processo de resolução e tinham consciência dos dados
apresentados necessitarem de tratamento antes da utilização da
calculadora, mas não sabiam que fazer. Principalmente as duas raparigas.
(STC23)
Os alunos conheciam o processo de resolução da tarefa através do uso da
calculadora e mostravam saber que os dados que constavam do enunciado proposto
careciam de tratamento para serem usados, o que revelara autocontrolo da própria
aprendizagem. A convicção na capacidade de responder a itens com a calculadora foi
salientada por José como uma capacidade adquirida pelos alunos. Mas, também,
reforçou o facto de os alunos procurarem responder à composição sem a ajuda do
professor:
Eles [os alunos] apresentam-se mais autónomos. Têm dificuldades nos
dados, como aconteceu aqui, mas sabiam o processo de resolução através
da calculadora e tinham consciência dos dados a introduzir na calculadora.
Para a composição, também não me solicitaram. Só pode ser fruto da
confiança que têm desenvolvido nas suas capacidades, aprendem fazendo.
(STC23)
Dificuldades. Para José, as dificuldades apresentadas no domínio de
conhecimentos e a não compreensão da informação veiculada num pequeno texto é um
obstáculo à autorregulação, apesar de os alunos, depois de ajudados, mostrarem
facilidade em selecionar as estratégias adequadas à resolução de um problema. O foco
esteve, para José, em encontrar um campo de entendimento entre professor e aluno, para
que o aluno compreenda o questionamento do professor, quer seja veiculado pelo
enunciado de uma tarefa quer seja oral:
[Os alunos] quando leem os enunciados não conseguem selecionar a
informação, às vezes perdem-se no texto, outras nem leem a informação
dada e isso dificulta a abordagem de estratégia de autorregulação. Não
conseguem mobilizar os conhecimentos que têm porque não compreendem
os enunciados. As minhas questões, por vezes, não fazem sentido para o
aluno. (José, STC15)
179
A dificuldade de colocar questões percetíveis aos alunos, segundo José, espelhouse mais veementemente nos itens que correspondem a tarefas de resolução de
problemas, tarefas T2 e T3.
No caso dos exercícios, a interpretação pelos alunos foi mais fácil e José teve
facilidade em questionar a partir da identificação de erros e dificuldades. No entanto,
nos exercícios, verificou-se um fosso maior entre as perceções de facilidade de
resolução de José e dos alunos. José referiu isso mesmo nas tarefas T4 e T7:
Os exercícios são acessíveis para eles, digo eu. Comparam as expressões e
a partir daí respondem. Aplicam propriedades e regras e avançam…É mais
fácil perceber o que é necessário fazer, pelo contexto e pela forma como é
apresentado. Os problemas são sempre complicados, muito texto, perdemse na seleção de dados, ou não identificam o que é pedido, e têm
dificuldade em encontrar o caminho certo. Mas, às vezes há surpresas, nem
sempre o que eu espero é a verdade. (E2J)
Embora a dificuldade dos alunos esteja relacionada com o domínio da língua
materna, José considera-a um aspeto transversal à generalidade das disciplinas:
Isto é geral. É em Português, Matemática, Filosofia, etc., os outros colegas
também se queixam. Em Matemática torna-se mais grave porque cada vez
fazemos mais problemas e mais tarefas abertas e isso requer capacidades
adicionais, a compreensão. (E2J)
Um episódio salientado na T4 foi a dificuldade de José em compreender a
explicação de Alexandre para o raio. José demorou algum tempo a aceitar que o aluno
conhecia os ternos pitagóricos. Mas, de facto o aluno tinha razão:
Demorei a aceitar, mas era verdade. Se os catetos são 3 e 4, a hipotenusa
só pode ser igual a 5. Não esperava que o Alexandre soubesse desse
exemplo. Mas, ele é correto e o Alexandre mobilizou quando fez falta. O
que é ótimo. (STC20)
Segundo José, a falta de compreensão dos alunos levou-os à falta de empenho na
procura de resposta às questões enunciadas, o que naturalmente afetou o
prosseguimento do aluno na aprendizagem. Essa dificuldade, segundo José, poderia ser
ultrapassada ao despertar o interesse do aluno por uma tarefa. Segundo José, os alunos
mais interessados chamavam o professor com mais frequência e procuraram e
partilharam informação nos grupos de trabalho em que estão incluídos, evoluindo na
aprendizagem a partir das suas próprias ações:
Os alunos empenhados desenrascam-se sempre. Chamam-me, perguntam
aos colegas, interagem, etc. São os que participam mais e os trabalham
180
melhor em grupo, porque se apoiam mutuamente. Estes alunos evoluem
mais por isso, e evoluem por si. (José, E2J)
Para José, a falta de empenho foi assim um aspeto que pode tornar-se numa
dificuldade para o professor no desenvolvimento da capacidade de autorregulação da
aprendizagem matemática e, esse fator revela-se preponderante em alguns alunos:
Os alunos com agregados familiares desorganizados têm mais dificuldades
em matemática, desculpem, é a minha opinião. São menos empenhados e
isso afeta a forma como se envolvem nas tarefas, como respondem e,
também, participam menos no trabalho de grupo. (José, E2J)
Posteriormente, também foram discutidas as dificuldades apresentadas pelos
alunos relativamente aos conteúdos matemáticos tratados nas aulas assistidas. Essas
dificuldades precisaram da intervenção de José para que os alunos pudessem continuar o
trabalho. A necessidade de intervir ao nível de pré-requisitos de trigonometria desviou a
atenção de José de aspetos planificados para o questionamento. José refere que teve
dificuldade em continuar com a planificação prevista na tarefa T2 por os alunos
apresentavam
dificuldades
não
esperadas,
como
seja
manipular
as
razões
trigonométricas em problemas da vida real, e obrigou-se a intervir cedendo à perspetiva
pré-estabelecida de continuar a não identificar os erros:
Nas aulas fizemos vários exercícios com as razões trigonométricas, mas
este era mais complicado. Também, é verdade que este foi feito por eles,
com a minha ajuda, enquanto os outros fiz eu com a ajuda deles [os
alunos]. Tive de ajudar, é sabido. As dificuldades nas razões
trigonométricas nãos os deixavam continuar. (José, STC14)
José referiu ainda que a falta de destreza na manipulação das fórmulas
trigonométricas levou-o a pedir a todos os alunos para verificar as contas. Tratava-se de
erros de cálculo, mas afetam o entendimento geral do que estava a ser demonstrado:
Não podia fazer de outra maneira! Eles não avançavam e eu estava a ficar
nervoso porque aquilo já tinha sido tratado nas aulas, mas a manipulação
de fórmulas trigonométricas e os cálculos associados são sempre uma
grande complicação. (STC13)
Síntese. No quadro seguinte, encontram-se sintetizadas as dificuldades de
intervenção de José, e as ações tomadas para as ultrapassar.
QUADRO 22: DIFICULDADES QUE AFETARAM A PRÁTICA IP-A (JOSÉ)
Dificuldade
Compreensão do
Ação do professor
Desenvolve um campo de
181
Objetivo
Aumentar a compreensão do
enunciado na
resolução de
problemas
entendimento professor -aluno
enunciado da tarefa
Compreensão do
enunciado nos
exercícios
Questiona a partir dos erros e
das dificuldades dos alunos
Diminuir o fosso entre as
perceções de facilidade da
resolução do professor e a dos
alunos
Falta de empenho dos
alunos
Promove a procura de ajuda de Despertar o interesse pela
pares, ou do professor, para a
concretização através de
concretização das tarefas
enunciados motivadores
Escolha da estratégia
adequada ao
desenvolvimento
Mantém os níveis de
complexidade das tarefas e
manter a organização dos
grupos de trabalho
Não desmotivar os alunos, em
particular aqueles que têm
problemas de ordem familiar
Domínio dos
conteúdos matemáticos
Recorda pré-requisitos
Corrige erros e identificar
dificuldades
Dar continuidade ao trabalho para
finalizar a tarefa
O relatório escrito em duas fases (RE)
O relatório escrito em duas fases (RE) foi uma prática avaliativa para promover a
autorregulação da aprendizagem observada em quatro tarefas, o que corresponde a oito
aulas.
Antes da aula
José apresentou-se nas sessões em que foram discutidas as formas de
concretização do relatório escrito em duas fases participativo mas pouco convicto. A
prática RE não fazia parte da prática corrente de José. Foi, por si, experimentada pela
primeira vez no contexto desta investigação.
Intervenção avaliativa do professor. O relatório escrito em duas fases constituiu
uma novidade para os casos deste estudo. Em particular, José apresentou-se apreensivo
com a implementação desta forma de trabalhar com os alunos. Embora, segundo José,
as razões pedagógicas e o desenvolvimento profissional sejam justificações para a sua
inclusão:
Reconheço que não dou muita importância à comunicação escrita. Pode
ser uma oportunidade para mim. Aprender. É isso, para aprender estou
sempre disponível e isso também é importante para os alunos, é um aspeto
que deve ser valorizado e tido em conta nas avaliações. (STC10)
182
Um aspeto aliciante para José, no relatório em duas fases, foi precisamente o facto
de poder dar feedback aos alunos antes do relatório estar concluído. Colocar uma
proposta de trabalho numa aula, dar feedback escrito ao trabalho realizado pelos alunos
e propor-lhes a conclusão desse trabalho, em aula, a partir do feedback dado, agradou a
José e apresentou-se como sendo uma modalidade de execução de relatório escrito com
potencialidades para promover o desenvolvimento da autorregulação da aprendizagem:
Gosto do facto de fazerem a primeira fase e a segunda em aula e gosto de
poder dar a minha opinião pelo meio. Essa opinião pode ser muito
importante para os alunos, não só para esse trabalho mas, também, para
outros que venham a ser concretizados. (STC10)
À semelhança do que aparece relatado no texto Avaliar, ensinar e aprender:
dimensões pedagógicas distintas nas aulas de Matemática?, da minha autoria e de
Sílvia Semana (2009), José mostrou-se muito sensível à necessidade de organizar um
guião para a elaboração dos relatórios e de discutir os critérios de avaliação desses
relatórios com os alunos:
Temos que esclarecer junto dos alunos o que queremos que façam, talvez
um guião como o desta professora resolva isso, e os critérios de avaliação?
Os alunos vão perguntar-me: o que conta é o 1.º trabalho ou o 2.º? Tenho
que ter resposta para isso. (José, STC10)
José estava preocupado com a vertente formativa e sumativa associadas nesses
relatórios. Para José, a perspetiva do aluno ao entregar um trabalho escrito ao professor
é que esse trabalho vai ser pontuado com uma classificação. Mas, para este estudo o
foco situava-se na forma e conteúdo do feedback dado a esse trabalho, para promover o
desenvolvimento da autorregulação da aprendizagem matemática dos alunos:
Quem entrega um trabalho escrito ao professor espera sempre uma nota.
Na escola é assim, não se trabalha para aprender mais trabalha-se para
obter melhores classificações. É a opinião dos alunos e pode ser uma
forma de se empenharem no trabalho. (José, STC10)
O trabalho colaborativo do grupo do estudo passou por encontrar um guião de
elaboração de relatórios escritos que satisfizesse o pretendido pelos professores e que
fosse fácil de compreender pelos alunos e por definir critérios de avaliação que
respondessem ao preconizado no estudo e às expectativas dos alunos. Relativamente ao
guião, foi analisado o que consta do texto Semana e Santos (2008) (anexo 13). Depois,
o grupo decidiu entregar um guião na primeira proposta de relatório em duas fases,
menos esmiuçado por se tratar de alunos do ensino secundário e em conjunto com a
183
proposta da tarefa. Sendo feita a sua explicação oral na aula, e a partir daí seria usado o
mesmo guião em todas as tarefas. A decisão passou pela necessidade dos alunos se
apropriarem do guião do relatório e pela abrangência necessária para a possibilidade de
ser usado em todas as tarefas:
José: O mesmo guião em todas as tarefas é um aspeto importante, senão é
difícil a apropriação dos alunos aos documentos.
Maria: O guião pode ser o mesmo, mas deve ser claro e abrangente. Os
alunos devem compreender, sem dúvidas, o que escrever no relatório e, se
vamos usar o mesmo em todas as tarefas, tem de ser simples e concreto.
(STC11)
O guião a apresentar os alunos ficou definido da seguinte forma:
introdução (onde clarificam qual o objetivo da tarefa);
desenvolvimento (onde descrevem a atividade desenvolvida e opções
tomadas);
conclusão (onde explicitam os resultados obtidos). (STC11)
Para a valorização do trabalho matemático realizado nos relatórios de duas fases,
entendemos que o feedback devia ajudar sempre os alunos a progredir, identificando o
que estava errado, o que estava certo e dando pistas para que os alunos pudessem
progredir ou aprofundar os seus trabalhos, em função do que tinham feito. Este
entendimento passou por considerar que o objetivo da realização dos relatórios em duas
fases seria promover a autorregulação:
José: Se são duas fases, parece-se que a segunda deve ser uma extensão da
primeira. Melhoria?
Maria: Nem sempre. Podem não avançar nada de significativo da 1.ª para
2.ª.
José: É verdade. Mas, em teoria, parto do princípio que vou ajudar o aluno
a melhor a 1.ª produção para chegar à 2.ª.
Maria: Sim, sim …entenda-se que a 2.ª parte é a possibilidade de
melhorar.
José: Claro. (STC10)
José perspetivava a segunda fase do relatório como uma extensão da primeira e,
por esse motivo, defendeu que deveria existir uma classificação do relatório, feita
apenas no final da segunda fase. Mas, por essa opinião não ser coincidente entre os dois
professores, acabei por propor que fosse adotada, no final de cada uma das fases, a
terminologia Rubrica para Resolução de Problemas de Matemática não estruturados,
retirado de California CAP math report (1989):
184
QUADRO 23: RUBRICA
PARA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE MATEMÁTICA NÃO
ESTRUTURADOS
Competência demonstrada
6 – Resposta exemplar
Dá uma resposta completa com uma explicação clara,
coerente, lógica e elegante; inclui figuras e esquemas para
exemplificar; comunica eficazmente; mostra compreensão
das ideias e processos matemáticos do problema; identifica
todos os elementos importantes do problema; envolve
exemplos e contraexemplos; apresenta argumentos fortes
para justificar.
5 – Resposta competente
Dá uma resposta completa com explicações claras e
razoáveis; pode incluir um esquema apropriado; comunica
eficazmente; mostra compreensão das ideias e processos do
problema; identifica os elementos mais importantes do
problema; apresenta argumentos sólidos para justificar.
Resposta Satisfatória
4 – Falhas Mínimas, mas
Satisfatório
3 – Falhas Graves, mas
Quase Satisfatório
Completa o problema satisfatoriamente, mas a explicação é
confusa; a argumentação é incompleta; o esquema é
inapropriado ou pouco claro; compreende as ideias
matemáticas subjacentes; usa as ideias eficazmente
Inicia o problema eficazmente mas falha a conclusão ou
omite partes significativas; falha na evidência de
compreensão cabal das ideias e processos matemáticos;
comete erros de cálculo graves; usa incorretamente ou não
usa os termos matemáticos; a resposta reflete uma estratégia
inapropriada de resolução do problema.
Resposta Inadequada
2 – Inicia, mas falha a
resolução do problema
A explicação não é compreensível; o esquema é pouco
claro; não mostra compreensão da situação problemática;
comete erros de cálculo muito graves.
1 - Incapaz de iniciar
eficazmente
As palavras usadas não refletem o problema; os esquemas
não representam a situação problemática; falha na indicação
da informação apropriada.
0 – Não inicia
Esta proposta agradou a ambos os professores. Em particular, foi vista por José
como uma estratégia de avaliação sem classificação numérica. Para José, a avaliação da
resposta dos alunos através de um nível de desempenho colocá-los-á num nível e
serviria de feedback aos trabalhos seguintes e às expectativas dos alunos irem
progredindo de nível ou de se manterem nos níveis mais elevados:
Muito bom, gostei mesmo muito. É uma avaliação diferente. Assim posso
dar resposta aos que procuram progredir e também tenho de incentivar os
185
melhores a manterem-se nos níveis mais elevados. Desta forma, os alunos
não vão pedir a nota. Por que a nota está no nível em que foi enquadrada a
resposta. (José, STC12)
Seleção da tarefa. Para José, as tarefas adequadas seriam as que aceitassem
extensões e exigissem trabalho matemático não elementar., de modo a abranger os
alunos que realizam as tarefas matemáticas na sala de aula e, também, proporcionar aos
outros um motivo que valesse a pena o esforço na segunda fase:
Alguns alunos acham que está tubo bem à 1.ª e ponto final. Para esses a
tarefa deve permitir que eu coloque novas questões. Aos mais fracos devo
ajudar a continuar, por isso, o objetivo deve ser concretizar algo que eles
sabem que não é fácil. (STC11)
Segundo José, a tarefa T2, Eratóstenes, adequa-se à realização do RE por permitir
os dois aspetos referidos. José considera que pode colocar novas questões aos alunos
entre a 1.ª e a 2.ª fase do relatório pela inclusão do item 4. (compara os dois resultados
anteriores) e que, quer o item 1., quer o item 4., não são elementares e exigem trabalho
matemático de natureza superior:
Nesta tarefa há questões mais complicadas, a 1. e a comparação. Isso é
bom. Poderei dar feedback para progredirem e identificar o que fizeram
bem feito e, para os outros, colocar algumas questões que conduzam à
resposta certa. (STC12)
José apresentou-se, sempre, consciente da necessidade de escolher tarefas que
permitissem um feedback eficaz, pela importância que isso poderia apresentar para o
aluno na concretização desse trabalho e nos seguintes. Embora não tenha querido
adiantar possíveis tipos de feedback, José destacou a importância do rigor e da
adequação do feedback:
O feedback vale para uma resposta, outra diferente terá outro tipo de
feedback. Mas, o aluno vai olhar para o feedback como uma informação
do professor que vale para aquela e para outras tarefas, por isso ele tem de
ser bem pensado e adequado … não sei dar exemplos! (STC12)
Relativamente à tarefa T2, José esperava que os alunos apresentassem
dificuldades na parte escrita do item b). Segundo José, os alunos não estão habituados a
organizar a resposta a itens que requeira a interpretação (b1: interprete este resultado no
contexto da situação escrita). Também, o item b2) foi alvo de reparos da parte de José.
Considerou que os alunos poderão não ter dificuldade em responder à pergunta, mas
186
poderão ter dificuldade em organizar a resposta. Tal situação serviria de pretexto para
ajudar os alunos a saberem responder a perguntas com a calculadora:
Os itens de interpretação são sempre complicados, obrigam a escrever. Os
de calculadora também são complicados, não pela resposta em si, mas pela
organização do procedimento para obter a resposta. Posso aproveitar esta
tarefa para ajudar a construir essas respostas. Eles precisam! (STC12)
A tarefa T3, para José, apresenta potencialidades para aplicar alguns dos conceitos
aprendidos em trigonometria. Sendo uma tarefa complicada, refere José, estabelece uma
ligação entre o aprendido nas aulas e a realidade o que pode resultar numa motivação
adicional para os alunos:
Estão sempre a perguntar-me para que é que isto serve? Aqui está, espero
que fiquem motivados é uma aplicação do que têm feito nas aulas.
(STC13)
A forma como as perguntas estão formuladas foi outro aspeto destacado por José
na T3. José considera que o trabalho matemático que os alunos têm de realizar não é
elementar mas, na sua opinião, a forma como as questões estão formuladas, diretamente,
determine, pode ajudar os alunos a compreenderem mais facilmente o trabalho que têm
de realizar. Também, pensa que identifica onde poderão residir as principais
dificuldades dos alunos ao nível do trabalho matemático que têm de fazer para
responder ao problema:
Perguntar diretamente determine, ajuda os
alunos a resolverem a questão com
sucesso e também me pode ajudar no
feedback a dar. Nesta, acho que sei
concretamente que tenho de ajudar a nível
matemático…a questão parece fácil, mas
não é elementar. O item a) vai ser
complicado, eles [os alunos] estão
habituados a que o ângulo seja igual a
zero do lado direito. (José, STC13)
A interpretação foi referida por José como uma oportunidade dos alunos
desenvolverem a capacidade de comunicação. A produção de um texto no contexto da
situação descrita pode, segundo José, facilitar a compreensão do trabalho matemático e
desenvolver a comunicação matemática. Sem esperar que os alunos façam composições
muito elaboradas, José admitia que não é um tipo de trabalho com que os seus alunos
sejam frequentemente confrontados em aula, por isso terão algumas dificuldades:
187
Sei que é importante para a relacionar a matemática e a comunicação
matemática, mas não o faço com frequência. É uma oportunidade para os
alunos, embora espero que tenham algumas dificuldades na escrita … terei
muito que dizer neste item…mas o feedback é para isso mesmo, melhorar.
(STC13)
O item b2) foi referido pela necessidade de usar a calculadora. A pergunta é
bastante orientada, contudo José prevê que os alunos se limitem a dar a resposta sem
explicarem como a obtiveram. Segundo José, é habitual os alunos apresentarem apenas
o resultado quando recorrem à calculadora gráfica pelo que ainda prevê ter de realizar
algum trabalho com os alunos:
Com a calculadora é sempre o mesmo, apresentam apenas o resultado por
muto que insista. Vamos ver se este ano mudam de atitude, espero que
estas tarefas sirvam, também, para eles [os alunos] compreenderem que a
explicação da estratégia é igualmente importante. (STC13)
A tarefa T4, Círculo trigonométrico, apresenta, segundo José, dois itens que
requerem um trabalho não elementar por parte dos alunos, o item 1. e o item 2.2.. José
justificou essa alegação por serem itens que, no momento de recolha de dados, os
alunos ainda não tinham sido confrontados com tarefas semelhantes a esta. Acrescenta,
também, que os alunos devem realizar este tipo de tarefas em aula para que se possam
ser apoiados pelo professor:
Pode ser complicado para eles, é a primeira vez que são confrontados com
este tipo de perguntas. É mesmo assim, as dificuldades devem aparecer na
aula para eu poder ajudar. Quando escolhei esta tarefa tive isso em conta,
trabalho matemático não elementar e métodos diversificados. (STC14)
Mas, intencionalmente, José, também, pretendia que os alunos desenvolvessem a
capacidade de resolução gráfica e de resolução analítica com esta tarefa. O apoio que
podia dar e o feedback que proporcionaria aos alunos, antes de terminada a tarefa,
contribuiriam para uma significativa melhoria das aprendizagens a este nível:
Dar minha opinião antes de terminarem os trabalhos é uma mais-valia para
os alunos aprenderem o que quero que façam. Os trabalhos ficam melhores
e [os alunos] poderão refletir e comparar a resolução gráfica e analítica.
(STC14)
No que diz respeito ao tipo de feedback a atribuir às produções dos alunos, José
manteve-se hesitante mas, desta vez, referiu que no item 1. é de esperar que a afirmação
em função de α traga algumas complicações e que a partir daí poderá ajudar a
188
prosseguir. Também, acrescentou que o feedback a dar ao item 2.2. procurará
aperfeiçoar resposta que segundo as suas expectativas estarão incompletas:
Há duas coisas que eu espero: a dificuldade em compreender o que é “em
função de α”, eles substituem por valores concretos e pensam que
mostraram; e as respostas incompletas ou mal apresentadas com a
calculadora gráfica, eles acham que devem escrever apenas o resultado
final. (STC14)
Relativamente ao feedback a atribuir, José apresentou o recurso a vários valores
de α como uma possível indicação a sugerir aos alunos para que compreendam o sentido
da expressão mostre que. Também, referiu algumas, possíveis, solicitações adicionais
para que os alunos completassem as respostas que dão através da calculadora gráfica,
onde se inclui a interseção com os eixos coordenados ou a janela de visualização
utilizada:
Para a 1. vou pedir para explorarem α = 30º e α = 60º , por exemplo e
para experimentarem outro valor qualquer. No 2., vou recorrer à
necessidade de uma resposta completa, com janela de visualização,
identificação dos eixos, interseções, etc... (STC14)
Com a tarefa T7 deu-se continuidade ao desenvolvimento da capacidade de
manipular a calculadora gráfica e, através do trabalho com esta, comunicar e interpretar
corretamente conceitos e conteúdos matemáticos. José procuraria que os alunos fossem
confrontados com uma sequência de tarefas que incluíam itens de resolução através da
calculadora gráfica. Segundo José, a atribuição de feedback ajuda à construção de
respostas a este tipo de itens:
O trabalho com a calculadora gráfica é um propósito do ensino da
Matemática nos cursos profissionais e isso pode ser ajudado pelo feedback
dado às tarefas em que os alunos se têm envolvido. (STC20)
A tarefa foi colocada num texto corrido sem subdivisão em itens o que poderia
criar alguma confusão com os alunos ao nível da interpretação, segundo José. Mas, a
possibilidade de atribuir feedback poderia ajudar na concretização. Em causa estava a
conversão do número de palavras a escrever em 20 minutos para o número de palavras
por minuto:
A interpretação pode ser um problema, mas a possibilidade de dar
feedback ajuda a ultrapassar isso e acho que eles [os alunos] podem
progredir muito a partir daí. O feedback pode ajudar a completar a questão
e dar indicações para a resolução de outros problemas que apareçam
semelhantes a este. (STC20)
189
Método de trabalho. A redação de relatórios escritos em duas fases fez-se
sempre individualmente. Apesar dos alunos se encontrarem organizados a pares, José
impôs sempre que cada um dos alunos desse par escrevesse um relatório. Várias razões
foram elencadas para isso. José referiu-se à necessidade de desenvolvimento da
capacidade de autorregulação, à aquisição de métodos de trabalho autónomo, à
participação equitativa de todos os alunos no trabalho desenvolvido e à necessidade de
desenvolver a capacidade de comunicação matemática:
Individualmente, sem dúvida. A autorregulação é individual, a capacidade
de comunicação também, e como posso querer que façam um determinado
trabalho em casa quando em aula não tiveram oportunidade de o fazer,
nem de receber feedback sobre o produto desse trabalho. (José, STC12)
O item 4. da tarefa T2 é uma composição que solicita que os alunos comparem
dois resultados obtidos nos itens 2. e 3.. Essa comparação podia ser trabalhada a pares,
em aula, pelos alunos e José insistiu na necessidade de cada um dos alunos escrever as
suas próprias conclusões. José argumentou que os alunos por vezes discutem para
certificar as suas intuições e isso precisa ser validado pelo professor, para que se torne
significativo:
Na aula, a autoridade é o professor. Isso é reconhecido pelo aluno e o
próprio quer que o professor certifique os avanços que vai concretizando
para que eles constituam aprendizagem. Não vejo outra forma de o fazer,
tem de ser individualmente. Cada um [cada aluno] terá o seu feedback,
isso sim parece-me justo apesar de discutirem em pares a articulação de
ideias, na forma escrita, será diferente. (José, STC12)
O mesmo tipo de argumentação foi usado por José na preparação da tarefa T3.
Segundo José, a propósito do item b2) da T3, os alunos precisam redigir respostas
individualmente para assimilarem processos de resposta. Referia-se às respostas a
questões com calculadora gráfica, que envolvem um procedimento específico,
nomeadamente, gráfico, coordenadas de pontos relevantes, janela de visualização,
identificação de eixos e de funções introduzidas no modo gráfico:
Têm uma tendência para apresentar apenas o resultado final mas, se
treinarem, poderão responder corretamente, com todos os elementos que
envolve a resposta a um problema que requer a utilização da calculadora.
Isto não vai à primeira, mas cada um deles [os alunos] alcança pequenos
progressos com cada um dos trabalhos que realiza. (José, STC13)
190
Relativamente à tarefa T4, onde aparece de novo a questão da calculadora gráfica,
José mostrou-se muita confiança relativamente ao desempenho dos alunos. Não era a
primeira vez que os alunos se confrontavam com uma questão daquele tipo, e esse item,
2. da tarefa T4, serviriam também para verificar até que ponto os alunos autorregulavam
o trabalho e o feedback que tinham obtido nos trabalhos anteriores. Apesar de José estar
consciente da dificuldade de procurar fazer essa avaliação a partir de uma tarefa
diferente, a tipologia de resposta era semelhante, o que reforçava a convicção de José
relativamente a este modo de trabalho:
O 2. dá para ver se têm andado a aprender alguma coisa, ou não. Sei que é
diferente, mas espero que respondam da mesma forma. Não me refiro a
conseguirem, ou não, encontrar os resultados, mas estou confiante
relativamente ao modo como vão organizar a resposta. (José, STC15)
Na tarefa T7, a redação de um relatório individual apresentava-se para José como
uma atividade bastante dependente da interpretação do aluno. Segundo José, o relatório
exige que o aluno seja capaz de interpretar o texto da tarefa e relacionar
matematicamente os dados para poder responder. Este aspeto poderia afetar a
concretização do trabalho, mas José salientou que a conciliação entre a redação do
relatório escrito e o feedback oral na aula pode ajudar a ultrapassar esta dificuldade:
É uma boa questão para o relatório individual, têm de interpretar,
relacionar, escrever, etc…trabalho matemático e escrita. Se não
interpretarem bem poderá ser tudo colocado em causa, mas a ajuda que
vou dando e as parcerias entre alunos, a pares, pode ajudar a ultrapassar
essa dificuldade. (José, STC21)
Síntese. No quadro seguinte, encontram-se sintetizadas as tarefas, os principais
objetivos de aprendizagem e os métodos de trabalho respetivos.
QUADRO 24: TAREFA/OBJETIVO GERAL/MÉTODO DE TRABALHO EM RE (JOSÉ)
Tarefa
Objetivo geral
Método de trabalho
T2
Aplicar as razões trigonométricas
Díade, com relatório individual
T3
Resolver problemas em trigonometria
Misto: individual e díade
T4
Distinguir o procedimento analítico e o
procedimento gráfico, em Trigonometria
Desenvolver a capacidade de compreensão e
interpretação, em Funções
Individual
T7
191
Misto: individual e díade
Durante a aula
A seleção de relatórios que vão ser apresentados nesta parte foi feita por José.
No seio do grupo de trabalho de natureza colaborativa decidimo-nos pelo critério de
discutir relatórios escritos em duas fases que evidenciassem a intenção do professor em
promover a autorregulação ou apresentassem capacidades de monitorização da
aprendizagem dos alunos observados. A necessidade de reduzir a quantidade de
materiais analisados está relacionada com o excessivo número de trabalhos recolhidos
por cada um dos casos.
Autorregulação da resposta
Compromisso com as tarefas matemáticas. A tarefa T2 aponta, no item 4., para
a necessidade de comparação de dois resultados. Na primeira aula de confronto dos
alunos com a tarefa, o relatório de Davide escreve que os valores de h diminuem à
medida que α diminui, o que está correto:
Figura 2: 1.ª fase do produto de Davide na T2
José verificou que essa conclusão, embora correta, resultou de cálculos errados.
Do feedback dado, ao trabalho de Davide, faz parte remetê-lo, precisamente, para o
enunciado de um dos itens em que tinha cometido erros de aproximação: Determine,
agora, o valor de h , sabendo que R = 1000 metros e que α =45º. José não foi direto
nessa indicação e ficou-se por “revê a resposta a 2. e a 3. e depois compara!”. Essa
indicação revelou-se pouco útil para o aluno, uma vez que a comparação baseava-se nos
resultados por si obtidos estava certa. O aluno não conseguiu identificar os erros de
cálculo. Na 2.ª fase, para este item, Davide apresentou os mesmos cálculos e modificou
apenas a forma como redigiu a comparação, removendo a certeza da informação:
192
Figura 3: 2.ª fase do produto de Davide na T2
José poderia ter identificado os erros cometidos por Davide, mas optou por
solicitar apenas uma revisão sem essa identificação. Para José, essa chamada de atenção
seria suficiente para que o aluno relesse o enunciado da tarefa e verificasse os cálculos
efetuados, em cada um dos itens:
Esperava que o Davide visse que errou no item 3., afinal deveria ter
passado pelo mesmo processo de resolução. Os itens são semelhantes.
Acho que ele não percebeu a minha indicação. Eu queria que ele visse que
dois itens eram semelhantes, deveriam ter resoluções semelhantes,
existiam erros de aproximações, e isso não aconteceu! (José, STC14)
Este compromisso de José de remeter os alunos para o enunciado da tarefa T2
também se verificou na indicação dada a Magda. Magda cometeu erros de cálculo.
Magda cometeu vários erros nos itens 2. e 3., pelo que a conclusão a que chegou foi h
aumenta quando α diminui:
Figura 4: 1.ª fase do produto de Magda na T2 – item 4.
Para este caso, o feedback dado por José foi mais explícito, indicando a existência
de erros, sem os identificar. Recorreu a citações do enunciado para o redigir: “a
conclusão é coerente com os resultados mas está errada, verifica se respondeste
corretamente a 2. e a 3.”. Na 2.ª fase, a aluna não conseguiu realizar com sucesso o
item 3., e por isso, para esse item, acrescentou a conclusão correta e omitiu os
resultados que obteve e a comparação:
193
Figura 5: 2.ª fase do produto de Magda na T2 – item 4.
Ao remeter os alunos para a reposta dada aos itens 2. e 3. sem a identificação dos
erros cometidos, não resultou para Davide e para Magda, podendo ter criado, na
opinião de José, alguma confusão nos alunos. É exemplo dessa interpretação o que
sucedeu com Magda na 2.ª fase. Essa aluna sabia qual deveria ser o sentido da
comparação mas não conseguiu encontrar os resultados que a sustentavam. Também,
Davide parece ter ficado confuso na 2.ª fase, porque tinha a conclusão certa e não
conseguiu identificar os erros no item 3.. Em termos de balanço, José concluiu que
deveria ter sido mais explícito na atribuição de feedback, questionando a compreensão
dos alunos sobre a conclusão retirada:
Acho que foi muito confuso para os alunos! Não identifiquei os erros e
eles perderam-se por terem apenas aquela indicação de verem de novos as
respostas à 2. e à 3.. Nem sei se eles perceberam o que acontece ao α .
(José, STC14)
Na tarefa T3, José manteve o compromisso com as tarefas matemáticas mas
acrescentou a identificação de alguns erros nas respostas dadas pelos alunos. No item
b1) solicitava-se aos alunos: «Mostre que, para x = π , se tem t =
T
. Interprete este
2
resultado no contexto da situação descrita». As dificuldades de cálculo apresentadas
pelos alunos relacionam-se com o valor de senπ . Mas, as maiores dificuldades
relacionaram-se com a interpretação do resultado no contexto do problema.
Alexandre fez, corretamente, os cálculos e escreveu, na 1.ª fase, «quando x = π o
valor t é metade do valor T ». José considerou que a resposta dada por este aluno não
constitui uma interpretação no contexto da situação descrita e, como feedback, remeteuo para o enunciado da tarefa, acrescentou-lhe uma pista precisa. O feedback foi: «a
interpretação não está correta, relaciona-a com a figura». Na 2.ª fase, Alexandre
escreveu «quando o valor x aumenta T atinge o dobro de t». O aluno não compreendeu
194
o feedback apresentado por José e, também, não percebeu o que estava errado na sua
interpretação no contexto da situação descrita.
A Magda confundiu o valor de senπ com o valor de cos π e escreveu:
2πt
= −1 − 0,0167 × (−1)
T
2πt
= −0,9833
T
− 0,9833
t=
×T
2π
A relação está errada. O valor de t é mais pequeno do que o valor de T.
A resposta de Magda foi consequência, apenas, do erro inicial. Os restantes
cálculos estão corretos, de acordo com o erro cometido. José alertou a aluna para o erro
cometido e solicitou-lhe que fizesse a interpretação de acordo com o contexto da
situação descrita, sem indicar o que estava errado na interpretação feita por Magda:
verifica o valor de senπ e faz a interpretação de acordo com o contexto da situação
descrita. Na 2.ª fase, percebe-se que Magda interpretou corretamente o feedback dado
para a correção do valor de senπ mas entendeu que a interpretação estava errada por
que os cálculos também estavam errados. Fez os cálculos corretamente e para a
interpretação escreveu o valor t é mais pequeno do que o valor T, sendo metade. O
feedback ligado ao enunciado do item não resultou no caso da interpretação, mas a parte
que diz respeito aos cálculos foi concretizado com sucesso possivelmente pela
identificação do erro.
Outra aluna, Rute, evidenciou que compreendeu o problema mas fez os cálculos
com a calculadora em graus e, por isso, o valor de senπ não estava correto. Mas, os
restantes cálculos e a interpretação estavam coerentes com o pretendido:
2πt
= π − 0,0167 senπ
T
2πt
= 3,14
T
3,14
t=
×T
2π
T
t=
2
Com este valor de t a Terra está a metade do percurso.
195
José alertou a aluna para verificar o cálculo de senπ e sugeriu que desenvolve-se
mais a interpretação, remetendo especificamente para o significado de t e o significado
de T: Confirma o valor de senπ e desenvolve a tua ideia, tendo em conta que t é o
tempo … e que T é o tempo…
José remeteu a aluna para os significados das variáveis t e T que constam do
enunciado, revelando um compromisso com o que é o propósito da tarefa. Este feedback
revelou-se eficaz porque permitiu que a aluna corrigisse o erro de cálculo e, na 2.ª fase,
interpretasse corretamente o resultado: Com este valor de t a Terra está a metade do
percurso, isto é, percorreu metade do tempo que a Terra demora a descrever uma
órbita completa (365,24 dias).
Na tarefa T4, círculo trigonométrico, mantém-se o compromisso de José em
relação ao enunciado da tarefa. José alerta Davide para a necessidade de, por exemplo,
representar o triângulo quando, na 1.ª fase da produção deste aluno, descortina
incorreções na escrita da fórmula da área do triângulo. No feedback, José mantém a
necessidade de ligar a resposta do aluno à tarefa pedida, ao solicitar ao aluno o que
representam estas letras? na construção das cadeias demonstrativas da área do triângulo
(item 1.1.):
Figura 6: 1.ª fase do produto de Davide na T4 – item 1.1., com feedback
No que diz respeito aos itens 2.1. e 2.2., José alertou para a necessidade de
clarificar a explicação aquando do uso da calculadora gráfica:
196
Figura 7: 1.ª fase do produto de Davide na T4 – itens 2.1. e 2.2., com feedback
Neste caso, tarefa T4, poder-se-á afirmar que o feedback de José foi mais eficaz
e teve impacto positivo em Davide, tendo motivado a produção de um novo trabalho.
Na 2.ª fase, Davide opta por efetuar um novo documento onde são visíveis melhorias na
apresentação das questões relacionadas com a calculadora gráfica, nomeadamente um
maior cuidado na reprodução dos gráficos visualizados na calculadora e na indicação de
alguns pontos notáveis:
Figura 8: 2.ª fase do produto de Davide na T4 - itens 2.1. e 2.2.
No que diz respeito ao item 1., continuam a não existir figuras, nem esquemas,
para a explicação da resolução e apesar de apresentar uma demonstração correta, esta
continua desorganizada.
197
Figura 9: 2.ª fase do produto de Davide na T4 - item 1.1.
A tarefa T7 envolveu um maior empenho por parte dos alunos, nomeadamente
nas questões da comunicação matemática, ao redigirem a resposta. José, na T7, voltou a
usar transcrições do enunciado da tarefa para atribuir feedback aos relatórios escritos.
Em particular, usou sistematicamente, a frase o número n de palavras que, em média,
conseguia escrever por minuto, dependendo do número de dias de aprendizagem. Na
T7, Magda e Rute tiveram dificuldade em compreender o que significava 800 palavras
em 20 minutos. E isso refletiu-se na 1.ª fase do trabalho destas alunas. Magda
apresentou um trabalho em que coloca duas alternativas do ponto de vista gráfico,
n=800 e conclui que nunca é possível conseguir tal média, e n=40 em que conclui que
são necessários apenas 2 dias de treino:
Figura 10: 1.ª fase do produto de Magda na T7
198
Perante a resposta de Magda, José recorreu ao enunciado da tarefa e foi buscar
duas frases. No entanto, José não corrige o trabalho de Magda, nem o confirma, mas
reforça a necessidade da aluna responder ao problema colocado:
Magda, pelo seu trabalho percebe-se que ainda está indecisa. Mas, por um
lado note que o número n de palavras que, em média, conseguia escrever
por minuto e que precisa de conseguir escrever uma carta com 800
palavras em 20 minutos, por outro lado não esqueça de utilizar um método
analítico e um método gráfico. (Feedback de José à 1.ª fase de Magda em
T7)
Para a 2.ª fase, Magda opta por colocar apenas a parte do trabalho que diz respeito
a n=40 e acrescenta-lhe a parte analítica com alguns erros. Nessa fase, Magda fez
referência ao facto de n=800 não ser um valor admissível para este problema e explora
essa situação do ponto de vista analítico e gráfico:
Figura 11: 2.ª fase do produto de Magda na T7
José ficou muito satisfeito pela aluna não ter eliminado do seu trabalho a parte que
diz respeito a n=800 e, acrescentou, que isso evidência os progressos que a aluna tem
feito ao nível da matemática e o compromisso que tem assumido em seguir o guião do
relatório e o estabelecido nas propostas de trabalho:
Esta aluna [Magda] tem revelado uma grande evolução e, também, muito
empenho e motivação para fazer as coisas bem-feitas. Segue o guião e
procura responder a todos os pontos da tarefa… tem sido uma surpresa.
(STC23)
Rute apresentou apenas o método gráfico. Foi rigorosa na apresentação dos
procedimentos próprios de uma resposta que recorre à calculadora gráfica, mas não
discutiu o facto de 2 dias de treino chegarem ou não para escrever 800 palavras em 20
minutos:
199
Figura 12: 1.ª fase do produto de Rute na T7
José alertou a aluna para o que é pedido no enunciado da tarefa, reforçando que o
que a aluna fez está correto embora esteja incompleto. O feedback escrito de José
centrou-se na necessidade de usar o método analítico e o método gráfico e no final
colocou a interrogação: o número de palavras, por minuto, que Josefino escreverá com
2 dias de treino? José procura que a aluna refletisse sobre a resposta dada e que
discutisse os possíveis resultados:
O que fez pode levá-la no bom caminho, mas atenção! Acha que o seu
relatório contempla a parte “seja rigoroso e utilize um método
exclusivamente analítico, e um método gráfico”? Qual o número de
palavras, por minuto, que Josefino escreverá com 2 dias de treino?
(Feedback de José à 1.ª fase de Rute em T7)
A 2.ª fase do trabalho de Rute respondia às questões colocadas embora, na forma
gráfica. Analiticamente, a aluna cometeu alguns erros de cálculo e teve dificuldades em
justificar a conclusão que obteve graficamente:
Figura 13: 2.ª fase do produto de Rute na T7
Estímulo às estratégias individuais. Na atribuição de feedback, José podia
seguir dois caminhos, estimular as estratégias seguidas pelos alunos ou impor as suas
próprias estratégias. No caminho para a promoção da capacidade de autorregulação da
aprendizagem matemática, outra opção de José foi seguir pelo estímulo da estratégia de
cada um dos alunos:
200
Cada aluno, como pessoa, define o seu percurso e penso ser importante
valorizá-lo por que é através desse caminho que compreende o que poderá
fazer sentido e o que poderá estar errado. Trata-se de ligar o feedback ao
que são as ideias de cada um [aluno], fazer emergir na sua estratégia aquilo
que ele [aluno] não conseguiu mostrar. (STC10)
Na T2, para o item 5., a Magda apresentou uma resolução que começava por
passar o ângulo 1,5564º para radianos mas, distraiu-se, e substituiu a amplitude no lugar
de h e a altitude do Pico no lugar de α :
Figura 14: 1.ª fase do produto de Magda na T2- item 5.
José poderia ter identificado esse erro e devolver à aluna a indicação que não
precisava de escrever o ângulo em radianos, podia usar graus. Mas, não foi isso que fez.
José não fez qualquer referência ao facto da aluna trabalhar em radianos apenas referiu
o que representa h? e o que representa α ? A falta de referência ao facto de não ser
necessário passar o ângulo para radianos, mantendo o caminho traçado por Magda para
responder ao item ajudou-a, uma vez que ela se centrou apenas em perceber a posição
de h e de α . Magda, na 2.ª fase, manteve o ângulo em radianos e respondeu
corretamente ao item 5. No item a) da T3, Alexandre usou uma abordagem semelhante à
usada pela Rute na T2. Alexandre utilizou o ângulo x em graus apesar do enunciado do
problema referir que a amplitude de x seria expressa em radianos. José manteve a
mesma postura e apenas corrigiu a resposta de Alexandre que não se encontrava
devidamente arredonda.
No item b2) da T3, Magda teve dificuldades em obter o número de dias mas,
depois, resolveu o item com a calculadora gráfica apresentando apenas a resposta. José
chamou a atenção de que a resposta passava pela apresentação do processo que
conduziu a essa resposta, sem qualificar a resposta quanto à correção:
Não poderei identificar se está certo ou errado porque não sei o que fizeste.
Acredito que tenhas feito bem, mas qual foi a estratégia seguida?
201
Apresenta a tua resolução, se mudares alguma coisa, identifica porque
mudaste. (Feedback de José à 1.ª fase de Magda em T3)
Na 2.ª fase, Magda explicou o processo que possibilitou a obtenção dos 41 dias e
equacionou corretamente o problema de forma a encontrar a solução. Apesar de
apresentar os gráficos obtidos na calculadora gráfica, não explicitou as expressões
introduzidas na calculadora, nem a janela de visualização nem as ferramentas utilizadas
na determinação da resposta. Mas, Magda fez uma explicação da sua estratégia
individual (processo) e confrontou-a com o trabalho que tinha concretizado na 1.ªfase:
Figura 15: 2.ª fase do produto de Magda na T3
A ausência da apresentação do processo que conduzia à resolução foi um aspeto a
que José se referiu várias vezes. Em alguns casos, o aluno apresentava o processo de
resolução, mas com falta de alguns elementos que implicavam a falta de entendimento
da resposta. Por exemplo, Davide na T4 não apresentou o esboço do desenho do
triângulo [OAB], nem do segmento de reta que representa a altura do triângulo, o que,
202
segundo José, mostrou fragilidades ao nível das conceções que os alunos têm acerca do
que é a comunicação matemática. Esse facto suscitou a reação de José através do
feedback dado sem colocar em causa a estratégia que o aluno seguiu:
Figura 16: 1.ª fase do produto de Davide na T4, com feedback
O estímulo às estratégias individuais de cada aluno verificou-se, também, porque
José não atribuiu um feedback igual a todos os alunos. José adequou o feedback dado a
cada uma das resoluções, tendo o cuidado de valorizar o que cada aluno tinha produzido
e procurando que o aluno reconstruísse a resposta a partir desse trabalho.
Articulação de ideias próprias. Solicitar ao aluno a articulação das suas ideias é
um atributo do feedback dado por José aos relatórios escritos em duas fases. A
necessidade de apresentar justificações que comprovassem as respostas dadas e o
incentivo ao prosseguimento do caminho traçado pelo próprio aluno foram os fios
condutores de feedback dado por José. O item 4. da T2, compara os resultados obtidos,
tornou-se numa questão complicada para os alunos, mas José não deixou de incentiválos a procurarem articular as ideias e as estratégias seguidas para encontrarem uma
resposta. Rute fez alguns cálculos para apoiar a sua resposta mas não foi capaz de
estabelecer a relação entre a variação do valor de h e a variação do valor de α :
203
Figura 17: 1.ª fase do produto de Rute na T2- item 4.
José observou que a aluna substituindo o valor de α por amplitudes cada vez
mais pequenas, mas não conseguiu relacionar h com α . O feedback dado fez apelo à
continuidade da estratégia escolhida pela aluna para responder ao problema e solicitou,
também, a reflexão sobre os resultados:
A tua estratégia pode ser bem-sucedida. Podes experimentar com outros
valores… e concluíres, por exemplo, o que acontece quando α =0? Não
esqueças que deves comparar com os resultados [das aulas], e explicar
melhor a regularidade que encontraste. (Feedback dado a Rute na T2, 1.ª
fase)
Rute manteve, na 2.ª fase, os cálculos que tinha efetuado para a 1.ª fase e
acrescentou-lhes o cálculo para α =5, α =1 e α =0,5. E reafirmou a conclusão que tinha
feito na 1.ª fase:
Figura 18: 2.ª fase do produto de Rute na T2- item 4.
José referiu, a posteriori, que afinal a aluna tinha compreendido a relação entre as
duas variáveis mas não tinha dado uma explicação completa sobre essa compreensão. O
204
feedback, neste caso, teve o papel de ajudar o aluno a clarificar a sua resposta e ajudar o
professor a identificar o nível de compreensão alcançado pela aluna:
Foi um bom feedback? Ajudou-me a mim e ajudou a aluna. A mim,
permitiu identificar o que a Rute tinha compreendido e, a ela, obter uma
resposta mais clara e completa. Sem este entendimento nunca saberia que
ela relacionara a duas variáveis. (José, STC14)
Alexandre, no item b2) da T3, determinou bem o número de dias mas substituiu
mal na expressão e obteve
2π × 365,24
2π × 41
, quando deveria obter
, no entanto o
41
365,24
aluno concretizou a tarefa recorrendo à calculadora gráfica. Neste caso, José foi
cauteloso no feedback dado. Optou por identificar concretamente o erro cometido pelo
aluno, valorizando o seu processo, pois outra indicação mais vaga poderia levar o aluno
a alterar toda a resposta:
O resultado estava errado, mas o processo estava certo e era o mais
adequado. Por isso, optei por lhe dizer para mudar os valores apenas…não
valia a pena pedir para refazer a resposta, o aluno poderia mudar a
estratégia e não era isso que eu pretendia. (STC15)
Na tarefa T4, José revelou que, na sua opinião, os alunos compreenderam o que
lhes era solicitado apesar de, também, seguirem estratégias diferentes. Alexandre, para o
item 1. dessa tarefa, escreveu os comprimentos OC ′ = 1 cos α ,
AC ′ = 1senα e
AB = 2 senα e a parti daí, respondeu de imediato, A = senα × cos α :
Figura 19: 1.ª fase do produto de Alexandre na T4
Esta resposta deixou José um pouco irritado porque tinha chamado a atenção dos
alunos, várias vezes, para a necessidade de apresentarem as justificações e as fórmulas
usadas, no mostre que:
Estou sempre a referir o mesmo, escrevam as fórmulas usadas, desenhem
as figuras quando têm necessidade de acrescentar outras letras, etc. e não
me ouvem. A resposta está certa, mas é um mostre que incompleto, a
minha opinião. (José, STC16)
205
Neste caso, José não se referiu à correção da resposta no feedback dado. Optou
por incluir algumas questões que levariam o aluno a justificar o aparecimento dos
resultados escritos e, dessa forma, completaria a resposta. Na 2.ª fase, Alexandre
escreveu as fórmulas do cosseno e do seno utilizadas e apresentou uma figura com a
descriminação das letras referenciadas na resposta:
Figura 20: 2.ª fase do produto de Alexandre na T4
Na T7, Davide, 1.ª fase, também, foi chamado a apresentar a justificação das suas
opções durante a resolução, mesmo contendo erros. Davide apresentou, corretamente, o
procedimento usado na calculadora gráfica mas substituiu o valor de n(t) por 800
quando o deveria ter feito por 40. José, no feedback dado à produção do aluno, não
referiu o erro, mas escreveu que o aluno deveria verificar o significado das variáveis n e
t e justificar a substituição de n por 800:
206
Figura 21: 1.ª fase do produto de Davide na T7, com feedback
O feedback atribuído por José foi suficiente para Davide reformular a sua
resposta. Davide já tinha manifestado, oralmente, a sua confiança na resolução de itens
com a calculadora gráfica e a T7 não foi exceção. De facto, Davide apresentara o
processo correto e quando verificou o significado de n e de t reparou que n é o número
de palavras que, em média, conseguia escrever por minuto, o que o levou a redigir
propor uma alteração para o valor de n:
Figura 22: 2.ª fase do produto de Davide na T7
207
Síntese. O feedback escrito atribuído por José ao produto do trabalho dos alunos,
apesar de diversificado, não apresenta características específicas que possam ser
associadas aos conteúdos de Trigonometria, Geometria ou Funções. No quadro
seguinte, encontram-se sintetizados os tipos de intervenção de José nos três tópicos para
promover a autorregulação da resposta, através do feedback escrito em relatórios com
duas fases.
QUADRO 25: TIPO(S) DE INTERVENÇÃO DE JOSÉ PARA A AUTORREGULAÇÃO DA RESPOSTA
EM RE
Tópicos para a autorregulação
da resposta
Compromisso com a tarefa
matemática
Estímulo às estratégias
individuais
Articulação de ideias próprias
Tipo(s) de intervenção (Tarefa)
remete para o que está escrito na proposta de trabalho (T2;
T4; T7)
coloca em confronto ambiguidades na resposta (T2; T3)
apela à concretização da tarefa (T3; T7)
clarifica o que pretende que os alunos concretizem (T3;
T7)
encaminha a partir das estratégias definidas pelo aluno
(T2)
fomenta e valoriza o processo de resolução (T3; T4)
diversifica o feedback (T2; T3; T4)
apoia a continuidade de uma estratégia de resolução (T2)
ajuda a clarificar a resposta (T3; T7)
apela ao registo das tentativas bem, ou mal, sucedidas
(T4)
apela à apresentação de justificações (T4)
Autorregulação do desempenho
Eficácia matemática. A eficácia matemática foi avaliada de acordo com a
competência demonstrada por referência à tabela Rubrica para Resolução de Problemas
de Matemática não estruturados, retirado de California CAP math report (1989). Na T2,
os produtos apresentados pelos alunos de José na 1.ª fase foram, na generalidade,
classificados com Resposta Satisfatória, dividindo-se nos dois descritores seguintes.
4 – Falhas Mínimas, mas Satisfatório: Completa o problema satisfatoriamente, mas a
explicação é confusa; a argumentação é incompleta; o esquema é inapropriado ou pouco
claro; compreende as ideias matemáticas subjacentes; usa as ideias eficazmente;
3 – Falhas Graves, mas Quase Satisfatório: Inicia o problema eficazmente mas falha a
conclusão ou omite partes significativas; falha na evidência de compreensão cabal das
ideias e processos matemáticos; comete erros de cálculo graves; usa incorretamente ou
não usa os termos matemáticos; a resposta reflete uma estratégia inapropriada de
resolução do problema.
208
O relatório de Davide, na 1.ª fase da T2, foi avaliado no descritor 3 – Falhas
Graves, mas Quase Satisfatório. José salientou o incentivo dado pelo feedback,
podendo motivar para a melhoria da 2.ª fase, assinalar as falhas do trabalho ao aluno,
por exemplo a nível do cálculo no item 3. quando o aluno usa um valor aproximando
sem descortinar que o valor exato é sen45º =
2
, mostrar a pouca profundidade e a
2
falta de correção na comparação dos resultados obtidos, por exemplo o item 4., e, a falta
de evidência da compreensão do que está solicitado, por exemplo o item 5.:
A fronteira entre o nível 3 e o nível 4 é ténue. Mas, acho que o Davide é
nível 3. Pode ser um incentivo para a 2.ª fase, para melhorar os cálculos da
2
2. e da 3., e para descrever a comparação. Ele nem viu que sen45º =
!
2
Também, a última não parece que tenha compreendido. A resolução
evidencia pouca compreensão do que é solicitado. (STC14)
Outro aluno, Alexandre, obteve a avaliação 4 – Falhas Mínimas, mas Satisfatório
– por apresentar uma resposta com explicação confusa, mas com poucos erros de
cálculo. Alexandre utilizou corretamente as razões trigonométricas e mostrou
eficazmente o que foi solicitado no item 1., embora, sem erros de cálculo, e tendo
obtido o pedido nos itens 2. e 3., explicou de forma muito confusa a comparação entre
os dois resultados. Na mesma tarefa, Rute obteve avaliação 4 – Falhas Mínimas, mas
Satisfatório – porque, embora tenha cometido alguns erros de aproximação de
resultados, as explicações apresentadas, mesmo incompletas, encontram-se coerentes
com o trabalho realizado:
No trabalho da Rute a escrita é confusa, mas a comparação é coerente com
o trabalho realizado mesmo tendo feito aproximações sem serem pedidas.
(STC14)
Na 2.ª fase, os trabalhos destes três alunos, Davide, Alexandre e Rute, foram
avaliados com o nível 5 – Resposta competente. José justificou a alteração com a
retificação das respostas dadas e com a inclusão dos aspetos que foram referidos no
feedback. José acrescentou que os alunos assumiram o feedback como se fossem novas
questões a que teriam obrigatoriamente de responder:
Mudei porque os trabalhos ficaram melhores. Na 2.ª fase estavam
incluídos os aspetos que destaquei no feedback mas, os alunos,
responderam como se o feedback fosse um colocar de novas questões.
(STC14)
209
Na T3, José atribuiu a avaliação 3 – Falhas Graves, mas Quase Satisfatório – às
as
1. versões dos relatórios de cada um dos alunos. José justificou essa avaliação com a
ocorrência de muitos erros de cálculo graves, o uso incorreto de termos matemáticos e a
seleção de estratégias inapropriadas para resolver o problema. Também, quer no item a),
quer no item b2), os alunos apresentaram, segundo José, graves deficiências na
definição de uma estratégia para a obtenção da resposta:
As respostas têm muitos erros, mas o principal é a deficiência na escolha
de uma estratégia para dar resposta ao problema. Nos trabalhos em que se
consegue descortinar uma estratégia de resolução, não conseguiram
desenvolve-la de forma eficaz para concluírem. (STC15)
As dificuldades dos alunos em comunicar matematicamente, e em organizarem as
suas respostas, foram notórias quando se apelava, na T3, à compreensão do enunciado
para responder ao item a) e se solicitava no item b1) a interpretação do valor obtido no
contexto da situação descrita. À 2.ª fase da T3, a avaliação atribuída situou-se nos níveis
5 – Resposta competente - e 4 – Falhas Mínimas, mas Satisfatório. Segundo José, a
distinção foi feita, essencialmente, pela presença/ausência de uma resposta completa
com explicações claras e razoáveis. Segundo José, a ultrapassagem das dificuldades na
2.ª fase está associada ao feedback dado a cada um dos relatórios. José optou por um
feedback com identificação dos erros e propostas de alteração ao trabalho realizado
como uma forma de ajudar os alunos a ultrapassarem essas dificuldades:
Assinalei os erros e dei pistas para prosseguirem, indicando o caminho a
seguir. Este pode ter sido o aspeto essencial para que tivessem conseguido
subir o nível da resposta. (José, STC15)
Na Tarefa T4, 1.ª fase, a atribuição de avaliação foi diversificada. José atribuiu o
nível 2 – Inicia, mas falha a resolução do problema - ao trabalho de Rute, nível 3 –
Falhas Graves, mas Quase Satisfatório – ao trabalho de Magda, nível 4 – Falhas
Mínimas, mas Satisfatório – ao de Alexandre e nível 5 – Resposta competente – ao de
Davide.
José justificou o nível dado ao trabalho de Rute com a falta de clareza na
construção da resposta. Para José, existiam elementos essenciais que a aluna deveria ter
apresentado, como a figura, as razões trigonométricas usadas, e a aluna não o fez. Esses
elementos são, segundo José, fundamentais para que possa avaliar o nível de
compreensão de uma resposta:
210
Não gosto nada desta resposta, a Rute não compreendeu nada do que
estava a ser solicitado. Há aspetos que todos devem apresentar num mostre
que, a figura com identificação das letras, as razões trigonométricas
usadas, os dados introduzidos na calculadora, etc… sem esses elementos
não é possível saber se a aluna compreendeu o que fazia. (STC18)
Ao produto de Rute foi atribuído o nível 2 mas o feedback, para além de
mencionar que a resposta da aluna deveria incluir os elementos referidos, centrou-se na
orientação da aluna para consultar o caderno diário, ver trabalhos anteriores e usar
formas de resposta semelhantes às que tinha usado anteriormente. Magda obteve o nível
3 – Falhas Graves, mas Quase Satisfatório. A aluna começou bem o problema ao
escrever as razões trigonométricas, no entanto não conseguiu aplicar essas razões. José
atribuiu feedback relacionando o trabalho que a aula havia realizado em aula uns dias
antes e a proposta de trabalho T4:
Procura no caderno diário ou recorda os trabalhos realizados nas aulas
anteriores, os mostre que seguem mais ou menos os mesmos
procedimentos…compreende e depois aplica. (Feedback dado por José à
1.ª fase, item 1., do produto de Magda, T4)
A aluna seguiu as indicações dada por José para o item 1., na T4, porque o item
1., já que o item 2. mereceu apenas alguns reparos porque a aluna dominava bem a
resolução de problemas através das ferramentas da calculadora gráfica. Magda
conseguiu concretizar com sucesso a 2.ª fase da tarefa T4, mas José referiu,
posteriormente, que a aluna tem feito progressos mas considera que as suas respostas
carecem de justificação, nomeadamente no item 1, 2.ª fase, apesar de o concretizar com
sucesso não apresenta as razões trigonométricas de partida:
A Magda melhorou muito, mas ainda não está cinco estrelas, faltam as
razões trigonométricas dos ângulos de onde começou. Vou conversar com
a Magda, ela tem feito progressos … mas continua a não apresentar todas
as justificações para uma comunicação eficaz, que mostre compreensão de
ideias e processos matemáticos. (STC18)
O trabalho do Alexandre situou-se no nível 4. Segundo José, a explicação é
confusa, em particular a apresentação das razões trigonométricas, e a resposta ao item 2.
é pouco clara apesar de evidenciar os procedimentos corretos. Relativamente à 1.ª fase,
José não acrescentou texto escrito ao item 2. - T4. Alexandre introduziu poucas
alterações na 2.ª fase do seu trabalho, tendo incluído explicitamente os aspetos que José
referiu como estando incompletos no feedback dado à 1.ª fase.
211
Davide apresentou o trabalho mais completo a que José atribuiu nível 5 –
Resposta competente. Na 2.ª fase, Davide incluiu as questões levadas por José em
simultâneo com o feedback o que suscitou a alteração para o nível 6 – Resposta
exemplar. José refletiu sobre essa alteração e considerou-a justa, pelo trabalho que o
aluno demonstrou e pelo efeito futuro que proporcionara na melhoria de outros
trabalhos:
Alterei o nível porque o Davide esforçou-se para melhorar e porque tenho
de gerir a expectativas dele no sentido de mostrar que o esforço vale a
pena, principalmente para que invista mais e melhor os trabalhos
seguintes. (José, STC18)
Na tarefa T7, José situou a sua avaliação entre os níveis 4 e 5, Falhas mínimas
mas Satisfatório e Resposta competente, respetivamente. As respostas da Magda, da
Rute e do Davide foi-lhes atribuído o níveis 4 e à resposta de Alexandre o nível 5.
Magda na 1.ª fase porque apresentou as duas resoluções, gráfica e analítica, sem
concluir o resultado final mas a parte de desenvolvimento do processo está
satisfatoriamente completo. Rute na 1.ª fase apresentou apenas o método gráfico, com
evidência da compreensão das ideias matemáticas subjacente e usa-as eficazmente.
Davide na 1.ª fase apresentou o resultado errado porque usa o valor 800 em vez de 40,
no entanto todo o procedimento está correto e apesar de alguma confusão e
incompletude, mostra compreensão das ideias matemáticas usadas. José identificou as
falhas em cada uma das respostas e incentivou os alunos a completarem os seus
trabalhos de acordo com as estratégias que haviam selecionado.
Alexandre apresentou uma resposta completa e com as explicações claras e
razoáveis, José apontou-lhe apenas alguns pormenores para a melhoria da organização
da resposta.
Autoavaliação. O feedback escrito permitiu a autoavaliação ao aproximar os
produtos dos alunos do que eram os níveis de exigência de José. O feedback dado
através da tabela Rubrica para Resolução de Problemas de Matemática não estruturados,
retirado de California CAP math report (1989) situava os produtos do trabalho realizado
pelos alunos numa escala de seis níveis que incluíam descritores. Esse feedback,
completado com indicações concretas de José, permitiu que o trabalho realizado em
cada uma das tarefas aumentasse de qualidade. Também, verificou-se uma aproximação
gradual entre o que o José pretendia que os alunos fizessem e os trabalhos realizados.
212
José geriu a tabela de descritores e os produtos dos alunos de forma equilibrada,
promovendo a melhoria, a correção dos erros e a ultrapassagem de dificuldades:
Ajudou-se a dar feedback, os alunos percebem o que quero dizer pelos
descritores mas tive de adequá-los à resposta para que os alunos
melhorassem. (José, STC18)
A existência de um referencial dado pela tabela de descritores foi uma mais-valia
para promover a autoavaliação. Na tarefa T2, após a 1.ª fase, depois de atribuído o
feedback por José, Davide procurou interpretar o nível 3 que lhe foi atribuído na 1.ª fase
e aquele que estava escrito no nível 6 – Resposta exemplar, para aproximar o seu
trabalho desse descritor. Davide conversou, ainda, com o Alexandre sobre as melhorias
a introduzir para alcançar a resposta exemplar:
Davide: Tenho de rever os cálculos! Quanto te deu a 2. e a 3.?
Alexandre: Faz com 60º e 45º.
Davide: Mas para além disso, que fizeste mais?
Alexandre: Expliquei que usei a calculadora no mode deg!
Davide: Isso é importante para o nível máximo? Vou incluir…
Alexandre: Sim, sim, mas eu também tenho de acrescentar coisas.
Magda, na tarefa T3, também realçou junto de Rute a necessidade de, para além
de corrigirem os erros identificados por José no feedback dado, aproximarem os
relatórios escritos do preconizado pela tabela de descritos, nomeadamente a resposta
exemplar:
Rute: Tenho que corrigir alguns aspetos!
Magda: E ver o que diz o nível 6.
Rute. Nível 6?
Magda: Sim, dar uma resposta completa com uma explicação clara, lógica
e elegantes … essas coisas! Para aumentar o nível.
Acerca do trabalho de Magda na tarefa T4, José salientou que o progresso entre a
1.ªfase e 2.ª fase do relatório escrito se deveu à persistência da aluna e incentivo em
aproximar o seu trabalho do descritor apresentando para a resposta exemplar:
Desde da primeira tarefa que vejo a Magda preocupada em comparar as
suas respostas com os descritores, é a sua autoavaliação! E isso ajuda-a a
progredir. (STC18)
A busca de aproximação entre a tabela de descritores e a resposta dos alunos, só
por si, não justifica a generalizada melhoria dos produtos da 2.ª fase relativamente à 1.ª
fase. A esse processo de autorregulação dos alunos há que acrescentar o feedback
escrito que José atribuiu para além da avaliação dos relatórios em um de seis níveis. Por
exemplo, na tarefa T2 escreveu para Davide revê a resposta a 2. e a 3. e depois
213
compara!, para Magda verifica se respondeste corretamente a 2. e o que representa h?
e o que representa α ? Já na T3 escreveu para Alexandre o valor de t é mais pequeno
do que o valor de T e para Rute confirma o valor de senπ . Na T4, escreveu para
Davide o que representam estas letras? Este tipo de feedback não identifica erros mas
apela à promoção da autoavaliação porque suscita que seja o próprio aluno a fazer um
segundo olhar sobre o seu trabalho e a corrigi-lo.
Síntese. As falhas e os erros foram mais frequentes na trefas de Trigonometria e,
em particular, nos itens que exigiam a manipulação algébrica de condições. Nos itens
que requerem mostre que, associados à comunicação matemática, quer de Geometria,
quer de Funções, também existiram dificuldades que foram ultrapassadas com a
recordação de trabalhos anteriores semelhantes (âncoras) ou pela orientação do caminho
a seguir. José procurou que os alunos corrigissem os trabalhos tendo como referencial
os descritores da Rubrica para Resolução de Problemas de Matemática não estruturados,
retirado de California CAP math report (1989). O incentivo a essa autoavaliação
proporcionou a melhoria da 2.ª fase dos relatórios em todas as tarefas. No quadro
seguinte, encontram-se sintetizados os tipos de intervenção de José nos dois tópicos
para promover a autorregulação do desempenho, através do feedback escrito em
relatórios com duas fases.
Q UADRO 26: TIPO(S)
DESEMPENHO EM RE
DE INTERVENÇÃO DE
Tópicos para a autorregulação do
desempenho
Eficácia Matemática
Autoavaliação
JOSÉ
PARA A AUTORREGULAÇÃO DO
Tipo(s) de intervenção (Tarefa)
assinala as falhas e os erros (T2)
orienta o caminho a seguir (T2)
incentiva para a melhoria dos trabalhos (T3; T4; T7)
mostra os seus níveis de exigência (T3; T4; T7)
valoriza a comunicação matemática escrita (T3)
recorda trabalhos anteriores, âncoras (T4; T7)
promove a completude das respostas (T3; T4; T7)
dá feedback à 1.ª fase (T2; T3; T4; T7)
promove a aproximação entre o produto do aluno e a
resposta exemplar (descritores) (T2; T3; T4; T7)
aceita a 2.ª fase como produto final (T2; T3; T4; T7)
Depois da aula
O grupo refletiu em conjunto sobre alguns aspetos que haviam caracterizado a
aula ou as aulas de aplicação das tarefas cujos relatórios foram sujeitos à atribuição de
feedback. Em algumas tarefas foi possível discutir a atribuição de feedback à 1.ª fase do
214
relatório escrito dos alunos devido ao desenrolar das aulas. Em outras, apenas se
discutiu o impacto do feedback dado após a 2.ª fase.
Balanço. José destacou a necessidade de seduzir os alunos para a continuidade do
trabalho matemático, desencadeado pelos relatórios em duas fases, como o fio condutor
do feedback atribuído. O engajamento do aluno nas tarefas foi um aspeto a ter em conta
para alcançar o sucesso. Segundo José, o feedback dado proporcionou a valorização do
trabalho realizado pelos alunos e a continuidade desse trabalho para aprofundamento de
conhecimentos ou para a conclusão da tarefa:
Tive de gerir as expectativas dos alunos, os parcos resultados que
obtinham, e valorizar os progressos…foi a decisão acertada. O
envolvimento dos alunos contribuiu para o sucesso das tarefas e para a
aprendizagem. (STC 25)
O balaço positivo que José faz do apoio à participação dos alunos foi uma
constante ao longo de diversas sessões de trabalho colaborativo. Quando José remete os
alunos para o que está escrito na proposta de trabalho ou quando José recoloca o aluno
na concretização da tarefa é visto como um incentivo à inclusão, nomeadamente o
destaque aos enunciados das tarefas e a ajuda para a ultrapassagem das dificuldades
através do feedback escrito:
Naquilo que escrevi para os alunos procurei envolvê-los na tarefa,
destaquei os aspetos mais importantes das perguntas e ajudei-os a
continuarem as suas respostas. Para mim, foi um incentivo a que
participassem e a que se envolvessem as tarefas matemáticas. (José, STC
26)
Também, a correção dos trabalhos escritos sobressaiu na ação de José ao avaliar o
domínio e os conhecimentos dos alunos. José assinalou as falhas e os erros mas,
também, deu orientações para que os alunos prosseguissem. Em particular, José
valorizou os incentivos para a melhoria do produto do trabalho do aluno:
Tive em conta que era um trabalho não terminado e por isso ajudei a
continuar para melhorarem. Nesses escritos, identifiquei as falhas e os
erros mas também motivei. Por exemplo, disse para continuarem pelo
caminho traçado ou orientei para encontrarem um novo rumo. (José, STC
26)
O estímulo às estratégias escolhidas pelo aluno surgiu espontaneamente. Mas,
José refere-o como uma condição essencial para que os alunos se mantivessem
empenhados na concretização da tarefa e sentissem que o seu trabalho era reconhecido
pelo professor. Na concretização desses estímulos, José destacou a especificidade do
215
feedback dado a cada um dos produtos do trabalho dos alunos, pela possibilidade de
diversificação do feedback escrito, pelo encaminhar a partir das estratégias escolhidas
pelos alunos e pela correção das ideias incorretas dos alunos. Para José, é um
reconhecimento a que os alunos não estão muito habituados. Esta valorização foi
possível por se tratar de feedback escrito, por ser feito em duas fases e porque se
desenvolveu durante um período de tempo mais ou menos alargado, segundo José,
características acessíveis a professores e alunos:
Isto é possível, porque não estava terminado à primeira tentativa, porque
era possível melhorar e porque iam aprendendo como se fazia. Durante
este tempo, os alunos foram crescendo, valorizando-se e aprenderam a ser
valorizados porque este processo os ajudava a sentirem-se confiantes no
que faziam. O feedback que dava, específico e diferente de aluno para
aluno, possibilitava de exprimisse como deveriam continuar e sugerisse
caminhos a partir do trabalho que já tinham realizado … para eles ... um
grande reconhecimento. (José, STC 26)
A aproximação entre o que José espera que os alunos concretizem e o produto
do trabalho dos alunos distinguiu-se pela existência da tabela de descritores, pela
concretização das tarefas em duas fases e pela valorização dada à 2.ª fase. José
menciona a clarificação do que pretende na organização das respostas dadas pelos
alunos quando as liga à tabela de descritores, e desencadeia nos alunos o cuidado em
aproximar as respostas ao nível exemplar:
Foi uma preocupação a partir da segunda tarefa. Na primeira estava um
pouco apreensivos, mas na segunda já competiam para atingir o nível mais
elevado no tipo de resposta dado. Não sou neutro nisso, também ajudei a
construir esse caminho. (José, STC 25)
A realização das tarefas em duas fases possibilitou um feedback escrito para a
continuação e, também, para o encaminhamento do aluno para o preconizado por José.
Nuns casos, através do feedback escrito, José pediu a clarificação de algumas respostas,
a justificação dos caminhos seguidos e o registo das tentativas bem ou mal sucedidas.
Em outros casos, José encaminhou o aluno para a alteração da estratégia escolhida e
para isso questionou acerca da viabilidade do caminho traçado:
Deixei claro o que pretendia. Estávamos em duas fases e isso deu-me a
possibilidade de dar a minha opinião a meio, pedi justificações, o registo
das tentativas bem e mal sucedidas, identificação de vértices nas figuras,
etc. Mas, essa clarificação também foi dizer que a estratégia não levava a
lado nenhum. E nesse caso, ajudei dando um feedback para entrarem em
contradição e encontrarem um novo rumo. (José, STC 25)
216
José referiu, ainda, que a valorização que deu à 2.ª fase dos trabalhos dos alunos
promoveu um maior investimento dos alunos para a sua concretização. José foi bastante
exigente e rigoroso na atribuição de feedback à 1.ª fase e aceitou como nível final o
atribuído ao produto do trabalho dos alunos o nível avaliativo da 2.ª fase e isso, segundo
José, motivou um maior investimento por parte dos alunos:
Eles sentiram que valia a pena corrigir a 1.ª fase ou completá-la e isso
deveu-se às avaliações que fiz das 2.ªs fases. Efetivamente, consegui
transmitir que a 2.ª fase é uma oportunidade de aprendizagem. (José,
STC23)
Dificuldades. José salientou aspetos relacionados com a sua prática letiva,
nomeadamente o envolvimento dos alunos na concretização da tarefa. Apesar de
destacar a dificuldade em lidar com esta situação, José refere a virtude do feedback
dado através dos relatórios escritos em duas fases e, em particular, a valorização da 2.ª
fase na promoção da participação dos alunos. Segundo José, a valorização da 2.ª fase
contribuiu significativamente para uma maior participação dos alunos nas tarefas
propostas e para a ultrapassagem da dificuldade de envolver os alunos nas tarefas da
aula. Acrescenta, ainda, que os alunos valorizam apenas as tarefas sujeitas a
classificação, não se empenhando significativamente nas tarefas da aula por não
considerarem que as mesmas não eram quantificáveis e por isso não incluídas na
atribuição de classificações do final do período:
Senti dificuldades em motivar os alunos para a realização das tarefas,
queriam saber se eram classificadas e o contributo desse trabalho para a
classificação do final do período – é isso que eles pensam! Mas, o
feedback escrito e o facto de existir uma 2.ª fase ajudou a valorizar a
participação… sabiam que podiam e deviam melhorar, participando muito
mais e mudaram a postura em aula. (José, E2J)
José pretendia que os alunos se envolvessem mais e para isso passou a valorizar a
2.ª fase do relatório escrito, atribuindo feedback escrito e relacionando-o com a tabela
de descritores, permitiu-se que os alunos procurassem também o sucesso, o que levou a
um maior investimento dos alunos.
Mas, o recurso ao feedback escrito ajudou a aproximar o que era estabelecido
implicitamente, por José, como uma resposta exemplar e o trabalho realizado pelos
alunos. Do seu ponto de vista, José sabia claramente o que seria uma resposta exemplar,
mas apresentava dificuldades em exteriorizar o que isso significava. Antevia, à partida,
essa diferença como sendo uma dificuldade de trabalho em relatórios escritos:
217
A minha ideia de relatório não corresponde à vossa, nem a vossa coincide
com a minha, o mesmo se passa com os alunos. Essa explicitação não vai
ser fácil, prevejo algumas dificuldades…mas, o tempo dirá. (José, STC10)
A ultrapassagem da dificuldade de explicitação dos critérios de avaliação passou
pela valorização do trabalho realizado pelos alunos. A estratégia seguida por José visava
a inclusão e a aproximação entre o que perspetiva e aquilo que os alunos produziam:
Se se aplicarem mais, as respostas ficam mais próximas daquilo que eu
espero que façam. Talvez resulte, e possam investir mais para alcançar as
minhas expectativas. (José, STC11)
A dificuldade de aproximar o preconizado por José e o preconizado pelos alunos
para uma resposta exemplar e a dificuldade de adequar o feedback a dar, fez José
investir no conhecimento profissional para atribuição de feedback escrito:
Estava preocupado com o efeito do feedback escrito e a forma de o
rentabilizar e tive de ir aprender umas coisas… agora, já sei que deve
identificar o que está certo e o que está errado, ajudar a progredir,
etc…(José, STC11)
Por opção de José, atribuir o feedback adequado, passou por identificar alguns
erros cometidos pelos alunos ou escrever dizeres que levassem os alunos a identificarem
erros ou contradições nas respostas dados. Nas quatro tarefas, José apresentou sempre
algumas indecisões sobre o que escrever a cada um dos alunos, mas a opção foi no
sentido de não desmotivar os alunos e de lhes proporcionar a continuidade dos trabalhos
que tinham preconizado. A tarefa que destacou como aquela que lhe suscitou maiores
dificuldades foi a T7:
Na T7 tudo me pareceu complicado, não sabia que escrever quando os
alunos tinham falhado os cálculos iniciais, nem sabia que podia dizer mais
quando o que faltava eram apenas pormenores de organização. (José,
STC25)
Síntese. No quadro seguinte, encontram-se sintetizadas as dificuldades de
intervenção de José, e as ações tomadas para as ultrapassar.
QUADRO 27: DIFICULDADES QUE AFETARAM A PRÁTICA DE FEEDBACK ESCRITO DE JOSÉ
Dificuldade
Valorizar o trabalho
realizado em aula, sem
classificação
Ação do professor
Valoriza a 2.ª fase do relatório
escrito, através da avaliação
com a tabela de descritores
Explicitar os critérios
de avaliação
Valoriza o trabalho realizado e
orientar para a sua completude
218
Objetivo
Aumentar o envolvimento na
concretização da 2.ª fase dos
relatórios e envolver os alunos nas
tarefas seguintes
Diminuir o fosso entre as
perceções de facilidade da
resolução do professor e a dos
alunos
Atribuir o feedback
adequado e
individualizado
Explicita o feedback e
personalizá-lo
Não desmotivar os alunos
Continuar o trabalho e finalizar a
tarefa
Constrangimentos
Os constrangimentos, encontrados por José, ao desenvolvimento de práticas
avaliativas que procuram promover a autorregulação da aprendizagem matemática estão
contextualizadas na sala de aula, e são comuns às duas práticas experimentadas. No
questionamento oral e no feedback escrito dado a relatórios escritos em duas fases, José
destacou constrangimentos relacionados com: i) o número de alunos por turma; ii) a
planificação das práticas avaliativas; iii) o tempo disponível para a concretização das
práticas; e iv) a organização do sistema educativo.
O número de alunos por turma foi referido por José devido ao elevado número de
alunos com necessidades de apoio individualizado. Segundo José, os alunos da turma
10.ºP apresentavam baixos níveis de sucesso ao longo do seu percurso escolar e, em
particular, apresentavam dificuldades relacionadas com a manipulação de expressões
algébricas e com o cálculo. O elevado número de alunos da turma não possibilitava o
apoio individualizado que José pretendia para um questionamento oral aprofundado, e
para a atribuição de feedback escrito. Por exemplo, na concretização da tarefa T3, José
em aula questionou os alunos sobre as suas opções e sobre a razão delas mas, do seu
ponto de vista e porque também tinha de apoiar outros alunos, não aprofundou
devidamente essas decisões:
O número de alunos é uma complicação, quero fazer perguntas sobre as
opções que tomaram, o porque de determinadas decisões, mas … estão
logo outros a chamar e eu procurar apoiar todos, por isso não aprofundo
algumas decisões como deveria. (José, STC15)
Para dar feedback, José também destacou o elevado número de alunos e a
dificuldade de diferenciar o feedback dado a cada um deles. A escrita do feedback
adequado a cada um dos alunos implicava o conhecimento pedagógico dos alunos e a
gestão das suas expectativas relativamente à escola. José apresentava alguma
sensibilidade para a gestão do feedback dado de modo a não desmotivar e, pelo
contrário, incentivá-lo à participação e ao envolvimento nas tarefas seguintes:
Não posso excluir os alunos. Está errado! É muito forte, não é isso que
devemos fazer é necessário apoiar os alunos e gerir as suas expectativas
219
para que continuem a trabalhar cada vez mais e não desmotivem. (José,
STC13)
A escrita, também, não foi uma tarefa fácil e por vezes funcionou como um
constrangimento. José demorava muito tempo a analisar os relatórios dos alunos e a
tomar decisões sobre o feedback a atribuir, o que por vezes causava algum stress na
preparação da segunda aula, uma vez que as tarefas foram concretizadas em aulas
consecutivas. Um constrangimento motivado pelo número de alunos da turma. Para José
foi minimizado ao longo do desenvolvimento deste estudo porque agilizou o seu próprio
método de atribuição de feedback escrito e, com o decorrer do tempo, essa tarefa,
tornou-se mais fácil. José passou a partir da tarefa T3 a valorizar o processo de
resolução e, por isso, assumiu o compromisso de destacar alguns tópicos ao debruçar-se
sobre a 1.ª fase dos relatórios escritos:
- remeter os alunos para o que está escrito na proposta de trabalho;
- colocar em confronto ambiguidades na resposta;
- recolocar o aluno na concretização da tarefa;
- clarificar o que pretendo que os alunos concretizem;
- encaminhar a partir das estratégias definidas pelos alunos;
- apelar ao registo das tentativas bem, ou mal, sucedidas na resolução de
um problema;
- apelar à apresentação de justificações. (José, STC13)
No que diz respeito planificação das práticas avaliativas, José refere o mal-estar
que sentiu na seleção das tarefas relativamente à adequabilidade da tarefa ao que se
propunha desenvolver. Ao escolher as tarefas que tinham potencialidades para ajudar os
alunos na promoção da autorregulação da aprendizagem da matemática tinha em conta o
tempo para a sua concretização, as características dos alunos, os conteúdos matemáticos
e a sua contextualização no programa da disciplina:
Quando escolho a tarefa tenho em conta muitos aspetos e isso angustiame: são as perguntas certas? São dúvidas minhas, mas tenho em conta os
alunos, o número de aulas, os temas matemáticos e o seu enquadramento
no programa da disciplina. (José, STC11)
Considerando
que,
os
seus
constrangimentos
aumentavam
depois
da
implementação da 1.ª fase pela necessidade de complementar, através do feedback
escrito, o dizer oral através do questionamento em sala de aula. José apresentou,
também, alguns constrangimentos em prever o que diria no questionamento oral e na
tipificação do feedback escrito:
Não consigo fazer previsões a prazo, não sei que questões vou
fazer…depois saem-me! Fico stressado é verdade, mas fico pior porque ao
220
ter de escrever o feedback tenho obrigação de completar o questionamento
e dar a volta a questões que verifico não terem sido ultrapassadas. (José,
STC13)
A necessidade de cumprir um programa por módulos, num curso profissional,
limita, segundo José, a sua gestão do tempo para a concretização de tarefas com o
propósito de promover a autorregulação. Essas tarefas obrigam a que se disponibilize
mais tempo aos alunos para desenvolverem tarefas para promover a autorregulação,
através da reflexão, do estudo de várias opções de resposta, etc., sem a preocupação,
apenas, de saber se as respostas estão certas ou erradas:
O tempo é um fator importante para o professor e para os alunos. O
professor precisa dele para o dar aos alunos. Precisamos deixar os alunos
refletirem, pensarem, equacionarem várias opções, investigarem e não
responderem apenas! A maioria dos alunos responde, está certo ou errado,
mas não se preocupa em saber porque e o professor também não deixa que
isso se concretize na sala de aula. (E2J)
A organização da escola por turma inclui na mesma turma alunos com graus de
desenvolvimento escolar e ritmos de trabalho bastantes diferentes, o que é um
constrangimento organizacional à promoção da autorregulação. Sistematicamente,
enfrenta o dilema de confrontar trabalhos muito bons com trabalhos muito maus e
obriga-se à compatibilização de ambos em sala de aula:
As turmas de nível poderiam ser uma boa estratégia. Assim, tenho alunos
muito bons e outros muito maus, gerir isso obriga-me a não permitir que
uns avancem muito e que os alunos se mantenham em contacto. (José,
STC11)
Embora José equacione a possibilidade dos alunos interagirem e se entre
ajudarem, a simplificação das tarefas a implementar para que todos os alunos da turma
se sintam incluídos e as realizem, subestima as capacidades de outros alunos e acresce o
trabalho do professor, quer no questionamento em sala de aula, quer no feedback escrito
nos relatórios de duas fases.
221
Síntese
José é um professor com alguma experiência letiva, mas não apresentava a
consciencialização da importância de valorizar as práticas avaliativas para promover a
autorregulação, na aprendizagem matemática. A interação professor – alunos (IP-A) e o
relatório escrito em duas fases (RE) trouxeram a José uma nova forma de trabalho, em
contexto de trabalho colaborativo, a planificação, a seleção de tarefas e, na sala de aula,
uma maior aproximação entre a interpretação do professor e a interpretação do aluno a
propósito do texto das tarefas e das respostas – através do questionamento oral – e a
possibilidade de atribuir feedback aos alunos antes de os seus trabalhos estarem
concluídos – através dos relatórios escritos em duas fases.
Mesmo tratando-se de duas práticas avaliativas de natureza diferente, é possível
identificar a promoção da autorregulação da aprendizagem matemática através da
diferenciação pedagógica em ambas (Santos, 2009). Em aula, José remeteu os alunos
para os seus próprios produtos, fazendo-os refletir e verificar as suas respostas, para que
identificassem erros, dificuldades e verificação da razoabilidade de resultados, nos
temas Trigonometria, Geometria e Funções. Sendo tarefas executadas, essencialmente,
individualmente, embora tenha existido partilha na exploração e na confrontação de
procedimentos e resultados, cada aluno expunha as suas dúvidas usando a sua própria
linguagem e foi encaminhado a partir das suas próprias palavras. O questionamento
apelava aos recursos a diferentes tipos de representação dos objetos matemáticos –
gráfica e analítica, predominantemente – e procurava-se adequado às necessidades
manifestadas pelo aluno num dado momento, específico, na concretização da tarefa,
tendo, por vezes, assumido a solicitação de confronto entre os registos escritos e a
explicação oral. Nos relatórios escritos, a diferenciação pedagógica emergiu num
momento inicial ao assumir-se uma estratégia de avaliação sem classificação. A
concretização de relatórios individuais acentuou, também, a adequabilidade do feedback
escrito ao trabalho de cada um dos alunos. O feedback escrito recorreu, frequentemente,
à colocação do aluno em confronto com as ambiguidades da sua resposta e ao
encaminhamento do aluno a partir da sua produção escrita. Identificando o que estava
errado, nomeadamente nos cálculos com condições que envolvem a Trigonometria, e
apoiando a continuidade de uma estratégia de resolução, em geral nos itens mostre que.
O feedback escrito à 1.ª fase dos relatórios escritos procurou ajudar a clarificar a
222
resposta dada pelo aluno através do apelo ao registo das tentativas bem, ou mal,
sucedidas, à apresentação de justificações e ao incentivo à melhoria dos trabalhos.
A interação professor – alunos permitiu aumentar o conhecimento do professor
acerca dos alunos, sobre as dificuldades de comunicação escrita e oral, a fraca conexão
entre conteúdos de Trigonometria e Geometria, o modo de aumento da compreensão do
conteúdo matemático, o estimulo a dar aos alunos, alertando para a diferença entre a
verificação de alguns casos particulares e a generalização de uma propriedade, e como
manter os alunos motivados. Os relatórios escritos também permitiram conhecer as
estratégias seguidas pelos alunos para obter uma resposta, ou orientar o caminho a
seguir, valorizando o processo de resolução, e promover a aproximação entre o produto
do aluno e uma resposta exemplar. Quer na primeira prática avaliativa, quer na segunda,
a necessidade de adequar as tarefas ao trabalho que desenvolve em sala de aula com os
alunos levou José a colocar perguntas que permitissem aos alunos autocorrigirem as
suas produções, recoloca-los na concretização da tarefa, ajudando-os através do
estabelecimento de analogias entre o que já fizeram em momentos anteriores, com a
clarificação do que pretendia que os alunos concretizassem e promovendo a completude
de respostas.
Na promoção de atitudes autorreguladoras da aprendizagem matemática José
passou por alguns constrangimentos. Questionar a partir dos erros e das dificuldades dos
alunos só foi possível depois de José desenvolver um campo de entendimento professor
– aluno, em que José não corrigia os erros mas aceitava-os como naturais num processo
de aprendizagem. Também, a falta de hábitos de valorização do trabalho em aula, sem
classificação, impôs a necessidade de clarificar critérios de avaliação e promover
atitudes de participação, e envolvimento, na concretização das tarefas, em que são
fundamentais a ajuda dos pares, e do professor, e a aceitação, por José, de que o
relatório escrito só seria considerado um produto final depois da 2.ª fase de realização.
A comunicação matemática nos itens de Trigonometria e de Funções e o domínio de
conteúdos matemáticos nem sempre se situavam nos níveis mínimos, pressupostos por
José, para alunos a frequentarem o 10.º ano. Foi necessária a intervenção de José para a
recordação de alguns pré-requisitos e para o domínio de conhecimentos e propriedades
previstos para o 3.º ciclo, por exemplo fórmulas e identificação de variáveis.
No quotidiano da sala de aula, José conciliou a interação professor – alunos e o
relatório escrito através do questionamento oral e do feedback escrito. Procurou-se uma
seleção de tarefas que integrasse abordagens diversificadas e que mantivesse os alunos a
223
trabalhar a um nível elevado de exigência. Para isso, na mesma tarefa, os alunos
trabalharam individualmente ou em grupo consoante a natureza das tarefas e as
potencialidades que apresentam para promover a autorregulação. Nuns casos, o
principal interlocutor do aluno foi o professor, em outros, o trabalho não foi confirmado
nem desmentido por José, sendo a responsabilidade de validação do próprio grupo. Em
particular, nos relatórios escritos, individuais, os principais interlocutores do aluno
foram o guião de relatório em duas fases e a tabela de descritores que permitia ao aluno
a aproximação ao nível exemplar, após feedback escrito. Em IP-A, verificou-se uma
maior preponderância de José para promover a manutenção do envolvimento do aluno
na execução da tarefa. Em particular, na Trigonometria e na Geometria, possibilitando
abordagens novas e procurando desdramatizar a perceção de dificuldade dos alunos. Em
RE, José procurou, frequentemente, avaliar o domínio de conhecimentos e propriedades,
dar sugestões para a ultrapassagem de erros e dificuldades e propor extensões da tarefa
que proporcionassem um trabalho matemático não elementar.
224
CAPÍTULO 7 – MARIA
Apresentação
A Maria é uma professora com 25 anos de serviço, está há 24 anos na atual
escola. A sua formação inicial é o bacharelato em engenharia civil do Instituto Superior
de Engenharia de Lisboa, tendo realizado a profissionalização em exercício na
Universidade Nova de Lisboa – Faculdade de Ciências e Tecnologia. Em 2001,
completou o curso de estudos superiores em administração escolar. Na escola, assumiu
o cargo de diretora de turma e, mais do que uma vez, representante do departamento
curricular de Matemática. Durante vários anos letivos pertenceu ao Conselho
Pedagógico, ao Conselho Diretivo e à Assembleia de Escola. Nos últimos anos, tem
integrado a equipa do secretariado de exames e é classificadora de exames nacionais de
Matemática A – 12.º ano. Em 2008/2009, fazia parte da Assembleia Constituinte e era
diretora, ao nível de escola, do curso profissional de informática de gestão.
Na formação contínua, Maria tem procurado ações de formação que promovam a
atualização do seu conhecimento profissional e didático. Ultimamente, frequentou ações
relacionadas com software de geometria dinâmica e avaliação das aprendizagens. No
entanto, destaca aspetos como a partilha de saberes e a troca e experiência como sendo
as mais-valias da formação contínua:
Na formação aprende-se muito. Fico a saber como lecionam nas outras
escolas, trocam-se experiências e partilho o que sei sobre um determinado
assunto, ou como fiz com os meus alunos, e aprendo como os outros
fazem. (E1M)
Ao nível da atividade letiva, lecionou o 3.º ciclo nos primeiros anos de profissão,
mas, ultimamente, tem lecionado apenas no ensino secundário. No ano letivo
2008/2009, lecionou Matemática A – 12.ºano, Matemática A – 10.ºano e Matemática do
curso profissional de informática de gestão. Foi associada da Associação de Professores
de Matemática (APM) no início da década de noventa do século passado, aquando da
profissionalização.
Maria é vista, pelos seus pares, como uma professora que reflete bastante sobre a
sua prática. Auto questiona-se, frequentemente, sobre as opções didáticas e
metodológicas que assume em cada uma das suas turmas. Está sempre disponível para
225
aprofundar os seus conhecimentos profissionais e para procurar resolver os problemas
de aprendizagem, identificados nos alunos:
Enquanto profissional sinto-me sempre com a ideia determinada de que
tenho ainda muito a aprender e a investigar. Em relação aos outros, penso
que terão uma ideia positiva acerca do meu trabalho mas, a minha grande
preocupação são os alunos e é a eles que procuro dar resposta. Às
dificuldades deles. (E1M)
Experiência profissional
Planificação. Relativamente à planificação das aulas, a Maria destaca a
preocupação com o rigor científico dos conceitos e propriedades da Matemática, em
paralelo com a diversificação das atividades em aula:
Na planificação pensa-se em todos os pormenores da aula. Para além de
escolher as tarefas, penso nos conceitos e propriedades que vou dizer.
Tenho sempre muito cuidado com aquilo que os alunos escrevem no
caderno, são os conceitos matemáticos e isso é muito importante, tenho de
ser muito rigorosa mesmo quando procuro diversificar as atividade em
aula. (E1M)
Nem sempre reduz a planificação à forma escrita, principalmente quando a aula se
desenrola através da exploração de uma tarefa. Nestes casos, Maria prefere escolher
uma boa tarefa que ilustre bem os conceitos que pretende abordar e, a partir daí, segue o
rumo que os acontecimentos tomam em sala de aula. Assume, mesmo, que as
planificações demasiado definidas a deixam um pouco nervosa e incomodada porque,
em aula, tem dificuldade em se afastar do que estava pré-definido:
Prefiro ter uma tarefa e a partir dela ir introduzindo os conceitos à medida
que são necessários. Sigo a ordem traçada pelos alunos, vou dando as
coisas que fazem falta, tenho em linha de conta a necessidade de responder
a um problema, a tarefa. As planificações demasiado pré-estabelecidas
fazem-me comichão, se algo corre mal fico muito atrapalhada. (E1M)
Maria é um pouco desligada do cumprimento das planificações. Nas suas
palavras, não se preocupa muito em fazer balanços entre a planificação e a
concretização. Apenas nas aulas de introdução de conhecimentos novos afere se a
exploração efetuada corresponde à planificação pré-definida:
Nas aulas em que pretendo introduzir novos conceitos, tenho sempre o
cuidado de verificar se cumpri a planificação, ou seja, se não fugi ao
planificado. Quando deteto que os alunos não aprenderam ou algum
conceito ficou mal esclarecido, retomo, novamente, os conceitos e tento
que os alunos fiquem esclarecidos. (E1M)
226
Maria afirmou que recorre frequentemente ao manual escolar dos alunos porque é
um recurso disponível para todos, inclui as tarefas que servem de motivação para os
alunos e associa os conceitos e as propriedades de forma integrada e, muitas vezes,
pertinente. Assume não ter muita criatividade para inovar e recriar tarefas e, por isso,
prefere escolher uma tarefa conhecida a conceber uma original:
Há muitas tarefas no livro deles [os alunos], prefiro essas. Têm um
encadeamento lógico, seguem uma determinada ordem na exploração dos
temas matemáticos, e já estão feitas! Eu não tenho jeito nenhum para
construir as minhas próprias tarefas e quando o faço escapa-se sempre
alguma coisa. Por isso, o livro é um bom instrumento de planificação.
(E1M)
Maria aprecia as tarefas de investigação e exploração de conceitos, e gosta menos
dos problemas. Segundo Maria, o enunciado de um problema normalmente é muito
complicado, deixa-a desorientada e aos alunos também. Não se refere apenas ao enredo
do problema, às vezes uma realidade semiconstruída, mas também distingue a
possibilidade de resolução de alguns problemas sem recorrer às ferramentas
matemáticas, aspetos que não são do seu agrado:
Os problemas, alguns, são confusos e os alunos, às vezes, nem precisam de
saber matemática para os resolver. Isso não me agrada. Não premeia o
trabalho e o esforço que os alunos fazem ao estudar matemática. Outro
aspeto, que não gosto, é, às vezes, o enunciado descrever uma realidade
que não existe, para quê? (E1M)
Em complemento, Maria refere a realização de tarefas de investigação e
exploração de conceitos, como uma mais-valia para o processo ensino aprendizagem,
por valorizar o trabalho realizado pelos alunos e permitir ao professor a orientação do
caminho seguido pelos alunos. Nestas tarefas, Maria destaca a intervenção do professor
para ajudar o aluno e para desenvolver o processo ensino aprendizagem, avaliando e
ajustando o seu trabalho àquilo que os alunos conseguem fazer e àquilo que lhes
solicita:
Nas tarefas que fazem na aula eu vejo e guio os caminhos que devem
seguir. Posso valorizar o que cada um [aluno] está a fazer, ou identificar
dificuldades e ajudá-los [os alunos], ou até posso chegar à conclusão que a
tarefa está a revelar-se demasiado complicada para a maioria dos alunos e
proceder a algumas simplificações no momento, traçar outro caminho e
voltar a aprofundar aquele assunto noutra altura. Estas tarefas dão-me
alguma liberdade e permitem valorizar o esforço dos alunos. (E1M)
Relativamente ao método de trabalho em aula, Maria afirmou que faz duas ou
três vezes em cada ano letivo trabalho com intencionalidade de trabalho de grupo (mais
227
de dois alunos por grupo). No dia-a-dia, propõe as tarefas e os alunos desenvolvem-nas
segundo as suas próprias afinidades e características, individualmente ou a pares (como
se encontram organizados na sala de aula). Segundo Maria, a razão de não se preocupar
muito com a forma de trabalho em aula, deve-se ao facto de apoiar muito os alunos na
aula, quer esteja em ambiente de avaliação formal (testes escritos em tempo limitado)
ou não. O apoio que dá aos alunos em aula, segundo Maria, deve tornar-se sempre
significativo para o aluno por isso não se preocupa muito se o faz muitas vezes, ou
poucas, ou em que contexto:
Nas aulas não consigo ficar a observar os alunos, estou sempre a ajudálos, mesmo nos testes. Estarem em grupo ou não é a mesma coisa. Eles já
me conhecem, sabem que podem pedir ajuda a mim ou aos colegas.
Quando vejo os trabalhos que fazem procuro identificar o significado
atribuído ao trabalho realizado, descortinar o que aprenderam realmente.
Por isso, individualmente, pares ou grupos maiores, organizo isso duas ou
três vezes por ano. (E1M)
A aula de Matemática. Maria concebe a aula de Matemática como um espaço de
constante trabalho e entreajuda. Em aula, faculta o apoio aos alunos necessário para a
concretização das suas aprendizagens e permite as interações professor – aluno ou aluno
– aluno que ajudam a rentabilizar essas aprendizagens. Não se vê a agir de outra forma.
Maria considera-se um guia e um facilitador para a aprendizagem:
O meu papel é criar contextos de aprendizagem, interações entre alunos,
deles comigo, e apoiar, apoiar e continuar a apoiar. Se não o fizer na aula,
como o poderão fazer depois? A aula tem de ser aproveitada pelos alunos
para aprender e o professor tem o papel de guiar e facilitar esses contextos.
(E1M)
Por ser muito comunicativa, Maria tem facilidade de relacionamento com os
alunos e proporciona momentos favoráveis à aprendizagem através da discussão, do
confronto de ideias e do feedback. É na aula que procura perceber as dificuldades dos
alunos, e procura interagir de forma a possibilitar a sua ultrapassagem. A componente
comunicativa da aula de Matemática é a que agrada mais a Maria. É a partir dessa
comunicação que define as suas prioridades de intervenção e as suas estratégias de
ensino:
A comunicação em aula dá-me a informação que preciso. A partir desse
processo comunicativo ajudo os alunos e ajudo-me a mim, isto é, consigo
identificar o estado de aprendizagem dos alunos em alguns temas e ajustar
o meu processo de ensino naquilo que são as necessidades dos alunos.
(E1M)
228
Na sua opinião, por um lado, o professor, nas aulas, deve desempenhar um papel
multifacetado, sendo alguém que inova, fomenta a descoberta, leva à experimentação e
à reflexão sobre os conhecimentos adquiridos, incentiva o trabalho e questiona, por
outro lado, o aluno deve ser um interveniente ativo no processo ensino aprendizagem,
pois quando os alunos se envolvem nas tarefas com afinco, melhoram as suas
competências, elevam a sua autoestima e aperfeiçoam as suas performances:
Quando os alunos estão motivados e com vontade de participar, permitem
um feedback positivo e as aulas correm bem. Penso que os alunos gostam
das aulas com tarefas diversificadas, em que participem ativamente,
fazendo com que a aprendizagem tenha sido uma descoberta. (E1M)
Segundo Maria, as suas aulas começam com uma pequena atividade de
exploração, sempre que possível ligada ao real, ou com um problema pendente da aula
anterior, ou com um assunto não relacionado com a Matemática e, de seguida, procura
fazer a ligação entre esse começo e os conceitos matemáticos planificados para esse dia.
Propõe uma tarefa, ou a resolução de um exercício, ou uma ficha de exploração de
conceitos, em que os alunos investigam e registam no caderno diário as conclusões na
forma de pequenos relatórios e/ou composições. Durante esse trabalho dos alunos,
Maria circula pela sala e apoia individualmente os alunos, intervém comentando e
corrigindo os avanços e recuos que os alunos vão conseguindo:
Sou eu que dinamizo a aula, mas não considero que faça aulas
expositivas. É verdade que não me calo. Mas, essa comunicação não é
unidirecional, de professor para aluno, sou eu e eles [os alunos] a interagir,
a participar, a discutir, a corrigir e a aprender. (E1M)
Quando é possível inclui as tecnologias, nomeadamente as calculadoras gráficas e
os applets da internet. No entanto, não se preocupa muito com isso e justifica-se com o
domínio que os alunos demonstram das tecnologias. Ressalva as situações em que é
planificada a realização de uma tarefa específica, em comum acordo com os colegas do
departamento:
A calculadora faz parte da aula de Matemática. O resto acontece às vezes,
mas não é obrigatório. Às vezes faço, mas os alunos dominam muito bem
o software disponível na internet. Quando combinamos em departamento
isso é diferente, aí faço. (E1M)
Quando questionada acerca da reação dos alunos às tarefas que propõe, não se
manifestou incomodada e acrescentou que procura sempre valorizar a parte positiva
daquilo que os alunos possam manifestar. Refere-se à necessidade do “querer aprender,
para o conseguir fazer” (E1M), para salientar que os alunos devem apresentar em aula
229
uma postura de empenho e constante interesse para que possam progredir nas suas
aprendizagens. Apesar de ser um aspeto importante, reconhece que nem sempre é assim:
É normal, em cada turma há uns alunos mais empenhados e outros menos.
Mas, eu valorizo muito o trabalho. Quem tem disponibilidade para
trabalhar e quer fazê-lo consegue ultrapassar as suas dificuldades e atinge
resultados, eu dou uma ajudinha! É necessário empenho, claro que é!
(E1M)
Segundo Maria, os problemas de aprendizagem motivados pela falta de trabalho
com afinco nas tarefas que são propostas deve-se, essencialmente, a fatores exteriores à
própria escola. Os motivos sociais são apontados como os principais: “as famílias têm
muitos problemas e isso afeta os alunos. Eu compreendo essas situações, há muito
desemprego e divórcios, etc…” (E1M).
Sobre o balanço e reflexão que faz sobre a concretização de uma aula, Maria
refere as planificações individuais, onde inclui os exercícios e problemas selecionados,
o manual adotado na escola, “por ser uma ferramenta útil aos alunos que, por vezes, se
desvaloriza” (E1M), e as tarefas de exploração. Apresenta alguma angústia
relativamente a esse balanço, não sabe como o quantificar, mas acrescenta que só o
consegue a partir das avaliações sumativas formais:
Eu: Quais os dados que usas para esse balanço?
Maria: Eu gostava de valorizar outras coisas para além dos testes, mas a
realidade é que acabo por ficar muito centrada nos resultados dos testes.
(E1M)
O grande destaque vai para a planificação realizada, em colaboração, com os
restantes professores do grupo disciplinar. Nessa definem-se percursos tendo em conta o
programa da disciplina. Maria considera que deve refletir sobre o desenvolvimento
dessa planificação, pois reflete até que ponto a concretiza, por ser essa a planificação
que serve de referência ao que faz no dia-a-dia, em aula:
No início do ano letivo, os professores que lecionam o mesmo nível
reúnem-se para planificar aulas. É feita uma planificação a longo prazo e
também a médio prazo. Nestas planificações, temos sempre (negrito
solicitado pela entrevistada) presente o programa da disciplina e as
orientações para os vários níveis de ensino, e essas sim, para mim são a
referência do trabalho que desenvolvo. (E1M)
Avaliação. No que diz respeito à planificação da avaliação, Maria refere que,
numa fase inicial, não tem por hábito equacionar as diferentes formas de recolha de
dados para a avaliação. Embora, dos seus comentários se deduza que tem em
consideração alguns modos e instrumentos de avaliação:
230
Na preparação das aulas, não costumo pensar muito na avaliação. É claro
que fazemos vários trabalhos em aula, individuais ou em pares, que
servirão para a avaliação. (E1M)
Maria considera que a prática avaliativa é uma tarefa complicada, mas
necessária para a regulação das aprendizagens, apesar de ter dificuldade em distinguir a
avaliação sumativa da avaliação formativa uma vez que, na sua opinião, a primeira faz
parte da segunda. Mas, também, tem em conta a avaliação das aprendizagens através do
envolvimento dos alunos na aprendizagem, que considera pouco valorizada enquanto
aspeto importante da sua prática avaliativa:
Sinto, muitas vezes, dificuldades quando me confronto com a excessiva
valorização dada aos testes escritos. O trabalho, o empenho, o interesse
revelados na aula não estão valorizados como eu gostaria. O saber-fazer,
procurar saber mais, etc… não servem de grande coisa na avaliação e os
testes valem de mais, o que aumenta a minha dificuldade em avaliar.
Depois a confusão em avaliar, os testes são formativos, mas também
sumativos, o que aumenta a minha dificuldade em planificar essa tarefa.
(E1M)
Quando lhe foi pedido para escolher quatro palavras que contribuem para formar
um “bom” aluno em Matemática, Maria elege competência, feedback, motivação e
compreensão. Acerca do significado atribuído a cada um dos termos apresentados na
entrevista, Maria salienta, novamente, a necessidade de valorizar o trabalho
desenvolvido pelo aluno. Mostra o processo de ensino, aprendizagem e avaliação como
a aquisição de conhecimentos através do trabalho para o desenvolvimento de
competências, e inclui a avaliação como uma forma de verificação de aquisições. Num
misto entre o fazer e o saber, com o sucesso definido como a concretização de objetivos,
Maria mostra abertura para a inclusão da perspetiva do aluno, nomeadamente, no que
diz respeito à importância de alimentar e manter a motivação deste para aprender:
Aprendizagem, a forma como se adquirem conhecimentos e se
desenvolvem competências; Avaliação, um sistema com várias formas e
modalidades que permite verificar os conhecimentos adquiridos;
Competência, é o saber-fazer com sucesso uma determinada tarefa;
Compreensão, forma de aprender conceitos; Ensino, a transmissão de
conhecimentos; Feedback, o que permite regular e reorientar o processo de
comunicação; Interação, partilha de saberes; Motivação, o processo que
promove a predisposição para aprender; Regulação, o processo que
permite interagir com os intervenientes e efetuar alterações; Sucesso, a
concretização de objetivos. (E1M)
Relativamente à aprendizagem, Maria refere que os alunos aprendem Matemática
experimentando, investigando e refletindo e que “muito dificilmente aprendem se o
231
professor se limita a despejar conteúdos” (E1M). Maria acrescenta, ainda, que em quase
todas as aulas promove atividades de verificação das aprendizagens com o papel,
essencialmente, regulador da aprendizagem:
Em todas as aulas procuro verificar se o aluno aprendeu, com tarefas
diversificadas: ficha de trabalho, exercícios do manual ou atividades de
investigação, perguntas. Quando deteto alguma falha, prontamente, tento,
novamente, abordar os conceitos recorrendo a ligações com aprendizagens
anteriores ou colmatando essa falha. (E1M)
Maria vê a aprendizagem como uma acumulação de vários processos. Do seu
ponto de vista, não basta praticar a Matemática através de muitos exercícios repetitivos,
mas os alunos devem diversificar os tipos de tarefas em que se envolvem, trabalhar e
estudar. Um “bom” aluno em Matemática é aquele que não desiste, que não se importa
de tentar, errar, e tentar novamente até ser bem-sucedido nas tarefas propostas. O
sucesso do aluno, na perspetiva de Maria, depende mais do próprio aluno do que do
papel do professor. Segundo Maria, o professor é um orientador que mostra um
caminho, considerado por si como correto, e o aluno tem que trabalhar, fazer as suas
próprias descobertas e avançar com vista à concretização das aprendizagens:
Tento sempre incentivar os alunos a não desistirem, e a procurarem
melhorar, dando-lhes palavras de confiança para reforçar a sua autoestima.
Por exemplo, como no curso profissional de informática de gestão a
maioria dos alunos tem dificuldades na aplicação de conceitos e na
resolução de problemas, para uma aula do módulo A4 (trigonometria),
elaborei uma ficha com um jogo sobre os conceitos de ângulo orientado. O
jogo resumia-se a uma roleta dividida em seis setores iguais e com várias
regras. Formei duas equipas, com 10 alunos cada, e como a roleta, em cada
setor, indicava uma quantia em euros, a finalidade era descobrir qual
deveria ser a amplitude do ângulo, em graus ou em radianos, de forma a
atingir a finalidade. O jogo teve muito impacto junto dos alunos,
envolveram-se e penso que os conceitos foram adquiridos. (E1M)
A utilização das TIC nas aulas pode ser uma forma do professor promover a
motivação nos alunos, mas na opinião de Maria, o professor deve, principalmente, ser
capaz de desenvolver no aluno a capacidade de selecionar informação, levantar
hipóteses, pesquisar informação e verificar os resultados obtidos.
Depois das aulas, ao fazer uma reflexão sobre a concretização das mesmas, Maria
refere que tem tendência para, normalmente, fazer mais balaços negativos do que
positivos. Considera-se uma pessimista, embora reforce a importância de retirar ilações
sobre a concretização, especialmente quando as expectativas ficam aquém do que era
esperado. No que diz respeito ao balanço realizado pelos alunos, Maria acrescenta que
232
os alunos o fazem, salientando o que gostariam de fazer e o que querem repetir.
Raramente os alunos se referem às aulas que não gostam, talvez com receios da atitude
da professora. Segundo Maria, os alunos gostam de aulas práticas, pouco expositivas,
que lhes possam permitir uma maior intervenção. Considera que quando os alunos se
manifestam, criticamente, sobre a aula, é porque algo não correu bem ou seja a aula não
resultou:
Os alunos gostam de ter a oportunidade de se exprimirem, de errar e de
aprender com os erros. Quando isso acontece, eles gostam e não dizem
nada. Quando se manifestam, é porque a aula correu menos bem. Gostava
de dar mais importância ao que são as reações dos alunos, embora
ultimamente já o faça frequentemente, mas às vezes isso não é possível.
(E1M)
Maria destacou a importância dos alunos se envolverem nas tarefas da aula e a
necessidade da participação dos alunos para tornar as aulas mais dinâmicas e criativas.
Ao participarem ativamente, os alunos, fazem perguntas, interagem uns com os outros,
e aprendem:
A aula resulta quando se verifica que os conteúdos, que se pretendiam
ensinar, foram no seu todo, ou em grande parte apreendidos. Isso verificase quando, no final, apresentamos umas questões sobre os conteúdos e os
alunos rapidamente, sem levantar questões, respondem. A participação
mostra que aprenderam mas, também, nos deixa satisfeitos com o
envolvimento dos alunos nas atividades da aula. (E1M)
Práticas avaliativas
Nesta parte dou relevância às práticas avaliativas com a intencionalidade de
promover a autorregulação da aprendizagem matemática, desenvolvidas por Maria a
partir das sessões de trabalho colaborativo. Maria envolveu-se na conceção e definição
das duas práticas avaliativas aqui descritas, interação professor – alunos (IP-A) na aula e
relatório escrito (RE) em duas fases. A interação professor – alunos diferencia-se pelo
questionamento de Maria em sala de aula, enquanto o relatório escrito em duas fases
distingue-se pelo feedback escrito dado ao primeiro produto resultante do trabalho
escrito dos alunos.
Cada uma das duas práticas avaliativas é apresentada tendo em conta três
momentos distintos: antes da aula, durante a aula e depois da aula. No primeiro
momento incluo o trabalho relativo à planificação, no segundo a concretização e no
233
terceiro, e último, a reflexão. O primeiro e terceiro momentos aconteceram nas sessões
de trabalho de natureza colaborativa, com a minha presença e a dos dois professores –
casos. O segundo ocorreu na sala de aula de Maria, com a minha presença, e com o
envolvimento da turma designada por turma A.
A interação professor - alunos na aula (IP-A)
A interação professor – alunos na aula (IP-A) de Maria foi observada em seis
tarefas, o que corresponde a onze aulas.
Antes da aula
Maria apresentou-se sempre participativa e interventiva nas sessões de trabalho de
natureza colaborativa. Nessas sessões, foi feita a seleção e adaptação de tarefas a propor
aos alunos em aula.
Intervenção avaliativa do professor. A prática avaliativa implementada por
Maria foi definida e planificada no seio de um contexto de trabalho colaborativo,
visando a promoção da autorregulação da aprendizagem matemática pelos alunos. Num
registo associado à mudança de práticas letivas, Maria procurou fomentar a qualidade
da aprendizagem matemática através da promoção da autorregulação. Salientou que
procura a mudança de comportamento do aluno e que para isso procura apresentar
formas de trabalho, na aula, diversificadas, visando mudar as suas práticas:
Os alunos precisam saber mais, aprender mais, responsabilizarem-se por
aproveitar as oportunidades que a escola lhes oferece. Mas, isso deve
começar também por mim. Eu devo propor formas diversificadas de
trabalho na aula para que [os alunos] mudem comportamentos, invistam na
escola e sintam que fazem parte de um processo que ajudam a construir – o
processo de ensino e aprendizagem. (EM1)
Por opção do grupo de trabalho de natureza colaborativa, a prática avaliativa que
se refere ao questionamento na sala de aula foi denominada por interação professor –
alunos (IP-A) na aula. Maria defendeu esta designação por considerar que nem todo o
feedback que o professor dá em aula se traduz na forma oral e na forma escrita.
Considerou que o facto de fazer algumas expressões faciais também pode ser
considerado feedback:
Maria: Acho bem. Interação na aula de matemática! Inclui o que eu penso
sobre o assunto. Como já disse, as minhas caretas também são um sinal
para os alunos.
José: Também compreendo. Até porque não nos reduz ao ato de perguntar.
234
Maria: A validação é uma interação, propor sugestões, dar uma indicação
para a consulta no caderno diário…entre outros exemplos. (STC8)
A interpretação dada por Maria à prática avaliativa IP-A incluiu o questionamento
que realiza, em aula, na perspetiva de ajudar o aluno a concretizar a tarefa proposta, e de
o levar a refletir sobre essa concretização. Nessa atividade, incluiu a necessidade do
aluno apresentar evidências e justificações das suas opções, que podem ser
desenvolvidas através de sugestões dadas ao aluno e comentários ao seu trabalho. Maria
não excluiu da interação o conhecimento que pode recolher sobre a forma de trabalhar e
sobre a qualidade dos conhecimentos dos alunos:
Posso questionar, mas também posso ajudar … sugerir que consultem o
caderno ou pedir que me justifiquem os resultados a que chegam. Isso
obriga o aluno a pensar sobre o que fez e como o fez, essa reflexão é uma
mais-valia para ele…também para mim, percebo que sabe e como aplica
os seus conhecimentos, é nisso que aposto com frequência. (STC8)
Concordante com a necessidade de evitar corrigir os erros, Maria apresenta
alguma dificuldade em adotar a atitude de não corrigir os erros, nem dar demasiadas
orientações, para a concretização das tarefas propostas. Maria para seguir esse pacto,
coerente com uma prática avaliativa de cariz formativo, aprofundou o texto de Santos
(2002) que, segundo Maria, foi-lhe muito útil e esclarecedor dessa perspetiva:
Gostei mesmo de o ler (refere-se ao texto de Santos (2002)). Estava com
alguns receios da atitude que deveria adotar. Agora, após a leitura, percebi
que posso dizer todos aqueles disparates que digo habitualmente mas, de
uma forma que não corrige os erros, nem orienta demasiado, e é
aproveitado pelo aluno para progredir e desenvolver as suas capacidades,
em particular a autorregulação. (STC12)
A planificação e seleção das tarefas para propor aos alunos, também, mostraram a
Maria a ajuda que poderia dar em sala de aula. Ao usar a adaptação do método
IMPROVE na preparação das tarefas implementadas, Maria refletiu sobre os
conhecimentos e capacidades a desenvolver com cada umas delas, sobre as formas de
trabalho com os alunos, e o apoio a dar-lhes, para que alcançassem as respostas.
Acrescentou que, na sua opinião, o professor serve de modelo para o aluno por isso
deve ser o primeiro a expor as suas dificuldades, a discutir os seus enganos e a
autocriticar-se:
O IMPROVE ajudou na seleção das tarefas e obrigou-me a refletir sobre o
que pretendia fazer com cada uma das selecionadas. Foi importante. Mas,
na ajuda a dar aos alunos não posso deixar de parte essa reflexão, as razões
da seleção de uma dada tarefa e as dificuldades que tive na escolha. O
235
aluno tem de sentir que o professor não é uma divindade, mas é igual a ele
com dificuldades, enganos, etc…só assim pode ser visto como um modelo.
(STC12)
Em síntese, Maria valorizou muito a sua ação na sala de aula. Posicionou-se como
sendo muito interventiva junto dos alunos, funcionando como um modelo de trabalho e
esforço, podendo partilhar dificuldades e questões. Não se viu apenas a questionar, a
procurar justificações e evidências de que as opções de trabalho são as corretas e que
estão devidamente fundamentadas. Para Maria, ajudar o aluno significou trabalhar com
ele, numa prática avaliativa onde predomine o questionamento oral mas também podia
haver lugar para outro tipo de interações e solicitações. A não correção dos erros não
significou aceitar tudo o que os alunos produzem, pode significar, também, que o
professor procurava que os alunos refletissem sobre o que faziam, porque o faziam e
como o faziam. Desta forma, Maria perspetiva a IP-A como uma dupla oportunidade
para os alunos, o desenvolvimento de conhecimentos e capacidades, e para si, a
compreensão daquilo que são as dificuldades e as formas de responder dos alunos.
Seleção da tarefa. Apesar de ter participado em todas as sessões de trabalho
colaborativo e contribuído para o modo de aplicação de todas as tarefas, Maria não
aplicou em sala de aula a tarefa Círculo trigonométrico (T4, anexo 08) e a tarefa
Escrever no computador (T7, anexo 11). A tarefa T7 não foi aplicada porque é uma
tarefa com conteúdos específicos de Matemática para cursos profissionais - proposta por
José. Relativamente à tarefa T4, também proposta por José, Maria considerou que
estava demasiado orientada para um trabalho específico, compatibilizando as
componentes analítica e gráfica da calculadora gráfica, o que não se inseria no percurso
que tinha traçado para o processo ensino aprendizagem dos seus alunos (Matemática A):
Não traz nada de relevante para aquilo que defini para os meus alunos
neste período. Penso que fazem a distinção entre a parte gráfica e a
analítica e também usam a calculadora gráfica com benefício para os
trabalhos que realizam. (STC14)
Relativamente às tarefas aplicadas por Maria, a T1 foi a primeira a ser realizada
pelos alunos da turma A. Enquadrou-se nos conteúdos programáticos que Maria
desenvolvia com os seus alunos de 11.º ano, Matemática A, isto é trigonometria em
triângulos retângulos:
Pode ser um bom começo, gostei da tua proposta. Enquadra-se no espírito
do que ando a fazer neste momento e, como supostamente já dominam as
fórmulas trigonométricas podem responder às questões colocadas para eu
verificar até que ponto as aprenderam. (STC10)
236
Na discussão da tarefa predominou o que fazer para ajudar o aluno na
concretização, em particular, relativamente ao questionamento a efetuar para ultrapassar
dificuldades e erros de cálculo. Maria referiu a possibilidade dos alunos recorrerem ao
caderno diário e à necessidade de recordar alguns conceitos fundamentais de
trigonometria. Maria destacava as propriedades dos conceitos − 1 ≤ sen( x) ≤ 1
e
− 1 ≤ cos( x) ≤ 1 como sendo um contributo para o questionamento e para a
autorregulação dos próprios alunos em trigonometria, uma vez que ao cometerem erros
em cálculos, ou na manipulação algébrica de fórmulas, os resultados encontrados seriam
desprovidos de significado matemático:
Há regras ou conceitos fundamentais e esses podem ajudar os alunos a
verificarem se estão no caminho certo ou não. Por exemplo, erram os
cálculos e chegam a um valor para cosseno superior a 1, devem saber que
é um absurdo, matematicamente falando, pois o cosseno varia de -1 a 1.
Esses conceitos matemáticos valem para esta tarefa e para as seguintes,
ajuda os alunos a regularem os seus desempenhos posteriores. (STC10)
Aquando da discussão sobre a relação entre a tarefa e o método IMPROVE,
método orientador da seleção das tarefas, Maria considerou que o item 1. apresentava
caraterísticas de um exercício e o item 2. de um problema, embora estivesse apenas
focada na complexidade do percurso a realizar pelo aluno até alcançar a resposta. Maria
justificou a sua opinião pela estratégia de resolução que os alunos necessitariam
mobilizar e pelas dificuldades que poderiam emergir no seio do processo de resolução
de cada um dos itens. Para o item 1., os alunos poderiam escrever as fórmulas
trigonométricas e selecionar a fórmula ou conjunto de fórmulas que conduzia ao que era
pedido, através de cálculos. Para o item 2., seria necessário dividir a figura em dois
triângulos retângulos, e a partir daí, através da manipulação algébrica das razões
trigonométricas, obter o resultado pedido. Sendo uma estratégia mais elaborada, o aluno
poderia optar por diversos caminhos:
Um exercício e um problema. Começo pelo item 2., é mais complexo, tem
várias possibilidades de resolução, exige a divisão do triângulo em dois e a
manipulação algébrica das razões trigonométricas, por isto considero-o um
problema. O item 1., depende da seleção da fórmula que pode conduzir ao
que é solicitado, mais fácil…é uma questão de cálculos. (STC10)
Não obstante os aspetos apresentados, Maria mostrou confiança numa bemsucedida concretização dos alunos. Mas, também, para Maria, outro aspeto importante
no desenvolvimento da tarefa seria compreender as dificuldades dos alunos nessa
237
concretização. O trabalho dos alunos serviria para avaliar o desempenho na parte inicial
do tema trigonometria e também, para definir, a possibilidade de trabalhar as fórmulas
trigonométricas e as expressões algébricas:
As tarefas que permitem trabalho algébrico, como esta, com fórmulas e a
necessitar de resolução analítica é uma oportunidade para mim, ou para
qualquer professor. Saberei o que sabem e as dificuldades que têm para
que possa agir. (STC10)
A T2, proposta por José, inclui três exercícios, itens 1., 2. e 3., uma composição,
item 4., e um problema, item 5.. Essa classificação foi obtida, por unanimidade. Maria
voltou a destacar a informação que recolhe do trabalho dos alunos, destacando que o seu
questionamento pode ir no sentido de aprofundar o conhecimento que tem sobre o
trabalho dos alunos e das suas aprendizagens, servindo esse conhecimento a si e aos
alunos:
Uma tarefa que exige algum trabalho e permite recolher informação para
nós e para os alunos. Eu uso essa informação para a minha prática e os
alunos também têm de usar para os trabalhos seguintes. Eu questiono para
compreender os porquês e eles [os alunos] ganham experiência. (José,
STC13)
T3 foi a primeira tarefa trabalhada pelo grupo e sugerida por Maria. A
classificação da tarefa, depois de analisados os pontos do método IMPROVE, não foi
consensual. Maria considerava que cada um dos itens que a constituíam seriam
problemas que os alunos teriam de resolver, enquanto José manifestava-se pela
classificação em exercícios. Esse episódio possibilitou ao grupo a reflexão sobre as
possibilidades de questionamento em cada uma das tarefas e em cada um dos itens. José
defendia uma classificação associada à instrução para a concretização do trabalho e
Maria uma classificação associada ao trabalho concretizado:
José: são três exercícios., determine, mostre que e determine, novamente.
É linguagem que os alunos já conhecem.
Maria: Nada disso, o trabalho deles é que conta. Posso aprofundar como
interpretam o enunciado e a figura, que uso dão à calculadora. Isso é
importante.
José: Sim, importante, Mas, a discussão de estratégias de resolução passa
por isso também. Por exemplo, os alunos podem distinguir o resolva do
determine.
Maria: Nos exercícios, acho eu, vejo mais os erros que os alunos cometem.
Nos problemas, aprofundamos as estratégias e é sobre essas que pretendia
questionar com esta tarefa. (STC13)
238
As possibilidades de trabalho para o aperfeiçoamento de estratégias de resolução
foi um aspeto significativo, em várias das referências de Maria, para justificar a
realização da tarefa pelos alunos. Tendo em conta uma estratégia de continuidade, de
tarefa para tarefa, Maria salientava a necessidade de dar continuidade ao trabalho
realizado nas tarefas anteriores. Maria procurava salientar as analogias que os alunos,
inevitavelmente, faziam com o trabalho concretizado anteriormente. Na tarefa T3,
Maria destacava essa necessidade de ligação com outros trabalhos realizados em aula
com a inclusão de uma nota na tarefa:
Para mim, esta nota vai orientar os alunos para um processo de resolução
que já realizaram anteriormente. É uma estratégia de continuidade para
consolidarem determinadas capacidades e é sobre a aproximação ou o
afastamento dessa nota que vou questionar. (STC13)
A tarefa T5, Cone, foi proposta por mim para efetuar a revisão dos conteúdos de
geometria. Maria considerou a tarefa adequada para trabalhar a geometria do 11.º ano,
possibilitando a associação com a geometria de 10.º ano e com a trigonometria de 11.º
ano. Apesar de incluir muitos conteúdos, Maria realçou o aspeto integrador da tarefa já
que, segundo a própria, geralmente não utiliza tarefas que incluam vários
conhecimentos de temas matemáticos diferentes. Quando isso acontece, os alunos
concretizam com dificuldade e o seu trabalho também fica mais difícil:
Inclui dois temas, geometria e trigonometria, e dois anos, 10.º e 11.º anos,
parece complicado. Não tenho por hábito usar tarefas que integrem vários
conteúdos, são mais difíceis para os alunos e é mais complicado o trabalho
na aula… (STC19)
A tarefa T6 é um problema de aplicação das funções racionais e requer dos alunos
um bom nível de desenvolvimento da capacidade de compreensão, item 1. e item 2.. O
enunciado foi adaptado de um teste intermédio do 11.º ano e, segundo Maria,
considerados dois problemas através do IMPROVE, em que o item 2. visava avaliar o
uso da calculadora gráfica. Emergiam os aspetos relacionados com a estratégia de
resposta (reconhecer os saberes). Maria esperava que os alunos apresentassem
dificuldades de interpretação do enunciado, mas ao nível da utilização da calculadora
gráfica as expetativas eram positivas, em virtude da existência de práticas anteriores na
manipulação desse recurso:
239
Vai ser uma tarefa difícil de compreender, nem sei se vão interpretar
corretamente, mas dá-lhes [aos alunos] as ferramentas necessárias para
resolverem problemas no futuro. O item de calculadora, igualmente difícil
de compreender, poderá ajudar a aferir os procedimentos e avaliar a
qualidade das respostas dadas com recurso à calculadora gráfica. (STC20)
A tarefa T8, dois exercícios (item 1.1 e item 1.2) e um problema (item 1.3), foi
desenvolvida por Maria em apenas uma aula, uma vez que por necessidade do
cumprimento dos conteúdos necessários à realização de avaliação de características
sumativas não foi possível dedicar-lhe mais aulas. Este facto não serviu de maior
relevância, uma vez que Maria considerou que a T8 permitiria sintetizar a unidade das
funções racionais e aliar o procedimento analítico e o procedimento gráfico, destacando
as potencialidades e a exequibilidade de cada um deles. Não se apresentou como
contendo desenvolvimento de conhecimentos novos, antes apresentava-se como uma
tarefa de consolidação e sistematização:
Escolhi-a por ser importante sintetizar e consolidar o trabalho realizado ao
longo do período nas funções. Será a oportunidade para realçar aspetos
importantes para o trabalho em matemática, nomeadamente o
entendimento dado aos processos analíticos e aos processos gráficos.
(STC22)
Método de trabalho. Maria afirma que a forma de trabalho dos alunos em sala de
aula não afeta as suas práticas letivas. Interage bastante com os alunos nas aulas e por
isso mesmo, quer os alunos trabalhem individualmente ou quer trabalhem em grupo,
promove sempre momentos de partilha e de discussão entre eles:
Às vezes esqueço-me de propor trabalho de grupo porque estamos sempre,
na sala de aula, a trabalhar em grupo e por vezes, em grupos, de 2 ou 3
elementos. Isso não me afeta e até sugiro que perguntem uns aos outros.
(EM1)
Mas, para a planificação do trabalho a realizar em sala de aula, e para a
concretização deste estudo, foi necessário planificar a forma de organização dos alunos
em sala de aula. Na tarefa T1, optou-se pelo trabalho em grupo para que os alunos
partilhassem as suas dificuldades na resposta a cada um dos itens. Maria justificou essa
escolha pela naturalidade com que os alunos se envolvem nas tarefas da aula e com a
possibilidade de ultrapassarem as dificuldades de manipulação de expressões algébricas
em conjunto:
Em grupo, organizam-se melhor e já estão habituados a trabalhar assim
sempre. Há outro motivo para preferir o trabalho de grupo, o item 1. exige
o trabalho com as fórmulas trigonométricas e o item 2. com as razões, por
240
isso, em grupo, ajudam-se uns aos outros na escolha e na resolução,
encontrando os valores, …etc. (STC 10)
Para a T2, Maria defendeu que o trabalho em aula tivesse momentos de trabalho
individual e momentos de trabalho em grupo. Inicialmente, os alunos trabalhariam o
item 1. em grupo e os outros três itens individualmente. A partir dos argumentos de
José, Maria concordou que o item 1. devia ser trabalhado em grupo pelos mesmos
motivos apresentados para a T1 e confessou-se convencida pela atribuição de uma
natureza individual ao mostre que, à comparação de resultados e ao determine, nos itens
seguintes:
Acho que sim, o primeiro é semelhante aos da tarefa T1 mas os itens
seguintes requerem alguma reflexão individual, quer o mostre que, quer a
comparação e o determine são de outra natureza. Não tinha pensado nisso.
Mas, realmente, precisam de reflexão individual do aluno. (STC12)
Na tarefa T3, Maria também defendeu a utilização de uma forma de trabalho
mista. Os itens a) e b1) seriam trabalhados em grupo e o item b2) individualmente.
Maria argumentou que o último item, de calculadora gráfica, requer um tipo de
resolução específica, por isso deveria ser resolvido individualmente. Para além da
exploração individual da nota que faz parte do item b2), Maria referiu-se à avaliação das
respostas dos alunos à questão de calculadora com potencialidade de mostrar a evolução
dos alunos na aprendizagem daquele tipo de resposta:
O b2) deve ser individual, não só pela exploração da nota, mas também
para saber o que cada um faz nesse item. Eu estou convencida de que o
resolverão com sucesso, mas poderemos analisar a evolução dos alunos
pela forma como respondem aos itens com calculadora. (STC12)
Maria não aplicou a tarefa T4, mas referiu que os itens de calculadora da T6 e da
T8 chegavam para mostrar que os alunos efetivamente regulam a sua aprendizagem, se
apresentassem cuidado na forma como respondem e se mostrarem preocupação em
incluir todos os pontos solicitados na proposta de trabalho:
Nos itens com calculadora, os alunos mostraram uma abordagem diferente,
uma evolução positiva. Na T4, lembro-me de acompanhá-los e remeter
várias vezes para a nota do enunciado, enquanto na T8 eles [os alunos]
chamavam-me…mas era só para confirmar. (STC 22)
Nas tarefas T5 e T6, optou-se pela forma de trabalho mista. Geralmente, os
primeiros itens em grupo e os que requerem “maior treino” (expressão usada por Maria)
individualmente. Na opinião de Maria, os itens a) e b) da T5 e o item 1. da T6 podiam
ajudar bastante os alunos na compreensão do enunciado dos problemas e por isso
241
deviam ser feitos em grupo para que exista partilha e discussão. Quanto aos itens c) da
T5 e 2. da T6 são um procedimento que os alunos podiam apreender com “maior treino”
neste tipo de itens:
Há processos que podem ser treinados e outros não. Os primeiros itens são
para compreensão da tarefa e isso deve envolver discussão e partilha por
isso prefiro o trabalho de grupo nos itens a) e b) da T5 e no primeiro da
T6. Nos seguintes requerem maior treino dos alunos e, individualmente,
podemos ajudá-los a treinar e isso serve a aprendizagem para um tipo de
resposta. (STC 19)
Maria promoveu o trabalho de grupo em contexto informal. Isto é, o trabalho em
grupo ou individual dependeu do processo que os alunos usavam para responder e dos
objetivos de aprendizagem que preconizava para cada uma das tarefas. Maria não se
referiu ao número de alunos por grupo.
Síntese. Maria privilegiou as potencialidades do trabalho individual ou de grupo
em sala de aula, nas tarefas selecionadas, em função dos percursos de aprendizagem.
Em IP-A, a aposta num trabalho de continuidade, em que as tarefas serviam para
desenvolver a aprendizagem, serviu de mote à seleção das tarefas e do método de
trabalho. Na escolha, Maria procurou que as tarefas incluíssem, também,
potencialidades de questionamento para que conhecesse aquilo que os alunos sabiam, os
erros que cometiam e as dificuldades que tinham e como as ultrapassavam. Não
deixando de ser salientado por Maria, a possibilidade das tarefas escolhidas servirem ao
professor para adaptar o processo de ensino e ao aluno para regular a aprendizagem.
No quadro seguinte, encontram-se sintetizadas as tarefas, os principais objetivos
de aprendizagem e os métodos de trabalho, respetivos.
QUADRO 28: TAREFA/OBJETIVO GERAL/MÉTODO DE TRABALHO EM IP-A (MARIA)
Tarefa
T1
T2
T3
T5
T6
T8
Objetivo geral
Manipular as fórmulas trigonométricas
Aplicar as razões trigonométricas
Resolver problemas
Relacionar a Geometria e a Trigonometria
Desenvolver a capacidade de compreensão
e interpretação
Distinguir o procedimento analítico e o
procedimento gráfico em Funções
Método de trabalho
Díade
Misto: individual e díade
Misto: individual e díade
Misto: individual e díade
Individual
Individual
Durante a aula
A análise da interação professor - alunos na aula (IP-A) é feita a partir dos
momentos em que Maria interagiu com os alunos, adotando uma postura de
242
questionamento. Incluo episódios da interação de Maria com um aluno, ou com um
grupo de alunos, ou com toda a turma, consoante o momento da aula em que ocorreram.
Autorregulação da resposta
Compromisso com as tarefas matemáticas. A tarefa Triângulos (T1) foi
desenvolvida em três aulas. Na primeira aula, ocorreu a exploração da tarefa pelos
alunos com o questionamento de Maria, na segunda, os alunos receberam o produto do
trabalho realizado na primeira aula em conjunto com o feedback escrito e concluíram a
tarefa, e na terceira, Maria discutiu a tarefa, em grande grupo, com a turma. A tarefa foi
proposta para trabalho em grupo, dois ou três elementos por grupo, fazendo Maria uma
distribuição aleatória dos alunos pelos grupos com o cuidado de manter juntos os alunos
observados: Carlos e Joana; Andreia e Patrícia.
Maria entregou a proposta de trabalho em fotocópia, uma folha por grupo, e
circulou pela sala para os apoiar nas dúvidas que surgiam. A primeira questão dos
alunos foi se poderiam consultar o caderno para verificarem as fórmulas, pedido a que
Maria acedeu favoravelmente. Na sua opinião, os alunos estavam um pouco confusos
porque era pedido o valor exato da expressão
1
+ cos α , julgavam eles que se
senα
tratava de uma fórmula:
Os alunos até conheciam as fórmulas que tinham sido tratadas na aula,
mas estavam confusos. Pensavam que eu estava a pedir o valor de uma
fórmula. Inicialmente, não passava pela cabeça deles que teriam de
usar uma fórmula para calcular cos α e outra para calcular senα .
(STC 12)
Maria questionou os alunos sobre o que procuravam (fala 1), mas os alunos não
revelaram, de imediato, essa procura a Maria (fala 2), apesar da insistência (fala 3),
talvez porque ainda não estavam suficientemente confiantes na finalidade daquele
trabalho:
1.
2.
3.
4.
Maria: Querem ver o quê, no caderno?
Carlos: Apenas confirmar se estamos a pensar bem!
Maria: Queres que te diga as fórmulas que existem?
Carlos: Já sabemos, obrigado. (A1M)
O primeiro episódio IP-A também revela alguma insegurança de Maria no
questionamento e na forma de abordar os alunos, pois tinha sido acordado, nas sessões
de trabalho colaborativo, que não seriam dadas orientações muito precisas. Já no
243
desenvolvimento da tarefa, Maria questionou os mesmos alunos, Carlos e Joana, sobre a
forma como organizavam a resposta, não tendo estes alunos reparado que tinham os
cálculos errados:
Maria: Calculam o cos α e depois?
Carlos: Depois do cos α vamos ao senα e já está!
Maria: Mas, têm certeza de que está certo? O cos α ?
Joana: Pois não está! Para a stora dizer isso.
Carlos: Enganei-me?
Maria: Apenas perguntei, mas acho que não pode ser esse o valor. Voltem
à tarefa e analisem todos os dados. É apenas uma sugestão. (A1M)
Maria parecia não conseguir apoiar todos os alunos, e percorria os vários grupos a
alertar para alguns aspetos do enunciado da tarefa. Na situação seguinte, os alunos não
consideraram que o cos α poderia ser positivo ou negativo, pelo que não tiveram a
necessidade de considerar o sinal do cos α na escolha do valor correto:
Maria: Leiam o enunciado. Um ângulo agudo? Diz-vos alguma coisa?
Andreia: Sim, é um ângulo menor do que 90º. Mas isso é importante?
Maria: Não vou responder. Mas, apenas digo que não há dados em excesso
no enunciado da tarefa. (A1M)
Maria remeteu para o enunciado da tarefa, mas com pouco impacto nos alunos. Já
na tarefa T2, Eratóstenes, Maria, em duas aulas, foi mais incisiva e esclarecedora
relativamente ao que deveria ser o trabalho a realizar pelos alunos. Maria estimulou os
alunos a discutirem entre si para interpretarem e compreenderem as etapas necessárias à
resolução da tarefa:
Maria: Quero que leiam o enunciado, discutam entre vocês, mas não
perguntem. Eu quero, isso mesmo, saber se interpretam bem e como
atacam o enunciado.
Carlos: Mas é para mostrar com valores concretos?
Maria: No item 2. e 3.? Vejam melhor. Que acham? (A4M)
Os alunos apresentavam dificuldades em manipular o mostre que do item 1.,
Maria entendeu manter o compromisso com a tarefa e não dizer, de imediato, que não
poderiam atribuir valores numéricos a R, nem a α , nem a h. Mesmo com a sugestão
dada, os alunos não associavam a pergunta à manipulação de razões trigonométricas:
Andreia: Stora, Stora, não faço ideia do que fazer para a 1., a 2. já sei!
Maria: Procura compreender o que é pedido.
Andreia: É um mostre que… é isso.
Maria: Leiam de novo, e vejam a figura… procurem dar sentidos às duas
coisas.
Patrícia: Um triângulo retângulo?
244
Maria: Explorem a vossa ideia, mas não esqueçam qual é a pergunta e a
figura. (A4M)
Na tarefa T3, os alunos leram com entusiasmo o texto da proposta de trabalho e
pareciam compreender o que lhes era solicitado no item a). Mas, quando Maria
começou a apoiar os vários grupos apercebeu-se da dificuldade dos alunos em
manipularem a calculadora e orientou-os para a proposta de trabalho:
Maria: Usam graus ou radianos?
Carlos: Nem sei, acho que são graus.
Maria: Vejam o enunciado da tarefa.
Joana: Mas com zero dá o mesmo, em graus e radianos!
Carlos: Sim, sim…mas em π é diferente.
Maria: Devem ver de novo e usar as unidades na unidade correta para esse
problema. (A4M)
O outro grupo de alunos observados, também teve dificuldade em trabalhar o item
b1). Essas alunas começaram por chamar Maria para lhe mostrar a existência de um erro
no enunciado na tarefa, a troca entre senα e cos α (fala 1). Maria explicou-lhes que
estava tudo correto e que a relação do item b) era diferente da expressão do item a),
recorrendo à proposta de trabalho (fala 1). Mas, com alguma dificuldade em convencer
Patrícia, Maria optou por questionar as duas alunas sobre o processo de resolução da
proposta de trabalho e sugeriu que Andreia explicasse a Patrícia o que compreendia
(fala 10):
1. Patrícia: Stora, isto está mal? (apontando para o senα do item b))
2. Maria: O quê?
3. Patrícia: A expressão está errada, deveria ser com senα . A stora
enganou-se!
4. Maria: Enganei-me em quê? Isso está tudo certo.
5. Andreia: Stora, ela pensa que a fórmula devia ser a mesma.
6. Maria: ahhhh! Não, não é. Aqui [na a)] é a distância e nesta [na b)] é
uma relação entre o tempo t e o tempo T, lê de novo.
7. Patrícia: Mas, não devia ser a mesma.
8. Maria: Não, não,… são duas coisas diferentes, embora se juntem no
b2)
9. Patrícia: Juntam como? Não percebo!
10. Maria: Andreia, ajuda-a… leiam a tarefa, e explica-lhe.
11. Andreia: Vou tentar! (A4M)
Maria remeteu as duas alunas para o enunciado da tarefa, mas, também, estimulou
uma aluna a explicar à outra o que compreendera sobre o enunciado da tarefa. Maria
assume, assim, o compromisso com o enunciado da tarefa como um documento
245
orientador do trabalho a realizar e uma forma de suscitar a partilha e a negociação de
significados, no trabalho realizado:
Naquele momento fiquei aflita, mas pareceu-me que a Andreia
conseguiria convencer melhor a Patrícia de que se tratava de duas
expressões independentes entre si e que eram trabalhadas de forma
diferente no item a) e no item b1). Acho que as alunas, em geral cada
um dos grupos, têm de ser capazes de lidar com a proposta de trabalho,
partilhar as suas dúvidas e as esclarecerem uns dos outros. (STC 12)
Na tarefa Cone (T5) Maria usou uma estratégia semelhante perante a dificuldade
dos alunos em compreenderem a forma de apresentarem a resposta ao item a). Maria,
quando os alunos se confrontaram com as diferentes estratégias de resposta, apelou a
que as discutissem e procurassem identificar as diferenças de forma a encontrarem uma
resposta correta e completa:
Maria: Precisam de ajuda?
Carlos: Eu acho que devemos escrever a equação do plano… sabemos o A,
o B e o V, da mesma forma …podemos fazer aquela do vetor normal.
Maria: E depois? Como concluis?
Joana: Tenho uma ideia diferente. Penso que A é (x, 0, 0) e posso
substituir no plano repetindo para o B e o V, mas não sei se isso mostra!
Maria: Discutam e leiam a pergunta. Mostre o quê? Vejam a questão, de
novo. (A4M)
A tarefa T6 revelou-se complicada pela interpretação. Em especial, os alunos
tiveram dificuldade em compreender o significado de t e em relacioná-lo com a
informação dada no item 1. As informações se a Maria sair de casa às 7h40m e se sair
de casa às 7h55m foram difíceis de relacionar com os valores de t=10 e de t=25, o que
não ajudou na concretização da tarefa. Maria, junto dos alunos, questionou-os sobre os
significados das variáveis e sobre a concretização para que pudessem avançar no
trabalho:
Maria: O que representa o t?
Andreia: Diz aqui, t minutos depois das sete e meia.
Maria: Então avancem!
Patrícia: Pois… Mas, como? A pergunta é se chega atrasada ou não.
Maria: E o d? Relacionem o t com o d e estabeleçam um plano de resposta.
(A4M)
Maria, também, remeteu os alunos do outro grupo para a relação entre as duas
variáveis, transformando o apoio dado à interpretação numa forma de avançarem no
trabalho. Mas, uma das alunas, a Joana, cometeu erros de cálculo e não obtinha as
246
8h11m, o que não ajudava a confiança no desenvolvimento da estratégia correta e, aí,
Maria foi mais direta e solicitou a verificação dos cálculos:
Carlos: Troquei t por 10 mas não me dá 8h11m.
Maria: Mas devia dar?
Carlos: Sim, porque são 10 minutos depois das 7h30m.
Joana: A mim deu-me. Também com 10.
Maria: Verifica os cálculos, Carlos. Deve ser dos cálculos.
Carlos: Pois dividi 5600 por 100 e somei 300! (A4M)
Estímulo
às
estratégias
individuais.
Um
aspeto
significativo
no
desenvolvimento da capacidade de autorregulação é o apoio às estratégias individuais
de abordagem aos problemas e aos exercícios. Na T1, os alunos começaram por
pesquisar no caderno diário as fórmulas que estariam relacionadas com as razões
trigonométricas seno, cosseno e tangente. Apesar de Maria intervir para questionar os
alunos sobre a pesquisa que realizavam, a sua interpelação procurava apurar a forma
como interpretavam o enunciado da tarefa (falas 1 e 3) e a estratégia que estabeleciam
para responder ao item (falas 6 e 8):
1. Maria: Sabem o que fazer?
2. Andreia: Temos a fórmula fundamental aqui no caderno e as outras
duas, mas não é o pedido!
3. Maria: Sim! E o que é pedido?
4. Patrícia: Seno e cos. Mas, não está igual a nada!
5. Andreia: Sabendo que a tangente é 5/4, mas a pergunta não tem
tangente!
6. Maria: Pois…mas, qual é o objetivo da vossa pesquisa no caderno?
7. Andreia: As fórmulas!
8. Maria: As fórmulas? E para que querem as fórmulas?
9. Patrícia: Deixa! Já sei… vamos fazer cálculos auxiliares com a
fórmulas.
10. Maria: Isso mesmo, continuem… sigam o vosso caminho. (A1M)
No item 2. da T1, os alunos dos dois grupos observados seguiram estratégias
diferentes para alcançarem o pedido. Andreia e Patrícia descreveram a proposta de
trabalho através de um sistema de equações. Essas alunas optaram por escrever as
h

tg 52 = x + 20
equações 
e Maria apoiou essa resolução (fala 1 e 3), incentivando as
h
 tg 65 =
x

alunas a prosseguirem (fala 5):
1. Maria: continuem… conseguiram o mais difícil!
2. Andreia: Mas stora, temos de calcular o h e o x, qual fazemos
primeiro?
247
3. Maria: Pode ser qualquer um …o primeiro não interessa.
4. Patrícia: A pergunta é a altura…h?
5. Maria: Pois, mas podem continuar a resolver o sistema…continuem.
(A1M)
Os outros dois alunos, Carlos e Joana, escreveram apenas uma equação mas
equivalente às expressões escritas por Andreia e Patrícia. Mesmo assim, depois de
alguma hesitação, Maria continuou a apoiar os alunos na continuação do
desenvolvimento da estratégia ( x − 20) × tg 65 = x × tg 52 , embora tenha procurado
aprofundar a origem da equação (fala 1) e a estratégia defina por esses alunos para
elaborar a resposta (fala 7):
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Maria: Como escreveram essa equação?
Carlos: Vimos no caderno! Não está certa?
Maria: Sim, sim, está. Mas, qual foi a fórmula que usaram?
Joana: No meu caderno tenho CA × tgθ = CO , e neste caso o cateto
oposto é comum aos dois triângulos por isso aproveitámos a
igualdade.
Maria: Percebi!
Carlos: Serve? Dá para chegar ao resultado?
Maria: Depende da vossa estratégia. Qual é?
Carlos: Encontrar x e escrever de novo CA × tgθ = CO para
encontrar a altura.
Maria: Continuem. (A1M)
Na T2, os alunos apresentaram dificuldades em trabalhar com o mostre que.
Inicialmente, o grupo Carlos e Joana substituíram α por 5º, 10º, 20º e 30º e concluíam:
o valor de h deve aumentar à medida que α aumenta, só assim R é constante.
Confrontada com esta afirmação, Maria, prontamente, disse que não a podia aceitar
como resposta ao mostre que, embora a afirmação fosse correta (fala 3). Os alunos
reafirmaram a correção da resposta (fala 4), e questionaram sobre o caminho a seguir
(fala 6). Maria orientou-os a partir da conclusão dos próprios alunos (fala 7), embora
desse uma pista, remetendo para as razões trigonométricas:
1. Joana: Isto está certo, mas? Se não pode ser assim, que vamos
fazer?
2. Carlos: O que a stora pretende?
3. Maria: Isso é uma afirmação certa sobre a expressão, mas não
mostra que a expressão é a verdadeira.
4. Joana: Mas é verdadeira!
5. Maria: Sim, sim. Mas, devem arranjar uma forma de chegar a esse
resultado.
6. Carlos: Como?
248
7. Maria: Por exemplo, já sabem que tudo depende de α , escrevam a
AC
e procurem chegar ao pretendido. (A4M)
razão cos α =
CB
Segundo Maria, a abordagem dada por Carlos e Joana à T2 facilitou a resposta ao
item a) da T3. Maria considerou que estes alunos usaram exatamente a mesma estratégia
ao substituírem o valor de x por 0 , π e 2π :
Este grupo já tinha usado esta estratégia antes. Na T2 também
substituíram para compreender o que sucedia aos valores R em função
de α . Aqui fizeram-no em função de x . É uma estratégia que usam
para compreender e revelou-se bem-sucedida, pela resposta que deram.
(STC15)
Relativamente ao item b2) da T3, com recurso à calculadora gráfica, procuraram
responder usando as duas relações apresentadas na proposta de trabalho. No entanto, ao
utilizarem as representações gráficas, estas alunas visualizaram, em simultâneo, as três
funções
dadas
no
enunciado,
y1 =
2π × 41
,
365,24
y 2 = x − 0,0167senx
e
y 3 = 149,6(1 − 0,0167 cos x ) , não conseguindo identificar o que procuravam. A
intervenção de Maria passou por pedir para identificarem o que estão a calcular com y1 ,
com y 2 e com y 3 , apoiando assim o trabalho realizado, mas questionando os alunos
para que selecionassem os dados do problema necessários para responder:
Joana: Temos as três funções, mas as interseções são difíceis de
encontrar.
Maria: Sim. As três?
Joana: As três da ficha.
Carlos: Colocámos no y1 o 1.º membro desta relação.
Maria: Já percebi…e procuraram a interseção!
Carlos: Mas, tá difícil.
Maria: Procurem identificar o que é y1 , y 2 e y3 , para perceberem o que
procuram e o que podem usar. (ST15)
Para a T5, item a), Andreia e Patrícia quiseram escrever a condição do plano ABV
a partir dos dados apresentados, constantes na figura. Maria interveio junto das alunas
para apoiá-las nessa intenção mas, também, para lhes mostrar a utilização que poderiam
dar à figura na resolução do item. As alunas identificaram que o ponto A tinha ordenada
e cota nula, e de modo semelhante para os restantes pontos, mas como não queriam usar
os dados relativos ao comprimento do raio da base e da altura do cone não conseguiam
avançar. Maria, essencialmente, procurou dar continuidade à estratégia programada
249
pelas alunas para responder à situação, dando-lhes uma pista para a ultrapassagem dessa
dificuldade:
Andreia: A é (x,0,0), B é (0,y,0) e V é (0,0,z), mas o que fazemos com
[AC] e [BD]?
Patrícia: Aqui diz que [AC] e [BD] são diâmetros da base, mas não
pertencem ao plano? Pois não?
Maria: Como querem responder? Isso é que é importante, qual a vossa
estratégia?
Andreia: Como assim… queremos mostrar que…
Maria: Não é isso, para que precisam dos pontos? Qual o caminho que
querem seguir?
Patrícia: Queremos os pontos para encontrar o vetor normal e escrever a
equação do plano!
Maria: Então têm de usar o 3 e o 4.
Andreia: E isso pode ser?
Maria: Verifiquem… (A8M)
Na mesma tarefa, T5, item b), Carlos desconhecia a condição que define uma
esfera e isso impedia-o de dar continuidade ao seu trabalho, pois não sabia por onde
começar. Nesse caso, Maria tentou compreender, junto do aluno, se a falta desse
conhecimento se devia a algum erro, mas percebeu que o aluno não estava a relacionar a
condição com a distância a um ponto fixo, e apoiou-o, individualmente, colocando as
mãos na forma de esfera:
Carlos: O que é a condição que define a esfera?
Maria: Estudámos no ano passado, a esfera e a superfície esférica…
Carlos: Não estou a ver, stora.
Maria: Têm apenas um sinal diferente…
Carlos: ??? Não sei.
Maria: A superfície esférica é uma bola, sem recheio….imaginas?
Carlos: Sim,
Maria: A distância de qualquer ponto dessa bola a um ponto fixo, o
centro, é sempre a mesma… já a esfera… (A8M)
Na T6, Andreia e Patrícia tiveram alguma dificuldade em compreender o
problema proposto, o que dificultava o início da resolução. Só depois da ajuda de Maria,
estas alunas conseguiram perceber o significado de t . O questionamento de Maria,
assertivo e num tom de voz agudo, orientou e possibilitou a correção do erro. Neste
episódio, Maria diversificou o apoio dado, ajudando na interpretação, para que as alunas
compreendessem o que estava a ser pedido e o que lhes era dado no enunciado,
adotando uma postura muito direta e altiva:
Maria: Às 7h40… quanto tempo depois das 7h30?
Andreia: 10 minutos.
Maria: Então?
250
Patrícia: Mas 7h40 mais 10 dá 7h50 e pede para mostrar que dá 8h11
Maria: E a função d? Não a usam? Não serve para nada? (A10M)
Para a T6, Carlos e Patrícia seguiram uma estratégia que já tinham utilizado em
tarefas anteriores. Estes alunos substituíram t por 0, por 5 e por 10, para verificarem a
evolução do modelo proposto por d(t), mas cometeram alguns erros de cálculo. Em
particular, o erro cometido no valor de d(10) não permitiu aceitarem o modelo como
verdadeiro. Maria questionou no sentido de levar os alunos a encontrarem os erros
cometidos, principalmente esse erro no cálculo de d(10):
Carlos: Com 0 e com 5 faz sentido, mas com 10 não!
Maria: Então deve ser alguma coisa com d(10).
Carlos: Já verificámos… e não vimos nada errado.
Maria: De facto, não está errado…mas fizeram a conta mal.
Carlos: Fizemos na calculadora!
Maria: Mas explica-me como fizeste.
Carlos: 45 menos 5600 a dividir por 100 mais 300.
Maria: Foi isso? Então qual a diferença entre 5600 a dividir por 100 mais
300 e 5600 a dividir por 400?
Carlos: Nenhuma!
Maria: Faz na calculadora e na próxima explicas-me onde está o erro!
(A10M)
Na T8, item 1.2., Carlos e Joana apresentaram alguma dificuldade em explicarem
o significado da solução encontrada no contexto da situação descrita, em parte porque
usaram uma resolução analítica. Os alunos usaram com facilidade esse procedimento
matemático, construindo um quadro de sinais, e escreveram a resposta na forma de
intervalo de números reais, mas não relacionaram essa resposta com as variáveis r e t.
Maria agiu e questionou-os acerca do significado das variáveis para identificar a
variável respeitante ao intervalo, levando os alunos progredirem:
Joana: Interprete?
Maria: Sim…o que significa?
Carlos: A resposta é isto.
Maria: Não. Esse é o intervalo…mas ele diz respeito a r ou a t?
Carlos: A t, não é? É, é a t!
Maria: O que significa o r e o t? Expliquem a resposta a partir daí.
(A11M)
Articulação de ideias próprias. Maria promoveu a participação dos alunos e a
procura de respostas pelos alunos nas diferentes tarefas. Logo na tarefa T1, Maria não
validou as respostas de Andreia e Patrícia, pelo contrário, procurou que as alunas
fossem capazes de articular as suas ideias e de definir um percurso a seguir. Nesse
episódio, Maria questionou as alunas sobre a forma como pretendiam organizar as suas
251
respostas. Esse comportamento de Maria auxiliou as alunas a desenvolverem as suas
ideias e proporcionou a Maria o conhecimento sobre a direção prevista, pelas alunas,
para a construção da resposta:
Quando pedi à Andreia e Patrícia para explicarem como iam fazer,
compreendi que queriam usar um sistema e apoiarem-se em cálculos
auxiliares com as fórmulas trigonométricas para encontrarem as razões
que faltavam. A minha ajuda era para que as alunas escrevessem as
razões corretamente. (STC12)
Ainda na tarefa T1, mas no item 2., Carlos e Joana usaram uma equação que
provinha de trabalho que não se encontrava registado no caderno, nem na sua produção.
Maria verificou a correção da equação no contexto do problema proposto e incentivou
esses alunos a continuarem o trabalho planeado para responderem, embora procurasse
que refletissem sobre o trabalho que executavam, em particular sobre a necessidade de
apresentarem o caminho que percorreram para chegar à dita equação:
Maria: Já responderam?
Carlos: Está quase…mas, um pouco perdidos nas letras…
Joana: Temos o valor de x, mas isso não é a altura!
Maria: Como pensaram inicialmente? Que caminho queria seguir para
responder?
Carlos: Primeiro o x e depois a altura.
Maria: Retomem a vossa estratégia…continuem, mas apresentem tudo o
que fizeram para chegar aqui. (A1M)
Na T2, o mesmo grupo, Carlos e Joana, também pretendiam responder aos itens 2,
3. e 4. de uma forma integrada, uma vez que as perguntas estavam relacionadas. Maria,
não se opôs à pretensão dos alunos, mas reafirmou-lhes a necessidade de explicarem,
convenientemente, o que estava a ser solicitado em cada um dos itens:
Carlos: Podemos responder apenas ao 4.? Incluir nessa resposta o 2. e o
3.
Maria: Expliquem-me isso melhor!
Joana: Responder ao que é pedido na 2., na 3. e na 4., uma vez que temos
de comparar e aí calculamos.
Maria: Podem, mas devem explicar isso muito bem…a comparação que
fazem e como obtiveram esses valores. (A4M)
Maria procurava que os alunos respondessem e, em simultâneo, argumentassem
sobre a veracidade das suas conclusões. Por exemplo, Andreia e Patrícia responderam
ao item 4. da T2 que o valor de h diminui quando α diminui e Maria exigiu a respetiva
justificação. Quando confrontada com essa decisão, Maria não hesitou em considerar
que a explicação da resposta seria fundamental para a autorregulação da aprendizagem,
252
por ser um momento que exige a reflexão e a organização do raciocínio para responder,
ou seja uma justificação:
Pedi a justificação, sim. Era fundamental que elas conseguissem pensar
sobre o assunto, organizassem esse pensamento e respondessem com
eficácia. Do meu ponto de vista, essa reflexão e esse raciocínio é
fundamental para que regulem o trabalho que fazem e possam saber
como aplica-lo em outras situações. Apensar do enunciado não pedir
justificação, faço esse pedido oral para fomentar nos alunos a
autorregulação. (STC13)
No desenvolvimento da tarefa T3, também há evidências da importância dada por
Maria à justificação das respostas. No item b1), o par Andreia e Patrícia não conseguia
estabelecer a relação entre os dados do problema e o caminho a seguir para chegar a
t=
T
. Maria, quando interpolada, sugeriu que essas alunas interpretassem o resultado
2
no contexto da situação descrita e, depois, concretizassem, mas a interpretação devia ser
justificada:
Andreia: Stora, não conseguimos começar…a partir de x = π para
T
chegar a t =
2
Maria: Sim.
Joana: Mas, não estamos a ver o caminho a seguir.
Maria: Admitam que isso é verdade. Como interpretam esse resultado no
contexto da situação descrita?
Joana: Mas, isso, também, é pedido.
Maria: Claro! Comecem por justificar … e, depois, calculem.
Andreia: Percebi…a stora quer que façamos ao contrário… (A6M)
Quando os alunos apresentaram dificuldades de interpretação, para além das
estratégias já referidas, Maria, também, incentivou os alunos a confrontarem as suas
ideias com as dos seus colegas para ultrapassarem as dificuldades e para explicitarem as
suas ideias. Na tarefa T5, item a), Maria sugeriu que Andreia e Patrícia discutissem as
suas ideias sobre a concretização desse item de modo a estabelecerem um percurso de
resposta. Andreia procurava as coordenadas dos pontos D e B para determinar a norma
de BD e depois o raio, enquanto Patrícia pretendia determinar as coordenadas dos
pontos V e B para determinar a norma do vetor BV e depois confirmar o raio e a altura,
com o teorema de Pitágoras. As duas alunas não conseguiam relacionar a equação do
plano ABV com a determinação das coordenadas dos pontos. Não avançavam porque
não conseguiam encontrar pontos de ligação entre cada uma das duas estratégias:
253
Andreia: Posso determinar a norma do vetor BD e depois o raio, não
tenho é as coordenadas dos pontos.
Patrícia: Não. No mostre que…temos de verificar. Podemos determinar a
norma do vetor BV e depois confirmar o raio e a altura, com o teorema
de Pitágoras.
Andreia: Não podes usar os dados…mas, faltam as coordenadas.
Maria: Leram o problema…e quais são os dados?
Andreia: A equação do plano ABV.
Maria: Discutam a viabilidade dos vossos caminhos… mas têm de usar a
equação do plano.
Patrícia: O plano contém os pontos A, B e V. Podemos calculá-los.
Andreia: Podemos usar os dados?
Maria: Como defendem cada uma das resoluções? (A8M)
Na tarefa T8, Maria também incentivou o Carlos e a Joana a discutirem as suas
dificuldades e argumentarem de forma a confrontarem as suas propostas. Os alunos
estavam indecisos entre o procedimento analítico e o procedimento gráfico para
responderem ao item 1.1.. Maria remeteu-os para a discussão no seio do par e para a
justificação das conclusões a que chegassem ao aplicar processos analíticos e ao aplicar
processos gráficos:
Carlos: A 1.1. pode ser com a calculadora gráfica?
Joana: Não diz nada, por isso tem de ser analiticamente.
Carlos: Isso não é justificação. Pois não, stora?
Maria: Tens razão…mas discutam em que condições aceitar cada um dos
procedimentos de resolução.
Carlos: Podemos definir?
Maria: Podem argumentar, e depois discutimos em turma.
Joana: Mas, este não diz «recorrendo à calculadora gráfica».
Maria: Por que será que não diz? Pensem…argumentem… (A8M)
Maria verificou que os alunos não efetuavam os registos escritos das tentativas
que efetuavam para dar resposta aos problemas, principalmente as tentativas mal
sucedidas. Esse aspeto suscitou a intervenção de Maria nas tarefas iniciais, em particular
T1 e T2. Na tarefa T1, item 2., Andreia não conseguia estabelecer uma relação entre
[AD] e [DC] porque cometia um erro ao escrever a razão trigonométrica.
Sistematicamente, escrevia senα =
hip
c.o.
e não encontrava o resultado, depois usou,
também com erro, a razão cosseno, escrevia cos α =
hip
, mas apagava as diferentes
c.a.
experiências e não percebia que as dificuldades resultavam da escrita errada das
fórmulas, pois não confrontava as sucessivas tentativas que efetuava:
Andreia: Stora, não consigo!
254
Maria: Sim?
Andreia: Não dá a razão entre a altura e a base.
Maria: Mostra-me as razões que usaste.
Andreia: Apaguei.
Maria: Não deves, como podemos analisar a exequibilidade de cada uma
delas? E como saberei as que já foram experimentadas? (A1M)
Na T2, Carlos, também, começou por substituir α por vários valores de
ângulos, sem ordem e sem registo dos vários cálculos. A intervenção de Maria foi no
sentido de orientar o aluno para a organização as suas experiências:
Carlos: Umas vezes aumenta, outras diminui…como mostrar?
Maria: Como?
Carlos: Se substituir α por 30º o R aumenta!
Maria: Aumenta como? Deves organizar as experiências.
Carlos: Tenho o valor de 30º e faço, agora, 60º…R aumenta?
Maria: Organiza esses dados, por ordem crescente, por exemplo. Começa
com valores de α por ordem crescente, registando…e analisando os
resultados. (A4M)
Segundo Maria, essa estratégia, dada nas tarefas iniciais, foi implementada pelos
alunos nas tarefas seguintes:
Não verifiquei mais que tivessem feito experiências sem registo de
dados. Isso resultou por ter reforçado, logo no início, que para encontrar
um resultado podemos procurar o caminho a seguir…e nem sempre o
caminho que escolhemos em primeiro lugar é o correto. (STC25)
Síntese. Maria promoveu o entendimento que o aluno constrói sobre a tarefa
através da orientação dos alunos para a proposta de trabalho. Maria assumiu o
compromisso com as tarefas matemáticas como uma necessidade de compreender o
trabalho que é necessário executar para responder à tarefa proposta, quer seja de
Trigonometria, Geometria ou Funções. No questionamento, Maria utilizou termos e
conceitos que fazem parte do enunciado da tarefa. O apelo a uma nova leitura da tarefa,
ou o apelo à discussão, confrontando a própria interpretação com o compreendido por
um colega, foi uma estratégia seguida por Maria para promover o desenvolvimento da
autorregulação. Maria adotou uma postura que recorria às estruturas metacognitivas do
aluno para responder a cada um dos itens das tarefas, principalmente em Trigonometria
e Funções.
Maria procurou que, os alunos, refletissem sobre o que faziam, no momento que
faziam e como o faziam. Mas, neste caminho, Maria teve de adequar o questionamento
a cada aluno, à situação e ao contexto em que o trabalho se desenvolve. O estímulo
individual em Trigonometria e Funções, pela existência de relações entre variáveis
255
dependentes e independentes, serviu ao aluno e à aprendizagem quando foi
contextualizado - focado no trabalho matemático e dirigido à estratégia individual.
Ao valorizar as estratégias que os alunos procuravam seguir, Maria ajudava-os a
seguirem as suas ideias e, também, a perceberem se as mesmas conduziam a produtos
matemáticos bem-sucedidos ou não, e porquê. Esse aspeto foi essencial para
autorregulação, por partir de processos concebidos pelo próprio aluno e por permitir à
professora a certificação, razões, sem as quais o aluno não progride e não aprende. A
valorização das resoluções dos alunos serviu de reforço positivo para os alunos e de
compreensão para agir em ações futuras para a professora.
O compromisso com as tarefas matemáticas ajudou na promoção da
autorregulação por permitir que os alunos adquirissem métodos de trabalho que
poderiam reproduzir em situações futuras, identificar erros de interpretação e de
compreensão, predominantemente em Trigonometria e Funções. Em Geometria, Maria
sugeriu que os alunos interagissem de forma a ultrapassar dificuldades talvez porque,
também, apresentava algumas dificuldades em lidar com os objetos geométricos.
Acrescente-se, ainda, que o questionamento para a reflexão, que Maria desenvolveu,
suscitou o envolvimento dos alunos, pela curiosidade na procura de resposta para as
tarefas colocadas e pela necessidade de justificar interpretações e definir um caminho a
seguir.
No quadro seguinte, encontram-se sintetizados os tipos de intervenção de Maria
nos três tópicos para promover a autorregulação da resposta, através da interação com
os alunos.
QUADRO 29: TIPO(S)
RESPOSTA EM IP-A
DE INTERVENÇÃO DE
Tópicos para a autorregulação
da resposta
Compromisso com a tarefa
matemática
Estímulo às estratégias
individuais
Articulação de ideias próprias
MARIA
PARA A AUTORREGULAÇÃO DA
Tipo(s) de intervenção (Tarefa)
remete para o enunciado da tarefa (T1; T3)
estimula os alunos a discutirem entre si (T5)
questiona sobre o significado das variáveis (T3; T6)
solicita a verificação de cálculos (T3)
recorre a termos e conceitos do enunciado (T6)
ajuda na seleção dos dados necessários para responder
(T1; T3; T8)
encaminha a partir de estratégias definidas pelo aluno
(T1; T2; T6)
fornece pistas para a progressão (T2; T6)
questiona para a identificação de erros e dificuldades
(T2; T5; T8)
não valida, imediatamente, a resposta do aluno (T1; T3;
T5; T8)
256
reforça a necessidade de argumentação na resposta (T1;
T2; T3; T8)
apela ao registo das tentativas bem, ou mal, sucedidas
(T1; T2; T5)
ajuda individualmente os alunos, pela partilha de
respostas ou pela inclusão de justificações (T1; T2; T3)
Autorregulação do desempenho
Eficácia Matemática. Para a aprendizagem matemática e o desenvolvimento da
autorregulação, Maria orientou o seu trabalho para um aumento significativo da eficácia
matemática dos alunos. Em todas as tarefas foi possível observar a preocupação de
Maria com a eficácia matemática dos alunos, alertando para a necessidade de
responderem corretamente, com respostas completas e usando a linguagem matemática
de forma adequada.
Na tarefa T1, item 1., o grupo Andreia e Patrícia apresentava uma resolução muito
confusa, por terem feito alguns cálculos auxiliares que apoiavam a resposta. Maria
interveio, junto das alunas, e ajudou-as a corrigir os erros e a selecionar a informação
relevante para completarem a resposta ao item:
Maria: O seno é positivo ou negativo?
Andreia: Positivo e negativo? Nós só temos o positivo!
Patrícia: Pois…esquecemos de fazer +/-.
Maria: É mesmo isso…
Andreia: Mas, é positivo! É um ângulo agudo.
Maria: Sim, mas quero a resposta completa e todos as justificações dada.
Patrícia: Temos de escrever isso, né?
Andreia: Pois…tá-se mesmo a ver que sim.
Maria: Justifiquem por escolheram o + ou o -. (A2M)
Também na tarefa T1, mas no item 2., Maria questionou os alunos do grupo
Carlos e Joana sobre os conhecimentos usados. A equação que os alunos usaram para
responderem ao item e encontrarem a altura incluía as razões trigonométricas mas,
segundo Maria, não completamente explicitas:
Fiquei atrapalhada com aquela equação… eles usaram CA × tgθ = CO ,
que estava no caderno para a dedução da razão da tangente…mas queria
também perceber se sabiam as razões e perguntei. (STC12)
Maria procurava que os alunos compreendessem a equivalência entre
CA × tgθ = CO e tgθ =
CO
CA
, uma vez que a primeira equação apresentava alguns erros
de escrita formal. Nesse caso, o questionamento de Maria dirigiu-se concretamente ao
257
rigor do uso da escrita matemática, para que os alunos compreendessem a necessidade
de usá-la com vantagem:
Maria: Nessa equação, CA × tgθ = CO , o que são o CO e o CA?
Joana: Cateto adjacente e cateto oposto, vimos no caderno!
Maria: CA é uma reta, que contém os pontos C e A! Deves querer dizer
CA comprimento do segmento [CA] e desenhar o triângulo que usam.
Carlos: Sim… é isso professora!
Andreia: Mas, está bem!
Maria: Pode estar, mas não estão a comunicar usando a linguagem
matemática corretamente…e isso pode ser confuso.
Carlos: Vamos alterar.
Maria: Devem rever…e acrescentar apenas o que falta. (A2M)
Na tarefa T2, item 1., existiram vários erros de cálculo que tiveram de ser
corrigidos e que afetavam a resposta, uma vez que os alunos não conseguiam chegar ao
resultado pretendido. Por exemplo, Andreia e Patrícia, depois de compreenderem que
deveriam seguir a sugestão dada no enunciado, na resolução da equação, passaram
(R+h) a multiplicar mas sem parêntesis, o que afetou a resolução a partir daí. Embora,
as alunas apresentassem algumas estratégias de autorregulação (falas 2 e 4), precisaram
da ajuda de Maria para corrigirem a resposta (fala 3):
−h
, mas isso não é o resultado.
cos α − 1
2. Andreia: Pois…já vimos. Mas, não encontramos o erro.
3. Maria: Vejam aqui, R+h não tem parêntesis.
4. Andreia: Pois…temos de multiplicar. (A4M)
1. Maria: Obtiveram R =
No mesmo item, o outro par de alunos, Joana e Carlos, foi confrontado com o
facto de ter usado a expressão dada no enunciado e substituído vários valores em α , o
que não respondia à questão colocada:
Maria: Usam a expressão de R, não mostram como chegar a esta
expressão.
Carlos: Mas, a fórmula é verdadeira … com ângulos agudos.
Maria: Claro! Mas, a questão é mostre que…devem provar como obter a
fórmula.
Joana: Isso é muito difícil.
Maria: Sigam a sugestão. (A4M)
Na aula seguinte, Maria teve necessidade de reforçar para toda a turma que o
mostre que exigia a apresentação de um caminho para chegar ao resultado sem que o
mesmo fosse usado. Nesse momento, Maria recordou também outros itens do mesmo
tipo realizados em aula e reforçou a sua importância para o conhecimento matemático e
para o trabalho que efetuam na sala de aula.
258
Na tarefa T3, item b2), Maria procurou indagar junto de cada um dos grupos de
alunos a completude da resposta dada a propósito da calculadora gráfica.
Nomeadamente, Maria procurou que os alunos equacionassem o problema e
apresentassem todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora, em
particular, os gráficos, e as coordenadas de alguns pontos relevantes:
Maria: Qual é a vossa resposta?
Joana: d ≈ 147,7
Maria: Uhh! Isso não chega! Para além do resultado temos de apresentar
todo o processo de resolução, vê a pergunta.
Joana: Mas, isso está na nota.
Maria: Sim…mas têm de apresentar tudo o que é pedido ou correm o
risco da resposta não ser considerada. (A6M)
Na tarefa T5, item c), Carlos solicitou a intervenção de Maria para confirmar a
estratégia de resolução usada. Este aluno pretendia encontrar o ângulo através da
calculadora e depois determinar o valor de sen α . Para seguir esse caminho, Carlos
devia usar valores aproximados, o que implicaria a não obtenção do valor exato de
sen α :
Carlos:
Stora? Posso determinar o cos α e a seguir fazer


−1  u • v 
α = cos 
 . Depois, finalmente sen α .
 u ×v 


Maria: Não!
Carlos: Não?
Maria: Faz primeiro o cos α e depois vê como obter o valor de α , mas
não esqueças que não podes usar valores aproximados, e tens de ter
cuidado para saberes se o ângulo α é agudo ou não. (A8M)
Maria reafirmava a necessidade de eficácia matemática para a tarefa com que o
aluno se confrontava mas, também, para as tarefas que pudesse vir a enfrentar no futuro.
Maria recordava que o sucesso da autorregulação dos alunos nas tarefas seguintes
poderia passar pela valorização da eficácia matemática, através do reafirmar do rigor e
da exigência de completude daquilo que são as respostas dadas:
Nesse caso, eu tinha que responder daquela forma. Já o tinha feito antes.
Os alunos têm tendência para facilitar nas respostas que dão e os
professores muitas vezes assumem-nas como corretas emboras estejam
incompletas. Eu considero que, promover a autorregulação da
aprendizagem, também passa por ser mais exigente com os alunos nesse
aspeto. Naquele caso, o Carlos poderia cometer vários erros… as
aproximações, não ter em conta que o ângulo é agudo, etc…e depois o
seno também era uma aproximação? (STC21)
259
Na tarefa T6, item 2., os alunos tinham de recorrer às capacidades gráficas da
calculadora para resolver o problema proposto. Esse item serviu para verificar até que
ponto os alunos colocavam em prática as estratégias de respostas que tinham
experimentado em itens anteriores, em particular as evidências dadas na tarefa T3 sobre
o que seria uma resposta correta e completa. O grupo Andreia e Patrícia concretizou,
sem dificuldades, a parte do item de utilização da calculadora, o que deixou Maria
satisfeita com o trabalho das alunas, mas o grupo teve dificuldade em interpretar e em
explicar a expressão t + d (t ) , sendo orientadas nesse aspeto:
Maria: O que fizeram?
Andreia: y1 = t + d (t ) e y 2 = 60 e ver onde a representação de
y1 = t + d (t ) está abaixo de y 2 = 60 .
Patrícia: E já verificámos! Temos os pontos que a resposta deve incluir,
mas não conseguimos explicar muito bem o primeiro.
Maria: Ótimo! Ótimo!
Andreia: Mas, falta o primeiro ponto.
Maria: Expliquem o significado de t e de d (t ) separados e depois
concluam, explicando o significado de t + d (t ) . (A10M)
Carlos e Joana também concretizaram com sucesso a parte do item 2., da T6, que
diz respeito à calculadora, e tentaram explicar a expressão t + d (t ) , embora o tenham
feito com algumas imprecisões. Maria averiguou junto dos alunos a forma como
responderam ao item e como estes alunos usaram uma abordagem diferente, embora
igualmente correta. Estes alunos utilizaram a expressão t + d (t ) − 60 na calculadora e
determinaram o zero dessa função:
Maria: Já usaram a calculadora?
Carlos: Sim, fizemos y1 = t + d (t ) − 60 e determinamos o zero…é
equivalente?
Maria: Sim, responderam à pergunta?
Joana: Os pontos? Sim, já verificamos, temos todos os pontos que eram
solicitados na pergunta. Como fizemos outras vezes em que usámos a
calculadora. (A10M)
Autoavaliação. Como foi referido no ponto anterior, os alunos na tarefa T6, em
que usaram a calculadora gráfica, fizeram-no com sucesso e apresentaram estratégias de
autoavaliação quando foram requeridas explicações sobre os procedimentos usados para
obterem a resposta. Por exemplo, nessa tarefa, Carlos foi capaz de referir fizemos
y1 = t + d (t ) − 60 e determinamos o zero…é equivalente? o que revela a sua capacidade
de autoavaliação, por identificar a equivalência entre as duas expressões. Mas, na
260
mesma tarefa, T6, quando os alunos efetuaram a verificação das respostas ao nível da
inclusão de todos os tópicos solicitados, revela também a valorização dada à
autoavaliação.
Nas primeiras tarefas verificou-se uma maior intervenção de Maria para promover
a autoavaliação, questionando e incentivando à avaliação dos trabalhos realizados. Na
Tarefa T1, Maria procurou que os alunos verificassem e corrigissem os cálculos que
efetuavam no item 1., recorrendo às propriedades de trigonometria, à definição das
razões trigonométricas, procurando que os alunos avaliassem a razoabilidade dos
resultados obtidos:
Maria: Lembrem-se que − 1 ≤ senα ≤ 1 e − 1 ≤ cos α ≤ 1
5
Carlos: Obtive senα = , por isso deve estar mal?
4
Maria: Claro! Temos − 1 ≤ senα ≤ 1 , não podem esquecer as coisas
importantes
Carlos: O cosseno está certo, porque − 1 ≤ cos α ≤ 1 (A1M)
Na mesma tarefa, item 2., Andreia e Patrícia apresentaram alguns sinais de
implementarem estratégias de autoavaliação. Nomeadamente, as alunas quando
chegaram ao valor de AD ficaram satisfeitas por ser inferior a 20, uma vez que
AB = 20m e, pela figura, AD deveria ser menor por estar representado com uma
distância menor.
Na tarefa T2, Maria discutiu com os alunos o item 4.: o valor de h diminui quando
α diminui, conclusão que Carlos e Joana obtiveram logo no início da exploração da
tarefa quando substituíram α por vários valores. Essa evidência dominou a exploração
dos itens 2. e 3., pois os alunos poderiam sempre confrontar os resultados obtidos com a
evidência intuitiva que tinham desenvolvido:
Maria: Está tudo bem? Já verificaram os cálculos?
Carlos: Está certo, pelo menos coerente. Como α diminui o valor de h
também vai diminuir.
Maria: Verifiquem se a aproximação está correta.
Joana: Sim, estamos a escrever a conclusão. (A1M)
Em outras situações, também, Maria sugeriu aos alunos que procurassem erros
como uma forma de incentivar à autoavaliação. Em T3, item a), Andreia e Patrícia não
confrontaram os resultados obtidos e estes divergiam. Solicitaram a intervenção de
Maria que levantou algumas hipóteses que poderiam conduzir à identificação do erro,
261
sem identificar o erro, incentivou o desenvolvimento de estratégias de verificação da
resposta:
Andreia: Os nossos resultados estão diferentes!
Patrícia: Chamamos a stora. Stora?
Maria: Sim.
Andreia: Temos os resultados diferentes e não conseguimos identificar o
erro.
Maria: Pode ser do valor de x, pode ser do valor de cosx, pode ser dos
cálculos, fizeram primeiro o está dentro do parêntesis e depois a
multiplicação? Pode ser um valor mal copiado do enunciado para
proposta de trabalho… vejam isso. (A6M)
De outro ponto de vista, a intervenção de Maria através do questionamento oral
também promoveu a autoavaliação ao dar feedback ao trabalho dos alunos, enquanto o
processo de aprendizagem se desenvolve, e ao aceitar a reformulação desse trabalho.
Por exemplo, no item 1. da T2, os alunos só conseguiram mostrar o que se pretendia
após o feedback de Maria e a reformulação das respostas seguindo a sugestão
apresentada no enunciado foi o caminho seguido. Essa reformulação afetou
positivamente o trabalho dos alunos, segundo Maria, porque sentiram-se motivados para
continuar a investir na resposta à tarefa:
A ajuda que lhes dei no mostre que foi preciosa. A partir daí encararam o
trabalho de outra forma, como uma tarefa que serviria realmente para
aprender e eu diria mesmo…nesse caso para aprender a autorregular.
(STC13)
Por último, deve ser destacada a diversidade de tarefas que foram trabalhadas.
Não se tratando de tarefas rotineiras, Maria aproveitou as situações problemáticas
envolvidas em cada uma das tarefas para destacar os pormenores teóricos do
conhecimento, as propriedades e conteúdos, e ainda, realçar a necessidade de correção
da linguagem matemática. Esses aspetos serviram a autoavaliação por permitirem
abordagens diversificadas na resposta a cada uma das tarefas. Por exemplo, na tarefa
T1, item 2., o grupo Carlos e Joana usou uma única equação recorrendo às definições
registadas no caderno enquanto o grupo Andreia e Patrícia usou um sistema de duas
equações a duas incógnitas para responder ao mesmo problema:
262
Figura 23: 1.ª fase do produto de Carlos e Joana na T1
Figura 24: 1.ª fase do produto de Andreia e Patrícia na T1
Também no item 2. da T6, ao recorrer à calculadora gráfica, um grupo utilizou os
dados tal como fornecidos no enunciado da proposta de trabalho, recorrendo à
interseção de duas representações gráficas, enquanto o outro grupo, Carlos e Joana,
usou a determinação do zero de uma função que obteve depois de equacionar o
problema:
Figura 25: 1.ª fase do produto de Carlos e Joana na T6
263
Síntese. Maria interveio junto dos alunos para promover o aumento de qualidade
das respostas apresentadas e, também, das aprendizagens concretizadas, geralmente na
primeira tarefa de cada um dos tópicos: Trigonometria (T1); Geometria (T5) e Funções
(T6). Para além de aferir a autorregulação da completude das respostas dadas através da
calculadora gráfica em Funções, Maria reforçou a necessidade de recordar trabalhos
anteriores da Trigonometria para usar e aplicar procedimentos que caraterizassem o
trabalho que os alunos realizam em matemática. Algumas vezes, Maria procurou
aprofundar o grau de domínio de conhecimento matemático dos alunos e, assim,
promover a eficácia matemática, mas, também, identificou, incitou a procura e corrigiu
erros. Ainda, nos momentos de interação entre Maria e os alunos, através do
questionamento, foram identificadas ações que visavam levar os alunos à autorreflexão
e ao autoquestionamento.
No quadro seguinte, encontram-se sintetizados os tipos de intervenção de Maria
nos dois tópicos para promover a autorregulação do desempenho, através da interação
com os alunos.
QUADRO 30: TIPO(S)
DESEMPENHO EM IP-A
DE INTERVENÇÃO DE
Tópicos para a autorregulação
do desempenho
Eficácia Matemática
Autoavaliação
MARIA
PARA A AUTORREGULAÇÃO DO
Tipo(s) de intervenção (Tarefa)
incentiva a completude e correção das respostas (T1;T6)
questiona para averiguar do nível de domínio
matemático (T2; T5)
valorizar a comunicação matemática, o rigor de escrita e
uso da linguagem matemática (T1)
efetua a correção de erros (T1; T2)
reforça a importância de alguns procedimentos que
caraterizam a matemática (T2; T5)
apela à verificação de cálculos ou à verificação da
razoabilidade de um resultado (T6)
promove a comparação de resultados (T6)
dá pistas para a identificação de erros (T1; T2)
aceita a reformulação do trabalho (T2)
seleciona
tarefas
suscetíveis
de
abordagens
diversificadas (T1; T6)
Depois da aula
O grupo de trabalho de natureza colaborativa refletiu em conjunto sobre alguns
aspetos das aulas. Nesta parte, é feito esse balanço, através da intervenção de Maria, ao
nível do questionamento oral, e são identificadas as dificuldades e os constrangimentos
que enfrentou.
264
Balanço. Maria destacou em quase todas as tarefas a dificuldade de interpretação
evidenciada pelos alunos. Acrescentou, também, o facto de muitas vezes os alunos
precisarem da confirmação do que estavam a interpretar e a concretizar para darem
continuidade aos seus trabalhos. Na T1, Andreia e Patrícia compreenderam o processo
de resolução que deviam implementar para concretizar o item 1., mas precisaram de
obter a confirmação de Maria para avançar na realização desse trabalho:
Por exemplo, a Andreia e Patrícia sabiam mais ou menos o que deveriam
fazer, mas precisaram da minha confirmação para prosseguirem.
Disseram-me “vamos fazer cálculos auxiliares com as fórmula?”. Acho
isso uma grande falta de autonomia…(STC12)
Maria começou a valorizar esse aspeto nas aulas e referiu que lhe deu atenção a
partir da tarefa T2, quando passou a dar poucas indicações sobre a confirmação de
estratégias a seguir. Nos casos em que tal aconteceu, devolveu a responsabilidade de
validação da estratégia de resolução para o grupo, e Maria preocupou-se mais em
questionar os alunos para a ultrapassagem das dificuldades e dos erros cometidos ao
longo do processo de resolução:
O Carlos e a Joana queriam saber se podiam responder apenas ao item 4.,
dei-lhes a possibilidade de decidir… não queria confirmar o caminho a
seguir. Estava mais empenhada em saber as dificuldade e os erros
cometidos para poder ajudá-los. (STC13)
A evolução positiva dos alunos ao nível da compreensão dos enunciados das
propostas de trabalho foi referida por Maria como uma evolução da sua própria ação de
questionamento. Maria considerou que, também, aprendeu a dar mais importância ao
esforço que os alunos faziam para descortinar o essencial das propostas de trabalho e à
forma como confrontavam isso com o que faziam, dando-lhes as interrogações
necessárias para a validação dessas resoluções e não a interpretação. Ao procurar o
desenvolvimento da autoavaliação do trabalho realizado, Maria evoluiu no sentido de
colocar questões aos alunos em detrimento da confirmação dos seus trabalhos:
Quando Andreia e Patrícia me pediram para confirmar se o que tinham
feito para responder à a) estava certo ainda hesitei, mas depois optei por
lhes colocar a questão: leram o problema, quais são os dados? Acho que
fiz uma boa opção, também evolui. Deixei a validação das resoluções
para elas. Esforçaram-se, e acho que ações deste tipo são uma boa ajuda
ao desenvolvimento da autoavaliação. (STC15)
A não validação das respostas dos alunos foi um tema tratado nas sessões de
trabalho colaborativo por se procurar um maior envolvimento dos alunos e a sua
265
responsabilização pela correção dos produtos que obtinham. Maria sentiu que a sua
postura em sala de aula alterou-se para atingir esse objetivo. Numa fase inicial, Maria
mostrava-se muito empenhada em ajudar os alunos identificando, prontamente, o que
estava correto e o que estava errado, não possibilitando que os grupos de trabalho
refletissem sobre os erros que cometiam e as razões da sua existência. Por exemplo, na
T1, Maria ao interagir com um grupo de alunos diz Queres que te diga as fórmulas que
existem? e na T3 refere Devem ver de novo e usar as unidades na unidade correta para
esse problema, são duas intervenções antagónicas. No primeiro caso, Maria procurava
orientar os alunos no caminho que entendia como sendo o correto, no segundo caso,
devolve ao grupo a necessidade de encontrar a unidade certa:
Não sei explicar, mas senti que a validação deveria estar do lado dos
alunos. Num dado momento, identificava os erros e corrigia de imediato
mas os alunos cometiam esses mesmos erros mais tarde, numa situação
diferente é claro! Depois de ler os textos e pensar sobre o assunto, pensei
comigo mesma, a identificação dos erros e a sua correção deve se feita
pelos alunos. (STC15)
Nas últimas tarefas é mais evidente que a forma como Maria age, em termos de
questionamento, mudou. Também, é possível ver a diferença na forma como os alunos
trabalham as tarefas propostas. Maria assume um papel secundário, ajudando a
esclarecer alguns conceitos, a incentivar a identificação de erros e a reflexão sobre as
formas de ultrapassá-los. Os alunos revelam maior autonomia e perseverança em
relação ao que fazem e à confiança nos resultados que obtêm. Por exemplo na T8, os
alunos numa atitude interventiva confrontaram Maria com o facto de a tarefa não referir
o uso de métodos analíticos nem o recurso à calculadora gráfica, e Maria reagiu
transpondo essa decisão para os alunos:
Essa decisão poderia ter sido diferente…eu tinha tendência para dizer
logo como deveriam fazer, mas aquele discutam em que condições
aceitar cada um dos procedimentos de resolução… saiu-me muito bem,
e os alunos fizeram um trabalho muito bom. (STC23)
O encaminhamento dos alunos para a releitura do enunciado da proposta de
trabalho foi outra estratégia seguida por Maria para desenvolver a autorregulação, em
particular para que os alunos identificassem erros e ultrapassem as dificuldades. Na T1,
perante erros de cálculo cometidos por Joana e Carlos, Maria remete os alunos para
analisar os dados da proposta de trabalho. Na T2, quando Andreia e Patrícia tentavam
compreender o enunciado para responderem ao mostre que, Maria sugeriu que lessem
de novo e analisassem a figura. Na T3, Carlos e Joana hesitavam entre a unidade de
266
amplitude do ângulo a usar na calculadora, graus ou radianos, Maria remeteu para o
enunciado. Na T5, também, Carlos e Joana foram remetidos para a proposta de trabalho
quando pretendiam selecionar a estratégia de resolução que deveriam implementar.
Maria orientava o trabalho a concretizar em cada uma destas aulas pela proposta de
trabalho e procurava que os alunos desenvolvessem as suas capacidades de identificação
de transposições incorretas do enunciado, de dificuldades, de discussão de possíveis
resoluções e finalmente, de avaliar a razoabilidade de um resultado:
Parecia-me importante que desenvolvessem mecanismos que
possibilitassem a ultrapassagem de erros e resolvessem algumas das
dificuldades que enfrentavam sem a minha intervenção e discutirem a
razoabilidade e validade de uma resposta. Para mim, a proposta de
trabalho com o enunciado da tarefa era o guia orientador, e quis
transmitir isso aos alunos, uma forma de autorregulação e também de
autocontrolo. (STC25)
Maria recorreu a explicações a toda a turma apenas em duas situações distintas:
discutir o significado do mostre que, na T2; e a utilização do procedimento analítico e o
recurso à calculadora gráfica, na T8. Perante a dificuldade em decidir qual a abordagem
a dar a um mostre que, os alunos solicitaram veementemente Maria para confirmar o
trabalho realizado ou para orientar no caminho a seguir. Maria respondeu com a
necessidade de apresentarem um caminho para chegar ao resultado apresentado na
proposta de trabalho, sem usar o resultado na construção desse caminho. Nesse instante,
Maria recorreu a itens do mesmo tipo e reforçou a importância desses itens para a
construção do conhecimento matemático:
É difícil de explicar o que é um mostre que sem usar exemplos…por isso
recorri a alguns que já tinham sido realizados na aula. Optei por
esclarecer toda a turma ao mesmo tempo porque me parece que é um
item muito importante e que pode ajudar noutros problemas que os
alunos tenham de realizar. (STC13)
No que diz respeito à T8, não existia referência à forma, analítica ou gráfica,
como os alunos deveriam responder ao item. Mas, Maria remeteu os alunos para a
discussão dessa temática no seio do grupo, e mais tarde com toda a turma, por o item
admitir os dois processos de resolução devido à necessidade de incluir, na resposta, uma
justificação e a respetiva argumentação:
O item admite as duas resoluções, é importante incluir na resposta uma
justificação fundamentada acerca do valor do limite…por isso entendi
colocar do lado dos alunos essa decisão e, também, discutir o assunto
para mostrar que não valorizem apenas o resultado e deem importância
ao processo. (STC23)
267
De destacar, ainda, a preocupação de Maria em promover nos alunos estratégias
de realização das tarefas que fossem aplicáveis em trabalho futuro.
Dificuldades. Ao abordar o tema das dificuldades sentidas pelo professor na
promoção da autorregulação da aprendizagem matemática, Maria relacionou, por um
lado, as dificuldades associadas aos procedimentos e aos significados e, por outro lado,
o empenho, as estratégias adequadas à resolução e os conteúdos matemáticos, como as
grandes dificuldades do questionamento oral. Os aspetos evocados relacionam-se
diretamente com o trabalho realizado pelos alunos em sala de aula e não envolvem
outros fatores, por Maria não os considerar pertinentes. Maria revelou que o
questionamento oral foi afetado pela necessidade de ultrapassar as dificuldades de
compreensão
manifestadas
pelos
alunos
relativamente
ao
conhecimento
de
procedimentos específicos da Matemática. Segundo Maria, os alunos deveriam
distinguir claramente um mostre que de um determine, o que não se verificou. Este
aspeto afetou o desenvolvimento do questionamento para a autorregulação porque
Maria esteve, numa fase inicial de concretização das tarefas, dedicada a trabalhar a
distinção entre as várias formas de trabalho matemático, em sala de aula:
Inesperadamente, porque conheço os alunos desde o ano passado, eles
tiveram dificuldade no mostre que, na distinção entre analítico e gráfico,
na abordagem dada à experimentação de casos particulares e posterior
generalização, e isso afetou o aquilo que eu pretendia e aquilo que os
alunos realizaram. Tive de agir, orientar e encaminhar os alunos para
alguns problemas trabalhos anteriormente em aula. (E2M)
A ação de Maria visava criar um campo de entendimento entre ela e os alunos.
Tornar percetível com exemplos que tinham sido explorados anteriormente o que
pretendia que os alunos concretizassem quando a tarefa refere mostre que. Com esta
iniciativa, Maria salientou que as suas questões ficaram dirigidas à concretização
daquele item e que o foco principal do seu questionamento oral não foi a autorregulação
do conteúdo matemático, na generalidade, mas a autorregulação da compreensão do que
está a ser pedido. Esse episódio da T2 serviu, segundo Maria, para alertar para algumas
das dificuldades que não julgava existirem ao nível daqueles alunos:
Para mim foi uma dificuldade procurar explicar aos alunos o que
pretendia com o mostre que da tarefa T2. Confrontei-me com algo
inesperado e que afetou a minha prática de questionamento. Não estava à
espera, e isso quase que a minha ação passou para a autorregulação da
compreensão em vez da autorregulação da aprendizagem do
268
conhecimento matemático. Mas, foi bom ter acontecido, assim vi
algumas das dificuldades e na minha interação com os alunos inclui esse
conhecimento das dificuldade em compreender o que é pedido –
aproximar o entendimento do professor do entendimento do aluno.
(E2M)
O item a) da T5 também foi referido por Maria como causador de divergência
entre o que os alunos pretendiam fazer e o que era expectável que os alunos fizessem.
Alguns alunos usaram o comprimento do raio da base e altura do cone e fizeram o
caminho inverso, mostrando a equação do plano ABV. Maria referiu a dificuldade em
aceitar ou não essa resolução e acrescenta que, nesse caso, questionou os alunos a partir
dos seus erros e dificuldades e não encontrou nenhuma incoerência nessa resposta. A
natureza da tarefa, neste caso, uma tarefa que admite diversos caminhos de resolução
pode ser a causa das dificuldades de Maria:
A T5 foi outro exemplo, quem resolver a partir da altura e do
comprimento do raio da base encontrou um caminho certo. Para mim foi
uma atrapalhação. Mas, safei-me. Foi questionando sobre as causas dos
erros e tentei apoiar as dificuldades que sentiam. Acho que a dificuldade
está no facto de eu não esperar aquela resolução e como a tarefa admite
várias resoluções, atrapalhou o questionamento. (E2M)
No trabalho de grupo, em pares, alguns alunos mostram-se mais empenhados do
que outros. Segundo Maria, o questionamento oral foi algumas vezes dirigido aos
alunos que estavam mais avançados no trabalho a pares e, por isso, não terá sido tão
diversificado nem tão individualizado como preconizou. Salientando a mais-valia de
existência de momentos de trabalho individual e de trabalho de grupo numa mesma
tarefa, Maria destacou a dificuldade em adequar o questionamento ao empenho dos
alunos, por isso promoveu a ajuda entre pares de forma que todos concretizassem as
tarefas, dentro do seu ritmo mas, também, procurando que o fizessem com interesse:
Por vezes notei que uns alunos estavam mais empenhados em concretizar
a tarefa do que outros, e às vezes o questionamento foi dirigido aos mais
avançados, isso não ajudou nada. Nesse caso, o questionamento não era o
adequado … servia apenas alguns…por isso remeti para a partilha no
seio dos próprios grupos, aproveitei o facto de trabalharem em grupo
para envolver todos na construção de uma resposta. (E2M)
No questionamento, Maria teve de optar entre deixar os alunos explorarem as suas
próprias estratégias de concretização ou intervir para orientar o caminho a seguir.
Algumas estratégias de resolução não correspondiam à resposta esperada e correta, pelo
que a intervenção de Maria foi no sentido de levantar questões que suscitassem a
269
reflexão do aluno e a compreensão de que não seguiam o caminho correto. A esse nível,
Maria sentiu dificuldades em aferir até que ponto uma dada estratégia é ou não a
adequada à questão colocada, optando por uma intervenção ponderada mas que
mantivesse o trabalho como um todo, incentivando a discussão para que a tomada de
decisão acerca da aceitação da resposta dependesse do próprio grupo. Neste sentido,
Maria procurava que os alunos confrontassem diversas resoluções individuais,
diversificadas, e que os alunos as contextualizassem, em confronto, com o que estava a
ser solicitado:
Quando nos apresentam várias estratégias diferentes é difícil ver o que
aquilo vai dar e se serve ou não de resposta ao que propúnhamos. Nesses
casos, procurei manter o nível de exigências das tarefas e propus o
confronto de estratégias e o confronto da sua exequibilidade, deixando
que cada um aferisse a veracidade da sua resolução no contexto do
coletivo. (STC24)
O domínio dos conteúdos matemáticos, nomeadamente o trabalho com expressões
algébricas e a resolução de equações, aparece como uma dificuldade que afetou a
prática de questionamento oral. Perante a necessidade de identificar variáveis e de as
reportar ao contexto de uma situação problemática, Maria teve de agir no sentido de
identificar os erros ou de realçar, concretamente, alguns aspetos particulares da proposta
de trabalho. Também, na resolução de equações, apareceram erros de sinais provocados
pela mudança de membro de um determinado termo, nesses casos, a intervenção de
Maria passou, quase sempre, apenas pela indicação de ocorrência de erros nos cálculos.
A tipologia de erros não dependia, em concreto, da natureza da tarefa proposta, mas
afetava a continuidade do trabalho realizado e colocava em causa a sua conclusão:
Tive de corrigir alguns erros que dependiam da identificação das
variáveis de uma expressão ou na passagem de membro de termos de
equações, afetam a resposta e às vezes a conclusão da tarefa, embora não
estejam diretamente relacionadas com o trabalho matemático específico
daquela tarefa. Remeti para o enunciado, o identifiquei logo o que estava
mal…para que continuassem (STC24)
Síntese. No quadro seguinte, encontram-se sintetizadas as dificuldades de
intervenção de Maria, e as ações tomadas para as ultrapassar.
QUADRO 31: DIFICULDADES QUE AFETARAM A PRÁTICA IP-A (MARIA)
Dificuldade
Compreensão de
procedimentos
próprios da
matemática
Compreensão de
Ação do professor
Desenvolve um campo de
entendimento professor -aluno
Objetivo
Aumentar a compreensão das
tarefas matemáticas
Questiona a partir dos erros e
Diminuir o fosso entre as
270
significados
Falta de empenho dos
alunos
das dificuldades dos alunos
perceções da resolução do
professor e a dos alunos
Promove a procura de ajuda de Despertar o interesse pela
pares, ou do professor, para a
concretização e envolver o aluno
concretização das tarefas
na construção da sua resposta
Escolha da estratégia
adequada à resolução
Mantém os níveis de
complexidade das tarefas e
valorizar o trabalho dos
grupos
Promover uma abordagem
individual, diversificada
Domínio dos
conteúdos matemáticos
Recorda pré-requisitos
Corrige erros e identifica
dificuldades
Dar continuidade ao trabalho para
finalizar a tarefa
O relatório escrito em duas fases (RE)
O relatório escrito em duas fases (RE) foi uma prática avaliativa para promover a
autorregulação da aprendizagem observada em cinco tarefas, o que corresponde a nove
aulas.
Antes da aula
Maria participou ativamente nas sessões de trabalho colaborativo em que foram
equacionadas as formas de concretização do relatório escrito em duas fases. A prática de
RE apresentava-se como inovadora para Maria, embora fosse encarada como um
desafio. Até esse momento apenas tinha proposto, aos alunos, a justificação de
raciocínios em itens de mini fichas com características de avaliação sumativa.
Intervenção avaliativa do professor. O relatório escrito em duas fases constituiu
uma novidade para Maria, principalmente pela atribuição de feedback escrito numa
primeira fase. Ficou entusiasmada com a possibilidade de ajudar os seus alunos a
concretizarem a segunda fase, ajudando-os a construírem o produto final. Mas,
considerou problemáticas a definição do RE no contexto da avaliação sumativa e a
atribuição de uma classificação para que fosse tida em conta no apuramento da
classificação de final de período:
Tudo o que os alunos fazem na aula é avaliado. Eles sabem disso e eu
também! Mas, não sei como apurar a classificação da 1.ª fase e depois
concertar essa classificação com a 2.ª fase, supostamente haverá melhoria.
(STC10)
O grupo de trabalho colaborativo acordou que o feedback deveria ajudar o aluno a
progredir, identificando o que estava errado, o que estava certo e dando pistas para que
o aluno pudesse progredir ou aprofundar o seu trabalho, em função do que tinha feito.
271
Esse entendimento, comum, passou por negociar com Maria que os relatórios em duas
fases serviriam para promover a autorregulação:
Entendo essa avaliação e compreendo que se trata de um apoio à
aprendizagem, e como é relatado no texto, procuramos dar feedback para
os alunos melhorem os seus trabalhos e para que melhorem os produtos
finais. (STC10)
Devido à influência da perspetiva classificativa nas práticas de Maria, foi
necessário assumir o compromisso de que seria dada uma informação globalizante sobre
desempenho do aluno na 1.ª fase e na 2.ª fase. Para tal, negociou-se a adoção, no final
de cada uma das fases, da terminologia incluída na Rubrica para Resolução de
Problemas de Matemática não estruturados, retirado de California CAP math report
(1989):
Competência demonstrada
6 – Resposta exemplar
Dá uma resposta completa com uma explicação clara,
coerente, lógica e elegante; inclui figuras e esquemas para
exemplificar; comunica eficazmente; mostra compreensão
das ideias e processos matemáticos do problema; identifica
todos os elementos importantes do problema; envolve
exemplos e contraexemplos; apresenta argumentos fortes
para justificar.
5 – Resposta competente
Dá uma resposta completa com explicações claras e
razoáveis; pode incluir um esquema apropriado; comunica
eficazmente; mostra compreensão das ideias e processos do
problema; identifica os elementos mais importantes do
problema; apresenta argumentos sólidos para justificar.
Resposta Satisfatória
4 – Falhas Mínimas, mas
Satisfatório
3 – Falhas Graves, mas
Quase Satisfatório
Completa o problema satisfatoriamente, mas a explicação é
confusa; a argumentação é incompleta; o esquema é
inapropriado ou pouco claro; compreende as ideias
matemáticas subjacentes; usa as ideias eficazmente
Inicia o problema eficazmente mas falha a conclusão ou
omite partes significativas; falha na evidência de
compreensão cabal das ideias e processos matemáticos;
comete erros de cálculo graves; usa incorretamente ou não
usa os termos matemáticos; a resposta reflete uma estratégia
inapropriada de resolução do problema.
Resposta Inadequada
2 – Inicia, mas falha a
resolução do problema
A explicação não é compreensível; o esquema é pouco
claro; não mostra compreensão da situação problemática;
comete erros de cálculo muito graves.
272
1 - Incapaz de iniciar
eficazmente
As palavras usadas não refletem o problema; os esquemas
não representam a situação problemática; falha na indicação
da informação apropriada.
0 – Não inicia
Essa proposta agradou a Maria, e foi vista como uma avaliação não classificativa
do trabalho do aluno. Na 2.ª fase, relativamente à 1.ª fase, Maria poderia modificar o
nível atribuído a cada produto. Inicialmente, Maria explicou e discutiu os níveis com os
alunos. O quadro manteve-se nas cinco tarefas em que Maria deu feedback ao RE.
Maria referiu que os descritores do quadro deixavam-na um pouco mais tranquila
devido à necessidade dos alunos da sua turma auto posicionarem-se, uns relativamente
aos outros, em termos de rendimento escolar:
É confortável para mim e principalmente para os alunos. Eles [os alunos]
têm uma necessidade grande de comparar resultados da avaliação
sumativa. Aqui não se trata disso, mas situar um aluno num determinado
nível poderá suscitar o seu empenhamento para progredir…e isso já é
importante! (STC12)
Seleção da tarefa. Maria destacou a natureza aberta da tarefa e a possibilidade de
ajudar os alunos a mobilizarem e desenvolverem os conhecimentos matemáticos:
Alunos que queiram saber mais têm que procurar aprofundar os seus
conhecimentos. Por isso, destaco a possibilidade de dar continuidade às
tarefas propostas através da escolha de tarefas abertas, ajudando os alunos
a avançarem naquilo que são os seus saberes. (STC11)
A tarefa T2, Eratóstenes, segundo Maria, era adequada à realização do RE, dada a
sua complexidade e a necessidade da redação de um texto (item 4.) a comparar dois
resultados (item 2. e item 3.). Maria destacava ainda a mais-valia do trabalho que os
alunos deveriam realizar entre a 1.ª e a 2.ª fase para a rentabilização da aprendizagem
em trigonometria:
Dar feedback à 1.ª fase é uma oportunidade para o alunos reverem o seu
trabalho e o nível de desenvolvimento dos conhecimentos adquiridos em
trigonometria. A comparação não é fácil. Mas, acho que impõe-se a
realização do RE e a 2.ª fase nesta tarefa. (STC12)
Contudo, na fase de planificação, Maria não apresentava ainda ideias claras sobre
o que poderia ser o feedback a dar aos produtos do trabalho dos alunos. Do ponto de
vista matemático, Maria considerava que o item 1. seria aquele que envolvia maior
dificuldade de concretização e o item 4. seria o que mais se proporcionaria à atribuição
de feedback por ser uma comparação de dois resultados:
273
Vamos ver o feedback que escrevo. Acho que o primeiro é o mais
complicado, matematicamente falando. O quarto compara, também não vai
ser fácil, mas aí os motivos são outros. No quarto a dificuldade vem da
necessidade de escrever um texto e efetuar a comparação. Escreverei
algo…mas acho que o último, por ser uma comparação, é melhor para dar
feedback. (STC12)
Segundo Maria, a continuidade da exploração da T2 proporcionaria aos alunos
uma
perspetiva
globalizante sobre
o trabalho
matemático com expressões
trigonométricas. A 2.ª fase poderia ser a extensão da tarefa inicial ou a revisão de
conteúdos explorados em tarefas anteriores:
Na segunda aula posso acrescentar outras propostas ou discutir a ligação
entre os aspetos explorados na T2 e aquilo que os alunos realizaram em
tarefas anteriores. Parece-me que isso será um acrescento para aquilo que
sabem sobre trigonometria e também a rentabilização e revisão do que se
explora neste tema. (STC12)
Na T3, na interpretação do enunciado, evidenciou-se a especulação sobre as
dificuldades que os alunos poderiam apresentar. Maria considerou que os três itens
impunham o domínio de linguagem matemática complexa e a manipulação de
propriedades matemáticas para a relacionação dos vários conceitos. Destacou a
pertinência das questões associadas às caraterísticas de aplicação do conhecimento
matemático, embora salientasse a importância da 2.ª fase na conclusão e na
sistematização do conhecimento adquirido:
É uma tarefa difícil. Envolve a interpretação e relacionação de
conhecimentos, o que pode trazer dificuldades acrescidas para os alunos.
Mas, como vão ter uma segunda oportunidade, podem concluir e reforçar
alguns aspetos como os mostre que e o trabalho com e sem calculadora
gráfica. (STC13)
Sendo a segunda tarefa em que atribuía feedback para a continuidade do trabalho,
Maria já perspetivava algumas ideias sobre o que seriam os seus comentários aos
produtos do trabalho dos alunos. Segundo o seu entendimento, os alunos apresentariam
respostas incompletas relativamente ao que seria a distinção entre a resolução
recorrendo à calculadora gráfica e a resolução recorrendo apenas à vertente analítica.
Nesses casos, procuraria que os alunos confrontassem as suas respostas com a falta de
compreensão para o leitor, de forma a incentivar a compreensão da necessidade de
apresentar um determinado tipo de resposta:
No item mostre que (b1) vou empurrá-los para a ligação entre o
significado de cada uma dos parâmetros no contexto da situação descrita e
na calculadora reforçarei a apresentação da janela de visualização, a
274
indicação da expressão introduzida na calculadora e a descrição do que
observam no visor. Talvez possa pedir para um confrontar o seu trabalho
com o do parceiro. Vejamos! (STC13)
Relativamente à nota apresentada no enunciado da proposta de trabalho, Maria
não a concebia como relevante por acrescentar o enunciado da tarefa e por encaminhar
os alunos para a calculadora gráfica, apesar de necessitarem de desenvolver trabalho
analítico anterior:
(Nota: a resolução desta questão envolve uma equação que deve ser
resolvida graficamente, com recurso à calculadora; apresente todos os
elementos recolhidos na utilização da calculadora, nomeadamente o
gráfico, ou gráficos, obtido(s), bem como coordenadas relevantes de
algum, ou de alguns, ponto(s).)
Esta nota é irrelevante para aquilo que os alunos têm de concretizar. Até
pode remeter apenas para a calculadora quando têm de contar primeiro o
número de dias de 4 de janeiro a 14 de fevereiro. (STC13)
A T5, uma tarefa de Geometria analítica no espaço, apresentava-se como sendo
tarefa de aplicação de conhecimentos matemáticos relacionados com as condições da
geometria analítica no espaço. Maria salientou a necessidade dos alunos recorrerem ao
caderno diário para desenvolverem a tarefa com sucesso, procurando as condições do
plano, da esfera e a fórmula para determinar o cosseno de um ângulo. Mesmo assim,
foram referidos os erros de cálculo mais frequentes neste tipo de tarefas e a influência
dos mesmos na conclusão do trabalho a realizar:
Acho que devo dizer para consultarem as fórmulas, podem recordá-las e
ver como se aplicam. Do meu ponto de vista os erros de cálculos vão ser
frequentes nesta tarefa. Eles [os alunos] muitas vezes, têm dificuldades em
manipular as condições da geometria porque fazem muitos erros de cálculo
e depois não conseguem chegar ao fim. (STC18)
Relativamente ao feedback a atribuir aos produtos dos alunos, Maria antecipou a
dificuldade de identificar os erros sem os corrigir e as implicações da sua existência no
trabalho a realizar na 2.ª fase. Segundo o seu ponto de vista, procuraria promover o rigor
da escrita das condições e, mais uma vez, a necessidade da justificação de uma resposta,
baseando o feedback no confronto entre o que deveria ser desenvolvido pelos alunos e o
que efetivamente tinham concretizado:
Tenho de identificar os erros sem que isso pareça uma correção, o que é
difícil para mim. Acho que alguns, neste tipo de tarefa, têm mesmo de ser
identificados, embora vá procurar que analisem a viabilidade de algumas
respostas face ao que está exposto na proposta de trabalho. Esse confronto
pode ser importante para que agilizem a manipulação das condições em
geometria. (STC18)
275
A possibilidade dos alunos apresentarem resoluções diversificadas na tarefa T5 foi
destacada como relevante do ponto de vista do trabalho matemático dos alunos e das
conceções que os alunos apresentam relativamente à matemática. Segundo Maria,
muitas vezes, os alunos apresentavam a conceção de que os itens de matemática
admitem uma resposta única, e de caráter fechado, o que pode ser uma dificuldade na
discussão dos resultados e na compressão daquilo que é a proposta de trabalho:
Agrada-me a possibilidade da tarefa ser mais ou menos aberta. Os alunos
podem apresentar várias resoluções diferentes e isso é bom para aqueles
que pensam que em matemática cada pergunta tem apenas uma resposta. É
verdade. Noto isso muitas vezes. Acham que apenas uma resolução é
possível e depois ficam baralhados nas discussões e pensam que seguem o
caminho errado porque não compreendem. (STC18)
A T6 e a T8 apresentam caraterísticas muito semelhantes relativamente à
manipulação dos conceitos matemáticos e à necessidade de interpretar os significados
das variáveis envolvidas nas expressões algébricas. Maria salientou os aspetos de
ligação à realidade dessas duas tarefas e a sua complementaridade relativamente à
redação das respetivas respostas pelo aluno. Na T6, Maria podia intervir apelando à
compreensão do enunciado e procurando que os alunos interpretassem o problema e
identificassem as ferramentas matemáticas necessárias à resposta. Na T8, seria dada
relevância à completude da resposta e à distinção entre o trabalho analítico e o trabalho
com calculadora gráfica:
Completam-se, uma associada às funções e à interpretação e a outra que
requer esses aspetos e mais a distinção entre analítico e gráfico. Na
primeira poderei questionar com outros valores diferentes dos
solicitados…para conseguir compreender o problema proposto e na
segunda darei maior atenção à forma como organizam a resposta. Espero
que na segunda não apresentem dificuldades de interpretação! (STC20)
A segunda aula de trabalho em aula na T6 e na T8 não foram assistidas por mim,
apesar de terem sido planificadas em conjunto, por se tratar de aulas de substituição
desenvolvidas num horário diferente do habitual da turma. O feedback dado aos
produtos dos trabalhos dos alunos dessas tarefas foi discutido nas sessões de trabalho de
natureza colaborativa e concretizado à semelhança das tarefas anteriores.
Método de trabalho. A redação de relatórios escritos em duas fases fez-se
sempre individualmente. À semelhança do que aconteceu com José, Maria considerou
importante que os alunos redigissem um relatório individual embora tivessem a
276
possibilidade de discutir e confrontar ideias durante o desenrolar da tarefa. Maria
destacou a necessidade de todos os alunos intervirem no desenvolvimento de cada uma
das tarefas como uma forma de autodesenvolvimento e autoaprendizagem, procurando
desta forma incutir a participação nas tarefas da disciplina e a autorregulação:
A participação deles é muito importante para aprenderem matemática. Não
chega envolverem-se, têm de “fazer pela vida”, em Matemática é assim!
Por isso, acho que devem fazer o relatório individualmente para “puxar”
todos para o mesmo caminho, mesmo que cada um deles faço um percurso
distinto. (STC12)
No caso da tarefa T5, a possibilidade de respostas diferenciadas de aluno para
aluno, do ponto de vista da Maria, saía rentabilizada quando os alunos trabalhavam
individualmente, com a possibilidade de discutirem a pares. A T5, item a), permitia que
os alunos mostrassem o que é pedido aplicando estratégias muito divergentes, o que
podia ser tido como vantajoso quando os alunos concretizassem uma estratégia
individual e, posteriormente, a discutem com o seu par:
O confronto de estratégias de resolução obriga a dois pontos fundamentais,
do meu ponto de vista. Por um lado, a necessidade de defender e
argumentar sobre a validade da própria resolução e, por outro lado,
procurar compreender a estratégia do parceiro e tentar desmantela-la.
(STC20)
Também, a necessidade de redigir individualmente um relatório, principalmente
para as tarefas T6 e T8, poderia obrigar os alunos a um esforço inicial de interpretação
que se trabalhassem em grupo não o teriam. Segundo Maria, assim, todos os alunos
participariam nas tarefas, o que não aconteceria se se tratasse de trabalho de grupo. Essa
participação ajudaria a compreenderem as suas próprias dificuldades e a tomarem a
iniciativa de procurar ajuda para ultrapassá-las:
Alguns [alunos] são preguiçosos e não se envolvem no trabalho de grupo,
por isso o trabalho individual na interpretação ajuda ao envolvimento dos
alunos nas tarefas e faculta-lhe a perceção das dificuldades de modo a
procurarem ajuda para ultrapassá-las. (STC11)
O facto da redação do relatório ter caracter individual não se mostrava um inibidor
da partilha de comentários pelos alunos em pares. Antes, pelo contrário, Maria
considerava que se os alunos se sentirem responsáveis por apresentar um documento
próprio de resposta às tarefas, esforçar-se-ão mais do que o habitual para conseguir
concluir o trabalho proposto com sucesso:
O relatório individual responsabiliza cada um dos alunos pelo seu trabalho
e isso traz maior envolvimento e maior atividade nessas aulas. (STC12)
277
Síntese. No quadro seguinte, encontram-se sintetizadas as tarefas, os principais
objetivos de aprendizagem e os métodos de trabalho respetivos.
QUADRO 32: TAREFA/OBJETIVO GERAL/MÉTODO DE TRABALHO EM RE (MARIA)
Tarefa
T2
T3
T5
T6
T8
Objetivo geral
Aplicar as razões trigonométricas
Resolver problemas de Trigonometria
Relacionar a Geometria e a Trigonometria
Desenvolver a capacidade de compreensão
e interpretação, em Funções
Distinguir o procedimento analítico e o
procedimento gráfico, em Funções
Método de trabalho
Misto: individual e díade
Misto: individual e díade
Misto: individual e díade
Individual
Individual
Durante a aula
A seleção de relatórios que vão ser apresentados nesta parte foi feita por Maria.
Como já foi referido anteriormente, no seio do grupo de trabalho colaborativo
decidimo-nos pelo critério de discutir relatórios escritos em duas fases que
evidenciassem a intenção do professor em promover a autorregulação ou apresentassem
capacidades monitorização dos alunos observados. A necessidade de reduzir a
quantidade de materiais analisados está relacionada com o excessivo número de
trabalhos recolhidos por cada um dos casos.
Autorregulação da resposta
Compromisso com as tarefas matemáticas. Andreia, no item 1. da T2,
substituiu os parâmetros α e h por números:
278
Figura 26: 1.ª fase do produto de Andreia na T2
Apesar de a aluna ter em conta que 0º < α < 90º e que BC = R + h , Maria não
aceitou essa resolução como correta e teve necessidade de explicar, no feedback
atribuído, o que pretendia com o mostre que: “mostre que é a prova da veracidade de
uma propriedade… nada de casos particulares!”. Essa indicação, acompanhada com
algumas interrogações orais, em aula, proporcionaram a Andreia a consciencialização
da necessidade de não usar valores concretos nos parâmetros, mas antes que deveria
usar as letras da figura e mostrar o pretendido. Esse compromisso com a tarefa
matemática, dado através do feedback escrito, também surgiu na T2 quando Carlos foi
encaminhado para a proposta de trabalho depois de determinar o valor de R substituindo
a amplitude do ângulo α por vários valores. Não aceitando a resposta dada por Carlos,
Maria, dessa vez, encaminhou o aluno para a proposta de trabalho e em particular para a
sugestão dada no item:
279
Figura 27: 1.ª fase do produto de Carlos na T2
Fazer α = 5º , α = 10º e α = 20º , etc. não serve para concluir porque não
se demonstra, são a concretização de casos particulares. Siga a sugestão
dada na proposta de trabalho. Comece por escrever a definição da razão
cosseno. (Feedback de Maria à 1.ª fase de Carlos em T2)
Para a redação da 2.ª fase, Carlos seguiu as instruções dadas no feedback escrito
de Maria, mas teve alguns problemas com os cálculos pelo que não conseguiu obter o
resultado pretendido, e assumiu a incompletude da sua resposta:
Figura 28: 2.ª fase do produto de Carlos na T2
Na T3 sobressaíram as dificuldades de interpretação dos alunos. No item a),
depois da compreensão do significado de x e de d, Carlos não respondeu ao item embora
tenha calculado os valores de d que correspondem a x = 0 , a x = π e a x = 2π . No
item b1), Carlos não conseguiu obter o resultado final mas substituiu x por π e T por
365,24. Relativamente ao item b2), a resposta de Carlos mostrou dificuldades na
manipulação da calculadora gráfica. Maria atribuiu um feedback escrito globalizante ao
280
produto do trabalho de Carlos e especificou, para cada um dos itens, o caminho a seguir
pelo aluno de forma a recoloca-lo na concretização da tarefa.
A Joana, na T3, também recebeu um feedback escrito globalizante, com
especificações para a conclusão da tarefa. Joana no item a) responde apenas d=147,7.
Maria alertou-a para a necessidade de apresentar o procedimento que conduzia a essa
resposta. Explicou-lhe, também, que no caso da não apresentação do procedimento e do
resultado se encontrar errado era quase impossível identificar o erro cometido, o que
penalizaria muito a sua classificação. Para o item de calculadora, b2), Maria alertou a
aluna para a necessidade de colocar a amplitude do ângulo na calculadora em radianos e
respeitar a janela de visualização [0,2π [ :
Figura 29: 1.ª fase do produto de Joana na T3
Na T5, Carlos e Joana discutiram sobre a abordagem a dar ao item a). No RE cada
um dos dois alunos apresentou a sua própria resolução. Carlos procurou escrever a
equação do plano através da obtenção do vetor normal a partir de três pontos, enquanto
Joana provou que os três pontos pertencem ao plano dado. Maria apoiou os alunos na
complementaridade dessas respostas, dando-lhes feedback para continuarem embora
refira a melhoria da organização e das justificações:
A resposta está correta, mas pode ser melhorada. Deve justificar a opção
tomada do uso dos três pontos, justificar e organizar a resposta. (Feedback
dado a Joana na T5, 1.ª fase)
Na T6, Maria usou a estratégia de colocar em confronto as ideias expressas por
Patrícia na sua resposta. No item a), Patrícia enganou-se nos cálculos e obteve um valor
negativo para a duração da viagem e Maria reagiu, identificando o erro e questionando:
a Maria pode sair de casa antes das sete e meia da manhã? A aluna reconheceu a
indicação e, quando leu o feedback, verificou os cálculos e corrigiu a sua resposta:
281
Figura 30: 1.ª fase do produto de Patrícia na T6
Figura 31: 2.ª fase do produto de Patrícia na T6
No item 1.1 da T8, Maria teve necessidade de confrontar Andreia com a resposta
dada. A aluna, ao explicar o significado da assimptota horizontal, referiu que por muito
tempo que passe o raio da nódoa está sempre a aumentar. A reação de Maria através do
feedback escrito não desmentiu a resposta da aluna, mas solicitou-lhe uma maior
clarificação da resposta. Para ajudar a aluna na construção dessa clarificação
apresentou-lhe um exemplo:
A resposta está “meio” certa, tenta justificar…ou concretizar melhor. Por
exemplo, o que acontece ao raio ao fim de 2 segundos? E 20 segundos? E
200 segundos? E 2000 segundos? (Feedback dado a Andreia na T8, 1.ª
fase)
Estímulo às estratégias individuais. Na atribuição de feedback, Maria procurou
ajudar os alunos a continuarem os seus próprios trabalhos a partir do trabalho que
haviam realizado. Umas vezes deu continuidade às estratégias definidas pelos alunos e
ajudou, apenas, a identificar erros e a ultrapassar dificuldades, mas outras vezes foi
necessário intervir no sentido de confirmar resoluções ou de valorizar a completude e
organização de respostas. Na T2, item 1., Carlos usou a igualdade dada no enunciado
para determinar alguns valores e generalizar a igualdade através da concretização de
alguns valores. Maria não refutou o caminho escolhido por Carlos e, no feedback dado,
282
a partir da estratégia escolhida pelo Carlos, sugeriu uma reflexão sobre o aparecimento
dessa igualdade:
É necessário justificar o aparecimento da igualdade. Talvez essa escrita
ajude a encontrar o caminho para continuar e, consequentemente, mostrar
que... (Feedback dado a Carlos na T2, 1.ª fase)
A dificuldade de Carlos estava em compreender o significado de um mostre que.
Maria ajudou o aluno a partir do trabalho desenvolvido por ele mas, também, apelando à
reflexão sobre o que seria um mostre que e como seria possível explicar o aparecimento
daquela relação. A Andreia também usou uma estratégia semelhante à de Carlos. Mas, a
Andreia, Maria deu um feedback diferente. Maria questionou a aluna acerca da
viabilidade da generalização: “Como sabe que serve para todos os valores de α ? e de
h ?”.
Na T3, a Joana respondeu ao item b2) sem apresentar o processo de resolução que
lhe permitia obter a resposta. Nessa situação, Maria informou, através do feedback
escrito, da necessidade de apresentar uma resposta completa, por ser necessário, para
esse item, a avaliação da capacidade de utilização da calculadora gráfica e por ser
impossível responder sem o desenvolvimento desse processo:
Apenas o resultado não permite avaliar se usou corretamente, ou não, a
calculadora gráfica e, também, não sei se construiu uma resposta, ou não
fez nada? Só é possível avaliar se o resultado está certo ou errado e este for
coerente com o processo de resolução. Cuidado! (Feedback dado a Joana
na T3, 1.ª fase)
No item b1) da T3, Maria alertou Patrícia para a necessidade de justificar as
opções feitas para a construção de uma resposta, realçando a sugestão de justificar
primeiro e depois concretizar:
Procure justificar primeiro o que significa o resultado pedido no contexto
do problema. Essa justificação poderá ajudar a construir uma resposta que
mostre o pretendido. Faça-o, observando a figura! (Feedback dado a
Patrícia na T3, 1.ª fase)
Mesmo quando os alunos cometeram erros de cálculo, Maria não deixou de
estimular a estratégia dos alunos, desvalorizando os erros cometidos e incentivando a
sua correção. A Andreia na T6, item 1., cometeu erros de cálculo e não conseguiu obter
o resultado pretendido. A aluna assumiu essa fragilidade na sua resposta, colocando em
confronto o seu trabalho e o resultado que se prendia (8h 11m):
283
Figura 32: 1.ª fase do produto de Andreia na T6
Maria, perante essa resposta, em primeiro lugar solicitou à aluna que corrigisse os
erros cometidos e depois colocou em confronto alguns dos aspetos da resposta dada, a
partir da estratégia individual da própria aluna:
Verifique os cálculos: 7h40+10=? 7h50+10=? 7h55+10=?, respondendo
sempre em horas e minutos. Depois de corrigir esses cálculos, no item 2.,
procure responder à questão: para que serve a expressão
5600
d (t ) = 45 − 2
neste problema? (Feedback dado a Andreia na T6, 1.ª
t + 300
fase)
Com este feedback, Maria conseguiu que Andreia corrigisse os erros de cálculo e,
ao mesmo tempo, confrontasse a sua resolução com aquilo que estava a ser proposto no
enunciado. Apesar do trabalho inicial da aluna não servir para construir uma resposta ao
problema, esse trabalho serviu para ultrapassar o erro de manipulação do sistema
horário (sexagesimal) e, a partir daí, perspetivar uma resposta diferente mas apoiada na
diferença explicada pela própria aluna:
Figura 33: 2.ª fase do produto de Andreia na T6
284
Articulação de ideias próprias. No feedback escrito dado por Maria às
produções escritas pelos alunos foi identificado o apelo à clarificação de intenções e ao
acrescento de justificações do raciocínio matemático, para fundamentar as respostas e
aprofundar o domínio dos conhecimentos matemáticos dos alunos. Maria expressou
essa intencionalidade por acreditar que a necessidade de argumentar, para justificar ou
refletir, sobre as opções tomadas permitiria a correção de erros, a ultrapassagem de
dificuldades e a aprendizagem consolidada e duradoura:
Gosto de lhes pedir para terem um 2.º olhar. É um novo ponto de vista,
uma segunda reflexão que pode ajudar a evitar erros e dificuldades,
construindo um conhecimento mais duradouro e eficaz…às vezes basta
pedir “justifique” ou um “então porquê?”, para que haja esse 2.º olhar.
(STC 10)
Na T2, item 4., Maria solicitou que Joana explicasse porque escrevera «quando α
aumenta h também aumenta» a propósito da comparação das duas variáveis. A
conclusão estava correta mas não existia evidência de que fosse uma afirmação refletida
pela aluna e assente em conhecimento construído a partir dos resultados obtidos. Na 2.ª
versão, a Joana acrescentou à sua resposta várias evidências que procuraram justificar a
veracidade da afirmação:
Quando α aumenta h também aumenta, com α = 60º tem-se
h cos 60º
(1 − cos 60º )
R=
ou seja h = 1000 ×
e com α = 45º tem-se
1 − cos 60º
cos 60º
(1 − cos 45º )
. Não posso afirmar a veracidade para todos os
h = 1000 ×
cos 45º
valores, mas no geral é verdade. Verifica-se sempre. Experimentei com
α = 60º , α = 45º , α = 30º e α = 10º .
Figura 34: 2.ª fase do produto de Joana na T2
Apesar de Joana não clarificar definitivamente o que procurava mostrar, as
evidências apresentadas fundamentam a resposta e o procedimento que conduziu à
resposta.
Na T3, Maria atribuiu à resposta de Carlos um feedback que procurava ajudar o
aluno a identificar um erro e a ultrapassar a dificuldade de interpretação. Por exemplo,
para o item b1), «qual o valor de π − 0,0167 senπ ?» (Feedback de Maria à 1.ª fase de
Carlos em T2) à seguinte resposta:
285
Figura 35: 1.ª fase do produto de Carlos na T3
A partir do feedback dado por Maria, Carlos corrigiu o erro que tinha cometido e
conseguiu relacionar as suas ideias de outra forma, dando a resposta correta. No item
b2), da mesma tarefa, com a calculadora gráfica, Patrícia respondeu de uma forma
incompleta e Maria reagiu, solicitando algumas justificações:
Figura 36: 1.ª fase do produto de Patrícia na T3
O apelo de Maria à justificação impulsionou em Patrícia a necessidade de articular
as suas ideias de forma a construir uma argumentação, suficientemente, convincente
para si e para os outros. A explicação de Patrícia é rica em pormenores e procura
evidenciar, passo a passo, o raciocínio que conduziu à resposta:
286
Figura 37: 2.ª fase do produto de Patrícia na T3
A tarefa T5 suscitou alguns comentários de Maria relativamente à aprendizagem
dos alunos e à consolidação desse conhecimento. Maria referiu-se à forma,
diversificada, como os alunos responderam ao item a). Na opinião de Maria, o facto de
os alunos conseguirem construir uma resposta e confrontá-la com a dos colegas revela
um domínio do conhecimento matemático que ultrapassa o nível elementar e imediato:
Quando o Carlos e a Joana discutiram as suas resoluções…elas eram
diferentes, e nessa discussão, cada resolução, foi defendida com a
convicção de que, tanto Carlos, como Joana, dominavam o conhecimento
matemático que usavam. (STC21)
Síntese. Na valorização de uma aprendizagem significativa e duradoura, Maria,
independentemente do tema matemático, atribui um feedback escrito que ajudasse a
concluir o trabalho com sucesso. No quadro seguinte, encontram-se sintetizados os tipos
de intervenção de Maria nos três tópicos para promover a autorregulação da resposta,
através do feedback escrito em relatórios com duas fases.
QUADRO 33: TIPO(S)
RESPOSTA EM RE
DE INTERVENÇÃO DE
Tópicos para a autorregulação
da resposta
Compromisso com a tarefa
matemática
MARIA
PARA A AUTORREGULAÇÃO DA
Tipo(s) de intervenção (Tarefa)
remete para o que está escrito na proposta de trabalho
(T2; T3; T5)
287
Estímulo às estratégias
individuais
Articulação de ideias próprias
coloca em confronto ambiguidades na resposta (T6; T8)
recoloca na concretização da tarefa (T3)
clarifica o que pretende que concretizem (T2)
encaminha a partir dos erros e das dificuldades (T2; T6)
fomenta a valorização da completude da resposta (T2;
T3; T6)
diversifica o feedback (T2; T3; T5; T6; T8)
permite a correção de erros e a ultrapassagem de
dificuldades (T3)
ajuda a clarificar a resposta dada pelo aluno (T5)
apela à apresentação de justificações (T2)
permite uma aprendizagem consolidada e duradoura
(T2; T3; T5)
Autorregulação do desempenho
Eficácia matemática. A eficácia matemática teve como descritores de
desempenho a tabela Rubrica para Resolução de Problemas de Matemática não
estruturados, retirado de California CAP math report (1989). Maria sentiu dificuldade
em posicionar o desempenho dos alunos num dos descritores apresentados, por ter o
hábito de realizar muitas vezes uma avaliação de características holísticas:
A fronteira entre os descritores é ténue e tenho dificuldade de colocar um
aluno num nível e outro não. Alguns aspetos focados num dado descritor
aplicam-se, mas outros não. Isto é redutor, gosto mais de dizer mais ou
menos o que penso sobre cada um dos trabalhos. (STC14)
Os alunos discutiram com Maria os descritores apresentados e, no primeiro
contacto com eles, quiseram saber o que significava o satisfatório e as falhas mínimas.
Maria recorreu a exemplos concretos dos trabalhos dos alunos para explicar e
acrescentou que com a atribuição daquela avaliação pretendia desencadear nos alunos
um investimento maior nas tarefas da aula e na reflexão sobre a estratégia seguida para
obter a resposta. Na 1.ª fase da T2, Maria atribuiu o nível 4 – Falhas Mínimas, mas
satisfatório - a todos os relatórios. Carlos não conseguiu provar o que era pedido no
item 1., Joana, apesar, das experiências realizadas e das conclusões escritas, não
evidenciou um domínio das fórmulas trigonométricas suficiente para obter um resultado
melhor, Andreia e Patrícia, também, concretizaram alguns valores mas não conseguiram
mostrar o pretendido. Maria considerou que o trabalho dos alunos para esta tarefa não
deveria ser desvalorizado embora não tivessem mostrado o pretendido. Segundo Maria,
a inabilidade dos alunos na construção da demonstração solicitada está relacionada com
pouco trabalho desenvolvido em aula em torno desse tipo de tarefas:
Não posso esperar que mostrem uma fórmula trigonométrica à primeira
sem trabalho em aula para treinar esse tipo de demonstração. O trabalho
288
que realizaram revela domínio de alguns conceitos de trigonometria mas,
ao mesmo tempo, foram incapazes de os mobilizar com sucesso. (STC14)
Na T3, Maria atribuiu nível 5 – Resposta competente - ao trabalho de Carlos e
Nível 3 – Falhas Graves, mas Quase Satisfatório – ao trabalho de Joana. O resultado
apresentado no item b2) era aproximadamente o mesmo, mas Carlos apresentou o
processo que permitia obtê-lo enquanto Joana apenas apresentava a resposta. O
confronto de respostas e de avaliações, concretizado pelos alunos, serviu para reforçar a
necessidade de completude das respostas e para mostrar os níveis de exigência de
Maria:
Neste caso, foi útil ter a tabela com os descritores para avaliar as
produções. O feedback que dei ajudou cada um dos alunos a melhorar e a
corrigir a sua resposta, mas os descritores permitiram-me clarificar o que
pretendia que os alunos fizessem, dando respostas corretas e completas!
(STC15)
Na T5, Maria valorizou a diversidade de respostas apresentadas pelos alunos e
atribuiu nível 5 – Resposta competente – na primeira versão do trabalho de Carlos e na
primeira versão do trabalho de Joana, apesar de responderem através de estratégias
diferentes ao item a). Maria deu pistas para a identificação dos erros e valorizou a
comunicação matemática escrita pela explicitação das ideias que conduziram às
justificações pretendidas. Nesta tarefa, os alunos reviram os conteúdos de Geometria e
fizeram a conexão geometria – trigonometria.
Apesar de no início Maria não ter valorizado a utilização da tabela de descritores,
no final acabou por referir que a mesma foi importante para os alunos para a eficácia
matemática dos seus trabalhos e para complementar o feedback atribuído:
Os alunos valorizavam os descritores, até lhes davam, quiçá, mais
importância. Acho que os entendiam como uma avaliação e isso é
importante para eles, mas os descritores ajudaram a entender o meu
feedback escrito, principalmente a mostrar alguns aspetos a melhorar nos
trabalhos. (STC25)
Autoavaliação. O feedback escrito permitiu a obtenção de uma avaliação dos
produtos dos alunos antes da conclusão. Este aspeto foi o mais valorizado por Maria e
pelos seus alunos. Para Maria, a atribuição de feedback escrito constituiu um sistema de
promoção da reflexão do aluno sobre o seu próprio trabalho. O feedback escrito dado à
tarefa T2 possibilitou a Carlos a compreensão de que a estratégia por si seguida permitia
obter uma conclusão acertada mas não se constituía um mostre que. A discussão com os
alunos do que se entende por mostre que permitiu que os alunos pudessem a seguir
289
refletir e equacionar a construção das suas respostas a partir dos comandos evidenciados
em cada um dos itens:
Carlos: A stor escreveu “não prova nada!”
Maria: Sim, encontras uma relação verdadeira entre h e alfa mas não
mostraste que a igualdade é verdadeira.
Carlos: Nos mostre que devo mostrar como chegar à igualdade…
Maria: Qual a diferença entre justifique e mostre que?
Carlos: Tenho de ver isto novamente?
Maria: Vê no caderno, tenta compreender o que deves fazer no mostre
que... (A5M)
O feedback escrito dado na 1.ª fase da T3 também permitiu que os alunos
melhorassem os seus trabalhos para a 2.ª fase. Joana, ao apresentar a resposta sem a
explicitação do processo usado, sujeitou-se a um feedback menos positivo que a
impulsionou a refletir sobre a necessidade de apresentar os procedimentos que
conduziram à resposta. Joana desenvolveu essa capacidade de autoavaliação por lhe ter
sido dada a oportunidade de completar um trabalho e por ser valorizada a 2.ª fase em
vez da 1.ª:
A Joana é um exemplo de evolução. Desde aquela tarefa em que
apresentou apenas o resultado que passou a ter mais cuidado com as
respostas. A Joana está muito mais concentrada tanto a ler a pergunta para
compreender como na construção da resposta. (STC25)
A continuidade dessa prática incutiu nos alunos a autorreflexão sobre os seus
trabalhos, nomeadamente procurando que incluíssem todas as justificações e indicações
de processo requeridas pelo professor:
A reflexão do aluno sobre o trabalho que concretizava evoluiu ao longo
deste trabalho e isso significou a melhoria gradual dos últimos trabalhos,
tanto ao nível da apresentação de justificações como da explicação de
processos de resolução. (STC25)
Aceitar que a primeira resposta (1.ªfase) do produto do trabalho dos alunos
constituiu um documento de trabalho que tem continuidade e pode ser melhorado, a
partir do feedback escrito, constituiu uma mais-valia para a aprendizagem matemática.
Na T5, Carlos e Joana não estavam apenas preocupados em apresentar uma 1.ª fase
correta e completa mas empenharam-se em compreender a diferença entre as suas
respostas. Esse aspeto mostrou uma evolução positiva dos alunos em relação à sua
aprendizagem matemática. A capacidade de autoavaliação saiu valorizada mas, também,
os alunos se sentiram mais responsáveis pelos produtos que apresentavam:
290
Quando os alunos comparavam as respostas dadas e procuram
compreender as diferenças, estavam a aprender mais do que aquilo que eu
poderia supor no início. Efetivamente, entre a 1.ª e a 2.ª fase surgiram
melhorias significativas, não apenas nos produtos, mas também na
compreensão que os alunos procuravam alcançar naquilo que
concretizavam. (STC25)
Síntese. Os apelos à autoavaliação, através da comparação entre o trabalho
realizado e a tabela de descritores da tabela Rubrica para Resolução de Problemas de
Matemática não estruturados, retirado de California CAP math report (1989), aparecem
essencialmente nas primeiras tarefas, quer de Trigonometria, quer de Geometria. Nas
últimas tarefas, de Trigonometria e de Funções, não são identificáveis essas indicações
provavelmente pelo assumir da capacidade de autorregulação. No quadro seguinte,
encontram-se sintetizados os tipos de intervenção de Maria nos dois tópicos para
promover a autorregulação do desempenho, através do feedback escrito em relatórios
com duas fases.
QUADRO 34: TIPO(S)
DESEMPENHO EM RE
DE INTERVENÇÃO DE
Tópicos para a autorregulação
do desempenho
Eficácia Matemática
Autoavaliação
MARIA
PARA A AUTORREGULAÇÃO DO
Tipo(s) de intervenção (Tarefa)
promove a reflexão sobre a estratégia seguida (T2)
incentiva a melhoria dos trabalhos (T2)
mostra os seus níveis de exigência (T2; T3; T5)
valoriza a comunicação matemática escrita (T2; T3; T5)
promove a completude das respostas (T3)
dá feedback à 1.ª fase (T2; T3; T5; T6; T8)
promove a aproximação entre o produto e a resposta
esperada (T3; T5)
aceita a 2.º fase como produto final (T2; T3; T5; T6)
Depois da aula
O grupo refletiu em conjunto sobre alguns aspetos que tinham caracterizado a aula
ou as aulas de aplicação das tarefas cujos relatórios foram sujeitos à atribuição de
feedback. Em algumas tarefas foi possível discutir a atribuição de feedback à 1.ª fase do
relatório escrito dos alunos devido ao desenrolar das aulas. Em outras, apenas se
discutiu o impacto do feedback dado após a 2.ª fase.
Balanço. Maria distinguiu a valorização do trabalho realizado pelo aluno como
uma forma de o manter interessado e o motivar para corrigir as falhas e os erros dos
relatórios escritos em duas fases. Na 1.ª fase, os alunos investiram na realização da
proposta de trabalho, umas vezes com maior sucesso, outras nem por isso, mas Maria
defendeu que o feedback escrito devia valorizar esse investimento:
291
Se queremos a continuidade e persistência no trabalho temos de o valorizar
na 1.ª fase e colher os resultados na 2.ª fase. Mesmo quando existem erros,
devemos incentivá-los a emendar ou aprofundar mais a resposta. (STC25)
Procurando cumprir a não identificação dos erros, Maria ajudou os alunos a
identificá-los através de sugestões para reflexão e de indicações para aprofundamento.
Às vezes, os alunos recebiam o feedback através de exclamações sobre o domínio ou a
viabilidade de continuidade de uma dada estratégia para atingir a resposta. Nesses casos
quando, aparentemente, o feedback poderia conter juízos de valor negativos, Maria
através da sua empatia com os alunos, mostrava-lhes o caminho a seguir para
progredirem:
Os alunos habituaram-se à minha maneira de dizer as coisas! Aquelas
exclamações ou interrogações procuram que eles reflitam sobre o assunto e
que equacionem outras estratégias …. ou pensem no que está errado no
resultado. (STC25)
O feedback escrito teve o papel de ajudar os alunos a melhorarem as suas
produções para isso foi necessário construir um campo de entendimento entre Maria e
os alunos. Nem sempre foi completamente explícito, mas a grelha dos descritores com
os níveis de desempenho na tarefa ajudaram a promover aquilo que Maria procurava
que os alunos atingissem. A valorização do trabalho em cada uma das tarefas e o
feedback dado clarificaram os alunos sobre os aspetos mais significativos do resultado
final pretendido por Maria:
No início não gostava dos descritores, mas depois usei-os com utilidade
para mim e para os alunos. Completava-os com o feedback escrito e isso
tornou-se numa mais-valia para os alunos, para alcançarem aquilo que eu
pretendia com produto final. (STC26)
Dificuldades. Maria realçou a dificuldade temporal para a atribuição do feedback
escrito e adequado a cada um dos alunos. Maria referiu que foi difícil atribuir o
feedback a todos os alunos da turma quando o trabalho se concretizou em aulas
consecutivas. No entanto, reconheceu a importância de desenvolver a mesma tarefa em
aulas consecutivas e de os alunos acederem ao feedback do produto do trabalho
realizado na 1.ª fase, antes de concretizarem a 2.ª fase:
É difícil…para mim, foi muito complicado, de um dia para o outro analisei
os trabalhos de todos e pensava no que devia escrever para ajudar os
alunos a melhorarem e a continuarem. Embora considere que assim seja a
melhor forma de os ajudar! (E2M)
292
Maria adotou a estratégia de agrupar os trabalhos dos alunos de acordo com o
desempenho para tipificar o feedback e tornar essa tarefa mais ágil. Refere que lia todas
as respostas e as agrupava consoante os erros cometidos e o grau de completude da
resposta, antes de atribuir o feedback escrito:
Tive de arranjar um esquema de organização. Lia os trabalhos todos e
agrupava-os consoante estivessem mais ou menos incompletos ou tivessem
mais ou menos erros, depois o feedback torna-se mais fácil. (E2M)
Essa dificuldade prendeu-se, também, com o adequar o feedback a cada um dos
trabalhos e de o tornar individualizado. Maria acrescentou que muitas vezes usou
apenas pontos de exclamação e pontos de interrogação como uma forma de feedback.
Essa escrita simbólica servia aos alunos, por os obrigar a refletir sobre os trabalhos
concretizados e averiguassem da existência de erros ou da falta de continuidade das
respostas. Maria referiu que não fez isso com todos os alunos, mas usou essa simbologia
principalmente com os alunos que apresentavam melhor desempenho e por isso
necessitavam de menor orientação:
Para os alunos com melhor desempenho usei alguns pontos de exclamação
e de interrogação…apenas para que refletissem sobre o que escreviam. Os
melhores não precisavam de um caminho muito bem definido…essa parte
guardei para quem realmente precisava de orientação. Mas, de qualquer
forma tive dificuldade em adequar o que dizer às características do aluno e
ao que estava escrito no papel. (E2M)
Maria mostrou-se consciente da importância do feedback escrito para a conclusão
do trabalho dos alunos, nomeadamente pela explicitação que constituía sobre o que ela
considerava um trabalho completo:
Percebi que o feedback escrito era fundamental para concluírem os
trabalhos, compreenderem aquilo que seria um trabalho completo para
mim e por saberem o que corrigir. (E2M)
A individualização do feedback escrito apresentou-se como uma dificuldade por
Maria apresentar insatisfação no tempo que poderia dedicar a ver a 1.ª fase dos produtos
dos alunos. Maria procurou personalizar o feedback escrito, adequando-o às
caraterísticas do aluno embora tenha organizado os trabalhos por grupos. Maria
manifestou ambiguidade relativamente ao efeito dessa organização, por um lado o
feedback dado encontrava-se influenciado pela diversidade de produtos lidos e por outro
lado, para os alunos, foi mais fácil compreender o feedback escrito por ser passível de
discussão entre os alunos:
293
Não sei avaliar se foi bom ou não. Tem aspetos positivos, todos entendiam
o feedback dado e podiam discuti-lo, porque escrevi as mesmas coisas ao
mesmo tipo de resposta. O aspeto negativo, e que me deixa desgostosa, é a
falta de individualização na escrita, embora tenha sempre adequado
algumas caraterísticas. (E2M)
Síntese. No quadro seguinte, encontram-se sintetizadas as dificuldades de
intervenção de Maria, e as ações tomadas para as ultrapassar.
QUADRO 35: DIFICULDADES QUE AFETARAM A PRÁTICA DE FEEDBACK ESCRITO DE MARIA
Dificuldade
Dar feedback escrito
de forma a trabalhar a
tarefa na aula seguinte
Ação do professor
Tipifica o feedback de acordo
com o desempenho
Objetivo
Permitir a continuidade do
trabalho
Aumentar a qualidade das
respostas dadas
Atribuir feedback
adequado e
individualizado
Explicita o feedback e
personaliza-o
Não desmotivar os alunos
Continuar o trabalho e finalizar a
tarefa
Constrangimentos
Os constrangimentos, encontrados por Maria, ao desenvolvimento de práticas
avaliativas que procuram promover a autorregulação da aprendizagem matemática estão
contextualizadas na sala de aula, e são comuns às duas práticas avaliativas
experimentadas, IP-A e RE. No questionamento oral e no feedback escrito dado a
relatórios escritos em duas fases, Maria destacou: i) o desconhecimento para a
preparação e desenvolvimento dessas práticas; ii) as dificuldades reveladas pelos alunos
ao se envolverem no trabalho; e iii) o número de alunos da turma.
Maria considerou ser necessário algum tempo para efetuar leituras na área da
avaliação formativa e compreender as vantagens que essas práticas trazem para a
aprendizagem. Confessou que no início do projeto apresentava uma atitude curiosa,
embora séptica, relativamente ao desenvolvimento dessas práticas por desconhecer as
mais-valias que poderiam trazer para o processo ensino aprendizagem:
Estava longe que saber de que se tratava, embora estivesse curiosa.
Precisei de algum tempo para ler e me adaptar aos termos usados e
compreender os seus significados…às vezes não estava a ver como
resultaria…mas depois, na aula tudo foi mais fácil. (E2M)
Os textos lidos no início da 2.ª fase do projeto serviram para construir um
entendimento comum do que se pretendia com as práticas de avaliação formativa, que
para Maria se apresentavam como uma área desconhecida. Para a preparação de aulas
294
relativas às práticas avaliativas, Maria considerou que para o futuro implementará as
mesmas práticas e as mesmas tarefas com mais confiança e nos mesmos moldes, com
economia de tempo na preparação:
Para mim tudo foi complicado…desde selecionar a tarefa, pensar o que
dizer aos alunos perante um erro ou uma dificuldade. Senti-me muito
atrapalhada. Mas, agora já vejo as coisas de outra forma e vou fazer as
mesmas tarefas e as mesmas práticas melhor com certeza e gastando
menos tempo na sua preparação. (E2M)
Esse constrangimento foi desaparecendo ao longo do desenvolvimento do projeto.
Após a primeira aula de questionamento oral, Maria já se apresentava mais confiante e
entusiasmada com o trabalho que os alunos haviam realizado:
Incrível … como eles trabalharam tanto! Fizeram mais nesta aula do que é
habitual. Às vezes querem apenas copiar do quadro, hoje não! Estavam
mais motivados e isso já foi uma mais-valia para mim e para eles. (STC12)
Inicialmente, a aula de Maria estava organizada de uma forma muito tradicional.
Maria fazia uma introdução teórica de conteúdos, os alunos executavam exercícios e,
antes de os alunos terem tempo de acabá-los, Maria fazia a correção no quadro. Olhar
para o desenvolvimento da aula desta forma, condicionou a escolha das primeiras
tarefas e a concretização das mesmas:
A minha realidade era outra, isso impunha-me uma forma de ver as coisas
diferente. Agora, escolheria tarefas mais abertas em que se possibilitasse
um maior envolvimento dos alunos… aliás como aconteceu mais para o
fim. (E2M)
Maria, também, desconhecia o tipo de feedback escrito que poderia atribuir às
produções escritas dos alunos. Estava muito ligada à escrita de símbolos (o “xis” para
errado e o “cê” para certo). Habitualmente, a escrita era entendida como juízos de valor
e não escrevia a informação que podia ajudar o aluno a identificar o erro e a concluir o
trabalho:
Geralmente, não escrevia nos trabalhos dos alunos… evitava-o. Era
desconhecimento meu… mas escrever o que falta fazer ou questionar para
identificar os erros é mais adequado do que usar um certo com tracinhos!
(E2M)
As dificuldades reveladas pelos alunos em algumas tarefas surpreenderam Maria
de tal forma que as destacou como um constrangimento à implementação das práticas
avaliativas para a promoção da autorregulação da aprendizagem matemática. A
295
ultrapassagem dessas dificuldades de compreensão dos enunciados das tarefas aparece
como um fator essencial à concretização do trabalho:
Confrontei-me com o problema dos alunos lerem e não saberem o que
fazer. Isso assustou-me. Acho que nunca tinha equacionado essa
situação….mas rapidamente me coloquei a questão como aprendem a
autorregular-se para responder a um item de matemática se não
compreendem o que lhes é perguntado? (STC12)
A perplexidade de Maria nas primeiras aulas deu lugar uma tentativa de
tipificação dos comandos das perguntas das tarefas matemáticas, visível na T2. Maria
procurou que os alunos compreendessem a diferença entre mostre que e determine. Em
particular no questionamento oral, foi visível, nas tarefas seguintes, a ação de Maria na
sala de aula numa atitude certificadora de que todos os alunos compreendiam o
enunciado. Na sua perspetiva, essa dificuldade impediu a concretização da tarefa:
Tive de confirmar o que estavam a fazer…não tinha certeza de terem
compreendido a diferença entre mostre que e determine….isso bloquei
tudo. Como podem escolher a estratégia de resposta se, à partida, não têm
claro o que é para fazer? (STC14)
No feedback escrito, Maria teve de intervir de forma a relembrar aos alunos que
não estavam a responder à questão corretamente. Nalgumas situações, a explicação
tinha sido dada através do feedback oral, mas na forma escrita, por dificuldades
encontradas pelos alunos, apresentavam uma resposta escrita contrária ao que tinha sido
acompanhado em aula:
Estava convencida que tinha sido clara ao explicar a diferença entre
mostrar e determinar ao Carlos. Mas, no relatório escrito, ele faz
exatamente a substituição de vários valores na tentativa de mostrar que a
igualdade era verdadeira… não compreendeu! (STC13)
O número de alunos da turma foi referido por Maria principalmente para o
feedback escrito a dar à 1.ªfase dos relatórios escritos. Maria considerou que com um
menor número de alunos a atribuição de feedback poderia ser mais diversificada e
personalizada, o que resultaria num melhor aproveitamento do mesmo para a
aprendizagem e a autorregulação:
25 alunos numa sala é muito para dar feedback, mas 25 trabalhos para ler e
responder ainda me criou maiores problemas. Com menos alunos talvez
conseguisse personalizar mais o feedback dado, diversificá-lo e
personalizá-lo. (E2M)
296
Síntese
Maria é uma professora com alguma experiência letiva, nomeadamente no ensino
secundário, mas nunca tinha experimentado de uma forma tão estruturada práticas
avaliativas com o intuito de promover a autorregulação da aprendizagem matemática.
Adepta de uma planificação baseada nos conteúdos programáticos da Matemática,
preocupada com o rigor científico e com a aprendizagem de propriedades matemáticas,
Maria encarou a sua participação neste estudo como uma oportunidade para aprofundar
os seus conhecimentos na avaliação formativa, na diversificação de atividades para a
aula e na promoção da participação dos alunos, tornando-os mais participativos e
responsáveis pelo seu trabalho.
Inicialmente, Maria referia-se a IP-A e a RE como duas práticas avaliativas que
constituíam um grande desafio para si. Tanto numa prática avaliativa, como na outra,
perspetivava a promoção da autorregulação através, predominantemente, da interação
professor alunos (questionamento oral), na primeira, e através do feedback escrito
(escrita avaliativa), na segunda. Em aula, através do questionamento oral, Maria apoiou
os alunos na interpretação do enunciado da tarefa, na organização da resposta e na
confrontação de resultados, especialmente em Trigonometria e Funções. Estimulou-os a
partir das suas próprias estratégias para responderem, individualmente ou em grupo, a
itens de problemas e de exercícios. Maria procurou o envolvimento dos alunos usando
intervenções associadas ao encaminhamento dos alunos, ao fornecimento de pistas para
a progressão e à identificação de erros e dificuldades. O questionamento oral serviu,
também, à articulação das ideias dos próprios alunos. Maria procurou não validar,
imediatamente, a resposta do aluno, reforçar a necessidade de argumentação numa
resposta, apelar ao registo das tentativas bem, ou mal, sucedidas na resolução de um
problema, e ajudar individualmente. No feedback escrito, predominou as intervenções
de Maria para colocar em confronto as ambiguidades na resposta e para clarificar o que
pretendia que os alunos concretizassem. Mas, Maria não esqueceu o estímulo às
estratégias individuais e a articulação de ideias próprias no feedback escrito.
Diversificou o feedback, procurando adequá-lo ao aluno e procurando que ele
valorizasse a sua resposta a partir da completude de respostas próprias.
Para Maria, a interação professor – alunos permitiu apoiar o processo de resolução
de uma tarefa através da promoção da autoavaliação, do encaminhar para a releitura dos
enunciados, para identificação e correção de erros, e exposições a toda a turma a partir
297
da compreensão das dificuldades dos alunos. Os relatórios escritos ajudaram, também, a
ultrapassar dificuldades, mas, essencialmente, permitiram apoiar a continuidade do
trabalho realizado, a indicação do caminho a seguir, para aprofundamento ou conclusão
da tarefa, e a clarificação dos seus critérios de avaliação, aproximando as respostas dos
alunos daquilo que eram as expetativas de Maria. Nas duas práticas avaliativas
implementadas, com o propósito de promover a autorregulação do desempenho
matemático, Maria valorizou a comunicação escrita, o rigor de escrita e o uso da
linguagem matemática, e apelou à completude e correção das respostas. Em IP-A, em
Geometria, foram visíveis vários momentos em que Maria apelou à verificação de
cálculos ou à verificação da razoabilidade de um resultado, atribuiu pistas para a
identificação de erros e promoveu a comparação de resultados entre alunos. Em RE, do
feedback dado à 1.ª fase sobressaiu a transversalidade aos temas matemáticos na
procura de aproximação entre o produto do trabalho do aluno e a resposta esperada por
Maria. A aceitação da reformulação dos trabalhos e a realização da 2.ª fase constituiu
uma ferramenta essencial para o envolvimento dos alunos e para a sua autoavaliação.
Maria parece não ter passado exatamente pelas mesmas dificuldades ao
concretizar as duas práticas avaliativas. Em sala de aula, em interação através do
questionamento oral, Maria destacou dificuldades relacionadas com o trabalho dos
alunos na concretização dos seus produtos matemáticos, particularmente na Geometria.
Para os relatórios escritos, Maria referiu aspetos organizativos e a sua pouca experiência
em atribuir feedback escrito. Em IP-A, os aspetos com maior relevo para Maria são: a
compreensão dos procedimentos próprios da matemática; a compreensão de
significados; a falta de empenho; e a escolha da estratégia adequada. Em RE, destacamse: o dar feedback escrito de forma a trabalhar a tarefa na aula seguinte; e o atribuir
feedback adequado e individualizado.
Em sala de aula, Maria dinamizou momentos de trabalho a pares com momentos
de trabalho individual, gerindo as práticas IP-A e RE em tarefas escolhidas com o
propósito de promover a autorregulação da aprendizagem matemática. Com a exceção
da tarefa T1, nas tarefas implementadas por Maria verificou-se a realização do RE e a
concretização da 2.ª fase não se verificou apenas na T8. A conciliação das duas práticas
foi vantajosa por permitir completar através do feedback escrito a interação da sala de
aula. Nessa integração, Maria procurou gerir o processo ensino aprendizagem de forma
a aumentar a qualidade das respostas dadas e não desmotivar os alunos, para que estes
continuassem os trabalhos e finalizassem as tarefas.
298
CAPÍTULO 8 – CONCLUSÕES
Síntese do estudo
Neste estudo procurei compreender e aprofundar o conhecimento sobre as
práticas avaliativas de professores de Matemática do ensino secundário que contribuam
para a promoção de uma atitude autorreguladora do aluno, face à sua aprendizagem
matemática, e os constrangimentos que os professores de Matemática enfrentam
aquando da implementação dessas práticas. Para a consecução destes objetivos foram
definidas as seguintes questões:
• Qual a natureza e as características das práticas avaliativas de professores de
Matemática, trabalhadas num contexto de trabalho de natureza colaborativa, que
procuram promover a autorregulação da aprendizagem?
• De que forma os professores de Matemática procuram integrar as práticas
avaliativas para promover a autorregulação no quotidiano da sala de aula?
• De que modo as práticas avaliativas desenvolvidas contribuem para promover a
autorregulação das aprendizagens matemáticas?
• Que constrangimentos encontram os professores de Matemática para a promoção
de atitudes autorreguladoras da aprendizagem matemática? Como procuram
ultrapassá-los?
O desenvolvimento da vertente reguladora da avaliação assume-se como uma
forma de dar orientação à consistência que deve existir entre a forma como se
desenvolve o currículo, nas salas de aula, e as estratégias, as técnicas e os instrumentos
de avaliação utilizados. É um objetivo curricular por cumprir (Fernandes, 2005). Vários
investigadores referem que a avaliação que envolve a preocupação com o
funcionamento e a regulação dos processos de interação e de comunicação matemática
da sala de aula são determinantes na melhoria dos resultados dos alunos (Black &
Wiliam, 1998; Cambra-Fierro, & Cambra-Berdún, 2007b; Fernandes, 2006b; Gardner,
2006), no entanto destaca-se a necessidade do carácter intencional, contínuo e interativo
dessas práticas (Fernandes, 2006a; Santos, 2002; Santos et al., 2010).
A avaliação fornece informação relevante sobre a aprendizagem dos alunos e
pode ajudar o professor a gerir o processo ensino aprendizagem (Pinto & Santos, 2006).
Quando o professor toma decisões acerca da forma de promover a aprendizagem
299
matemática, em particular nos temas Trigonometria, Geometria e Funções, tendo em
conta os dados recolhidos, essa avaliação corresponde a um processo de regulação
(Santos, 2008). Mas, em simultâneo, essas ações servem de apoio à própria
aprendizagem (Santos, 2002; Stobart, 2006). O crescente envolvimento dos alunos nas
decisões que o professor toma acerca do processo ensino aprendizagem, também, inclui
a intenção de promover nos alunos a autonomia, a eficácia e a capacidade de
trabalharem por si mesmos, por outras palavras, a aquisição, a utilização e o
desenvolvimento de estratégias de autorregulação da aprendizagem (Santos, 2002;
Zimmerman, 2000).
Para levar essas intenções à prática é necessário que o professor negocie com os
alunos os critérios de avaliação (Jorro, 2000), e explicite os objetivos de aprendizagem
nos temas matemáticos trabalhados, para que o aluno possa saber o caminho a seguir
(Hattie & Timperley, 2007). O aluno procura interpretar e compreender o que deve
fazer, através de um processo de revisita das suas estruturas do conhecimento
(metacognição) para dar resposta à situação (Santos, 2002). Esse processo, de
monitorização da aprendizagem, é concretizado pelo próprio, e denomina-se
autorregulação (Santos, 2002; Schunk, 2005; Zimmerman, 2000).
A autorregulação das aprendizagens matemáticas pode ser promovida pelo
professor tendo em conta um conjunto de ações, neste estudo destacam-se o
questionamento e o feedback (Boekaerts, 1997, 1999; Hattie & Timperley, 2007; Price
et al., 2010; Santos, 2002; Santos et al., 2010; Sadler, 1989; Stobart, 2006; Schoenfeld,
1992).
Numa metodologia qualitativa de natureza interpretativa e design de estudo de
caso, estudei dois professores (casos) de Matemática durante dois anos letivos, José e
Maria. Num trabalho de natureza colaborativa, conceberam-se práticas para, em
seguida, serem concretizadas e, posteriormente, refletidas. A recolha de dados, em
Matemática, no 11.º ano, nos temas Trigonometria, Geometria e Funções, incluiu a
observação, e o registo áudio de aulas e de sessões de trabalho, a entrevista aos
participantes, a recolha de documentos das práticas letivas e os produtos do trabalho
realizado pelos alunos em tarefas matemáticas. O professor José e a professora Maria
planificaram, implementaram e refletiram sobre as práticas IP-A (interação professor –
alunos na aula) e RE (relatório escrito em duas fases), para promoverem a
autorregulação da aprendizagem matemática de alunos do ensino secundário.
300
IP-A é caracterizada por perguntas, estímulos e orientações dadas pelo professor
durante a concretização de uma tarefa de matemática (Lester et al., 1992; Santos, 2005).
O impacto dessa avaliação é condicionado pela oportunidade de intervenção e pelo
aumento da confiança do aluno na construção do seu conhecimento matemático
(Schwarz, Dreyfus & Hershkowitz, 2009; Hattie & Timperley, 2007). Nessa prática, em
Trigonometria, Geometria e Funções, o professor deve evitar corrigir os erros e adotar
uma atitude que contribua para os alunos passarem, autonomamente, a formular
questões. Os alunos podem ser remetidos para as suas próprias produções ou para o
texto das tarefas propostas, ou ainda, pode ser sugerida a partilha e a discussão, em
pares ou em grupo, das interpretações feitas ou das respostas dadas (Henning et al.,
2012).
RE é um relatório sobre a resolução de uma tarefa, tendo por base um guião,
acompanhado por feedback à 1.ª fase, antes de estar concluído. O guião, adaptado ao
ano de escolaridade, foi acompanhado de uma tabela de descritores para a orientação
dos alunos. O feedback dado à 1.ª fase tende a ajudar os alunos a progredir, sem se
apresentar dependente do tema matemático trabalhado, identificando o que estava certo,
os erros e dando pistas para completarem os trabalhos. Aproximando-os daquilo que é
expectável pelo professor (Handley & Williams, 2011). A avaliação da resposta foi feita
através do fornecimento de feedback escrito e da atribuição de um nível de desempenho
(descritor), quer à 1.ª fase, quer à 2.ª fase.
A seleção de tarefas que possam servir para ensinar e aprender constituiu um
desafio para os professores quando procuram integrar a avaliação, o ensino e a
aprendizagem (James, 2006; Santos & Pinto, 2006), para promover a autorregulação da
aprendizagem matemática (Black & Wiliam, 2006c). De salientar que, nas práticas
avaliativas estudadas, foram usadas tarefas de características desafiadoras (Stein &
Smith, 1998; Ponte et al., 2007), nos temas Trigonometria, Geometria e Funções, tendo
sido, predominantemente, realizadas individualmente.
301
Conclusões do estudo
Natureza e características das práticas avaliativas promotoras da autorregulação
da aprendizagem Matemática
Ao longo do estudo, as práticas de José e Maria evoluíram, apresentando
características que fundem as abordagens de cunho cognitivista e de cunho sociocultural
(Ponte, Quaresma & Branco, 2012). Por um lado, no início, sobressaía a vertente
cognitivista através de uma planificação marcada por um conjunto de opções
curriculares e que se apresenta como “agenda” (Ponte et al., 1999). Também, Maria e
José revelavam conceções associadas à verificação de aprendizagens e conhecimentos.
Apresentavam crença na vertente classificativa da avaliação e mostravam a falta de
experiência na concretização de tarefas em duas fases e no fornecimento de feedback ao
produto dos trabalhos dos alunos. Por outro lado, ao longo do estudo, a vertente
sociocultural manifestava-se na preocupação de se ser cauteloso na seleção das tarefas a
propor aos alunos, no apoio à sua concretização e nas evidências que esse trabalho
fornecia para a melhoria do processo ensino aprendizagem. Essas ações, com
significado para os professores (Ponte & Chapman, 2006), têm como motivo a
valorização do conhecimento do aluno.
A atribuição de uma maior visibilidade ao papel que o aluno tem na construção
do próprio conhecimento passa por o professor dar uma atenção especial aos processos
de regulação, de feedback, de autoavaliação e de autorregulação das aprendizagens. As
práticas avaliativas IP-A e RE permitem aprofundar esses processos. Em IP-A sobressai
a natureza interativa do questionamento e em RE a natureza semântica do feedback. IPA e RE resultaram da intencionalidade dos professores em experimentá-las, na forma de
processos, e a avaliação dos resultados das aprendizagens em Trigonometria, Geometria
e Funções foram entendidos para melhorarem essas mesmas aprendizagens (Wiliam et
al., 2004). Nesta perspetiva, a avaliação é um ato instantâneo, situado e holístico
(James, 2006) e apresenta os pressupostos seguintes:
i) a recolha de informação faz-se de forma interativa e, predominantemente,
individualizada e tem implicações imediatas na aprendizagem;
ii) a negociação e renegociação dos processos ensino aprendizagem baseiam-se na
interpretação dos dados recolhidos, uma vez que os envolvidos, professor e aluno, são
ambos construtores do saber;
iii) o apoio nas tarefas é feita de forma individualizada, interativa e negociada.
302
Nas práticas avaliativas estudadas destacam-se a autorregulação da resposta e a
autorregulação do desempenho, transversais a IP-A e a RE. A autorregulação da
resposta serve a construção da própria aprendizagem (Black & Wiliam, 1998; Hattie &
Timperley, 2007), ou de um tipo de abordagem na resposta, ou até mesmo o começar de
novo, o que pode indiciar autocontrolo do aluno e um compromisso pessoal para a
concretização eficaz da tarefa (Boekaerts, 1999; NCTM, 2007). Em cada um dos casos,
a promoção da autorregulação da resposta sobressai nas primeiras tarefas de
Trigonometria e de Funções, em que os professores procuram desenvolver métodos de
trabalho de longo prazo. A autorregulação do desempenho serve o aperfeiçoamento
académico (matemático) e a autoavaliação. Geralmente, cada um dos casos apresenta
ações semelhantes dentro dos diferentes temas matemáticos. Os professores procuram
respostas completas e corretas através da valorização da reflexão para a identificação de
erros e ultrapassagem de dificuldades.
IP-A. Na autorregulação da resposta são apreciadas três categorias: compromisso com
as tarefas matemáticas; estímulo às estratégias individuais; e articulação de ideias
próprias. Relativamente ao compromisso com as tarefas matemáticas em IP-A, José e
Maria aproximaram-se ao estimularem os alunos a discutirem entre si e ao identificarem
os erros de interpretação e/ou de compreensão para definir o caminho a seguir na
concretização de uma dada tarefa. Mas, afastaram-se no apoio dado aos alunos na
interpretação, na organização da resposta e na remissão dos alunos para o que se
encontrava escrito na proposta de trabalho. Embora, José e Maria questionassem para
que os alunos avaliassem os percursos realizados e explicitassem as razões das suas
dificuldades e/ou sucessos (Santos, 2002), predominantemente, José remeteu para o que
estava escrito na proposta de trabalho e Maria estimulou a procura de contradições
provocadas por erros de interpretação.
Relativamente ao estímulo às estratégias individuais em IP-A, como aspetos
transversais à ação de José e de Maria destacaram-se a ajuda na seleção dos dados
necessários para responder, o encaminhar a partir das estratégias dos alunos, ou seja o
fornecer pistas para a progressão, e o questionar para a identificação de erros. Não se
identificam aspetos diferenciadores, nesta categoria, porque a planificação foi efetuada
em colaboração e o estímulo às estratégias individuais é essencial para a autorregulação
(KMOFAP, referido em Black et al., 2003), embora, José tenha promovido esses apoios
essencialmente nas tarefas de Trigonometria e Maria manteve-os nas tarefas dos temas
303
seguintes - Geometria e Funções. Também, a articulação de ideias próprias é igualmente
encontrada na prática dos dois professores. Como forma de promover a articulação de
ideias próprias, José e Maria procuraram ajudar individualmente os alunos, apelaram ao
registo das tentativas bem, ou mal, sucedidas na resolução, não validaram
imediatamente, a resposta, e reforçaram a necessidade de argumentação da resposta.
Em suma, em IP-A, para promover a autorregulação da resposta, José e Maria
procuraram que os alunos aprendessem através do processo de verbalização das suas
ideias e através da resposta às questões do professor (NCTM, 2007). Quando analisam
as respostas dos alunos, os professores aprofundam o conhecimento que têm da forma
como eles organizam a informação e a resposta (autorregulação da resposta). Essas
práticas ajudaram as estruturas de conhecimento do aluno, permitindo o questionamento
apropriado para dar a resposta adequada à situação (metacognição), contribuindo deste
modo para a autorregulação (Santos, 2002; Schunk, 2005).
Na autorregulação do desempenho são apreciadas duas categorias: eficácia
matemática e autoavaliação. Em IP-A, José e Maria promoveram a eficácia matemática
através da vontade em obter respostas completas e corretas; do questionamento para
averiguar do nível de domínio matemático; do reforço da importância de alguns
procedimentos que caracterizam a Matemática; e da valorização da comunicação
matemática, nomeadamente no rigor da escrita e no uso de linguagem matemática. Mas,
para além destes aspetos transversais, as práticas de José e Maria apresentaram aspetos
diferenciadores: a correção dos erros e o confronto entre a explicação oral e o registo
escrito. Enquanto Maria valorizou o papel do erro associado à construção da eficácia
matemática, nomeadamente, promovendo a reflexão sobre os modos de acionar a sua
identificação e a consequente ultrapassagem, José incentivou a transposição para o
registo escrito daquilo que eram as expressões orais em IP-A e, posteriormente, uma
reflexão sobre esses apontamentos. Por exemplo, em Trigonometria, Andreia e Patrícia
(alunas de Maria) cometeram vários erros de cálculo na T2 o que implicou a intervenção
de Maria para a sua identificação e ultrapassagem. José, na mesma tarefa, interveio
junto de Alexandre (aluno de José) para compreender se as respostas orais resultavam
de intuições baseadas nas figuras ou no trabalho algébrico.
Relativamente à promoção da autoavaliação em IP-A, José e Maria desenvolveram
algumas ações que a visavam (James, 2006; Pinto & Santos, 2006). Verificaram-se três
ações comuns aos dois professores: não validar a resposta, encaminhar para a releitura
do enunciado e explicar a toda a turma, numa lógica de que a execução dos trabalhos é
304
feita pelo aluno, mas o professor deve colocar perguntas, enquanto decorre a
concretização (Gipps & Stobart, 2003).
No quadro seguinte, sintetizo, comparativamente, as ações de José e Maria que
visavam a autorregulação da aprendizagem matemática, em IP-A.
QUADRO 36: CARATERÍSTICAS DAS PRÁTICAS DE JOSÉ E MARIA EM IP-A (SÍNTESE)
IP-A
Compromisso com
as tarefas
matemáticas
Autorregulação Estímulo às
estratégias
da resposta
individuais
Articulação de ideias
próprias
Eficácia matemática
Autorregulação
do desempenho
Autoavaliação
Ações de José
Ações de Maria
Incentivo à discussão entre alunos
Identificação de erros
Apoio na compreensão
Incentivo à procura de
do texto da tarefa
contradições no
proposta para trabalho
produto do trabalho
dos alunos
Ajuda à seleção de dados
Orientação a partir do trabalho do aluno
Incentivo à identificação de erros
Apoio individual
Não validação imediata de respostas
Apelo ao registo das tentativas bem e mal
sucedidas
Apelo à necessidade de argumentar
Promoção da completude das respostas
Avaliação do conhecimento matemático
Valorização da comunicação matemática
Confronto dos registos
Reflexão sobre a
escritos com as
identificação e
expressões orais
ultrapassagem de erros
Promover o acesso a
trabalhos anteriores
(âncoras)
Não validar respostas
Encaminhar para a releitura do enunciado
Explicar a toda a turma
Apoio à interpretação
Apelo à revisão do
do enunciado da tarefa
processo de resolução
Nas ações de José predominaram os objetivos relacionados com a
autorregulação pelo privilégio da compreensão (Chapin, O'Connor & Anderson, 2009),
da profundidade dos conhecimentos matemáticos (Schwarz, Dreyfus & Hershkowitz,
2009; Webb, Boswinkel & Dekker, 2008), da ultrapassagem de erros e dificuldades
(Abrecht, 1994; Alves, 2004; Santos, 2004; 2008a). Tal como para Stiggins (2005),
Maria, nas suas ações, procurou a autoavaliação pela identificação de erros e
dificuldades, na ajuda para o prosseguimento, e pela promoção da revisão da resposta
(Jorro, 2000; Semana & Santos, 2008). Maria acrescenta que desenvolver nos alunos a
compreensão da necessidade da autoavaliação, de acordo com critérios explícitos, é a
305
maneira de ajudá-los a acreditar que eles são realmente capazes de ter sucesso
(Brookhart et al., 2004).
RE. Os aspetos transversais identificados em RE relacionam-se com a planificação
das práticas avaliativas. Nas sessões de trabalho colaborativo foram definidos os
seguintes critérios para o feedback a atribuir (Black & Wiliam, 2006c; NCTM, 1999;
Jorro, 2000; Santos, 2002): incentivar para melhorar a 2.ª fase do relatório; promover a
completude das respostas; mostrar os níveis de exigência das respostas; propor
alterações na estratégia seguida para a concretização da tarefa; e remeter os alunos para
o que está escrito na proposta de trabalho.
Na prática, por um lado, José e Maria apresentaram a necessidade de orientar os
alunos através da tabela de descritores (Rubrica para Resolução de Problemas de
Matemática não estruturados: California CAP math report, 1989), e do que pretendiam
com a tarefa (QUADRO 24 e QUADRO 32). Por outro lado, verificou-se, por parte dos
dois professores, a necessidade de responsabilizar o aluno pela avaliação do seu próprio
trabalho, ao colocar em confronto ambiguidades na resposta e ao solicitarem a
justificação (Lau, Singh & Hwa, 2009; Handley & Williams, 2011). Por exemplo, em
Trigonometria, deliberadamente, como afirmou José na T2, a atribuição do descritor 3 à
1.ª fase do relatório de Davide teve como principal objetivo estimular à melhoria da 2.ª
fase. Também, Maria usou os descritores para diferenciar desempenhos na 1.ª fase e
incentivar à completude da resposta escrita, por exemplo relativamente à 1.ª fase do
relatório de Joana.
Relativamente ao compromisso com as tarefas matemáticas em RE, José e Maria
revelaram ações semelhantes, que podem ser justificadas pela falta de experiência de
ambos na atribuição de feedback escrito e pela planificação conjunta dessa prática
avaliativa. Ambos apresentam dificuldades de adequação da escrita avaliativa, acusando
o facto de o feedback escrito revestir-se de uma diversidade de tipos de modo a
adequar-se ao fim a que se destina, como aparece referido em vários estudos (Bloxham
& Campbell, 2010; Gipps, 1999; Santos, 2003c; 2004; Santos & Dias, 2007).
Para estimular as estratégias individuais, em RE, sobressai apenas um aspeto
transversal às práticas de José e Maria: diversificar o feedback (Wiliam, 1999; Santos &
Dias, 2007). Esse aspeto mostra as características do que são os critérios implícitos de
cada um dos professores: José valorizou o processo de resolução e, por isso,
encaminhou os alunos nas suas respostas a partir das estratégias definidas pelos próprios
306
(Buhagiar & Murphy, 2008); Maria valorizou a completude da resposta e, por isso,
procurou que os alunos identificassem os erros e os corrigissem para que a resposta
pudesse corresponder ao esperado.
Ao fomentar a articulação de ideias próprias, José e Maria procuraram, através do
feedback, que os alunos clarificassem respostas e apresentassem justificações que
validassem matematicamente as suas opções (Lau, Singh & Hwa, 2009). Por exemplo,
em Trigonometria, José não confirmou nem desmentiu uma afirmação do grupo Magda
e Rute na T2 e procurou que essas alunas encontrassem argumentos irrefutáveis para a
asserção feita. Maria, na T3, não hesitou em considerar fundamental a justificação para
a resposta de Patrícia, argumentando da necessidade de convencimento, a partir de
procedimentos matemáticos. Nesses casos, a 2.ª fase do RE surge como um documento
muito completo e bastante revelador do trabalho matemático do aluno. Mas, à
semelhança do que acontece nas ações que visam o estímulo às estratégias individuais,
as ações para a articulação de ideias próprias mostram, mais um vez, a valorização de
José ao processo de resolução e a valorização de Maria à resposta. José apelou ao
registo das tentativas bem, ou mal, sucedidas na resolução e solicitou, na forma escrita,
a continuidade de um dada estratégia de resolução (por exemplo, na T4). Maria, por sua
vez, permitiu a correção de erros, eliminando da 2.ª fase os erros cometidos na 1.ª fase.
Deste modo, em RE, a autorregulação da resposta é marcada pela diferença de
ações entre José e Maria, evidenciando a valorização do processo de resolução da tarefa
por oposição à valorização dos erros que contaminam a resposta. A prática de José
enquadra-se no exemplo 2 de James (2006), em que a avaliação permite dotar os alunos
de ferramentas de ação para ultrapassar a primeira dificuldade numa atividade e, após
feedback, estabelecer um caminho de reformulação e melhoria. Para Maria, o feedback,
por ser uma informação útil sobre as etapas vencidas e sobre as dificuldades
encontradas (Hattie & Timperley, 2007), está associado à componente de assistência na
avaliação, referida por Hadgi (1994). Isto é, marcar etapas e dar pontos de apoio para
progredir. Tendo sido a primeira versão sujeita a apreciação e a comentários escritos do
professor, o feedback escrito, em qualquer uma das valorizações, apresenta-se como um
momento de novas aprendizagens (Bloxham & Campbell, 2010; Leal, 1992; Santos,
2004).
A eficácia matemática para promover a autorregulação do desempenho, em RE,
é identificável quando José assinala, no feedback escrito, as falhas e os erros dos alunos
e busca a recordação de trabalhos anteriores como âncoras da concretização da 2.ª fase.
307
Maria, para a mesma categoria, valorizou a resposta correta e buscou a reflexão dos
alunos sobre as premissas que originaram uma determinada resposta (Quinton &
Smallbone, 2010), mostrando uma conceção de aprendizagem mais centrada no aluno
(Bloxham & Campbell, 2010; Santos, 2003a; Soares, 2007). Mas, quer José, quer
Maria, permitiram que o aluno assumisse um papel mais interventivo ao possibilitar a
realização de uma 2.ª fase após o fornecimento de feedback. Esse alcance foi evolutivo
e tornou-se mais significativo nas últimas tarefas.
Relativamente à promoção da autoavaliação em RE, José e Maria regularam-se
por três ações essenciais na escrita avaliativa: clarificação dos critérios de avaliação,
mostrando as características de um trabalho completo (tabela de descritores); correção
dos trabalhos em simultâneo com a ajuda na ultrapassagem de erros e dificuldades; e
identificação do caminho a seguir para conclusão ou aprofundamento das tarefas. Cada
uma dessas ações concretizou-se de modo particular e tendo objetivos diferenciadores.
José procurou aproximar as respostas provenientes dos produtos dos alunos ao nível
exemplar dos descritores da tabela Rubrica para Resolução de Problemas de
Matemática não estruturados (California CAP math report, 1989). Maria pretendeu
respostas escritas corretamente e coerentes com o pedido no texto das tarefas (Wiliam,
1999).
Mas, há outro aspeto que sobressai na prática dos professores: envolver os alunos
nas tarefas matemáticas. Esse objetivo transversal, evidenciou-se de igual modo nos três
temas – Trigonometria, Geometria e Funções – foi concretizado na forma escrita por
ações diferentes: José escreveu incentivos à participação; e Maria escreveu apoios à
continuidade dos trabalhos. Por exemplo, José valorizou a participação de Magda pela
persistência da aluna na concretização da 2.ª fase do relatório da T4; Maria valorizou a
diversidade de respostas apresentadas na T5 e deu feedback para o desenvolvimento das
estratégias seguidas.
No quadro seguinte, sintetizo, comparativamente, as ações de José e Maria que
visavam a autorregulação da aprendizagem matemática, em RE.
QUADRO 37: CARATERÍSTICAS DAS PRÁTICAS DE JOSÉ E MARIA EM RE (SÍNTESE)
RE
Compromisso com
as tarefas
matemáticas
Ações de José
Ações de Maria
Explicitação de critérios de avaliação
Responsabilização do aluno pela avaliação do seu
trabalho
Diversificação do feedback
308
Estímulo às
estratégias
individuais
Autorregulação
da resposta
Articulação de ideias
próprias
Eficácia matemática
Autorregulação
do desempenho
Autoavaliação
Encaminhamento dos
alunos a partir das
estratégias definidas
pelos próprios
Encaminhamento para a
identificação de erros e
sua ultrapassagem
Incentivo à
apresentação de uma
resposta correta e
completa
Promover a clarificação de respostas
Solicitação de justificações
Assinala falhas e erros
Recordação de trabalhos
anteriores (âncoras)
Incentivo à reflexão
Clarificação dos critérios de avaliação
Correção dos trabalhos
Identificação do caminho a seguir para a conclusão
Aproximação aos
descritores da tabela
Apelo à concretização
de respostas corretas e
completas
Em suma, no geral, a autorregulação da resposta é assegurada por estratégias
cognitivas e de motivação para as quais contribui o questionamento e o feedback
(Mason, 2000; Gipps & Stobart, 2003; Santos, 2002; Roullier, 2004). Na concretização
das tarefas, em IP-A e RE, José e Maria procuraram reforçar a necessidade de
argumentação/justificação da resposta (Bloxham & Campbell, 2010; Lau, Singh &
Hwa, 2009), embora José procurasse que os alunos valorizassem o percurso para obter
determinada resposta, e Maria seguisse a identificação de erros e o apelo à reflexão
sobre as suas causas e suas consequências. Nas primeiras tarefas, este apelo foi mais
visível, não por serem do tema Trigonometria mas porque os professores procuravam
desenvolver uma capacidade duradoura.
No geral, a autorregulação do desempenho é assegurada por estratégias
metacognitivas. Ao promoverem a eficácia matemática e a autoavaliação, José e Maria
situaram-se no desenvolvimento de capacidades de domínio do conhecimento
matemático, propriedades, conceitos e organização de respostas completas com a
linguagem adequada, em simultâneo com o desenvolvimento de práticas de ensino
individualizadas e diversificadas. Em cada uma das práticas, IP-A e RE, José procurou
promover a completude das respostas e valorizou os conhecimentos adquiridos
anteriormente (âncoras); Maria, para além da completude das respostas, valorizou a
comunicação matemática, o rigor da escrita e o uso da linguagem matemática. Estes
objetivos, diversificados através das diferentes tarefas, situavam-se ao nível desafiador e
foram acompanhados pelos professores. Para a promoção de estratégias metacognitivas,
309
também, contribui a ação para a autoavaliação (Lew et al., 2010; Santos, 2002). Em IPA e em RE, para promover a autorregulação, José procurou avaliar a profundidade de
domínio dos conhecimentos matemáticos e identificou erros e dificuldades; Maria
procurou aumentar o empenho dos alunos na concretização das tarefas e fomentou a
reflexão sobre os resultados obtidos (Quinton & Smallbone, 2010).
As práticas avaliativas IP-A e RE concretizam-se sob a premissa de que o aluno
pode melhorar uma primeira versão. Através do questionamento, em IP-A, os
professores fornecem informação para que os alunos melhorem os trabalhos enquanto
os concretizam (Stobart, 2006: Santos, 2002), persistentemente nas primeiras tarefas.
Com o feedback escrito, em RE, os professores fornecem uma avaliação prévia, sobre
uma 1.ª fase de um relatório escrito, que serve para aprofundar e melhorar o produto
final do trabalho (Handley & Williams, 2011). Quer nas práticas de Maria, quer nas
práticas de José, encontramos evoluções para uma perspetiva de avaliação centrada no
aluno, assumindo uma abrangência que ultrapassa a autoavaliação (Santos, 2002). Deste
modo, o aluno é corresponsável e autorregulador da sua aprendizagem, tal como Santos
(2002) refere e se encontra nos documentos curriculares (ME, 2001). A avaliação
reguladora evoluiu para um ato de autorregulação das aprendizagens (Santos, 2002).
Integração ensino, aprendizagem e avaliação na aula de Matemática
O ensino, a aprendizagem e a avaliação na aula de Matemática à primeira vista
aparecem como três aspetos diferentes, cada um deles com características próprias, mas
podem e devem funcionar de forma integrada (Abrantes, 2002; Fernandes, 2005).
Segundo Ponte (2002a), o ensino da Matemática desenvolve-se em torno de um
triângulo cujos vértices são a Matemática, o aluno e o professor. É legítimo associar o
aluno à aprendizagem, o professor ao ensino e a avaliação à aprendizagem da
Matemática. As duas primeiras associações são óbvias e estão amplamente discutidas
em trabalhos de Educação Matemática (Ponte, 2002a). A ligação avaliaçãoaprendizagem da Matemática necessita de maior explicação e enquadramento.
É lícito aludir à avaliação do conhecimento matemático, ao ensino da
Matemática e à aprendizagem da Matemática em Trigonometria, em Geometria ou em
Funções, porque é essa a realidade que analiso neste estudo e é nesse contexto que
procuro aprofundar conhecimento. O binómio avaliação-aprendizagem da Matemática
faz sentido para o funcionamento dos atores professor e alunos (entre outros), para a
explicitação das intenções, dos objetivos e dos meios a utilizar na recolha de informação
310
(Cambra-Fierro & Cambra-Berdún, 2007a; 2007b). Para além do professor e dos
alunos, o binómio avaliação-aprendizagem da Matemática pode estar ligado a
avaliadores externos e, aí, a intenção é explícita, assim como os objetivos e os meios
(fora do contexto deste estudo). Mas, na sala de aula, nem sempre as intenções e os
objetivos são claros. A dualidade avaliar para classificar ou avaliar para aprender
confundem-se facilmente, o que pode dificultar a compreensão das intenções e dos
objetivos. Neste estudo, o foco é avaliar para aprender (Santos et. al., 2010). À partida,
a finalidade é promover a aprendizagem em Trigonometria, em Geometria e em
Funções, e o objetivo é promover a autorregulação da aprendizagem. Nesse âmbito, a
relação avaliação-aprendizagem da Matemática toma como ponto de partida uma
proposta de trabalho: a tarefa.
A utilização de tarefas subjacentes a determinados temas matemáticos que
servem simultaneamente para avaliar, ensinar e aprender coloca desafios ao professor na
planificação e aos alunos na concretização (NCTM, 2007). Na perspetiva de integração
da avaliação, ensino e aprendizagem, Santos e Pinto (2006) salientam a realidade em
ação, destacando a comunicação e a partilha de códigos. Os professores devem ter em
conta: os aspetos a realçar numa dada tarefa; o modo de organizar e orientar o trabalho
dos alunos; as perguntas a colocar para desafiarem os diversos níveis de competência
dos alunos; a forma de apoiá-los, sem interferir no seu processo de pensamento
eliminando, dessa forma, o desafio; e levar os alunos a envolverem-se com afinco e
vontade, procurando interpretar e compreender, escolher percursos, métodos e
estratégias, ultrapassar erros e dificuldades, dar respostas corretas e completas.
A seleção de tarefas, na perspetiva avaliar para aprender (Santos et. al., 2010),
ou seja integrando a avaliação, o ensino e a aprendizagem, constituiu um desafio para
José e Maria. Do trabalho realizado é possível identificar dois aspetos que serviram a
escolha das tarefas, em IP-A e RE: o conhecimento profissional do professor; e o saber
matemático a alcançar pelo aluno.
Na seleção das tarefas, José e Maria fizeram intervir as suas conceções, filtradas
pelo seu conhecimento profissional, como tem sido referido por vários investigadores
(Canavarro & Ponte, 2005; Santos, 2008c). Neste domínio, destacam-se a escolha do
modo como se proporiam as tarefas e como se apoiariam os alunos (Scheerens, 2004),
assim como os princípios da avaliação a respeitar (De Lange, 1987; Leal; 1992). A
planificação e a concretização, discutidas nas sessões de trabalho colaborativo, foram
marcadas por opções curriculares (enquadramento de conteúdos no programa);
311
assistência a dar ao aluno; saber agir perante os erros; critérios de classificação; formas
de promover o envolvimento dos alunos; e possibilidade de estratégias diversificadas.
José e Maria tiveram em conta o conhecimento matemático a alcançar pelo
aluno ao equacionarem a compreensão do enunciado pelos alunos (Chapin, O'Connor &
Anderson, 2009; Duval, 2006; Goldin, 2008) e a sua capacidade de comunicação
matemática. São critérios consonantes com as funções da avaliação, segundo Hadji
(1994), nomeadamente quando este refere três características onde se operam a escolha
da função avaliativa: a de adaptar o ensino ao aluno; a de saber “onde se está”, para
fazer o ponto da situação nos momentos importantes; e a de facilitar a aprendizagem.
Adequar a seleção das tarefas ao saber matemático do aluno é gerir o processo ensino
aprendizagem tendo em conta o papel do aluno, aspeto fundamental para promover a
avaliação-aprendizagem da Matemática e a autorregulação da aprendizagem matemática
se se definirem objetivos adequados e exequíveis, destinados a um objetivo de domínio,
em vez de uma performance.
Os critérios que estiveram na base da seleção/adaptação de cada tarefa incluem a
diversidade de estratégias de resolução, o grau de dificuldade da tarefa e o saber
matemático (Trigonometria, Geometria e Funções). Na prática avaliativa RE,
acrescentou-se-lhe a natureza aberta da tarefa, por este tipo de tarefas proporcionar
extensões e exigir trabalho matemático não elementar (Stein & Smith, 1998). Os
professores intervieram na escolha das tarefas e, também, proporcionaram extensões
através do questionamento ou do feedback, lançando questões que mantivessem o
caráter desafiador e aumentassem o grau de complexidade. São critérios, também,
associados à vertente motivacional do aluno, dimensão considerada como relevante para
ser integrada na componente cognitiva (Bronson, 2000). Um aluno motivado a realizar
algo vai empenhar-se mais na tarefa e, ao fazê-lo, vai dar mais atenção à escolha das
estratégias adequadas para obter sucesso.
As divergências na seleção e na caraterização das tarefas surgiram a partir da
discussão motivada pela aplicação do método IMPROVE (Kramarski, B.; Mevarech, Z.;
e Arami, M., 2002), e teve como consequência a não aplicação de algumas tarefas à
turma A e à turma P, por desadequação ao que, cada um dos professores, tinha
perspetivado para o processo ensino aprendizagem das turmas. Os dois professores
usaram as tarefas T2, T3 e T5 em IP-A e as tarefas T2 e T3 em RE. Em IP-A, José usou,
também, as tarefas T4 e T7 e Maria as tarefas T1, T6 e T8. Em RE, José usou, também,
as tarefas T4 e T7 e Maria as tarefas T5, T6 e T8. José não aplicou a T8 por conter
312
conteúdos específicos da Matemática A, as T1 e T6 pelo grau de dificuldade e por
opção curricular. Maria não aplicou a T4 e a T7, a primeira porque estava demasiado
orientada para um trabalho específico, compatibilizando as componentes analítica e
gráfica da calculadora gráfica, e a segunda porque é uma tarefa com conteúdos
específicos de Matemática para cursos profissionais. No entanto, em qualquer uma das
turmas foram aplicadas tarefas de Trigonometria, de Geometria e de Funções. José e
Maria procuraram garantir a consistência entre os procedimentos de avaliação das
orientações curriculares, incluindo-as na seleção de tarefas, e as formas de trabalho
efetivamente desenvolvidas com os alunos (Abrantes, 2001; Alonso, 2002). O método
IMPROVE foi uma mais-valia por procurar a reflexão do professor sobre o que era
esperado que o aluno identificasse, as ligações que o aluno podia estabelecer com os
seus saberes (focalizar a atenção), os problemas semelhantes realizados anteriormente,
as estratégias que podiam ser usadas e os aspetos que podiam promover a autoavaliação.
Desta forma, as práticas avaliativas IP-A e RE não se enquadram nas práticas uniformes
e pobres de avaliação, referidas por Abrantes (2002), e são coerentes com os
documentos curriculares em vigor (Fernandes, 2005; Santos, 2004).
Mas, à integração avaliação, ensino e aprendizagem, alcançada através da
seleção das tarefas e assente no conhecimento profissional do professor, no saber
matemático do aluno e no objetivo pretendido com a tarefa, não é alheio o método de
trabalho dos alunos. Como é referido por Ertmer e Newby (1996) e Ponte (2005a), a
reflexão é um ingrediente essencial para o desenvolvimento das aprendizagens dos
alunos (Quinton & Smallbone, 2010). Pretende-se que nessa atividade reflexiva, os
alunos utilizem conscientemente o conhecimento que têm sobre si próprios, sobre as
exigências das tarefas e sobre os métodos a selecionar, de forma a controlarem e
monitorizarem as estratégias necessárias para alcançar uma aprendizagem significativa
(Schwarz, Dreyfus & Hershkowitz, 2009). Essa premissa foi essencial para que José e
Maria organizassem os alunos na sala de aula e gerissem o trabalho em IP-A e RE. O
método de trabalho predominante foi o individual, embora, por vezes, tenham recorrido
a um método misto, individual em alguns itens, em díade nos restantes itens de uma
mesma tarefa. A predominância da forma individual não foi alheia ao objetivo deste
estudo – a autorregulação. O professor tem que ser capaz de encontrar momentos para
dialogar especificamente com cada aluno, aperceber-se das suas necessidades e
interesses e dar-lhe o apoio direto de que necessita para que possa progredir (Allal,
1986). Quer no questionamento, quer no feedback, os professores procuraram a
313
adaptação a uma situação individual, respeitando a pluralidade e a diversidade (Abrecht,
1994).
Neste estudo, a integração avaliação, ensino e aprendizagem matemática
confirmam que a avaliação pedagógica, em que se destaca a preocupação com o
funcionamento e a regulação dos processos de interação pedagógica e de comunicação
que se estabelecem na sala de aula, é determinante na melhoria dos resultados dos
alunos (Black & Wiliam, 1998; Fernandes, 2006b; Gardner, 2006). Não se identificaram
diferenças significativas na forma de promoção da autorregulação em Trigonometria,
em Geometria e em Funções. Mas, na sequência de tarefas realizadas, verificou-se uma
preponderância das ações dos professores para o desenvolvimento da capacidade de
autorregulação nas primeiras tarefas. Não emergiu da análise realizada uma relação
entre esse apoio e o tema matemático. Nesta perspetiva avaliativa, de avaliação
formativa (Allal, 1986; Abrecht, 1994; Perrenoud, 2004; Pinto & Santos, 2006;
Shepard, 2001), de regulação, à medida que se avança no processo ensino
aprendizagem, o professor envolve os alunos, auxiliando-os na análise do trabalho que
realizam e na tomada de decisões para melhorarem a sua aprendizagem e as produções –
autorregulação da aprendizagem (Schunk, 2005).
Comportamento autorregulado dos alunos em Matemática
A utilização de tarefas que servem simultaneamente para ensinar, aprender e
avaliar tem efeito nos resultados escolares dos alunos, principalmente porque estão
associadas a práticas avaliativas que procuram promover capacidades de autorregulação
da aprendizagem matemática (Hodgen, 2007; Santos et al., 2010). A motivação, a
autonomia, a escolha de estratégias e a responsabilidade são alguns dos indicadores que
podem ser alvitrados para justificar o desenvolvimento da autoavaliação como principal
característica do comportamento autorregulado dos alunos em Matemática (Stiggins,
2005; Hannula, 2006).
A motivação dos alunos para a melhoria dos trabalhos foi evidente,
principalmente na concretização da 2.ª fase de cada um dos relatórios. Para além do
explicitado nos descritores, também o feedback escrito fornecido pelos professores
proporcionou aos alunos essa oportunidade. A comparação entre os produtos do
trabalho dos alunos e os descritores da tabela Rubrica para Resolução de Problemas de
Matemática não estruturados (California CAP math report, 1989), motivou para a
completude e a aproximação ao expectável pelo professor (Andrade & Valtcheva,
314
2009). Por exemplo, Davide (aluno de José), em Trigonometria, na T2, usou a tabela
para comparar o nível que lhe foi atribuído e o nível 6 – resposta exemplar. Assim,
Davide procurou melhorar o seu trabalho a partir dessa avaliação que lhe foi atribuída
(Wiliam et al., 2004). Magda (aluna de José), também, melhorou a sua resposta a partir
da aproximação que fez entre o descritor resposta exemplar e o nível que lhe foi
atribuído.
A motivação, referida por Bronson (2000), evidencia-se como crescente ao longo
do desenvolvimento deste estudo, revelando nas últimas tarefas, alunos com uma maior
vontade de concretização das tarefas, embora com alguma dificuldade na manipulação
dos objetos matemáticos. Na T7, em Funções, por exemplo, os alunos de José, Rute,
Magda, Alexandre e Davide apresentaram várias tentativas e estratégias para responder
ao problema e, sem solicitarem a intervenção de José, procuraram validar as suas
respostas. Esses alunos usaram com muito sucesso os processos analíticos e gráficos,
nomeadamente articulando-os para o completamento da resposta, apresentando, assim,
grande motivação e comprometimento relativamente à correção e conclusão da resposta.
As
manifestações
de
autonomia
contribuíram
para
o
comportamento
autorregulado (Zimmerman & Martinez-Pons, 1990) e evidenciaram uma evolução
positiva ao longo deste estudo. A articulação de ideias próprias foi uma prática de sala
de aula usada, quer por José, quer por Maria, em IP-A e RE, para proporcionar aos
alunos uma maior autonomia no envolvimento nas tarefas e na participação. Alguns
alunos, por exemplo Carlos e Joana (alunos de Maria), apresentaram logo de início
vontade em concretizar as tarefas com sucesso, realizando várias tentativas e
experimentando várias estratégias. Apoiados por Maria, em IP-A na T2, os referidos
alunos refizeram o plano de resposta para corresponder às características identificadas
por Maria no feedback fornecido. O ajuste na resposta promove a autonomia, mas exige
que os alunos reflitam sobre os seus produtos e os completem, apresentando argumentos
e justificações (Lau, Singh & Hwa, 2009; Semana & Santos, 2008). José, em IP-A,
também procurou que os alunos encontrassem argumentos irrefutáveis (expressão de
José), por exemplo, para a resposta de Magda e Rute na T2. Relativamente ao
questionamento, concretizado através de IP-A, e ao feedback, concretizado através de
RE, os professores consideraram que os alunos evoluíram significativamente,
apresentando um comportamento autorregulado, na comparação das intenções de
aprendizagem, dos descritores e dos produtos; na escolha de percursos, métodos e
315
recursos para responder; e no uso da avaliação para a melhoria dos trabalhos (Handley
& Williams, 2011; Hodgen, 2007; Pereira, 2005).
Nas últimas tarefas, a autonomia dos alunos para equacionarem as diferenças
entre o que concretizavam e as tarefas desenvolvidas anteriormente aumentou e é visível
nos relatos das aulas observadas. Carlos e Joana, em Geometria (T5), em RE,
empenharam-se em compreender a diferença entre as suas respostas, uma vez que
tinham desenvolvido estratégias diferentes que conduziam ao mesmo resultado. Para
além da escolha de estratégias diferenciadas, o que em si mesmo já é significativo pela
manifestação de autonomia que incorpora, também constitui uma mais-valia para as
aprendizagens pela procura de compreensão da resposta dada pelo par mais próximo
(Chapin, O'Connor & Anderson, 2009; Pijls, Dekker & Hout-Wolters, 2007). Enquanto,
na tarefa T2, José solicitou a uma aluna que transcrevesse a sua resposta, com os erros
de cálculo cometidos na resolução, e todos os alunos contribuíam para a identificação
dos mesmos, na T5, um aluno, o Alexandre, afirmava a José a sua convicção ao
encontrar a resposta correta, tendo organizado as suas ideias para explicá-las de forma
que José compreendesse e validasse esses argumentos.
Para a escolha de estratégias de resposta, em IP-A, na T3, Davide e Alexandre
(alunos de José) mostraram a definição de um plano, seguida de controlo e verificação
dos seus próprios trabalhos (Ertmer & Newby, 1996). Alexandre questionou José acerca
da necessidade de incluir na resposta o procedimento usado para a alcançar. Os mesmos
alunos, na T4, solicitaram a intervenção de José para responder, mas a escolha de
percursos, métodos e recursos, por exemplo a realização com a calculadora ou a
consulta ao caderno, não resultou das indicações dadas pelo professor. Outra aluna,
Rute, recorreu ao caderno para aproximar a sua resposta ao que se encontrava registado
no caderno, através de vários ajustes ao seu plano de resposta inicial. Os alunos de José
evidenciam o uso da avaliação para a melhoria dos trabalhos nos itens de mostre que,
verificando-se a resolução com maior acuidade, procurando estratégias no caderno e
ligando-os com itens feitos anteriormente, através de sucessivos reajustes na execução,
em função dos resultados parciais, até alcançar o pretendido (Handley & Williams,
2011).
Os alunos de Maria, também, revelam características de autorregulação da
aprendizagem matemática em IP-A. Por exemplo, Carlos na T6 (Funções) estabeleceu a
equivalência entre duas expressões matemáticas e na sua resposta referiu que esse
procedimento é equivalente ao procedimento mais expectável. A preocupação de Carlos
316
ao fazer a ligação entre os dois processos de resolução revela a escolha de percursos,
métodos e recursos para responder e, também, mostra planificação, controlo e
verificação dos próprios trabalhos (Ertmer & Newby, 1996). Maria orientou o feedback
para a reflexão do aluno sobre o seu próprio trabalho (Quinton & Smallbone, 2010),
muito associado à autoavaliação dos produtos apresentados mas, igualmente, bemsucedido na obtenção da 2.ª fase. Por exemplo, na T2 (Trigonometria), Carlos (aluno de
Maria) viu-se confrontado com a necessidade de aprofundar o processo de
generalização de um mostre que em confronto com a experimentação de alguns casos
particulares. Para além, de constituir uma nova aprendizagem para Carlos, essa
avaliação, permitiu a autorregulação em itens semelhantes nas tarefas seguintes. Na T3,
Carlos e Joana confrontaram os seus trabalhos para a compreensão do seguimento de
processos de resolução diferentes, mas igualmente bem-sucedidos. Para os mesmos
alunos, Carlos e Joana, na T5, a procura de melhoria dos trabalhos na obtenção da 2.ª
fase ultrapassou a simples apresentação de uma resposta correta, pois evoluiu para uma
discussão sobre a pertinência e a correção de processos de resolução diferentes
(Henning et al., 2012; Weber et al., 2008).
A responsabilidade apresenta-se como uma característica dos alunos que
evidenciam comportamento autorregulado (Buhagiar & Murphy, 2008). A procura de
solução para completar uma tarefa, ultrapassar uma dificuldade ou identificar um erro,
aguça no aluno a capacidade de equacionar os modos e os recursos necessários a essa
concretização. Em geral, o aluno não apresenta esta característica (Chevallard, Bosch &
Gascón, 2001). Mas, principalmente no trabalho individual, é ao aluno que cabe a
validação do produto do seu trabalho e a responsabilidade de o fazer de acordo com o
solicitado pelo professor. O professor pode procurar promover essa característica
através de tarefas que despertem o interesse e sejam desafiadoras.
As práticas avaliativas IP-A e RE apresentam divergências em relação à promoção
do comportamento autorregulado, que não se evidenciam dependentes do tema
matemático em que se desenvolvem. A principal diferença de abordagem diz respeito à
procura de aproximação entre o produto do aluno e a resposta exemplar (expectável
pelo professor no sentido implícito ou explícito de Rust, Price & Donovan, 2003): em
IP-A prenomina a interação, online, através do questionamento (Mason, 2000; Santos,
2008); em RE sobressai o feedback escrito e a tabela de descritores. Na forma escrita,
em RE, através do feedback dado à 1.ª fase, os professores procuraram adequar a escrita
avaliativa de forma a promover um 2.º olhar crítico por parte dos alunos e a conclusão
317
dos trabalhos com sucesso. Os alunos tendem a aprender através do processo de
verbalização das suas ideias e de resposta às questões do professor (NCTM, 2007), o
que muitas vezes resulta em novas aprendizagens (Leal, 1992; Santos, 2004), por
exemplo a evolução verificada nos relatórios de Davide (aluno de José) da T3 para a T4.
Os alunos manifestam uma atitude positiva quando encaram as tarefas com
interesse, confiança, perseverança, vontade de as explorar bem como a consideração de
possíveis alternativas, e tendência para refletir sobre o seu próprio pensamento. A
promoção da autorregulação da aprendizagem matemática pressupõe a atenção dos
professores para essas atitudes (Schunk, 2005). O primeiro passo dado pelos
professores, nesse sentido, aconteceu com a aceitação de participar neste estudo. Quer
José, quer Maria, através da inclusão do relatório escrito em duas fases (RE) nas suas
práticas avaliativas, justificada pela inovação que traz para as suas práticas e para o
trabalho dos alunos, aceitaram voluntariamente esse risco. Também em IP-A, os apelos
que os professores sistematicamente faziam, principalmente nas primeiras tarefas, à
verificação de cálculos e/ou à verificação da razoabilidade de um resultado, são
indicadores dessa postura. A valorização da escolha de percursos diversificados,
devidamente justificados, e apresentados com completude evoluem gradualmente ao
longo das várias tarefas, sendo mais evidentes nas últimas, o que me permite inferir o
desenvolvimento, por parte dos alunos, de características de comportamento
autorregulado ao longo do tempo (Clark, 2012) e não dependentes de um tema
matemático.
Constrangimentos à promoção da autorregulação e formas de os ultrapassar
Os constrangimentos encontrados pelos professores na implementação de práticas
avaliativas para a promoção da autorregulação da aprendizagem matemática podem
agrupar-se em duas ordens de razões: uns atribuídos aos alunos e outros ao professor.
José e Maria destacaram a falta de comprometimento dos alunos com as tarefas da
sala de aula como uma dificuldade identificada em IP-A. Não é um aspeto novo.
Confirma que os alunos agem com uma certa irresponsabilidade matemática, como se
não fizesse parte do seu papel comprometerem-se com a coerência, avaliação ou
justificação dos seus raciocínios, nem com a análise crítica e fundamentada do que
ouvem dos colegas (Chevallard, Bosch & Gascón, 2001; Weber, et al., 2008). O
envolvimento dos alunos torna-se mais eficaz quando é uma escolha do próprio. Este
objetivo foi perseguido por José em IP-A ao procurar despertar o interesse pela
318
concretização/seleção de tarefas com enunciados motivadores, por exemplo a tarefa T3
de Trigonometria. A ação de José, semelhante à de Maria, quanto à forma de atuação,
consubstanciou o incentivo à procura da ajuda do par mais próximo ou do professor
(Webb & Mastergeorge, 2003). No entanto, para Maria, essa intervenção teve um
objetivo alargado ao pretender despertar o interesse do aluno pela concretização e
construção da sua resposta. Durante o processo de execução dos trabalhos solicitados,
em IP-A, os professores colocaram perguntas, enquanto decorreu a concretização,
promovendo a confiança e a autorreflexão (Stobart, 2006).
Em RE, os professores destacaram o facto de os alunos, inicialmente,
desvalorizarem o trabalho escrito por não lhes ser atribuída uma classificação. Na
prática avaliativa RE, o incentivo passou por enquadrar o trabalho realizado numa
tabela de descritores para além da atribuição de feedback individualizado e
diferenciador (Wiliam, 1999; Price et al., 2010; Santos & Dias, 2007). A dificuldade do
aluno escolher a estratégia adequada à resolução de alguns itens, como por exemplo o
item 1. da T2 ou o item a) da T5, estava relacionada, segundo os professores, com a
dificuldade de compreensão do enunciado (Chapin, O'Connor & Anderson, 2009;
Duval, 2006).
Outro aspeto que dificulta o desenvolvimento das tarefas e que pode bloquear a
promoção da autorregulação é o domínio de conteúdos e procedimentos próprios da
matemática. Por exemplo, relativamente aos conhecimentos de Trigonometria
envolvidos na T1 e na T2 e os de Geometria na T5. José e Maria procuraram contrariar
a situação em que o professor corrige e atribui a respetiva nota e o aluno aceita-a. Os
professores assumiram antes a postura de que o seu papel é aproximar o aluno do saber
e do processo de aprendizagem, ajudando-o a aprender (Vieira et al., 2006). Através do
questionamento, em IP-A, assumiram as características de Stobart (2006) e de Hodgen
(2007) relativas a um feedback oral, centrar-se na tarefa e não no aluno; ser um desafio,
exigir ação e ser alcançável. Na sala de aula, contrariando as dificuldades intrínsecas à
construção do saber matemático pelos alunos, José e Maria promoveram a
autoavaliação, a par de outras práticas, que podem contribuir para a concretização dessa
intenção, por exemplo: a abordagem positiva do erro (Hadji, 1994); o questionamento
(Mason, 2000; Santos, 2002; Roullier, 2004); o feedback oral e a escrita avaliativa
(Price et al., 2010; Wiliam, 1999; Santos & Dias, 2007); e o feedback da avaliação dos
pares (KMOFAP) (Black et al., 2003).
319
José e Maria enfrentaram dificuldades na manutenção dos níveis de complexidade
das tarefas com o objetivo de não desmotivar os alunos mais empenhados, segundo
José, e de promover a abordagem diversificada, segundo Maria. Para os dois
professores, essa dificuldade podia ser minimizada pelo incentivo ao trabalho de grupo
nomeadamente, permitindo que os alunos se apoiassem através do feedback da
avaliação dos pares (Webb & Mastergeorge, 2003; Noonan & Duncan, 2005),
colocando a heteroavaliação e a autoavaliação como essenciais para a aprendizagem
(Sadler, 1989). Na promoção da autorregulação da aprendizagem matemática
compreender o que é preciso fazer aparece como um elemento essencial da definição de
avaliação integrada no processo ensino aprendizagem (Assessment Reform Group,
2002a; 2002b). Desse ponto de vista, o aluno aprende se compreender o que tem para
fazer e consegue definir um plano de atuação para atingir os seus objetivos. Ao insistir
em tarefas complexas, com a necessidade de compreensão (Webb, Boswinkel &
Dekker, 2008), são promovidas as capacidades de raciocínio e metacognição, o que
permite uma maior credibilização e aceitação da coavaliação dos pares (Noonan &
Duncan, 2005; Webb & Mastergeorge, 2003), promovendo uma maior exigência na
execução dos trabalhos (White & Frederiksen, 1998).
José e Maria referiram, ainda, dificuldades em fornecer feedback diversificado
(Price et al., 2010) e em tempo útil e em explicitar/negociar critérios de avaliação. José
apresentou dificuldade em gerir o processo de atribuição de feedback, tendo-a
justificado com o elevado número de alunos da turma e com a necessidade de lecionar
uma lista extensa de conteúdos. Mas, a dificuldade de atribuição de feedback escrito
também está relacionada com o conhecimento pouco profundo que tem da escrita
avaliativa com características reguladoras (Bloxham & Campbell, 2010). José enfrentou
alguns problemas de gestão do trabalho pedagógico com a turma, ao comprometer o
cumprimento da planificação inicialmente estabelecida, devido ao excessivo tempo que
demorou a ler e a escrever nos relatórios dos alunos. Maria refere também o elevado
número de alunos, mas aponta que gostaria de diversificar mais o feedback atribuído,
não o conseguindo por desconhecimento do que pode ser uma escrita avaliativa com
significado para o aluno. Maria desenvolveu estratégias de atribuição de feedback que
passaram por dar o mesmo tipo de feedback a vários alunos porque, na sua opinião, o
importante seria dar continuidade ao trabalho na aula seguinte e finalizar a tarefa, tal
como refere Hadji (1994) dar, o mais rapidamente possível, informação útil sobre as
etapas vencidas e as dificuldades encontradas. Para os professores, a atribuição de
320
feedback escrito em RE é vista como uma sobrecarga de trabalho (Santos & Pinto,
2006).
A explicitação/negociação de critérios de avaliação é um aspeto a realçar numa
prática avaliativa pensada para promover a aprendizagem. Esta pode incidir sobre
diversos objetivos: para uma eficaz apropriação por parte dos alunos ou sobre a
sistematização, interpretação e tomada de consciência dos erros cometidos na realização
de uma dada tarefa (Santos, 2008b; 2008c). Em RE, Maria destacou o papel do
feedback dado à primeira fase de concretização dos trabalhos como a indicação do
caminho a seguir, quer para o aprofundamento da tarefa, quer para a clarificação dos
descritores de avaliação, aproximando as respostas dos alunos daquilo que eram as
expetativas do professor (Price et al., 2010). No entanto, a explicitação/negociação
desses descritores aparece sempre de forma implícita e torna-se uma dificuldade, nem
sempre consciente.
José, a dado momento, declarou que construíra, mentalmente, uma resposta
exemplar, mas não conseguia exteriorizar para os alunos o que isso significava na sua
plenitude. Essa afirmação revela dificuldade na explicitação/negociação de descritores
para a avaliação no sentido dado por Alves (2004) e Bobb-Wolff (2002). Esta
dificuldade despoletou em José um investimento no conhecimento profissional,
nomeadamente o aprofundamento de bibliografia sobre a atribuição de feedback escrito.
Coerente com Fernandes (2007), pode concluir-se que persistem dificuldades por
parte dos professores em desenvolver práticas de avaliação formativa. A ênfase na
promoção da autorregulação da aprendizagem matemática valoriza o papel da avaliação
na promoção da aprendizagem. É uma perspetiva que engloba uma conceção alargada
de avaliação, em que já não basta aplicar testes e exames aos alunos. É necessário saber
apreciar comportamentos, conhecimentos, capacidades, atitudes, hábitos, interesses, de
forma a assegurar informação que permita o desenvolvimento de um conjunto alargado
e integrado de capacidades e competências (Perrenoud, 2004; Santos; 2003b; Scallon,
2004). Estes aspetos exigem o envolvimento dos professores e o seu desenvolvimento
profissional, nomeadamente no que respeita a estratégias de explicitação/negociação de
critérios de avaliação e de atribuição de feedback. A falta de comprometimento dos
alunos e desvalorização de um trabalho que não é sujeito a uma classificação,
associados às dificuldades de domínio de procedimentos e conhecimentos matemáticas,
apresentaram-se, também, como dificuldades à promoção da autorregulação da
aprendizagem matemática.
321
Considerações finais
Este estudo apresenta características próprias, relativas às opções metodológicas
e ao papel do investigador. Ao escolher uma metodologia de natureza qualitativa para
compreender práticas letivas de professores de Matemática do ensino secundário, apesar
de existirem critérios precisos que presidem à seleção dos participantes, a escolha é
efetuada pelo próprio investigador. Os professores incluídos neste estudo pertencem a
uma realidade situada, com uma caracterização socioeconómica definida e lecionam
numa escola com características físicas próprias. Como os dados proveem daquilo que é
a perspetiva de cada professor-caso, recolhidos através de instrumentos de autorretrato
como a entrevista e as sessões de trabalho colaborativo, as conclusões relacionam a
fundamentação teórica com o sentido dado a essas ações situadas.
O principal instrumento de recolha de dados é o investigador pelo que a
descrição e a análise de dados reflete os seus pontos de vista, devidamente
fundamentados e documentados. O recurso ao trabalho de natureza colaborativa, em que
o investigador participa, facilita a planificação e a concretização mas, também, pode
contaminar algumas das características observáveis na prática avaliativa de cada um dos
professores.
Assim, o estudo apresenta alguns aspetos positivos do ponto de vista
metodológico que o enriquecem. Por exemplo, a proximidade alcançada pelo
investigador junto dos professores-caso, nas sessões de trabalho de natureza
colaborativa que se desenvolveram de forma continuada ao longo de dois anos letivos, o
que permite a compreensão das decisões no momento em que ocorrem e o confronto
entre planificação e ação observável. Outro exemplo é o acesso a práticas avaliativas do
professor de Matemática, obtido através da confidencialidade, que expõe a prática
avaliativa, e as conceções sobre a mesma, de dois casos mas que se admitem
semelhantes a grande parte dos professores de Matemática.
Existem possíveis limitações que estão relacionadas com o tipo de relação
pedagógica que ocorre na sala de aula. Um aspeto dessa relação que afeta o estudo é o
facto de o aluno poder solicitar, ou não, o professor durante o questionamento em
virtude de se sentir avaliado quando o faz. Este facto pode enviesar a recolha de dados,
pois quando o aluno sente que isso contribui para a sua classificação pode retrair-se e
não solicitar o professor com a frequência que desejaria.
322
Neste estudo são apresentadas duas práticas avaliativas que procuram promover
a autorregulação da aprendizagem matemática pelos alunos. É uma problemática
iniciada, mas certamente não acabada. É necessário investigar outras práticas que,
também, possam contribuir para o desenvolvimento dessa capacidade e que contribuam
para a integração avaliação, ensino e aprendizagem, preconizadas nos documentos
curriculares em vigor para o ensino secundário, em Matemática.
As práticas IP-A e RE evidenciam progressos na forma como os alunos
participam e se envolvem nas tarefas matemáticas. Mas, o conhecimento entre os fatores
que afetam a motivação e o comprometimento dos alunos com a concretização das
tarefas pode e deve ser aprofundado.
Este estudo enquadra-se na perspetiva de avaliação formativa, em que a
avaliação é usada pelo professor e pelo aluno na melhoria do processo ensino
aprendizagem. Qualquer interpretação dos dados que seja descontextualizada dessa
perspetiva é desprovida de sentido e não se ajusta às opções tomadas durante o
desenvolvimento deste trabalho. Por esse motivo, neste contexto, não faz sentido
discutir a relação entre avaliação formativa e sumativa, nem as implicações da mesma
na prática avaliativa do professor e no percurso escolar do aluno. Os dados recolhidos
aprofundam o conhecimento sobre a promoção da autorregulação da aprendizagem
matemática, na melhoria da qualidade dos conhecimentos adquiridos e dos produtos a
alcançar, mas não procura investigar o impacto dessas ações na classificação.
Os resultados da avaliação sumativa (externa) dos alunos envolvidos neste
estudo não foram tidos em conta nas conclusões, mas o estudo das classificações de
alunos envolvidos em práticas de avaliação formativa pode ser o foco de uma
investigação que contribua para a problemática da relação entre a avaliação sumativa e a
avaliação formativa.
A atribuição de classificações aos RE através do uso de uma tabela de
descritores foi uma mais-valia para este estudo. No entanto, podem ser equacionadas
outras formas de atribuição de feedback a um trabalho, relatório, tarefas, ou até mesmo
um teste escrito, que recorram a descrições qualitativas em detrimento da simples
atribuição de uma classificação numérica.
FIM
323
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343
344
ANEXOS
345
346
Anexo 01: Grelha de observação de aula
Professor:
Turma:
Data:
Nº da aula:
Sumário:
______________________________________________________________________
Introdução
Relativamente à planificação, quais são os desvios registados?
Como é que os alunos são guiados na construção da aprendizagem?
Verificam-se constrangimentos? Quais?
São referidas estratégias avaliativas?
Papel do professor
Qual a abordagem usada pelo professor para
intervir junto dos alunos?
De que forma o professor orienta os alunos?
Como é que o professor e os alunos interagem?
Como é que o professor aproveita as intervenções
do aluno?
Papel do aluno
Qual é a natureza da colaboração entre alunos, no
trabalho que desenvolvem? E professor/aluno?
Como é que o aluno aproveita as intervenções do
professor?
Até que ponto estão implicados os alunos?
347
No decorrer da atividade
Identificam-se momentos críticos?
Até que ponto estão implicados os alunos?
Que estratégias de avaliação se verificam?
Até que ponto são atingidos os objetivos preconizados?
Papel do professor
Que modos de interação são favorecidos pelo
professor?
Qual é a frequência e a natureza do feedback dado
pelo professor?
Que modos de avaliação usa o professor?
Papel do aluno
Quais são as contribuições dos alunos?
Qual é a frequência das interações professor aluno e vice-versa?
Qual é a frequência das iniciativas dos alunos?
Os alunos autorregulam as aprendizagens? Como?
348
Balanço final
Relativamente à planificação, quais são as adaptações?
Como é que os alunos são guiados na aprendizagem?
São referidas estratégias avaliativas? Indicações dadas pelo professor?
A participação/negociação com os alunos?
Existem evidências de autorregulação?
Papel do professor
Que modos de interação são favorecidos pelo
professor?
O professor promoveu a autorregulação? Como?
Quais as reações professor?
Papel do aluno
Quais foram as contribuições dos alunos?
Quais são as iniciativas dos alunos?
Os alunos evidenciam estratégias de
autorregulação? Quais?
Reações dos alunos?
Outras observações:
349
Anexo 02: Guião da primeira entrevista a professores
Percurso profissional
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Qual foi a sua formação académica e quando a terminou?
Por que razão decidiu ser professora de matemática?
Quantos anos de serviço tem? Que níveis tem lecionado (básico e secundário)?
Pode dar alguns exemplos de experiências significativas que viveu como profissional?
Como é que tem sido a sua formação contínua?
Ao nível de tarefas não letivas, que cargos tem desempenhado? Que balanço faz?
A que associações profissionais pertence? Porquê?
Como se vê enquanto profissional? Como pensa que os outros a veem?
Se lhe surgisse uma oportunidade, mudava de profissão? Porquê?
Preparação das aulas
· O que considera mais importante na planificação de uma aula?
· Pode descrever como planificou recentemente uma aula ou uma sequência de aulas?
· Usou o programa? Tipo de recursos? Tipo de tarefas? Como as seleciona?
· Contempla diferentes tipos de tarefas? Pode dar exemplos?
· Alguma destas tarefas tem uma importância especial para o trabalho que faz com os
alunos?
· Na preparação de aulas, pensa na avaliação? Em que termos?
· Como planeia a avaliação, usa algum critério?
· Pode dar exemplos?
· O que é para si avaliar?
· A avaliação é importante na sua prática letiva? Porquê?
· Sente dificuldades na preparação de aulas? Em que aspetos? Como as ultrapassa?
Vamos fazer um jogo? (As palavras estão por ordem alfabética)
Aprendizagem
Avaliação
Competência
Compreensão
Ensino
Feedback
Interação
Motivação
Regulação
Sucesso
a) Escolha as quatro palavras que, na sua opinião, contribuem para formar um
“bom” aluno em matemática.
b) Construa uma frase com as palavras escolhidas.
c) Qual o significado que tem, para si, cada uma das dez palavras? Dê um exemplo
que ajude a clarificar o significado apresentado, em cada caso.
350
Aprendizagens
·
·
·
·
·
·
·
·
Como é que os alunos aprendem Matemática?
O que faz para saber se o aluno aprendeu?
E que faz quando deteta alguma falha? Dê exemplos.
Como é que os alunos devem estudar Matemática?
O considera ser um bom aluno em Matemática?
A aprendizagem em matemática depende mais do professor ou mais do aluno?
Em que aspetos? Dê exemplos?
Considera que ajuda os alunos a melhorarem? Como? Dê exemplos.
As aulas
· Descreva uma aula sua, recente, que tenha gostado. Porquê?
· Para si, qual deve ser o papel do professor? E do aluno?
· Qual é a importância dos alunos se envolverem nas tarefas da aula?
· Como é verificado esse envolvimento? Dê exemplos.
· Na sua opinião, o que é que os alunos valorizam? E desvalorizam?
· Quais os aspetos que destaca para os alunos gostarem das aulas?
· Que aspetos a levam a concluir que uma aula resultou? Dê exemplos.
· O que deveria ser uma aula ideal, em Matemática?
· Qual deveria ser a atitude de um aluno ideal? Que atividades devia realizar?
· Depois da aula, faz um balanço entre a planificação e a concretização?
· E os alunos, fazem esse balanço? Dê exemplos de como sente que o fazem? Ou
porque o não fazem, na sua opinião?
· O que é mais importante, a avaliação que faz sobre os alunos ou a autoavaliação dos
próprios?
· Que aspetos considera que podia melhorar, se for o caso?
· Às vezes tinha vontade de fazer as aulas de outra forma? Porquê? Em caso afirmativo,
já tem experimentado fazê-lo? Como?
Outros
· Falámos do seu percurso profissional, da preparação das aulas, da aprendizagem e das
aulas, falta alguma coisa?
· O que mudava na ESCOLA?
Obrigado, pela colaboração
351
Anexo 03: Guião da segunda entrevista a professores
Integração da avaliação no processo de ensino e aprendizagem
Como caracterizas a adaptação das atividades da sala de aula às características dos
alunos?
Consideras que és um guia na construção da aprendizagem do aluno?
Até que ponto os alunos se envolveram nas tarefas propostas?
Favoreces a participação de todos os alunos? Como?
Relativamente à planificação, quais são os desvios registados?
Até que ponto os alunos atingiram os objetivos preconizados?
Verificaram-se constrangimentos? Quais?
Identificaram-se momentos críticos?
Indicações dadas pelo professor?
Como é que o teu envolvimento nesta experiência contribuiu para a melhoria do teu
desempenho?
Desenvolvimento da autorregulação das aprendizagens, por parte dos alunos
Na tua opinião, como é que os alunos aprenderam Matemática?
Qual foi a tua contribuição dos alunos? E a dos alunos?
Houve, com frequência interações professor-aluno e vice-versa?
Identificas algumas iniciativas dos alunos, para melhorar as suas próprias
aprendizagens?
Quais foram as contribuições dos alunos?
Quais são as iniciativas dos alunos?
Reações dos alunos, a destacar?
Como é que o aluno aproveita as tuas indicações?
Qual é a importância e a natureza da colaboração entre alunos, no trabalho que
desenvolvem? E professor/aluno?
Como é que o teu envolvimento nesta experiência contribuiu para a melhoria do
desempenho dos alunos?
Balanço das aulas observadas
Mudou alguma coisa nas tuas aulas? Porquê?
Atribuis a causa desse efeito aos alunos? Ou ao teu desenvolvimento profissional?
Balanço das sessões de trabalho conjunto
Destaca alguns aspetos mais significativos do teu envolvimento neste trabalho?
Obrigado, pela colaboração
352
Anexo 04: Programação da 2.ª fase do trabalho de natureza
colaborativa
Conteúdo
Matemático
11.º ano
Geometria II:
Trigonometria
Data
Atividade
30 de setembro de 2009
Discussão do texto
Seleção e planificação de tarefas
Planificação de tarefas
Discussão do texto
Planificação de tarefas
Reflexão sobre a aula
Planificação de tarefas
Discussão do texto
Planificação de tarefas
Planificação de tarefas
Discussão do texto
Reflexão sobre a aula
Discussão do texto
Discussão do texto
Planificação de tarefas
Planificação de tarefas
Discussão do texto
Planificação de tarefas
Reflexão sobre a aula
Planificação de tarefas
Discussão do texto
Reflexão sobre a aula
Planificação de tarefas
Discussão do texto
Reflexão sobre o projeto
7 de outubro de 2009
14 de outubro de 2009
21 de outubro de 2009
28 de outubro de 2009
11.º ano
Geometria II
11.º ano
Funções II
4 de novembro de 2009
11 de novembro de 2009
18 de novembro de 2009
25 de novembro de 2009
13 de janeiro de 2010
20 de janeiro de 2010
27 de janeiro de 2010
3 de fevereiro de 2010
24 de fevereiro de 2010
3 de março de 2010
10 de março de 2010
17 de março de 2010
353
Anexo 05: Tarefa T1 – Triângulos
5
e que α é uma ângulo agudo.
4
1
Determine o valor exato da expressão
+ cos α .
senα
1. Sabendo que tgα =
2. Para medir a altura do cume de um monte efetuaram-se as medições dos ângulos de
visão do cume com a horizontal a partir de dois pontos A e B que distam 20 metros
entre si. Qual é a altura do cume do monte
relativamente ao nível onde foram efetuadas
as medições?
AB = 20m
^
C B D = 52º
^
C A D = 65º
354
Anexo 06: Tarefa T2 – Eratóstenes
2. Usando a igualdade dada no item 1, determine o valor de h , sabendo que R = 1000 metros e que
α =60º.
3. Determine, agora, o valor de h , sabendo que R = 1000 metros e que α =45º.
Apresente o resultado aproximado às unidades.
4. Compara os dois resultados anteriores.
5.
355
Anexo 07: Tarefa T3 – Periélio (Terra)
356
Anexo 08: Tarefa T4 – Círculo trigonométrico
Na figura estão representados, em referencial o.n. xOy, o
círculo trigonométrico e um triângulo [OAB].
Os pontos A e B pertencem à circunferência.
O segmento [AB] é perpendicular ao semieixo positivo Ox.
O ponto C é o ponto de intersecção da circunferência com o
semieixo positivo Ox.
Seja α a amplitude do ângulo COA, e α ] 0, 90o[.
Considere o ponto D, como sendo a intersecção do eixo Ox
com o segmento de reta [AB].
1. Mostre que a área do triângulo [OAB], em função de α , é dada pela expressão
cos α × senα
2. Utilize as capacidades da calculadora gráfica para resolver as questões que se
seguem. Para isso desenhe o gráfico da função f (α ) = cos α × senα utilizando
na calculadora, a janela de visualização [0, 100] x [-1,6; 1,6] .
2.1. Calcule a área do triângulo [OAB] para α = 60o com duas casas decimais.
Classifique o triângulo obtido quanto ao comprimento dos lados. Justifique a sua
resposta
2.2. Para um valor da amplitude do ângulo α , a área do triângulo [OAB] é
Determine esse valor?
357
.
Anexo 09: Tarefa T5 – Cone
358
Anexo 10: Tarefa T6 – A Maria vai sempre de Carro
359
Anexo 11: Tarefa T7 – Escrever no computador
O Josefino foi aprender a escrever no computador e o número n de palavras que, em
média, conseguia escrever por minuto, dependendo do número de dias de aprendizagem.
Considere o modelo que define esta situação, a expressão n (t) = 70 (1 – e- 0,4 t ), onde t
é o tempo em dias de aprendizagem.
Ele vai fazer um teste e precisa de conseguir escrever uma carta com 800 palavras em
20 minutos.
Escreva uma pequena composição para explicar ao Josefino quantos dias ele terá de
dedicar à sua aprendizagem. Dado que o Josefino tem algumas dificuldades na
aprendizagem, seja rigoroso e utilize um método exclusivamente analítico, e um método
gráfico, para ele compreender melhor a situação.
Sugestão:
Na calculadora gráfica, use a janela de visualização [0, 3] ×[0, 45].
360
Anexo 12: Tarefa T8 – Nódoa circular
1. Numa toalha caiu um copo de azeite fazendo uma nódoa circular.
O raio da nódoa em função do tempo t , em segundos, após o instante em que
começou a formar--se é dado, em centímetros, pela função
t
r (t ) =
5 + 0,05t
1.1 Determine a equação da assimptota horizontal do gráfico da função e explique o
seu significado no contexto do problema.
1.2
Resolva, analiticamente, a inequação
t
> 10 e explique o significado da
5 + 0,05t
solução encontrada.
1.3 No instante em que começou-se a formar a nódoa, foi aplicado um spray cujo
raio de ação atua de acordo com a seguinte equação a (t ) = −0,25t + 50 ( t em
segundos, a em centímetros).
Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, determine o instante em que
r (t ) = a (t ) .
Na sua resposta deve apresentar todos os elementos recolhidos da calculadora (gráfico
ou gráfico(s), pontos relevantes, janela de visualização, ferramentas da calculadora,
etc.).
Em cálculos intermédios utilize aproximações às centésimas. Apresente o resultado com
aproximação às décimas.
361
Anexo 13: Guião analisado pelo grupo de trabalho colaborativo
362