Matemática —aula prática
E .— Calcule 𝑓 ′ (𝑥), sempre que exista, nos casos em que 𝑓 é de nida pela expressão:
(a) 𝑓(𝑥) = 𝑥􏺾 + 􏺿𝑥 + 􏺾
􏺽
𝑥+􏺽
𝑥 + cos 𝑥
(g) 𝑓(𝑥) =
􏺽 − sin 𝑥
(d) 𝑓(𝑥) =
(b) 𝑓(𝑥) = 𝑥􏻀 + sin(𝑥)
(e) 𝑓(𝑥) =
𝑥
𝑥−􏺽
(c) 𝑓(𝑥) = 𝑥􏻀 (sin 𝑥)
(f) 𝑓(𝑥) =
􏺽
􏺾 + cos 𝑥
(h) 𝑓(𝑥) = 𝑥(sin 𝑥)
E .— Calcule 𝑓 ′ (𝑥), sempre que exista, nos casos em que a função 𝑓 é de nida
pela expressão:
􏺽
(a) 𝑓(𝑥) = 𝑥􏺾 + 􏺿𝑥 + 􏺾
(b) 𝑓(𝑥) =
(𝑑)𝑓(𝑥) = 𝑥−􏺿/􏺾
(e) 𝑓(𝑥) = 𝑥􏺽/􏺿 + 𝑥−􏺽/􏻀
􏺽 + √𝑥
(c) 𝑓(𝑥) = 𝑥􏺿/􏺾
𝑥
(f) 𝑓(𝑥) = √
􏺽+𝑥
E .— Considere as funções 𝑓, 𝑔 ∶ ℝ → ℝ de nidas por 𝑓(𝑥) = 𝑥|𝑥| e 𝑔(𝑥) = 𝑒−|𝑥| ,
respectivamente. Relativamente a cada uma delas,
. mostre que é diferenciável em ℝ ⧵ {􏺼}.´e calcule as respectivas derivadas nesse domínio;
. estude a diferenciabilidade no ponto 𝑥 = 􏺼.
E .— Determine, se existirem, os seguintes limites,
ln(cos 𝑥)
𝑥→􏺼 ln(cos 􏺾𝑥)
𝑥􏺾 sin(􏺽/𝑥)
sin 𝑥
(a) lim
(b) lim+
(d) lim𝑥→+∞ (sin 𝑥)(sin 􏺽/𝑥)
(e) lim𝑥→+∞ 𝑥􏺾 (cos(􏺽/𝑥) − 􏺽)
(f) lim𝑥→􏺽+ (ln 𝑥)𝑥−􏺽
(g) lim𝑥→􏺼+ (𝑒𝑥 − 􏺽)𝑥
(h) lim𝑥→􏺼+ (sin 𝑥)𝑥
(i) lim𝑥→􏺼+ (tan 𝑥)􏸒􏸈􏸍 𝑥
𝑥→􏺼
(c) lim𝑥→􏺼+ (sin 𝑥)(ln 𝑥)
E .— Considere a função 𝑓 ∶ ℝ → ℝ de nida por
⎧ (sin 𝑥) − 𝑥
⎪
⎪
𝑥􏺾
𝑓(𝑥) = ⎨
⎪− tan 􏿵 𝑥 􏿸
⎪
􏻂 + 𝑥􏺾
⎩
(se 𝑥 < 􏺼)
(se 𝑥 ≥ 􏺼)
. Mostre que 𝑓 ′ (􏺼) = −􏺽/􏻂.
. Determine a equação da recta tangente ao grá co de 𝑓 no ponto (􏺼, 𝑓(􏺼)).
. Prove que a equação 𝑓 ′ (𝑥) = 􏺼 tem pelo menos duas soluções distintas em ℝ.

E .— Relativamente a cada uma das alíneas seguintes a função 𝑓 tem por domínio
o maior subconjunto de ℝ em que a expressão dada tem sentido. Em cada caso determine: o
domínio de 𝑓 , os intervalos de monotonia de 𝑓 , os seus extremos e o sentido das concavidades
e pontos de in exão do respectivo grá co. Determine ainda eventuais assímptotas e esboce
o respectivo grá co.
(a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 +
􏺽
𝑥
(b) 𝑓(𝑥) =
𝑥
􏺽 + 𝑥􏺾
(c) 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒􏺽/𝑥
E .— Considere a função 𝑓 ∶ ℝ ⧵ {−􏺾} → ℝ, de nida por
𝑓(𝑥) =
𝑒𝑥+􏺽
𝑥+􏺾
. Determine os intervalos de monotonia e os extremos de 𝑓 .
. Determine as concavidades e in exões de 𝑓 .
. Determine as assímptotas ao grá co de 𝑓
. Esboce o grá co de 𝑓 .
E .— Seja 𝑓 ∶ ℝ → ℝ uma função de classe 𝐶􏻁 (ℝ) com polinómio de Taylor de
ordem 􏻁 em 𝑎 = 􏺼 dado por 𝑝􏻁,􏺼 (𝑥) = 𝑥􏺿 − 𝑥􏻁 . Determine 𝑓 (𝑘) (􏺼) para 𝑘 = 􏺼, 􏺽, 􏺾, 􏺿, 􏻀, 􏻁 e
indique se 𝑓 tem ou não um extremo local no ponto 􏺼.
E .— Prove usando o teorema de Taylor que,
􏿙𝑒−𝑥 − 􏿶􏺽 − 𝑥 +
𝑥􏺾
􏺽
􏿹􏿙 <
􏺾
􏻂
para qualquer 𝑥 ∈ [􏺼, 􏺽].
E .— Prove usando o teorema de Taylor que,
􏿙
para qualquer 𝑥 ∈ [􏺼, 􏺽].

sin 𝑥
𝑥􏺾
􏺽
− 􏿶􏺽 − 􏿹􏿙 <
𝑥
􏻂
􏺽􏺼􏺼