Programa de Cálculo
I – agrupamento 4
Objetivos: Aquisição de conhecimentos em cálculo com uma variável incluindo o estudo de
funções e a integração.
Competências fundamentais: Capacidade de análise de funções reais de variável real
(representação gráfica, estudo do comportamento assintótico, da continuidade, da
diferenciabilidade, etc); capacidade de integração com aplicação ao cálculo de áreas; capacidade
de análise de integrais impróprios.
Conteúdos: Estudo de Funções Reais de Variável Real (Breve recapitulação sobre limites,
continuidade, Teorema de Bolzano, derivação, extremos, assíntotas e esboço do gráfico de uma
função; função inversa; funções trigonométricas inversas; derivada da função inversa; Teoremas
de Weierstrass, de Rolle, de Lagrange e de Cauchy; Regras de Cauchy e de L'Hôpital; noção de
diferencial) Cálculo Integral (definição de integral de Riemann; critérios de integrabilidade;
Teorema Fundamental do Cálculo Integral; Teorema do Valor Médio para Integrais; aplicação
ao cálculo de áreas; definição de primitiva; propriedades das primitivas; técnicas de
primitivação – primitivas imediatas, primitivação por partes, por substituição, de funções com
radicais e de funções racionais – cálculo de integrais à custa de primitivas; substituição de
variável no integral definido.) Integral Impróprio (integrais impróprios de primeira, segunda e
terceira espécie; critérios de convergência; convergência absoluta.)
Programa de Cálculo
II – agrupamento 4
Objetivos: Estender a formação de cálculo ao estudo das séries e das equações diferenciais.
Competências fundamentais: Capacidade de análise de séries numéricas; capacidade de
desenvolvimento de aproximações com recurso ao polinómio de Taylor e estimação do erro;
capacidade de análise de algumas séries de funções; capacidade de resolução de equações
diferenciais.
Conteúdos:
1. Transformada de Laplace
Definição e propriedades. Transformada de Laplace inversa.
2. Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs)
Conceitos básicos e terminologia. EDOs de 1ª ordem de variáveis separáveis e lineares (e
outras redutíveis a estes tipos, e.g. equações homogéneas, redutíveis a homogéneas e de
Bernoulli). EDOs lineares de ordem arbitrária (homogéneas, completas e de coeficientes
constantes). Construção da solução geral de uma EDO linear. Método da Variação das
Constantes e Método dos Coeficientes Indeterminados para a determinação de soluções
particulares. Aplicação da Transformada de Laplace à resolução de problemas de Cauchy.
3. Séries Numéricas
Conceitos básicos. Estudo da série geométrica e da série telescópica. Operações com séries.
Resto de uma série. Convergência absoluta e convergência simples de uma série numérica.
Critérios de convergência para séries de termos não negativos (critério de comparação,
critério do integral, critério de D’Alembert, critério de Cauchy). Séries alternadas. Critério
de Leibniz.
4. Séries de Potências e Fórmula de Taylor
Raio e intervalo de convergência. Fórmula de Taylor com resto de Lagrange. Aproximação
polinomial de funções através dos polinómios de Taylor. Série de Taylor e série de
MacLaurin.
5. Sucessões e Séries de Funções
Breve referência à convergência pontual e à convergência uniforme de séries de funções em
geral. Derivação e integração termo a termo de uma série de potências. Unicidade de
representação de uma função em série de potências. Desenvolvimento em série de
Taylor/MacLaurin das funções mais conhecidas no cálculo. Conceito de série de Fourier.
Convergência (pontual) da série de Fourier. Representação de funções em série de Fourier,
de senos e de cossenos.
Bibliografia
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A. Caetano, http://calculo.wikidot.com (ir consultando a matéria apenas à
medida que vai sendo dada nas aulas, pois algumas partes do texto irão sendo
alteradas).
V. Santos, Cálculo com funções de uma variável, vol. 1 e vol. 2, Universidade
de Aveiro, 2009/10 (correspondentes pdfs podem ser obtidos no espaço de
Cálculo I – agr. 4 ou de Cálculo II – agr. 4 em http://elearning.ua.pt/).
J. Stewart, Calculus: Early Transcendentals, 6th edition, Brooks/Cole, 2008
(uma versão eletrónica pode ser obtida em http://bookzz.org/; consultar também
http://www.stewartcalculus.com/media/4_home.php).
D. Zill, M. Cullen, Differential Equations with Boundary-Value Problems, 7th
edition, Brooks/Cole, 2009 (uma versão eletrónica pode ser obtida em
http://bookzz.org/;
consultar
também
http://www.cengage.com/cgiwadsworth/course_products_wp.pl?fid=M20bI&product_isbn_issn=978049510
8368).
J. Silva, Princípios de Análise Matemática Aplicada, McGraw-Hill, 1994 (e o
livro de exercícios C. Leal, J. Silva, Análise Matemática Aplicada - Exercícios,
Actividades, Complementos e Provas de Avaliação, McGraw-Hill, 1997).
J. Sousa Pinto, Curso de Análise Matemática, Universidade de Aveiro, 2010,
edição póstuma coordenada por M. Paula Oliveira e D. Seabra (e o livro de
exercícios D. Almeida, I. Brás, J. David Vieira, E. Martins, N. Martins, M.
Paula Oliveira, J. Santos, D. Seabra, Análise matemática: unidades teóricopráticas, Universidade de Aveiro, 2010).
A. Caetano, Matemáticas Gerais, Universidade de Coimbra, 1993 –
https://my.syncplicity.com/share/ed3satyefo/ (e o livro de exercícios A.
Caetano, J. Delgado, Caderno de exercícios de Análise Infinitesimal I,
Universidade
de
Coimbra,
1985
–
https://my.syncplicity.com/share/3uar8zvvbq/).
K. Stroyan, Calculus: The Language of Change, 3.ª edição,
http://homepage.math.uiowa.edu/~stroyan/CTLC3rdEd/ctlc.htm.
De uma maneira geral, qualquer livro com a palavra “Cálculo” ou “Análise” no título, em
especial quando se refere a funções de uma só variável, constitui também referência
bibliográfica.