ANÁLISE GRÁFICA
UNESP - Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá
1
0.1. Introdução
Neste capı́tulo abordaremos princı́pios de gráficos lineares e logarı́tmicos e seu
uso em análise de dados. Esta análise possibilitará determinar parâmetros desconhecidos no experimento expressos em alguma fórmula matemática derivada de um
modelo teórico deste experimento.
O comportamento dos pontos experimentais em um gráfico pode ser sempre
descrito por uma função matemática. A determinação desta função é chamado de
ajuste (’fitting’ em inglês) e o método mais usado nesta processo é o método dos
mı́nimos quadrados (MMQ). A função mais simples de ser ajustada é naturalmente
a da reta, um polinômio do primeiro grau. Neste caso a aplicação do MMQ leva a
fórmulas simples que estão dadas no Apêndice deste texto. Todas supẽm incerteza
em y. Como na prática geralmente temos também incertezas em x é descrito ainda
um método de transferir estas incertezas em x para y.
A reta tem ainda outra particularidade: quando traçada manualmente com
uma régua sobre pontos no gráfico, sem fazer nenhum cálculo e considerando todos os pontos igualmente relevantes, a reta desenhada se assemelha muito à reta
matemática dada pelo MMQ. Isto faz com que o traçado manual seja um processo igualmente aceito para a análise de dados levando a valores aceitáveis dos
parâmetros que estão sendo determinados. O MMQ no entanto é mais interessante
pois os valores dos coeficientes da reta podem ser determinados com suas incertezas.
A relação matemática ou fórmula utilizada em um experimento geralmente não
apresenta uma relação linear entre as grandezas mensuráveis. Entretanto é possı́vel
definir como estas grandezas são representadas em cada eixo do gráfico e obter
o traçado de uma reta. Este processo é chamado de linearização gráfica e será
abordado neste capı́tulo.
0.2. Recordando gráficos
Os gráficos a que nos referimos possuem dois ou três eixos perpendiculares entre
si onde cada eixo representa uma grandeza dependendente ou independente. Cada
eixo é definido segundo o formato:
grandeza
[unidade]
(0.1)
Assim apenas o valor numérico é colocado no gráfico. A figura 1 mostra um gráfico
tı́pico onde no eixo da ordenada temos a potência p/W e na abcissa a frequência
f /Hz. Ao se ler um valor numérico sobre o eixo, por exemplo 10, entende-se:
(0.2)
f
= 10
Hz
⇒
f = 10 Hz
1
Material didático para o Laboratório de Eletricidade e Magnetismo elaborado por Milton
E. Kayama, docente do Departamento de Fı́sica e Quı́mica.
1
2
1,2
f
0,9
P / W
Hz
=
10
=>
f
=
10 Hz
0,6
0,3
0,0
0
5
10
15
20
25
f / Hz
Figura 1. Esboço de um gráfico da potência p em função da
frequência f da voltagem em um circuito. Colocado em destaque a forma de atribuir o valor da grandeza referente a um ponto
sobre um de seus eixos.
Outras formas aceitas de definir os eixos é, neste exemplo, escrevendo com uma
vı́rgula separando o sı́mbolo da unidade f , Hz ou colocando a unidade entre parênteses
f (Hz)
0.3. Gráficos ou fórmulas?
Consideremos uma fórmula derivada de um modelo matemático de um experimento que contenha duas grandezas possam ser consideradas como como a variável
dependente x e a variável independente y do experimento e uma terceira seja uma
grandeza desconhecida z. Através do experimento determina-se os valores de x e
y que substituidos na fórmula fornece o valor de z. O processo pode ser repetido
várias vezes e com um conjunto grande de dados podemos apelar para métodos estatı́sticos de análise de dados. Geralmente assumimos uma distribuição gaussiana
e atribuimos a z o valor médio dos valores obtidos. E para a incerteza adotamos o
desvio padrão da média.
O método estatı́stico supõe um conjunto grande de dados. Isto possibilita uma
definição adequada da função distribuição e em consequência, da metodologia para
a análise dos dados. No entanto este conjunto de dados é geralmente pequeno.
Isto ocorre em muitas experiências em laboratório, como nas deste laboratório de
ensino. Neste caso o método mais adequado para a análise de dados utiliza gráficos,
que chamamos aqui de método gráfico.
Para ilustrar o uso do método gráfico em uma análise de poucos dados vamos
supor uma verificação da lei de Ohm dada por U = RI onde U , R e I são respectivamente a diferença de potencial, a resistência e a corrente em um elemento.
A figura 2 mostra o gráfico U × I considerando três pontos experimentais e duas
retas, uma calculada usando o método dos mı́nimos quadrados (MMQ) e a outra
obtida fazendo o cálculo do valor médio de R onde R = U/I. Como mostra a
figura a reta usando MMQ se distribui entre os pontos experimentais enquanto que
a reta traçada a partir do valor médio de R se aproxima dos primeiros pontos do
0.3. GRÁFICOS OU FÓRMULAS?
10
3
MMQ
MÉDIA
U / V
5
0
0
2
4
I / A
Figura 2. Reta na lei de Ohm calculada usando método dos
mı́nimos quadrados (MMQ) e por valor médio de resistência R
no caso de três pontos experimentais.
2
MMQ
U / V
MÉDIA
1
0
0
1
2
I / A
Figura 3. Reta na lei de Ohm calculada usando método dos
mı́nimos quadrados (MMQ) e por valor médio de resistência R
no caso de 16 pontos experimentais.
gráfico. Isto indica que a primeira representa melhor a dependência entre U e I e
sua inclinação seria o melhor valor a ser atribuı́do à resistência do circuito.
Consideremos agora um número grande de dados; o gráfico é mostrado na
figura 3. Observa-se que as retas calculadas pelos dois métodos convergem, ou seja,
torna-se indiferente neste caso usar um método ou outro para a análise de dados.
Um outro motivo para usar o método gráfico é que este possibilita verificar a
validade e o limite do modelo matemático usado para descrever um dado experimento. Algumas restrições experimentais impostas pelo modelo e não atendidas
durante a coleta de dados são geralmente perceptı́veis nos gráficos.
4
400
z / m
5
z / m
300
t / s
1,0
45
3,0
125
5,0
245
7,0
405
9,0
200
100
0
0
2
4
6
8
10
t / s
Figura 4. Esboço do gráfico z × t.
0.4. Linearização gráfica
A linearização gráfica consiste em definir as variáveis y e x ao longo de cada
eixo de modo que estas apresentem uma relação linear na forma:
(0.3)
y = ax + b
onde a e b são constantes. Tanto x e y como a e b possuem dimensão e unidade.
Não podemos mais escrever a = tanθ. Chamamos agora a de coeficiente angular
ou inclinação da reta e b de coeficiente linear da reta.
Para ilustrar o processo de linearização gráfica considere uma experiência onde
é feita a medição do deslocamento z em função do tempo t de um corpo com
aceleração constante g governado pela equação:
(0.4)
z=
1 2
gt
2
Os pontos experimentais colocados em um gráfico z × t obedecem a esta equação
tendo uma forma parabólica como ilustra a figura 4. Podemos linearizar e obter
uma reta fazendo por exemplo:
(0.5)
y
(0.6)
x = t2
1
a =
g
2
(0.7)
= z
Desta forma a equação fica y = (1/2)ax e o gráfico y × x ou z × t2 será uma reta
como mostra a figura 5. Os pontos experimentais precisam ser recalculados o que
leva a um aumento na incerteza dos mesmos. Embora existam diversas formas de
se definir os eixos deve-se buscar aquelas que possibilitem redefinir as grandezas nos
eixos com menor incerteza. Para isto se evita usar potências elevadas ou grandezas
resultantes de muitas operações aritméticas.
0.5.
400
GRÁFICOS EM ESCALA LOGARITMICA
z / m
5
z / m
300
200
t
2
5
2
/ s
2
1,0
2
45
3,0
125
5,0
2
2
245
7,0
405
9,0
2
100
0
0
20
40
t
2
60
80
2
/ s
Figura 5. Esboço do gráfico z ×t2 .
Example 0.1. Linearize a fórmula do periodo T do pêndulo simples dada por::
√
l
(0.8)
T = 2π
g
onde l é o comprimento do fio do pêndulo e g a aceleração da gravidade local.
Resp: Podemos reescrever 0.8 e associá-la a equação
√ da reta da seguinte forma:
2π
T = √
l
g
|{z}
|{z} |{z}
y =
a
x
Fazendo então
(0.9)
y
= T
√
(0.10)
x =
l
2π
(0.11)
a = √
g
√
teremos uma reta em um gráfico T × l. A unidade do coeficiente angular é
√
[a] = 1/[ g]=sm−1/2 .
0.5. Gráficos em escala logaritmica
Gráficos em escala logaritmica são também muito usados em análise de dados.
No apêndice é explicado como esta escala é criada e como utilizá-la. Para ilustrar
esta escala exemplificamos a seguir o uso do gráfico monolog e dilog.
0.5.1. Função exponencial e gráficos monolog. Consideremos a função
exponencial:
(0.12)
y ′ = a0 exp(−b0 x′ ) = a0 e−b0 x
′
6
onde a0 e b0 são constantes. A relação entre x′ e y não é linear. Podemos no
entanto linearizar fazendo:
ln y ′ = ln a0 − b0 x′
|{z}
|{z}
|{z}
y
=
b
ax
ou conforme y = ax + b com:
= ln y ′
(0.13)
y
(0.14)
(0.15)
x = x′
a = −b0
(0.16)
b = ln a0
Desta forma o gráfico y × x ou ln y ′ × x′ resulta em uma reta. Utilizamos para este
fim uma escala logaritmica em um dos eixos. Se em uma folha gráfica, uma do tipo
monolog.
No gráfico é sempre colocado o valor numérico. Por exemplo, na equação da
corrente i na carga do capacitor no circuito RC-série é i = I0 e−t/τ onde I0 = ε/R
e τ = RC sendo R, C, ε e t respectivamente a resistência, capacitância, a fem da
fonte e o tempo. Ao fazer o gráfico colocamos na ordenada, no eixo em escala
logarı́tmica, ln(i/A) e na abcissa, no eixo na escala linear, t/s. É possı́vel também
escrever ln(i/I0 ) = e−τ t e trabalhar com a corrente normalizada que é adimensional.
Example 0.2. As placas de um capacitor com capacitância C são carregadas
por uma bateria com fem ε ligada em série a um resistor de resistência R. O instante
t=0 corresponde ao instante em que o circuito é fechado. A corrente é dada por
i = I0 e−t/τ onde I0 = ε/R e τ = RC. São realizadas medições da corrente em
diversos instantes. Os dados da corrente e do tempo (i; t), respectivamente em
ampere e segundo, são: (4,0;1,0), (2,5;2,0), (1,8;3,0), (1,0;4,0) e (0,4;6,0). Faça o
gráfico da corrente em uma folha monolog. Resp: Figura 6.
0.5.2. Coeficiente angular em gráfico monolog. Considere dois pontos
P1 =(x1 , y1 ) e P2 =(x2 , y2 ) sobre uma reta no papel monolog. A reta é descrita por
ln y = ax + b e portanto:
(0.17)
(0.18)
ln y1 = ax1 + b
ln y2 = ax2 + b
Subtraindo a primeira da segunda obtemos o coeficiente angular:
ln y2 − ln y1
(0.19)
a=
x2 − x1
Como o numerador é adimensional a unidade deste coeficiente é o inverso da unidade
de x, ou, [x]−1 .
Example 0.3. Calcule o coeficiente angular da reta obtida do ajuste do exemplo anterior em uma folha monolog. Resp.: Na figura 7.
0.5.3. Gráficos dilog. Para ilustrar o uso do gráfico em escala dilog (ou loglog), considere a relação entre x e y dada por:
(0.20)
y = c xn
0.6. APÊNDICE
7
10,0
8,0
6,0
4,0
2,0
i ,/A
t / s
4,0
1,0
2,5
2,0
1,8
3,0
1,0
4,0
0,4
6,0
i / A
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,1
0,0
1,0
2,0
3,0
t
4,0
/
5,0
6,0
7,0
s
Figura 6. Esboço do gráfico monolog da i × t durante a carga de
um capacitor em um circuito RC
onde c e n são constantes. Vamos supor que se deseja obter o valor de n. Para isso
aplicamos o logaritmo em ambos os membros e obtemos:
ln y = ln c + n ln x
|{z}
|{z}
|{z}
y′
=
b
+ n x′
Temos assim uma reta em um gráfico de ln y versus ln x.
O coeficiente angular da reta é o próprio coeficiente angular da reta. Dois
pontos sobre esta reta tem coordenadas P1 = (x1 , y1 ) e P2 =(x2 , y2 ). A equação da
reta é ln y = ln c + n x e portanto ln y1 = ln c + n x1 e ln y2 = ln c + n x2 . Então:
ln y2 − ln y1
ln x2 − ln x1
Esta equação equivale a medir no gráfico, com uma régua, a distância entre y2 e y1
e entre x2 e x1 e depois dividir os dois valores.
(0.21)
n=
0.6. Apêndice
0.6.1. Papel com escala logarı́tmica. Para ilustrar a construção de uma
folha em escala logarı́tmica considere os números naturais de 1 a 10, a saber,
(1,0;2,0;3,0;4,0;5,0;6,0;7,0;8,0;9,0;10,0). Calculando o logaritmo de cada um deles obtemos o conjunto (0,0;0,69;1,09;1,38;1,61;1,79;1,94;2,08;2,19;2,30). Calculado
8
10
ln 0, 4 - ln 5
-0,505
5,7 - 0,7
5
a
i / A
=
=
-0,505
s
-1
1
0,4
0,1
0
2
0,7
4
t / s
6
5,7
Figura 7. Coeficiente angular no esboço do gráfico monolog da
i × t durante a carga de um capacitor em um circuito RC
com logaritmo na base 10 o conjunto é (0,0;0,30;0,47;0,60;0,69;0,77;1,84;0,90;0,95;1,0).
Estes valores colocados em um eixo com escala linear é mostrado na figura 8. Pela
figura vemos que as marcas (os ”ticks”) dos valores sucessivos vão se aproximando
a medida que o número aumenta. Pode-se ver que esta caracterı́stica se mantêm,
independente da base em que o logaritmo foi calculado.
Para verificar o que ocorre com decadas sucessivas repetimos fazemos os mesmos
cálculos para o intervalo de 0,1 até 100. O resultado encontra-se no gráfico da figura
9. Pode-se ver que, independente da base em que o logaritmo foi calculado, ocorre a
mesma aproximação das marcas com o aumento do número dentro de cada década.
Além disso, a distribuição destas marcas é igual para todas as décadas.
Assim, em um papel com escala logarı́tmica, em cada marca do limite de década,
a potência de 10 aumenta de uma unidade. O inicio de cada década é identificado
pela distância maior entre duas marcas sucessivas. Se esta for, por exemplo, a
potência 10−3 a próxima é esta multiplicada por 10, ou seja, 10−2 . E assim, sucessivamente. Não existe o zero na escala logarı́tmica.
0.6.2. Método dos mı́nimos quadrados. Em um gráfico y versus x podemos usar o Método dos Mı́nimos Quadrados para ajustar os pontos a uma função
qualquer. No caso de uma reta os coeficientes da reta são obtidos analiticamente.
0.6. APÊNDICE
Figura 8. Valores de logaritmos na base e=2,7 (superior) e na
base 10 (inferior) de números de 1 a 10 colocados em um eixo em
escala linear.
Figura 9. Valores de logaritmos na base e=2,7 (superior) de
números em três décadas colocados em um eixo em escala linear.
O desenho inferior ilustra a colocação dos números nas marcas da
escala logarı́tmica.
9
10
Aqui colocamos apenas os resultados prontos para serem utilizados. De modo geral
os pontos estão ajustados a uma equação na forma:
(0.22)
y = ax + b
onde a é o coeficiente angular e b o coeficiente linear da reta. A seguir mostramos as fórmulas para diversas situações práticas.
O caso geral é quando o conjunto de pontos é formado por N pares (xi , yi ) com
incertezas diferentes em y. Temos para cada ordenada yi a incerteza σi , ou:
x1 , y1 ± σ1
x2 , y2 ± σ2
.., ....
.., ....
xN , yN ± σN
Os coeficientes angular a e linear b da equação da reta são dados por:
(0.23)
1
a=
β
(0.24)
1
b=
β
(N
)
N
N
N
∑ 1 ∑
xi yi ∑ xi ∑ yi
−
σ2
σi2
σ2
σ2
i=1 i i=1
i=1 i i=1 i
(
N
N
N
N
∑
∑
x2i ∑ yi
xi ∑ xi yi
−
σ2
σ 2 i=1 σi2 i=1 σi2
i=1 i i=1 i
onde
N
N
∑
1 ∑ x2i
β=
−
σ2
σ2
i=1 i i=1 i
(0.25)
(
N
∑
xi
2
σ
i=1 i
)
)2
As incertezas σa e σb nestes dois coeficientes são dadas respectivamente por:
(0.26)
σa2 =
N
1∑ 1
β i=1 σi2
σb2 =
N
1 ∑ x2i
β i=1 σi2
Um caso mais simples é quando as incertezas em y são iguais. Neste caso
σ1 = σ2 = ........σN = σ e os dados ficam como:
x 1 , y1 ± σ
x 2 , y2 ± σ
.., ....
.., ....
xN , yN ± σ
Os coeficientes angular a e linear b da equação da reta são dados por:
(0.27)
1
a=
β
(
N
N
∑
i=1
xi yi −
N
∑
i=1
xi
N
∑
i=1
)
yi
0.6. APÊNDICE
(0.28)
1
b=
β
(
N
∑
x2i
i=1
N
∑
yi −
i=1
(0.29)
β=N
xi
i=1
onde
N
∑
N
∑
11
(
x2i
−
N
∑
N
∑
)
xi yi
i=1
)2
xi
i=1
i=1
As incertezas σa e σb dos dois coeficientes são dadas respectivamente por:
(0.30)
σa2 =
N 2
σ
β
σb2 =
N
σ2 ∑ 2
x
β i=1 i
0.6.2.1. Reta passando pela origem. Consideremos um conjunto de N dados
formados por pares (xi , yi ) onde para cada ordenada yi temos uma incerteza correspondente σi , ou:
x1 , y1 ± σ1
x2 , y2 ± σ2
.., ....
.., ....
xN , yN ± σN
Para a reta passando pela origem temos b=0. O coeficiente angular a e a
incerteza σa são dadas por:
∑N
xi yi
i=1 σi2
(0.31)
a = ∑N
(0.32)
1
σa2 = ∑N
x2i
i=1 σi2
x2i
i=1 σi2
Com incertezas iguais em y, ou σ1 = σ2 = ........σN = σ, os dados ficam como:
x 1 , y1 ± σ
x 2 , y2 ± σ
.., ....
.., ....
xN , yN ± σ
O coeficiente angular a e sua incerteza σa são:
(0.33)
∑N
xi yi
a = ∑i=1
N
2
i=1 xi
(0.34)
σ2
σa2 = ∑N
i=1
x2i
12
0.6.3. Transferência de incerteza do eixo x ao eixo y. Consideremos um
conjunto de N dados formados por pares (xi , yi ) com suas respectivas incertezas σxi
e σyi . Incorporando as incertezas em x para as incertezas em y teremos o conjunto
′
apenas com incerteza σyi
neste último, ou:
x1 ± σx1 , y1 ± σy1
x2 ± σx2 , y2 ± σy2
.., ....
.., ....
xN ± σxN , yN ± σyN
′
x1 , y1 ± σy1
′
x2 , y2 ± σy2
.., ....
.., ....
′
xN , yN ± σyN
⇒
Supondo x e y são estatisticamente independentes e um comportamento linear
′
de y em torno de cada ponto em x a incerteza transferida σyi
é dada por
[( ) ]2
dy
′2
2
2
(0.35)
σyi
= σyi
+
σxi
dx i
A derivada pode ser calculada usando o método das diferenças finitas. No ponto
xi :
(
(0.36)
dy
dx
)
=
i
yi+1 − yi−1
2 ∆x
onde ∆x = xi+1 − xi = xi − xi−1 . Para o primeiro e último ponto:
(
(0.37)
(
(0.38)
dy
dx
)
N
)
y2 − y1
∆x
1
yN − yN −1
=
∆x
dy
dx
=
Caso os pontos sejam ajustados a uma reta utiliza-se o cálculo dos coeficientes e
suas incertezas usando o MMQ.