Problemas de Sistemas e Sinais
Definição de Sinais e Sistemas
1. Indique quais se as expressões seguintes são verdadeiras ou falsas
(a) [{1, 2, 3} → {a, b}] ⊂ [ → {a, b}]
(b) {g|g = gra f ( f ) ∧ f : X → Y} ⊂ X × Y
(c) F : [ → ] → [ → ], tal que ∀t ∈ e ∀x ∈ [ → ],
(F(x))(t) = sin(2π440t)
é um sistema sem memória.
(d) Seja f : [ → ] e g : [ → ], em que g é obtido atrasando f por τ ∈ , ou seja,
∀t ∈ , g(t) = f (t − τ)
então gra f (g) ⊂ gra f ( f ).
2. A figura seguinte mostra duas funções f : [−1, 1] → [−1, 1] e g : [−1, 1] → [−1, 1]. Para cada caso defina
a função dando uma expressão algébrica para o seu valor em cada ponto do domı́nio. Note que g(0) = 0.
Esboce gra f ( f ◦ g) e gra f (g ◦ f ).
1
1
graf(f)
−1
graf(g)
0
1
−1
0
1
−0.5
3. Suponha que f : → e g : → tal que ∀x ∈ ,
1
se x > 0
g(x) =
0
se x = 0
−1 se x < 0
e f (x) = 1 + x
(a) Defina h = g ◦ f
(b) Suponha que F : [ → ] → [ → ] e que G : [ → ] → [ → ] tal que ∀s ∈ [ → ] e
∀x ∈ :
(F(s))(x) = f (s(x)) (G(s))(x) = g(s(x))
onde f e g são as funções dadas anteriormente. Desenhe o diagrama de blocos para H = G ◦ F.
Coloque etiquetas nas entradas e saı́das dos blocos indicando o domı́nio e o contradomı́nio das funções
nos blocos.
(c) Sendo s ∈ [ → ] tal que ∀x ∈ , s(x) = cos(πx). Defina u por u = (G ◦ F)(s).
4. Determine quais dos seguintes sinais são periódicos e qual o seu perı́odo.
(a) xa (n) = e j2πn/5
π
(b) xb (n) = sin( 19
n)
1
(c) xc (n) = ne jπn
(d) xd (n) = e jn
5. Para cada um dos seguintes sinais, determine todos os valores do domı́nio para os quais se pode garantir que
o valor da componente par do sinal é nula.
(a) x1 (n) = u(n) − u(n − 4)
(b) x2 (t) = sin( 21 t)
n
(c) x3 (n) = 12 u(n − 3)
(d) x4 (t) = e−5t u(t + 2)
6. Este problema é um estudo da relação entre a noção de atraso e de gráfico de uma função.
(a) Considere duas funções f, g : [ → ], em que:
f (t) = t e g(t) = t − t0 ∀t ∈
em que t0 é um número fixo. Desenhe os gráficos de f e g para t0 = 1 e t0 = −1. Repare que quando
t0 > 0, gra f (g) pode ser obtido deslocando gra f (g) para a direita.
(b) Mostre que se f : [ → ] for um função qualquer e se g(t) = f (t − t0 ), ∀t, então:
(t, y) ∈ gra f ( f ) =⇒ (t + t0 , y) ∈ gra f (g)
Isto é o mesmo do que dizer que quando t0 > 0 o gráfico é deslocado para a direita e quando t0 < 0 o
gráfico é deslocado para a esquerda.
(c) Se t representar o tempo, e se t0 > 0, dizemos que g pode ser obtido atrasando f . Porque é razoável
afirmar isto?
7. Considere os seguintes sinais discretos (∀n ∈ Z):
x1 (n) = e j(2n+π/4)
x2 (n) = e j(3πn/8+π/4)
+∞
X
x4 (n) =
(−1)k δ(n − 3k)
x3 (n) = cos(πn2 /6)
k=−∞
Indique para cada sinal se é periódico e qual o seu perı́odo.
8. Considere os seguintes sinais contı́nuos (∀t ∈ R):
x1 (t) = t[u(t + 2) − u(t − 2)]
x2 (t) = 2tu(t) + (2 − 2t)u(t − 1) + (4 − 2t)u(t − 2) + (−6 + 2t)u(t − 3)
Esboce o gráfico de cada sinal e da respectiva componente par.
9. Considere dois sistemas discretos com entrada x(n) e cujas saı́das são definidas pelas seguintes equações:
y1 (n) = [x(n − 1)]2
y2 (n) = x((n − 1)2 )
Classifique cada um destes sistemas quanto à estabilidade, causalidade, linearidade e invariância no tempo.
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