MTM 5206 | Lista 2
Equac~
oes de primeira ordem na sua vida
10/06/15
Professor: Sergio Tadao Martins
1) Uma populac~ao de mosquitos de uma certa regi~ao duplicaria a cada semana na aus^encia de predadores.
Entretanto, bichos que comem mosquitos consomem 20.000 mosquitos por dia. Sabendo que inicialmente a
populac~ao de mosquitos e de 200.000, determine a populac~ao de mosquitos a qualquer instante.
2) Neste problema vamos estudar como um tanque cheio de lquido esvazia ao abrirmos um buraco em seu
fundo. Se representarmos por h(t) o nvel da agua no instante t (isto e, a altura do lquido em relac~ao ao nvel
do buraco), como consequ^encia da Lei de Torricelli temos
A(h(t))h 0 (t) = −k
p
h(t),
em que k e uma constante que depende, por exemplo, da viscosidade do lquido, do di^ametro do buraco, e das
unidades escolhidas. Na equac~ao acima, a func~ao A(x) representa a area da superfcie do lquido quando o nvel
do lquido e x.
Suponha que k = 0, 025 para um determinado lquido, em que as unidades de tempo e comprimento s~ao,
respectivamente, segundos e metros.
a) Quanto tempo um tanque em formato de um cubo com 4 metros de aresta leva para esvaziar, supondo
que no incio ele esta cheio? (Suponha que o cubo esta apoiado no ch~ao sobre uma de suas faces)
b) Quanto tempo um tanque esferico de 2 metros de di^ametro leva para esvaziar, supondo que no incio ele
esta cheio pela metade? (pense nisso da proxima vez que voc^e quiser tirar agua de um coco)
Obs.: em todos os casos, estamos supondo que o tanque tem uma abertura na parte superior que permite que
o ar entre para ocupar o espaco do lquido que sai do tanque.
3) Um foguete, disparado verticalmente a partir do repouso no instante t = 0, tem uma massa inicial de m0
incluindo o combustvel. Supondo que o combustvel seja consumido a uma taxa constante k, a massa do foguete
no instante t sera dada por m = m0 − kt enquanto o combustvel estiver sendo queimado. Se a resist^encia do ar
for desprezada e os gases do combustvel forem expelidos a uma velocidade constante c em relac~ao ao foguete,
ent~ao a velocidade do foguete satisfaz a equac~ao
m·
dv
= ck − mg.
dt
a) Determine v(t), lembrando que m e uma func~ao do tempo t.
b) Suponha que o combustvel seja responsavel por 80% da massa inicial do foguete e que todo o combustvel seja consumido em 100 segundos, determine a velocidade do foguete no instante em que acabar
o combustvel, para g = 9, 8m/s2 e c = 2.500m/s.
4) Um tanque com uma capacidade de 1.000 litros possui inicialmente 500 litros de agua poluda (s~ao 50kg de
poluentes misturados na agua). Agua
pura comeca a ser introduzida no tanque a uma taxa de 20 litros por
minuto, enquanto a mistura e removida do tanque a uma taxa de 10 litros por minuto. Quantos quilogramas
de poluente havera no tanque quando ele transbordar? Voc^e gostaria de estar perto do tanque quanto ele
transbordar?
5) Um corpo que cai enquanto imerso em um uido denso (oleo, por exemplo) sofre a ac~ao de 3 forcas: seu
peso P, uma forca de empuxo E e uma forca R de resist^encia ao movimento causada pelo uido no qual ele esta
imerso. O empuxo E tem intensidade igual ao peso do uido deslocado pelo objeto. Se o corpo for esferico de
raio a, a forca de resist^encia ao movimento R e dada por R = 6πµa|v|, em que µ e coeciente de viscosidade do
uido.
Determine a velocidade de queda terminal de uma esfera solida de raio a e densidade uniforme ρ imersa em
um uido de densidade ρ 0 e coeciente de viscosidade µ.
Obs.: aquele que responder \a velocidade terminal e zero, pois uma hora a esfera atinge o fundo do recipiente que
contem o uido" estara automaticamente reprovado na disciplina e banido do convvio entre os seres humanos
de bem.