Mecânica de Fluidos
Prof. Lúcio Fassarella
* 2013 *
1. Veri…que o Princípio de Arquimedes nos seguintes casos, i.e., calcule explicitamente o empuxo sobre o sólido imerso em
água e compare com o peso da água deslocada pelo sólido:
(a) cilindro circular reto, com o eixo de simetria na direção vertical;
(b) esfera;
2. Considere um corpo rígido imerso num ‡uido contido num recipiente de vidro. Na Terra, o corpo afunda no ‡uido. O
que acontece se transferirmos recipiente para outro lugar?
(a) O corpo também afundaria na superfície da Lua, onde a aceleração gravitacional é menor do que a da Terra?
(b) O corpo também afundaria na superfície de uma estrela de nêutrons, onde a aceleração gravitacional é muito maior
do que a da Terra?
(c) As respostas dependem da compressibilidade do ‡uido?
3. Considere um ‡uido em equilíbrio estático sob ação da força gravitacional, assumida constante.
Determine a expressão da pressão do ‡uido em função da profundidade quando:
(a) A densidade do ‡uido é constante (o ‡uido é incompressível);
(b) A densidade do ‡uido é diretamente proporcional a pressão;
(c) A densidade do ‡uido em função da pressão p é dada por
(p) =
0
1
e
p
:
4. Determine a forma da superfície de um líquido em rotação uniforme (rígida) dentro de um balde com eixo de rotação
vertical, numa região com aceleração gravitacional constante.
5. Um ‡uido incompressível escoa numa tubulação com largura variável. Supondo que o ‡uido preenche a tubulação
completamente e que não haja vazamentos, determine a relação entre as velocidades do ‡uido em dois pontos distintos
da tubulação onde as seções retas possuem áreas A1 e A2 .
6. Um reservatório de água tem forma de cilindro circular reto de altura H e raio R e possui uma válvula para saída de
água na base com área a > 0.
(a) Quanto tempo demora para o reservatório se esvaziar se a válvula for aberta quando ele estiver cheio?
(b) Na situação em que o reservatório tem sua válvula aberta e recebe água a taxa constante w, qual será o nível
estacionário de água?
1
7. Um ‡uido gira uniformemente em torno de um eixo com velocidade angular !, constituindo um movimento rígido (no
sentido de que a distância entre quaisquer dois elementos de volume do ‡uido permanece constante). Considere um
sistema de eixos cartesianos cujo eixo-z coincide com o eixo de rotação do ‡uido.
(a) Determine a velocidade linear v = v (x; y; z) do ‡uido e calcule r v e r
cilíndricas;
v em coordenadas cartesianas e
(b) Determine a pressão p = p (x; y; z) do ‡uido e suas curvas de nível nos casos em que:
i. o ‡uido é incompressível;
ii. a densidade do ‡uido é proporcional a pressão.
8. Um ‡uido com viscosidade
0 escoa girando em torno de um eixo com velocidade angular inversamente proporcional
ao quadrado da distância ao eixo. Considere um sistema de eixos cartesianos cujo eixo-z coincide com o eixo de rotação
do ‡uido.1
(a) Determine a velocidade linear v = v (x; y; z) do ‡uido e calcule r v e r
cilíndricas;
v em coordenadas cartesianas e
(b) Determine a pressão p = p (x; y; z) do ‡uido nos casos em que:
i. o ‡uido é incompressível;
ii. a densidade do ‡uido é proporcional a pressão.
9. Considere um sifão caracterizado pelas alturas h1 e h2 , conforme a …gura.
(a) Suponha que a extremidade externa da tubulação está fechada e que o ‡uido esteja em equilíbrio estático (v = 0).
Determine a pressão do ‡uido no ponto A nos seguintes casos:
i. o ‡uido é incompressível;
ii. a densidade do ‡uido é proporcional a pressão.
(b) Suponha que escoa pelo sifão um ‡uido com densidade e viscosidade sob ação da aceleração gravitacional g.
Admitindo que a dinâmica do ‡uido é dada pela equação de Navier-Stokes, determine a relação entre velocidade
v com que o ‡uido entra na tubulação e a pressão no ponto A na situação estácionária, nos seguintes casos:
i.
ii.
iii.
iv.
1 Considere
o
o
a
a
‡uido é incompressível e = 0;
‡uido é incompressível e > 0;
densidade do ‡uido é proporcional a pressão e
densidade do ‡uido é proporcional a pressão e
separadamente as situações
= 0 ou
= 0;
> 0.
> 0, caso seja necessário.
2
10. Considere um ‡uido sujeito a uma densidade de força de corpo constante f = f0 . Sejam v o campo de velocidade e p o
campo de pressão do ‡uido. Admitindo que a dinâmica do ‡uido é dada pela equação de Navier-Stokes, prove que: se
o ‡uido é incompressível, então v independe de f0 e a pressão p é dada por2
p (r; t) = p0 (r; t) + f0 r;
onde p0 (r; t) é a pressão do ‡uido no caso f0
0, com todas as demais condições inalteradas.
11. Deduza o Princípio de Arquimedes da Equação de Navier-Stokes para um ‡uido incompressível sob ação de uma
densidade de força de corpo constante em equilíbrio estático.
12. Deduza a Lei de Bernoulli da Equação de Navier-Stokes para um ‡uido incompressível não-viscoso sob ação de uma
densidade de força de corpo constante no regime de escoamento estacionário irrotacional, i.e., cujo campo de velocidades
v = v (x; y; z) satisfaz
r v = 0:
13. Partindo da Equação de Navier-Stokes para um ‡uido não-viscoso sob ação de uma densidade de força de corpo
constante, mostre que no regime de escoamento estacionário irrotacional a seguinte quantidade é constante ao longo
das linhas de ‡uxo do ‡uido
p (r) 1 2
+ v
f r:
Q (r) =
(r) 2
14. [Modelo simpli…cado para o escoamento da água num rio largo com leito inclinado em relação a direção horizontal.]
Considere um ‡uido incompressível com densidade (constante) e viscosidade escoando no semi-espaço
= (x; y; z) 2 R3 = y
0
sujeito a densidade de força de corpo constante
f = (g sin ) i
(g cos ) j ;
2(
=2; =2) :
Suponha que o campo de velocidades do ‡uido tenha a forma
v (x; y; z) = (u (y) ; 0; 0) :
(a) Partindo da equação de Navier-Stokes, deduza a equação que caracteriza o escoamento;
(b) Supondo que a pressão seja função linear da coordenada y,
p = p (x; y; z) = ay + b
determine o campo de velocidades e a pressão do ‡uido assumindo as seguintes condições de contorno (h > 0)
v (x; 0; z) = (u0 ; 0; 0) ; v (x; h; z) = 0 ; p (x; 0; z) = 0:
15. Considere um campo de velocidades que independe de uma coordenada carteziana
v = v (x; y) = (v1 (x; y) ; v2 (x; y) ; v3 (x; y)) :
Prove que (v; p) é solução da equação de Navier-Stokes com densidade de força de corpo nula
@
v + (v r) v
@t
se, e somente se,
2 Sugestão:
8
>
>
>
<
>
>
>
:
@
@t
v1
v2
+
@
@
v1 @x
+ v2 @x
1
2
@
@t v3
+
v=
v1
v2
@
@
v1 @x
+ v2 @x
v3
1
2
use que para um ‡uido incompressível vale: r v = 0.
3
rp
v1
v2
v3 = 0:
=
rp
16. Dado um ! = ! (r) contínuo para o qual existe > 0 tal que
n
o
1+
sup ksk
k! (s)k ; s 2 R3 < 1,
mostre que
v (r) =
Z
(r
é solução do sistema
s)
4 kr
R3
3
! (s)
3
sk
d3 s
r v=!
r v = 0:
17. Considere um ‡uido escoando numa região do espaço
R3 com ‡uxo (r; t) de classe C 2 e campo de velocidades
1
v (r; t) de classe C . Seja o determinante jacobiano da transformação t ( ) = ( ; t)
@ i
(r; t)
@xj
J (r; t) = det
:
i;j=1;2;3
Prove que:
d
J (r; t) = r vj(
dt
(r;t);t)
J (r; t) :
Tabela
A equação de Navier-Stokes para um ‡uido com densidade , viscosidade , campo de pressão p, campo de velocidades
v e sob ação de uma densidade de força de corpo f :
@
v + (v r) v
@t
3 Vide :
v= f
rp:
S.T. de Melo, F.M. Neto: Mecânica dos Fluidos e Equações Diferenciais. 18o. Colóquio Brasileiro de Matemática. IMPA, 1991: p.26.
4